第五章 二元一次方程组（单元分层自测·能力提升卷）数学新教材北师大版八年级上册

**基本信息** 本单元卷聚焦二元一次方程组，通过选择（10题30分）、填空（6题18分）、解答（9题72分）覆盖定义、解法、应用及函数综合，融合《孙子算经》、共享经济等情境与创新题型，适配八年级单元复习，提升数学眼光与思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|方程组定义、解的象限、参数问题、古代数学应用|结合跨地域期末真题，设“反解方程组”创新概念，考查抽象能力| |填空题|6/18|含参方程组、函数交点与方程组解、几何坐标|设计墨水遮盖问题，关联一次函数与方程组，培养模型意识| |解答题|9/72|解法、同解问题、共享电动车收费、整体思想|以共享经济、图书采购为情境，通过“和数方程”“整体换元”考查运算能力与推理意识|

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第五章二元一次方程组·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.(25-26七年级下河北保定·期末)下列方程组中，属于二元一次方程组的是() x+y=1 x+y=2 y=4 x+y=2 A. -2-2 B y=3 y=1 D x2-1=0 x+3y=1 2. (25-26七年级下·山西吕梁期末)以二元一次方程组y-x=3的解为坐标的点(x,y)在平面直角坐标 系的() A.第一象限 B,第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3。（25-26七年级下黑龙江佳木斯期未)若方程（m-)r-3y=6 关于x,y的二元一次方程，则 n的值为() A.-1 B.1 C.2026 D.-2026 x=a 4.(25-26七年级下·吉林白山期末)如果y=b是方程x-3y=-2的一组解，那么代数式4+2a-6b的值 是() A.0 B.2 C.6 D.8 5.(25-26七年级下·吉林长春期末)古代数学名著《孙子算经》中有一问题：“今三人共车，两车空： 两人共车，九人步.问人与车各几何？”其大意为：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车： 若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，则下面所列方程组正确的是( ) x=3(y-2) x=3(y+2) A.x-9=2y B. x-9=2y 117 命学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 x=3(y+2) x=3(y+2) C.x-2×9=2y D. x+2×9=2y 6.(25-26七年级下·广西玉林·期末)如果某个二元一次方程组中两个未知数的值互为相反数，我们称这 2x+y=3-a 个方程组为“反解方程组”，若关于x,y的方程组x-y=2为“反解方程组”，则α的值为() A.4 B.-4 C.-2 D.2 7.(25-26七年级下·黑龙江牡丹江·期末)将八个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图 1,将这8个一样大小的长方形拼成了如图2那样的正方形，中间还留了一个洞，恰好是边长为3Cm的小 正方形，则一个小长方形的面积为() 图1 图2 A 120cm2 B 135cm2 C.108cm2 D 66cm2 a b =ad-bc 8.(25-26七年级下河北邯郸期末)对于任意有理数a,b,c,d,我们规定cd 己知x, =1 同时满足45,3，则+y= A.-2 B.-1 C.3 D.4 mx+2y=28 9.(25-26七年级下·湖南长沙期末)已知关于x,y的二元一次方程组5x-2y=0的解均为整数，则正 整数m的值是() A.2或10 B.2或9 C.3或9 D.3或10 2a-b=1 a=1 10.(25-26七年级下·湖南衡阳期末)关于a,b的二元一次方程组a+b=2的解是b=1,则关于x、y 217 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2(x+2)-(y-1)=1 的二元一次方程组(x+2)+(y-1)=2的解是() x=1 x=-1 x=2 x= y=1 B y=2 C.y=0 D y=2 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.(25-26七年级下·北京海淀期末)已知二元一次方程4x+5y=5,用含y的代数式表示x,则可表示 为 「x+5y=k 12.(25-26七年级下·内蒙古通辽期末)若关于x,y的方程组3x-y=4k+5的解满足x与y互为相反数， 则k的值为一 13.(25-26八年级下·陕西安康期末)己知一次函数y=3x+1与y=c+b(k、b为常数，且k≠0)的图 3x-y=-1 象交点的纵坐标为-2，则关于x、y的二元一次方程组y=x+b的解是 2x+y=O x=5 14.(25-26七年级下·新疆克孜勒苏·期末)小亮解方程组2x-y=12的解为y=☆，由于不小心，滴上 了两滴墨水，刚好遮住了两个数O和☆，请你帮他找回☆，这个数☆一 15.(25-26七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末)用几个大小形状完全一样的长方形在平面直角坐标系中摆成 如图所示的图案，已知 (2,5) 则点B的坐标为 3/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x+2y=5-2a 16.己知关于x,y的二元一次方程组x-y=4a-1,给出下列结论中正确的是 (请填序号). ①当a=2时，方程组的解也是方程2x+y=3a+2的解： ②无论“取何值， y+2=4(a+21-a）恒成立： ③当方程组的解y都为自然数时，则a有唯一值为1： ④无论a取什么实数，2·2'的值始终为8. 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分：第21,22,23题，每题8分；第24,25题，每题12分， 共9小题，共72分) 17.(25-26七年级下·山东淄博期末)解方程组： [3x+2y=7 (1)6x-2y=11 (x+1=2y 3 (2)2(x+1)-y=11 18.(25-26八年级下山东潍坊期未)已知直线'=--2与直线'=x-m相交于点 A(n,-3) (1)求m和n的值； x+y=-2 (2)求方程组x-y=m的解. 「x-2y=6x+2y=10 19.(25-26七年级下·甘肃庆阳·期末)已知关于x,y的二元一次方程组bx+四y=-8与ax-y=6有相 同的解. (1)求这两个方程组的相同解； (2)求a,b的值. 2x+y=5 20.(25-26七年级下河南安阳期末)已知关于x,y的方程组m+2y-mx-6=0 417 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)请写出方程2x+y=5的一组正整数解：-： (2)若方程组的解满足x-y=4,求m的值： (3)不论m取任何值，方程m+2y-mx-6=0总有一组固定解，请直接写出这组固定解、 21.(25-26八年级下·吉林长春·期末)共享电动车是一种服务于中短距离的交通工具，主要面向 3km-10m的出行市场.现有A、B两种品牌的共享电动车，收费y(元)与骑行时间 mim)之间的对应 关系如图所示，其中A品牌收费方式对应”，B品牌的收费方式对应片.根据信息回答下列何思： 川元 8------- 01020 x/min (I)A品牌收费规则是每分钟元，当x=_min,两种品牌的收费相同； ②当骑行时间x>10mim,求”关于x的函数关系式： (3)如果小明每天早上需要骑行A品牌或B品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均 行驶速度均为300mmin,小明家到工厂的距离为7.5km,那么小明选择品牌共享电动车更省钱（填“A” 或“B”),可以节约元 22.(25-26八年级下·四川凉山期末)阅读与理解 【阅读材料】 一次函数'=c+bk≠0 的图象是一条直线，通常也称为直线y=+b,其中人称为直线的斜率，若直线 y=c+6上有两点A5y)和B(5,,则太=名 《名-.特别地，当直线y=kx+h与直线乃，=x+b互相 kk2=-1 垂直时， 【理解运用】 517 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ()已知点E(2,3),F(m,5),其中m为常数，且m≠2·若直线EF与直线y=3x-2垂直，求m的值： (2)判定点 （L,2).B(2,5),C(4,1)三点构成的△MBC是否是直角三角形？并说明理由. 23.(25-26七年级下辽宁大连期末)约定：关于x,y的二元一次方程r+y=c(a,b,c为常数， 且abc≠0)，若系数满足a+b=2c,则称这个方程为“和数”方程.例如：方程4x+2y=3,其中a=4, b=2c= 3,满足0+h=2c,且c≠0， 4x+2y=3 ,则方程 是“和数”方程.由两个“和数”方程组成 的方程组称作“和数”方程组.根据上述规定，回答下列问题： (1)判断以下方程是不是“和数”方程（填“是”或“不是”）： 111 ①4x+y=10—:②2x-3y=i2 一·③x-y=0— 「ax+y=b [x=p (2)若关于x,y的“和数”方程组x+by=a+2的解为y=9,求p-q的值. 24.(25-26八年级下·甘肃陇南期末)“琅琅书声漫校园，悠悠书韵满人生”·为提升学生的文学素养， 培养学生的阅读兴趣，我校启动校园“读书季”，并计划购进A,B两种图书作为年级竞诵活动的奖品。 经调查，购进A种图书的总费用y元与购进A种图书本数x之间的函数关系如图所示. A元 2250 1250 50100x本 (1)①当0≤x≤50时，y与x之间的函数关系式为一： ②当x>50时，y与x之间的函数关系式为一： (2)现学校准备购进A,B两种图书共100本，己知B种图书每本25元.若购进A种图书不少于50本，且 不超过60本，购进两种图书的总费用为W元，请求出W与x之间的函数表达式，当x为何值时能使总费用 最少？总费用最少为多少元？ 25.(25-26七年级下·湖南长沙期末)阅读与思考 617 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 “整体思想”是系统思维在数学中的体现，解题时不拘泥局部细节，将问题中关联紧密的式子、数量、几 何要素视作统一整体，依托整体特征与局部关系探寻解题路径.“整体思想”是中学数学解题中的一种重 要思想方法，常用形式包含整体代入、整体换元、整体加减、整体构造四类.运用整体思想有时会使我们 的解题更加简便快捷. 5a+9b+c=20 例如：已知方程组 4a+7b+c=12,求a+b+c的值， 针对此问题，因为问题是求解a+b+c整体的值，因此可以在原方程组中“分离”出a+b+c即可，即 4(a+2b)+(a+b+c)=20 3(a+2b)+(a+b+c)=12, 接下来把a+2b和a+b+C分别看做一个整体，采用“整体换元”、“代入消元法”或者“加减消元法”均 可解决该问题了. (1)请你完成接下来的步骤，求出a+b+c的值： (2)请你用上述思想方法求解问题： 「4x+7y-z=15 已知-3x-5y+z=-7,求x+y-z的值： (3)已知关于x、y的方程组 kx-y+m =3y-m+10 ,(为实数，为正整数)的解为正整数，且该解也是 2 m k 方程2x+y=9的解，求m的值， 7/7………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第五章 二元一次方程组·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26七年级下·河北保定·期末）下列方程组中，属于二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·山西吕梁·期末）以二元一次方程组的解为坐标的点在平面直角坐标系的（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（25-26七年级下·黑龙江佳木斯·期末）若方程是关于x，y的二元一次方程，则nᵐ的值为（     ） A． B．1 C．2026 D． 4．（25-26七年级下·吉林白山·期末）如果是方程的一组解，那么代数式的值是（    ） A．0 B．2 C．6 D．8 5．（25-26七年级下·吉林长春·期末）古代数学名著《孙子算经》中有一问题：“今三人共车，两车空；两人共车，九人步．问人与车各几何？”其大意为：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，则下面所列方程组正确的是（     ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·广西玉林·期末）如果某个二元一次方程组中两个未知数的值互为相反数，我们称这个方程组为“反解方程组”，若关于，的方程组为“反解方程组”，则的值为（     ） A．4 B． C． D．2 7．（25-26七年级下·黑龙江牡丹江·期末）将八个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图1，将这8个一样大小的长方形拼成了如图2那样的正方形，中间还留了一个洞，恰好是边长为3cm的小正方形，则一个小长方形的面积为（     ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级下·河北邯郸·期末）对于任意有理数，，，，我们规定，已知，同时满足，，则（    ）． A． B． C． D． 9．（25-26七年级下·湖南长沙·期末）已知关于的二元一次方程组的解均为整数，则正整数的值是（     ） A．2或10 B．2或9 C．3或9 D．3或10 10．（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）关于a，b的二元一次方程组的解是，则关于x、y的二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（25-26七年级下·北京海淀·期末）已知二元一次方程，用含的代数式表示，则可表示为_______________． 12．（25-26七年级下·内蒙古通辽·期末）若关于的方程组的解满足与互为相反数，则的值为_____． 13．（25-26八年级下·陕西安康·期末）已知一次函数与（k、b为常数，且）的图象交点的纵坐标为，则关于、的二元一次方程组的解是____________． 14．（25-26七年级下·新疆克孜勒苏·期末）小亮解方程组的解为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数○和☆，请你帮他找回☆，这个数☆=______． 15．（25-26七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）用几个大小形状完全一样的长方形在平面直角坐标系中摆成如图所示的图案，已知，则点的坐标为____________． 16．已知关于的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是___________（请填序号）． ①当时，方程组的解也是方程的解； ②无论取何值，恒成立； ③当方程组的解都为自然数时，则有唯一值为1； ④无论取什么实数，的值始终为8． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．（25-26七年级下·山东淄博·期末）解方程组： (1) (2) 18．（25-26八年级下·山东潍坊·期末）已知直线与直线相交于点． (1)求和的值； (2)求方程组的解． 19．（25-26七年级下·甘肃庆阳·期末）已知关于，的二元一次方程组与有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求，的值． 20．（25-26七年级下·河南安阳·期末）已知关于，的方程组 (1)请写出方程的一组正整数解： ； (2)若方程组的解满足，求的值； (3)不论取任何值，方程总有一组固定解，请直接写出这组固定解． 21．（25-26八年级下·吉林长春·期末）共享电动车是一种服务于中短距离的交通工具，主要面向的出行市场．现有A、B两种品牌的共享电动车，收费y（元）与骑行时间之间的对应关系如图所示，其中A品牌收费方式对应，B品牌的收费方式对应．根据信息回答下列问题： (1)A品牌收费规则是每分钟 元，当 ，两种品牌的收费相同； (2)当骑行时间， 求关于x的函数关系式； (3)如果小明每天早上需要骑行A品牌或B品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，小明家到工厂的距离为，那么小明选择 品牌共享电动车更省钱（填“A”或“B”），可以节约 元． 22．（25-26八年级下·四川凉山·期末）阅读与理解 【阅读材料】 一次函数的图象是一条直线，通常也称为直线，其中称为直线的斜率，若直线上有两点和则．特别地，当直线与直线互相垂直时，． 【理解运用】 (1)已知点，，其中m为常数，且．若直线与直线垂直，求的值； (2)判定点，，三点构成的是否是直角三角形？并说明理由． 23．（25-26七年级下·辽宁大连·期末）约定：关于，的二元一次方程（，，为常数，且），若系数满足，则称这个方程为“和数”方程．例如：方程，其中，，，满足，且，则方程是“和数”方程．由两个“和数”方程组成的方程组称作“和数”方程组．根据上述规定，回答下列问题： (1)判断以下方程是不是“和数”方程（填“是”或“不是”）： ①________；②________．③________； (2)若关于，的“和数”方程组的解为，求的值． 24．（25-26八年级下·甘肃陇南·期末）“琅琅书声漫校园，悠悠书韵满人生”．为提升学生的文学素养，培养学生的阅读兴趣，我校启动校园“读书季”，并计划购进A，B两种图书作为年级竞诵活动的奖品．经调查，购进A种图书的总费用y元与购进A种图书本数x之间的函数关系如图所示． (1)①当时，y与x之间的函数关系式为_____； ②当时，y与x之间的函数关系式为_____； (2)现学校准备购进A，B两种图书共100本，已知B种图书每本25元．若购进A种图书不少于50本，且不超过60本，购进两种图书的总费用为w元，请求出w与x之间的函数表达式，当x为何值时能使总费用最少？总费用最少为多少元？ 25．（25-26七年级下·湖南长沙·期末）阅读与思考 “整体思想”是系统思维在数学中的体现，解题时不拘泥局部细节，将问题中关联紧密的式子、数量、几何要素视作统一整体，依托整体特征与局部关系探寻解题路径．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要思想方法，常用形式包含整体代入、整体换元、整体加减、整体构造四类．运用整体思想有时会使我们的解题更加简便快捷． 例如：已知方程组 ，求的值． 针对此问题，因为问题是求解整体的值，因此可以在原方程组中“分离”出即可，即 ， 接下来把和分别看做一个整体，采用“整体换元”、“代入消元法”或者“加减消元法”均可解决该问题了． (1)请你完成接下来的步骤，求出的值； (2)请你用上述思想方法求解问题： 已知 ，求的值： (3)已知关于x、y的方程组 ，(为实数，为正整数)的解为正整数，且该解也是方程的解，求的值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第五章 二元一次方程组·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26七年级下·河北保定·期末）下列方程组中，属于二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A选项第二个方程含，不是整式方程，不符合题意； B选项方程组共含两个未知数，两个方程均为整式方程，且所有含未知数的项的次数都是1，符合要求； C选项中项的次数为2，不符合题意； D选项中项的次数为2，不符合题意． 2．（25-26七年级下·山西吕梁·期末）以二元一次方程组的解为坐标的点在平面直角坐标系的（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】先解二元一次方程组得到的值，再根据各象限点的坐标特征判断点所在的象限． 【详解】解： 得： 解得 把代入②得： 解得 ∴点的坐标为 ∵第二象限内点的坐标特征为横坐标小于0，纵坐标大于0，， ∴点在第二象限． 3．（25-26七年级下·黑龙江佳木斯·期末）若方程是关于x，y的二元一次方程，则nᵐ的值为（     ） A． B．1 C．2026 D． 【答案】B 【分析】根据二元一次方程的定义，未知数的次数为1且对应系数不为0，求出和的值，再计算得到结果，选出正确选项． 【详解】解：∵方程是关于，的二元一次方程， ∴，，， 解得 ，， ∴． 4．（25-26七年级下·吉林白山·期末）如果是方程的一组解，那么代数式的值是（    ） A．0 B．2 C．6 D．8 【答案】A 【详解】解：把代入得：， ∴． 5．（25-26七年级下·吉林长春·期末）古代数学名著《孙子算经》中有一问题：“今三人共车，两车空；两人共车，九人步．问人与车各几何？”其大意为：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，则下面所列方程组正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题中两个乘车条件，分别找出总人数、车辆数之间的等量关系，列出方程，即可得到正确的方程组． 【详解】解：设有人，辆车，根据题意，得 ． 6．（25-26七年级下·广西玉林·期末）如果某个二元一次方程组中两个未知数的值互为相反数，我们称这个方程组为“反解方程组”，若关于，的方程组为“反解方程组”，则的值为（     ） A．4 B． C． D．2 【答案】D 【分析】根据“反解方程组”的定义，得到x与y互为相反数，可求出x，y的值，再代入方程组求解a的值即可． 【详解】解：∵方程组是“反解方程组”， ∴x与y互为相反数，即， 把代入得：， 解得， ∴， 把，代入得： ， 解得：． 7．（25-26七年级下·黑龙江牡丹江·期末）将八个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图1，将这8个一样大小的长方形拼成了如图2那样的正方形，中间还留了一个洞，恰好是边长为3cm的小正方形，则一个小长方形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设每个小长方形的长为，宽为，根据题意列方程组并求解，最后计算小长方形的面积即可． 【详解】解：设每个小长方形的长为，宽为， 依题意得：， 解得：， 则每个小长方形的面积． 8．（25-26七年级下·河北邯郸·期末）对于任意有理数，，，，我们规定，已知，同时满足，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据规定列得关于，的二元一次方程组为，解得，的值后代入中计算即可． 【详解】解：由题意得， 解得：， 则． 9．（25-26七年级下·湖南长沙·期末）已知关于的二元一次方程组的解均为整数，则正整数的值是（     ） A．2或10 B．2或9 C．3或9 D．3或10 【答案】B 【分析】先利用加减消元法解方程组，再根据方程组的解均为整数，为正整数，可得是28和70的正公约数，进而求出的值． 【详解】解：， ①②得 ， ∴ ， 将代入②，解得 ， ∵ 方程组的解均为整数，为正整数， ∴ 是28和70的正公约数，且， 28和70的正公约数为，符合条件的或， 当时，； 当时，； ∴ 正整数的值为2或9． 10．（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）关于a，b的二元一次方程组的解是，则关于x、y的二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对比两个方程组的结构，利用换元思想，将新方程组中看作原方程组的，看作原方程组的，结合已知原方程组的解即可求出和． 【详解】解：关于a，b的二元一次方程组的解是， 方程组中， 解得：． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（25-26七年级下·北京海淀·期末）已知二元一次方程，用含的代数式表示，则可表示为_______________． 【答案】 【分析】把看作已知数，解关于的一元一次方程即可得到结果． 【详解】解：原方程为， 移项，得， 方程两边同时除以， 得． 12．（25-26七年级下·内蒙古通辽·期末）若关于的方程组的解满足与互为相反数，则的值为_____． 【答案】 【分析】利用加减消元法得出，再根据相反数的定义，得出，即可求解． 【详解】解：， 由得， ， 与互为相反数， ， ， 解得：． 13．（25-26八年级下·陕西安康·期末）已知一次函数与（k、b为常数，且）的图象交点的纵坐标为，则关于、的二元一次方程组的解是____________． 【答案】 【分析】求出这两个一次函数的交点的坐标即可． 【详解】解：由题意得：将代入一次函数得：， 解得， ∴这两个一次函数的交点的坐标为， ∵方程组可变形为， ∴关于、的二元一次方程组的解是这两个一次函数的交点的坐标，即． 14．（25-26七年级下·新疆克孜勒苏·期末）小亮解方程组的解为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数○和☆，请你帮他找回☆，这个数☆=______． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解的定义，方程组的解满足方程组中的每一个方程，将已知的代入不含被遮挡未知数的方程，即可求解的值． 【详解】解：方程组的解为，且， 将代入， 得，整理得，移项得，即， ． 15．（25-26七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）用几个大小形状完全一样的长方形在平面直角坐标系中摆成如图所示的图案，已知，则点的坐标为____________． 【答案】 【分析】设小长方形的长为x，宽为y，根据点A的坐标，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，进而可得出和的值，再结合点B所在的象限即可得出点B的坐标． 【详解】解：设小长方形的长为x，宽为y， 依题意，得， 解得， ∴，， ∴点B的坐标为． 16．已知关于的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是___________（请填序号）． ①当时，方程组的解也是方程的解； ②无论取何值，恒成立； ③当方程组的解都为自然数时，则有唯一值为1； ④无论取什么实数，的值始终为8． 【答案】①②④ 【分析】先解方程组得到,关于的表达式，再逐个验证每个结论即可． 【详解】解：解方程组， 用①减去②得 ，解得 ， 把代入②，得 ， 因此方程组的解为， ①当时，，， 把,代入， 左边，右边， 左边右边，因此方程组的解也是该方程的解，故①正确； ②计算左边， 把，代入得， ， ， 因此，和右边相等，故②正确； ③若,都为自然数，即,都是非负整数， 当时，，，都是自然数，符合条件， 当时，，，都是自然数，符合条件， 当时，，，都是自然数，符合条件， 因此有多个取值，不是唯一值为，故③错误； ④， ， ， 无论取何实数，结果都为，故④正确， 综上，正确的结论是①②④． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．（25-26七年级下·山东淄博·期末）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用加减消元法解二元一次方程组； （2）用代入消元法解二元一次方程组． 【详解】（1）解： ①＋②得 将代入①得 ∴原方程组的解为：； （2）解： 由①得：③， 将③代入②得：， 解得：， 将代入①得：， ∴原方程组的解为：． 18．（25-26八年级下·山东潍坊·期末）已知直线与直线相交于点． (1)求和的值； (2)求方程组的解． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将代入中，求得，再将代入中，即可求得． （2）代入，即求两条直线的交点，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵点是直线上一点， ∴当时，， ∴， ∵点在直线上， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴方程组为， 即求直线与直线的交点， ∴． 19．（25-26七年级下·甘肃庆阳·期末）已知关于，的二元一次方程组与有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求，的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）因为两个方程组有相同的解，所以这个解同时满足两个不含参数的方程和，将这两个方程联立组成新的方程组，求解即可得到相同的解． （2）把求得的相同解代入另外两个含参数的方程和，得到关于的二元一次方程组，求解该方程组即可得到的值． 【详解】（1）解：∵关于，的二元一次方程组与有相同的解， ∴联立方程组，得 ①②，得， 解得，              把代入①，得， 解得， ∴这两个方程组的相同解为； （2）解：把，代入方程组， 得， ④，得， 解得，       把代入④，得， 解得． 20．（25-26七年级下·河南安阳·期末）已知关于，的方程组 (1)请写出方程的一组正整数解： ； (2)若方程组的解满足，求的值； (3)不论取任何值，方程总有一组固定解，请直接写出这组固定解． 【答案】(1)（或） (2) (3) 【分析】（1）令x取一正整数，代入求出即可； （2）先通过方程组解出x、y的值，再将x、y代入代数式求出m即可； （3）将原式进行变换后得出，即可求出这个固定解． 【详解】（1）方程的正整数解可为（或）． （2）联立 解得 代入第二个方程 得， 故的值为． （3）将方程 整理为． 为使该式对任意 成立，需满足， 解得 21．（25-26八年级下·吉林长春·期末）共享电动车是一种服务于中短距离的交通工具，主要面向的出行市场．现有A、B两种品牌的共享电动车，收费y（元）与骑行时间之间的对应关系如图所示，其中A品牌收费方式对应，B品牌的收费方式对应．根据信息回答下列问题： (1)A品牌收费规则是每分钟 元，当 ，两种品牌的收费相同； (2)当骑行时间， 求关于x的函数关系式； (3)如果小明每天早上需要骑行A品牌或B品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，小明家到工厂的距离为，那么小明选择 品牌共享电动车更省钱（填“A”或“B”），可以节约 元． 【答案】(1)； (2) (3)B；1 【分析】（1）由图可知A品牌骑行20分钟收费8元，故单价为元/分钟；当时两品牌收费相同． （2）当时，为一次函数，代入、解得，，故． （3）路程，速度，用时25分钟．A品牌费用元；B品牌元，B更省钱，节约1元． 【详解】（1）解：由图可知，A品牌收费（元）是关于骑行时间的一次函数， 当骑行时，收费元， A品牌收费规则是每分钟元； 由图可知，当时，两种品牌的收费相同． （2）解：由图可知，当时，是关于的一次函数关系， 当时，可设，代入， 可得，解得， ， （3）解：由题意得，小明家到工厂的距离为，两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为， 小明家到工厂的时间为， 由（1）可知，A品牌收费规则是每分钟元； 小明家到工厂A品牌收费为元； 由（2）可知，， 将代入得，， 小明家到工厂B品牌收费为元； 小明选择B品牌共享电动车更省钱，可以节约元． 22．（25-26八年级下·四川凉山·期末）阅读与理解 【阅读材料】 一次函数的图象是一条直线，通常也称为直线，其中称为直线的斜率，若直线上有两点和则．特别地，当直线与直线互相垂直时，． 【理解运用】 (1)已知点，，其中m为常数，且．若直线与直线垂直，求的值； (2)判定点，，三点构成的是否是直角三角形？并说明理由． 【答案】(1) (2)是直角三角形 【分析】（1）先根据两点坐标求直线的斜率，再结合垂直关系列方程求解． （2）分别计算三角形三边所在直线的斜率，通过验证斜率乘积判断是否存在垂直关系，进而判断三角形形状． 【详解】（1）解∶ ∵，，， ∴根据斜率公式，直线的斜率为， ∵直线的斜率为，直线与该直线垂直， ∴根据题意得 ， ∴， 解得； （2）解：∵，，， ∴， ∴， 即， ∴ 是直角三角形． 23．（25-26七年级下·辽宁大连·期末）约定：关于，的二元一次方程（，，为常数，且），若系数满足，则称这个方程为“和数”方程．例如：方程，其中，，，满足，且，则方程是“和数”方程．由两个“和数”方程组成的方程组称作“和数”方程组．根据上述规定，回答下列问题： (1)判断以下方程是不是“和数”方程（填“是”或“不是”）： ①________；②________．③________； (2)若关于，的“和数”方程组的解为，求的值． 【答案】(1)不是；是；不是 (2)0 【分析】（1）根据“和数”方程的定义判断； （2）首先根据“和数”方程组的定义得到，求出，然后代入原方程求解即可． 【详解】（1）解：①， ∵，，， ∴①不是“和数”方程； ② ∵，，， ∴②是“和数”方程； ③ ∵ ∴③不是“和数”方程； （2）解：由题意得，， 解得， 将代回原方程组得， 得， ∴， ， ． 24．（25-26八年级下·甘肃陇南·期末）“琅琅书声漫校园，悠悠书韵满人生”．为提升学生的文学素养，培养学生的阅读兴趣，我校启动校园“读书季”，并计划购进A，B两种图书作为年级竞诵活动的奖品．经调查，购进A种图书的总费用y元与购进A种图书本数x之间的函数关系如图所示． (1)①当时，y与x之间的函数关系式为_____； ②当时，y与x之间的函数关系式为_____； (2)现学校准备购进A，B两种图书共100本，已知B种图书每本25元．若购进A种图书不少于50本，且不超过60本，购进两种图书的总费用为w元，请求出w与x之间的函数表达式，当x为何值时能使总费用最少？总费用最少为多少元？ 【答案】(1)①；② (2)；当x为60时能使总费用最少，总费用最少为2450元 【分析】（1）根据函数关系图示，分别求y与x之间的函数关系式即可； （2）设购进A种图书x本，购进B种图书本，根据题意得出，然后表示出总费用，根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：①当时，设， 将代入，得，解得， ； ②当时，设， 将、分别代入，得， 解得， ∴． （2）解：设购进A种图书x本，则，购进B种图书本， 购进两种图书的总费用， ， ∴w随x的增大而减小， ∴当时，w有最小值为， 即当x为60时能使总费用最少，总费用最少为2450元． 25．（25-26七年级下·湖南长沙·期末）阅读与思考 “整体思想”是系统思维在数学中的体现，解题时不拘泥局部细节，将问题中关联紧密的式子、数量、几何要素视作统一整体，依托整体特征与局部关系探寻解题路径．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要思想方法，常用形式包含整体代入、整体换元、整体加减、整体构造四类．运用整体思想有时会使我们的解题更加简便快捷． 例如：已知方程组 ，求的值． 针对此问题，因为问题是求解整体的值，因此可以在原方程组中“分离”出即可，即 ， 接下来把和分别看做一个整体，采用“整体换元”、“代入消元法”或者“加减消元法”均可解决该问题了． (1)请你完成接下来的步骤，求出的值； (2)请你用上述思想方法求解问题： 已知 ，求的值： (3)已知关于x、y的方程组 ，(为实数，为正整数)的解为正整数，且该解也是方程的解，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 或 【分析】（1）设，，则，利用加减消元法，进行解答，即可； （2）设，，整理，利用加减消元法，进行解答，即可； （3）把 化简得，利用代入法，加减消元法，得到， 分类讨论的值，解出，，即可求出符合题意的的值． 【详解】（1）解：设，， ∴， 由得，， 把代入②式，可得，解得：， ∴． （2）解： 整理得： ， 设，， ∴， 由得，， 把代入②式，可得， 解得：， ∴． （3）解：把 化简得， 由得，； 由可得，； 把代入； ∴ 整理得：， ∴； ∵方程组有解， ∴， 解得：； 由题意可得，，，均为正整数； ∴可取，，，；即可取，，，； 当时，，，不符合题意； 当时，，，不符合题意； 当时，，，符合题意； ∴代入①式，解得； 当时，，，符合题意； ∴代入①式，解得； 综上所述，的值为或． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第五章 二元一次方程组·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B B A A D B B B B 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11． 12． 13． 14． 15． 16．①②④ 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17． 【详解】（1）解： ①＋②得 将代入①得 ∴原方程组的解为：；...........3分 （2）解： 由①得：③， 将③代入②得：， 解得：， 将代入①得：， ∴原方程组的解为：．...........6分 18． 【详解】（1）解：∵点是直线上一点， ∴当时，， ∴， ∵点在直线上， ∴， ∴．...........3分 （2）解：∵， ∴方程组为， 即求直线与直线的交点， ∴．...........6分 19． 【详解】（1）解：∵关于，的二元一次方程组与有相同的解， ∴联立方程组，得 ①②，得， 解得，              把代入①，得， 解得， ∴这两个方程组的相同解为； ...........3分 （2）解：把，代入方程组， 得， ④，得， 解得，       把代入④，得， 解得．...........6分 20． 【详解】（1）方程的正整数解可为（或）．...........2分 （2）联立 解得 代入第二个方程 得， 故的值为．...........4分 （3）将方程 整理为． 为使该式对任意 成立，需满足， 解得...........6分 21． 【详解】（1）解：由图可知，A品牌收费（元）是关于骑行时间的一次函数， 当骑行时，收费元， A品牌收费规则是每分钟元； 由图可知，当时，两种品牌的收费相同．...........2分 （2）解：由图可知，当时，是关于的一次函数关系， 当时，可设，代入， 可得，解得， ，...........5分 （3）解：由题意得，小明家到工厂的距离为，两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为， 小明家到工厂的时间为， 由（1）可知，A品牌收费规则是每分钟元； 小明家到工厂A品牌收费为元； 由（2）可知，， 将代入得，， 小明家到工厂B品牌收费为元； 小明选择B品牌共享电动车更省钱，可以节约元．...........8分 22． 【详解】（1）解∶ ∵，，， ∴根据斜率公式，直线的斜率为， ∵直线的斜率为，直线与该直线垂直， ∴根据题意得 ， ∴， 解得；...........4分 （2）解：∵，，， ∴， ∴， 即， ∴ 是直角三角形．...........8分 23． 【详解】（1）解：①， ∵，，， ∴①不是“和数”方程； ② ∵，，， ∴②是“和数”方程； ③ ∵ ∴③不是“和数”方程；...........3分 （2）解：由题意得，， 解得， 将代回原方程组得， 得， ∴， ， ．...........8分 24． 【详解】（1）解：①当时，设， 将代入，得，解得， ；...........3分 ②当时，设， 将、分别代入，得， 解得， ∴．...........7分 （2）解：设购进A种图书x本，则，购进B种图书本， 购进两种图书的总费用， ， ∴w随x的增大而减小， ∴当时，w有最小值为， 即当x为60时能使总费用最少，总费用最少为2450元．...........12分 25． 【详解】（1）解：设，， ∴， 由得，， 把代入②式，可得，解得：， ∴．...........4分 （2）解： 整理得： ， 设，， ∴， 由得，， 把代入②式，可得， 解得：， ∴．...........8分 （3）解：把 化简得， 由得，； 由可得，； 把代入； ∴ 整理得：， ∴； ∵方程组有解， ∴， 解得：； 由题意可得，，，均为正整数； ∴可取，，，；即可取，，，； 当时，，，不符合题意； 当时，，，不符合题意； 当时，，，符合题意； ∴代入①式，解得； 当时，，，符合题意； ∴代入①式，解得； 综上所述，的值为或．...........12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $