第五章 二元一次方程组单元检测2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 北师大版八年级上册二元一次方程组单元卷，知识覆盖全面，梯度设计合理，融合文化情境与实际应用，适配单元复习，体现数学建模、推理能力与创新意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二元一次方程定义、代入消元法、《九章算术》应用题|结合古代数学文化，基础概念辨析| |填空题|5/15|方程组求解、一次函数性质、同类二次根式|知识关联紧密，注重基础计算| |解答题（一）|3/21|方程解应用、含参数方程组、矩形面积问题|基础应用，培养数学建模意识| |解答题（二）|3/27|二元一次方程定义、正整数解、量化评价应用|能力提升，解决实际问题| |解答题（三）|2/27|共轭方程组新定义、一次函数与几何综合|创新应用，逻辑推理与数形结合|

· 第五章 二元一次方程组 单元检测 · 2026-2027学年北师大版数学八年级上册 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．下列方程中，属于二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．已知点与点，关于x轴对称，则的值是（    ） A． B． C．0 D．2 3．用代入消元法解二元一次方程组，下列变形正确的是（   ） A．由①得 B．由①得 C．由②得 D．由②得 4．古代数学著作《九章算术》有这样一道题，今有糙米、白米共五十斗，糙米二斗可换白米一斗．若将全部糙米换白米，共得白米三十斗．问糙米、白米原有各几斗？设糙米原有斗，白米原有斗，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 5．关于的方程组的解为且，则为（   ） A．1 B． C．0 D．2024 6．若关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．规定，如．如果同时满足，那么的值分别为（   ） A． B． C．4，5 D．5，4 8．如图，已知一次函数和的图象交于点P，则根据图象可得关于x，y的二元一次方程组的解是（   ） A． B． C． D． 9．将9个不同的整数填入方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则a和b的值分别是（    ） 12 7 A． B． C． D． 10．如图，在长方形中，放入六个形状大小相同的长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分面积是（    ） A． B． C． D． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．二元一次方程组的解为________． 12．若与 互为相反数， 则________． 13．已知y是关于x的一次函数，如表是部分x与y的对应值，则m的值为_________． x … 0 2 3 … y … 2 m … 14．若最简二次根式与是同类二次根式，则________． 15．已知方程组，则________． 三．解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16．已知是方程的解，求的值． 17．已知方程组的解互为相反数，求的值． 18．如图，周长为的长方形被分成7个相同的矩形，求长方形的面积． 四．解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．已知方程是关于x，y的二元一次方程． (1)求m，n的值； (2)当时，求y的值． 20．已知关于，的二元一次方程组 (1)请写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求的值． 21．某班级施行量化等级评价方案，量化评价等级记录在量化手册中． (1)如图，量化评价手册存放时，可以按竖放、平放两种方式放在同一个书架上，并且要求书脊朝外，方便我们查阅，每本量化手册的厚度和高度相同．设厚度为，高度为．由图，可得方程组请将上述方程组补充完整． (2)某次量化评价获得等级和等级的学生共30人，且等级的学生比等级的学生多4人，求等级和等级的学生人数． 五．解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23小题14分，共27分） 22．我们把关于x、y的两个二元一次方程x+ky＝b与kx+y＝b（k≠1）叫做互为共轭二元一次方程；二元一次方程组叫做共轭二元一次方程组． (1)若关于x、y的方程组为共轭方程组，则a=　 　，b=　 　． (2)解下列方程组（直接写出方程组的解即可）： 的解为　 　 ；的解为　 　 ． (3)发现：若共轭方程组的解是则m、n之间的数量关系是　 　 ． 23．如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线与交于点，与y轴交于点，与x轴交于点C．已知． (1)求直线的解析式； (2)若平面直角坐标系内有一点，使得，请直接写出点P的坐标； (3)线段OA上是否存在一个点M，使得?若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 第3页 共4页 ◎ 第4页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B A A C C C C A 11． 12． 13． 14． 15．8 16． 【分析】此题考查了二元一次方程的解和求代数式的值．根据二元一次方程的解满足方程得到，整体代入即可得到答案． 【详解】解：把代入方程， 得， ． 17． 【分析】本题考查二元一次方程组的解的性质，解题关键是利用“解互为相反数”这一条件，即，与已知方程联立，先求出、的值，再代入含参数的方程求解． 【详解】解：由题意，方程组的解、互为相反数，因此， 联立方程：， 两式相减消去，得：，解得， 将代入，得：， 把，代入方程，得： ． 18． 【分析】由题意可知本题存在两个等量关系，即小长方形长的4倍小长方形宽的7倍，小长方形的长的2倍小长方形宽的5倍，根据这两个等量关系可列出方程组，进而求出小长方形的长与宽，最后求得大长方形的长与宽，最后求得长方形的面积． 【详解】解：设一个小长方形的长为，宽为， 根据题意，得， 解得：， 长方形的面积． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是弄清题意，看懂图示，找出合适的等量关系，列出方程组． 19．(1) (2) 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，二元一次方程的解，解题的关键在于熟知形如（a、b、c为常数且）的方程叫做二元一次方程，二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值． （1）根据二元一次方程的定义进行求解即可； （2）根据（1）所求可得原方程为，把代入该方程求出y的值即可． 【详解】（1）解：∵方程是关于x，y的二元一次方程， ∴， ． （2）解：由（1）知，， ∴原方程可化为． 当时，， 解得． 20．(1)，； (2) 【分析】（1）先将方程变形为，再根据、为正整数的条件，确定的取值范围，进而得到对应的值． （2）可将与原方程组中的组成新的方程组，先求出、的值，再将、的值代入含的方程中，求解． 【详解】（1）将方程变形为 ， 因为、是正整数，所以，即， 因为是正整数， ∴或； 当时，； 当时，； 因此所有正整数解为： ，； （2）由题意，方程组的解满足， 联立得： ， 由得， 代入，解得，． 将，代入方程，得 ， 解得． 21．(1) (2)获得等级的学生有17人，等级的学生有13人 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握解方程组是解题的关键． （1）根据题意，第一种放置方式中的宽度为，第二种放置方式中的宽度为，根据宽度的唯一性建立等式即可． （2）设获得等级的学生有人，等级的学生有人．由题意，得，解方程组即可． 【详解】（1）解：根据题意，第一种放置方式中的宽度为，第二种放置方式中的宽度为，根据宽度的唯一性建立等式得， 故答案为：． （2）解：设获得等级的学生有人，等级的学生有人． 由题意，得 解得 答：获得等级的学生有17人，等级的学生有13人. 22．(1)-1，1 (2)， (3)m=n 【分析】（1）根据共轭方程组的定义，得出1-a=2，b+2=3，解方程即可； （2）利用加减消元法求解； （3）将代入，得出，解关于的二元一次方程组即可求解． 【详解】（1）解：由定义可得：1-a=2，b+2=3， ∴a=-1，b=1， 故答案为：-1，1； （2）解方程组 ①×2-②得：3y=3， ∴y=1， 将y=1代入①得，x+2=3， ∴x=1， ∴方程组的解为：； ③×2-④×3得：-5y=10， ∴y=-2， 将y=-2代入③得：3x-4=-10， ∴x=-2， ∴方程组的解为：； 故答案为：，； （3）将代入， 得， ∴m+kn=km+n， ∴m-km=n-kn， m（1-k）=n（1-k）， ∵k≠1， ∴m=n． 故答案为：m=n． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，解题的关键是理解共轭二元一次方程和共轭二元一次方程组的定义． 23．(1) (2)P点坐标为或 (3)存在， 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，平行线的性质，三角形全等的判定及性质是解题的关键． （1）求出，，再由待定系数法求函数的解析式即可； （2）过B点作直线的平行线为，P点在直线上；直线关于直线的对称直线为，P点在直线上； （3）在x轴上取点H，连接BH，使，过点H作交直线BG于点G，过点B作轴，过点G作轴，过点H作轴，则≌，设，求得，再由G点在直线上，求出n，则，推导出，求出直线与直线的交点即为 【详解】（1）解：， ，， ，， 设直线的解析式为， ， 解得， ； （2）过B点作直线的平行线为， ， 点在直线上， ， ， ； 直线关于直线的对称直线为， ， 点在直线上， ， ； 综上所述：P点坐标为或； （3）存在点M，理由如下： 在x轴上取点H，连接，使， 过点H作交直线于点G，过点B作轴，过点G作轴，过点H作轴， ， ， ， ， ， ≌， ，， 设， ，， ， ， 解得， ， ，， ， 与x轴的交点为， 直线的解析式为， 当时，， 答案第6页，共7页 答案第1页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $