精品解析：陕西西安交通大学附属中学分校2026-2027学年上学期八年级数学练习(一)

初二年级数学练习（一） 注意事项： 本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共2页，总分100分．考试时间50分钟． 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根据平面直角坐标系中各象限点的坐标符号特征判断即可． 【详解】解：∵点P的横坐标，纵坐标， ∴点在第四象限． 故选：D． 2. 在下面四个描述中，小佳能准确找到剧场具体位置的是（ ） A. 西长安街 B. 北纬，东经 C. 人民广场北偏西方向 D. 距离音乐厅处 【答案】B 【解析】 【分析】确定点的具体位置需要两个独立条件，以此验证各选项． 【详解】解：A. 西长安街仅为一条道路，无法确定唯一具体位置，不符题意． B. 北纬，东经为一组经纬度坐标，可确定唯一位置，符合题意． C. 仅给出人民广场北偏西方向，缺少距离，无法确定具体位置，不符题意． D. 仅给出距离音乐厅，缺少方向，无法确定具体位置，不符题意． 3. 下列实数中是无理数的是（ ） A. B. 1.101001001 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查无理数，解题关键在于掌握无理数的定义．无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：A、是整数，是有理数，本选项不符合题意； B、是有限小数，是有理数，本选项不符合题意； C、是分数，是有理数，本选项不符合题意； D、是无理数，本选项符合题意； 故选：D． 4. 下面计算正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平方根，算术平方根的定义解答即可． 【详解】A.，所以此选项错误； B.，所以此选项错误； C.，所以此选项正确； D.，所以此选项错误. 故选:C. 【点睛】考查平方根，算术平方根的定义，比较基础，难度不大. 5. 如图所示的网格是正方形网格，点是网格线交点，且点在的边上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定与性质，，再根据直角三角形的判定及性质可知，最后利用三角形外角的性质即可解答．本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键， 【详解】解：∵ ，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故选：． 6. 如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用勾股定理求出，进而结合数轴可得答案． 【详解】解：根据题意可得：， ， ∴点A表示的数为， 故选C． 【点睛】此题主要考查了实数与数轴，勾股定理，正确求出长是解题关键． 7. 下列变化过程中，一个变量是另一个变量的正比例函数关系的是（ ） A. 圆的周长随半径的变化而变化 B. 用长的绳子围成一个矩形，其中一边长随它邻边的变化而变化 C. 正方形的面积S随边长的变化而变化 D. 汽车油箱中有汽油，汽车每行驶1千米耗油，那么行驶过程中油箱的剩余油量与行驶路程之间的关系 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数关系的判断． 判断每个选项中的关系是否符合正比例函数定义（k为常数，）即可． 【详解】解：A：，其中为常数，C与r成正比例关系； B：由矩形周长固定为，得，即，不是形式； C：，不是形式； D：，不是形式． 故选：A． 8. 在平面直角坐标系中，第一象限内的点到y轴的距离是5，则a的值为（　　） A. B. 2或 C. 2 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据点的坐标定义、各象限内点的坐标特征即可解答． 【详解】解：∵第一象限内的点到y轴的距离是5， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 9. 若是最简二次根式，则的值可以是（ ） A. 6 B. C. 2 D. 0.5 【答案】C 【解析】 【分析】二次根式的被开方式中不含分母，且不含一个数或式的平方因式，就叫作最简二次根式． 【详解】解：A、当时，原式，原式不是最简二次根式，该选项不符合题意； B、当时，原式，原式不是最简二次根式，该选项不符合题意； C、当时，原式，原式是最简二次根式，该选项符合题意； D、当时，原式，原式不是最简二次根式，该选项不符合题意． 10. 如图，在中，，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若图中阴影部分（）面积为定值，则下列式子也是定值的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过分析正方形的边长与三角形边长的关系，利用平行线间距离相等将阴影部分的面积用表示，再结合勾股定理判断各选项是否为定值． 【详解】解：∵ 以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别为、、， ∴ ，，， ∵ 在中，， ∴ ， ∴ ， ∵ 点为以为边的正方形上与点相邻的顶点， ∴ ，且， 又∵ ， ∴ ， ∴ 点B到直线的距离等于， ∴ ， ∵ 的面积为定值， ∴ 为定值， ∵ ， ∴ 为定值． 二．填空题（共6小题，每题3分，共18分） 11. 比较实数大小：________．（填＞，＜或＝） 【答案】＞ 【解析】 【分析】首先分别求出的平方的值，比较出它们的平方的大小关系，然后根据正实数负实数，两个正实数，平方大的这个数也大，判断出的大小关系即可． 【详解】解：＝3，＝， ∵3＞， ∴＞． 故答案为：＞． 【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个正实数，平方大的这个数也大． 12. 点与点之间距离是________． 【答案】 【解析】 【分析】观察两点坐标可得，A、B的横坐标相等，线段平行于y轴，两点距离等于纵坐标差的绝对值． 【详解】解：∵点的横坐标为，点的横坐标也为， ∴，两点在平行于轴的直线上， ∴点与点之间距离是． 13. 若函数是一次函数，则m的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数的定义，需满足的次数为，且一次项系数不为，列条件求解即可． 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴， 解得或， ∵一次项系数不为，即，得， ∴的值为． 14. 自行车的链条是由若干节链条连接而成，将其展直后链条的总长度随着链条节数（节）的变化而变化，如图，某品牌自行车每节链条的长度为，链条交叉重叠部分的圆的直径为，则与（为正整数）之间的关系式是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据图形得到链条的长度与节数之间的关系，即可得到与之间的关系式． 【详解】解：由图形可知，一节链条的长度为， 两节链条的长度为， 三节链条的长度为， ， 节链条的长度为， 整理可得：． 15. 实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简____． 【答案】b 【解析】 【分析】本题考查了利用数轴比较大小，二次根式的性质，绝对值的意义，根据实数a、b在数轴上对应点的位置判断出a，的正负是解答本题的关键．先根据实数a、b在数轴上对应点的位置判断出a，的正负，然后根据二次根式的性质和绝对值的意义化简即可． 【详解】解：由数轴知，，， ， ∴． 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，点是平面内一点，且，点是轴上一动点，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】这是一道很典型的将军饮马问题，为定点，为动点，为定值．我们可以先求出的最小值之后减去定值即可． 以轴为对称轴，作点的对称点，连接，此时有最小值，减去，即可得到的最小值． 【详解】解：以轴为对称轴，作点的对称点，连接． 过点作垂直于交于 三、解答题（共4小题，共52分） 17. 计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2）4 （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． （1）利用二次根式的乘法、绝对值、零次幂的性质化简，再计算加减即可求解； （2）先化简，再根据二次根式的除法法则计算即可； （3）利用乘法公式计算即可； （4）先化简，再根据二次根式的运算法则计算即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 18. 某水果批发市场某商家批发的苹果采取分段计价的方式，其价格如表： 购买数量（） 不超过的部分 超过的部分 单价（元/） 5 4 设顾客购买苹果的费用为元． （1）分别写出当，时，与之间的关系式； （2）小刚一次性购买苹果所付的费用比分两次购买（每次购买苹果）所付的费用少多少元？ 【答案】（1）当时，；当时，； （2）10元 【解析】 【分析】（1）根据题中分段计价的方式求出函数表达式即可得到答案； （2）由（1）中所求函数表达式，按照题意求出费用即可得到答案． 【小问1详解】 解：根据题意， 当时，； 当时，； 【小问2详解】 解：小刚一次性购买所付的费用为元； 小刚分两次购买（每次购买）所付的费用为元； 小刚一次性购买所付的费用比分两次购买（每次购买）所付的费用少元． 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，轴，． （1）求点的坐标； （2）在轴上是否存在点，使的面积为12？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）的坐标为或 （2）存在，点的坐标为或 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形性质，主要利用了三角形的面积，难点在于要分情况讨论． （1）根据，可得点的纵坐标为4，再由可得点的横坐标为或5，进而可得点的坐标； （2）利用三角形的面积公式列式求出点P到x轴的距离，然后分两种情况写出点P的坐标即可． 【小问1详解】 解：∵，轴，， 点的纵坐标为4，点的横坐标为或5 的坐标为或； 【小问2详解】 解：存在，理由如下： 由题意知点可能在直线上方的轴上或直线下方的轴上， 设点到直线的距离为， 则的面积， 即， 解得， 当点在直线上方的轴上时，则点的坐标为， 当点在直线下方的轴上时，则点的坐标为． 20. 【模型建立】 美国总统伽菲尔德利用图1验证了勾股定理，过等腰的直角顶点作直线，过点作于点，过点作于点，研究图形，不难发现：．我们将这个模型称为“形图”．接下来我们利用这个模型来解决以下问题： 【模型运用】 （1）如图1，在上述模型中，若，，则的面积为 ； （2）如图2，在平面直角坐标系中，点，．过点在上方作，且，连接．求点的坐标； 【模型拓展】 （3）如图3，在平面直角坐标系中，．点的坐标为，点在线段上，点为轴上一动点，当为等腰直角三角形时，试求出点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 或或 【解析】 【分析】（1）由“形图”模型可知，由全等三角形对应边相等得出，，代入三角形面积公式即可求解； （2）过点作轴于点，得，再由得，由全等三角形对应边相等得，，进而求得点坐标； （3）由，得，，再根据过点和点的直线表达式，设，，分三种情况进行讨论：每个情形补水平和竖直辅助虚线构成“K形图”三垂直全等，再根据全等三角形对应边相等建立方程，解出点的坐标，并对结果进行验证． 【小问1详解】 解： 由“形图”模型可知， ∴，， ∵，， ∴，， ∴的面积为， 即的面积为； 【小问2详解】 解：过点作轴于点， ∵点，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中，有， ∴， ∴，， ∴点的纵坐标为，横坐标为， 故点的坐标为； 【小问3详解】 解：∵，即，， 设过点和点的直线表达式为， 代入坐标得，解得， ∴过点和点的直线表达式为， 设，，分三种情况讨论： 情况一：，， 过点分别作轴的平行线和垂线，构造形图， 由得：，， 代入坐标：， 解得， ∴点坐标为，点坐标为； 情况二：，， 过点分别作轴的平行线和垂线，过点分别作轴的平行线，构造形图， 由得：，， 代入坐标：， 解得， ∴点坐标为，点坐标为； 情况三：，， 过点分别作轴的平行线和垂线，过点分别作轴的垂线，交点分别为点和点， 在和中，有， ∴， ∴，， 代入坐标：， 解得， ∴点坐标为，点坐标为； 检验：三种情况中都在线段上，均符合题意， ∴ 满足条件的点坐标为 ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二年级数学练习（一） 注意事项： 本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共2页，总分100分．考试时间50分钟． 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 在下面四个描述中，小佳能准确找到剧场具体位置的是（ ） A. 西长安街 B. 北纬，东经 C. 人民广场北偏西方向 D. 距离音乐厅处 3. 下列实数中是无理数的是（ ） A. B. 1.101001001 C. D. 4. 下面计算正确的是( ) A. B. C. D. 5. 如图所示的网格是正方形网格，点是网格线交点，且点在的边上，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（ ） A. B. C. D. 7. 下列变化过程中，一个变量是另一个变量的正比例函数关系的是（ ） A. 圆的周长随半径的变化而变化 B. 用长的绳子围成一个矩形，其中一边长随它邻边的变化而变化 C. 正方形的面积S随边长的变化而变化 D. 汽车油箱中有汽油，汽车每行驶1千米耗油，那么行驶过程中油箱的剩余油量与行驶路程之间的关系 8. 在平面直角坐标系中，第一象限内的点到y轴的距离是5，则a的值为（　　） A. B. 2或 C. 2 D. 8 9. 若是最简二次根式，则的值可以是（ ） A. 6 B. C. 2 D. 0.5 10. 如图，在中，，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若图中阴影部分（）面积为定值，则下列式子也是定值的是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共6小题，每题3分，共18分） 11. 比较实数大小：________．（填＞，＜或＝） 12. 点与点之间距离是________． 13. 若函数是一次函数，则m的值为________． 14. 自行车的链条是由若干节链条连接而成，将其展直后链条的总长度随着链条节数（节）的变化而变化，如图，某品牌自行车每节链条的长度为，链条交叉重叠部分的圆的直径为，则与（为正整数）之间的关系式是___________． 15. 实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简____． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，点是平面内一点，且，点是轴上一动点，则的最小值为________． 三、解答题（共4小题，共52分） 17. 计算： （1） （2） （3） （4） 18. 某水果批发市场某商家批发的苹果采取分段计价的方式，其价格如表： 购买数量（） 不超过的部分 超过的部分 单价（元/） 5 4 设顾客购买苹果的费用为元． （1）分别写出当，时，与之间的关系式； （2）小刚一次性购买苹果所付的费用比分两次购买（每次购买苹果）所付的费用少多少元？ 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，轴，． （1）求点的坐标； （2）在轴上是否存在点，使的面积为12？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 20. 【模型建立】 美国总统伽菲尔德利用图1验证了勾股定理，过等腰的直角顶点作直线，过点作于点，过点作于点，研究图形，不难发现：．我们将这个模型称为“形图”．接下来我们利用这个模型来解决以下问题： 【模型运用】 （1）如图1，在上述模型中，若，，则的面积为 ； （2）如图2，在平面直角坐标系中，点，．过点在上方作，且，连接．求点的坐标； 【模型拓展】 （3）如图3，在平面直角坐标系中，．点的坐标为，点在线段上，点为轴上一动点，当为等腰直角三角形时，试求出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $