第一次月质量检测模拟卷（第一至二章•提高卷）-2026-2027学年北师大版数学八年级上册

八年级上册 第一次月考 第一次月考·提高卷 保密★启用前 第一次月考模拟卷（第一至二章•提高卷） 北师大版数学八年级上册 （试卷总分：120分　建议用时：100分钟　测试范围：第一章 勾股定理、第二章 实数） 学校：__________　姓名：__________　班级：__________　考号：__________ 注意事项： 1．答题前，请把学校、姓名、班级、考号填写在规定位置。 2．考试范围：北师大版（2024）八年级上册第一章 勾股定理、第二章 实数。 3．计算题要写出必要的演算步骤，结果中的二次根式要化成最简二次根式。 4．请按题号顺序在指定区域作答，超出区域的答案无效；写完后认真检查一遍。 命题说明本卷考查：第一章、第二章（10 选／5 填／8 解，满分 120 分） 考点清单 本卷考查北师大版八年级上册第一章 勾股定理与第二章 实数。第一章约占65分，第二章约占55分，两章的题目交替编排；第10题、第22题、第23题把勾股定理与二次根式结合在一起。下表列出每个考点对应的题号与分值，订正时错题集中在哪一行，就回到对应的小节复习。 章 考点 题号 分值 第一章 勾股定理（探索与验证） 2，4，10，23 22 第一章 勾股定理的逆定理 6，18 12 第一章 勾股定理的应用（最短路径、方程思想） 8，11，13，15，20，21 31 第二章 认识实数（无理数、数轴、估算） 3，22 13 第二章 平方根与立方根 1，9，16，17 21 第二章 二次根式（化简与运算） 5，7，12，14，19 21 两章知识要点速览 下面九条是第一章、第二章的核心结论。建议考前遮住右栏，看着左栏的名称默写结论，写完再揭开核对，漏写或写错的结论就是复习重点。 序号 知识要点 掌握要求 1 勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方：a²＋b²＝c²；已知两边求第三边前先认准斜边 2 勾股定理的逆定理 三角形三边a，b，c满足a²＋b²＝c²，这个三角形是直角三角形，c所对的角是直角；满足该式的正整数叫勾股数 3 勾股定理的应用 圆柱、长方体表面最短路径先展开再算；折叠、测量问题找对应相等的线段，设未知数列方程 4 无理数与实数 无限不循环小数叫无理数；有理数和无理数统称实数；实数与数轴上的点一一对应 5 平方根与立方根 正数有两个平方根，互为相反数，正的叫算术平方根；0的平方根是0；负数没有平方根；每个数都有唯一的立方根 6 估算 用相邻的两个完全平方数（立方数）夹逼无理数，确定整数部分；小数部分＝这个数－整数部分 7 二次根式的乘除 ×＝（a≥0，b≥0）；÷＝（a≥0，b＞0） 8 最简二次根式 被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数；化简结果的分母中不含根号 9 二次根式的加减 先化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式合并；有理数的运算律对实数仍然适用 评卷人 得分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（本题3分）小明先分别求出∛(-0.064)和，再把两个结果相加，他得到的和应当是(____)。 A．0.7 B．－0.1 C．－0.7 D．0.26 2．（本题3分）如图，为了让长方形木框ABCD更牢固，木工在A，C两点之间钉了一根斜撑木条。量得AB＝60 cm，BC＝63 cm，这根木条AC的长（单位：cm）为(____)。 A．123 B．7569 C． D．87 3．（本题3分）整数m使|m－的值尽可能小，那么m＝(____)。 A．7 B．8 C．9 D．49 4．（本题3分）如图，一面等腰三角形小旗ABC（AB＝AC）的两条长边都是6.1 dm，短边BC是2.2 dm。从顶点A到BC的中点D缝一条彩线，彩线AD的长（单位：dm）为(____)。 A．36 B．5 C．6 D．7.2 5．（本题3分）已知a＝，b＝，那么a与b的积ab等于(____)。 A． B．12 C．144 D．6 6．（本题3分）在下列四组线段中，只有一组的三条线段首尾相接能围成直角三角形，这一组是(____)。 A．，， B．2，3，4 C．4，5，6 D．，2， 7．（本题3分）两个实数a，b的和为，积为1，那么a²+b²的值为(____)。 A．12 B．14 C．11 D．10 8．（本题3分）一个圆柱形收纳桶的高为28 cm，底面周长为90 cm。在桶的下底面边缘有一点A，上底面边缘有一点B，A，B恰好位于圆柱相对的两侧（B在A的正对面）。沿桶的侧面从A到B贴一条装饰胶带，胶带的长至少为(____)cm。 A．73 B． C．53 D．2809 9．（本题3分）小聪算出：1×2×3×4＋1＝25＝5²，2×3×4×5＋1＝121＝11²，3×4×5×6＋1＝361＝19²。用他发现的结论，可以直接写出＝(____)。 A．461 B．460 C．462 D．505 10．（本题3分）如图，△ABC画在方格纸上，A，B，C三点恰好落在网格线的交点处。已知网格中小正方形的边长为1，那么BC边上的高等于(____)。 A． B． C． D． 评卷人 得分 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．（本题3分）如图，体育馆看台旁有一段楼梯，它的侧面是直角三角形ABC，楼梯高AC＝4.5 m，斜面AB长11.7 m。现要在台阶上铺满地毯（沿每级台阶的水平面和竖直面铺），则地毯的长度至少为________m。 12．（本题3分）两根木棒的长分别为 dm和 dm，较长的一根比较短的一根长________dm。 13．（本题3分）如图，公园里有一块直角三角形草坪OPQ，∠OPQ＝90°，OP＝6.6 m，PQ＝11.2 m。有些游人不沿小路先从O走到P、再从P走到Q，而是从O直接斜穿草坪走到Q，这样做只少走了________m，却踩坏了草坪。 14．（本题3分）n是正整数，恰好也是整数，满足条件的n中最小的一个是________。 15．（本题3分）如图，一个长方体收纳箱的长为55 cm，宽为30 cm，高为18 cm，点A是箱底的一个顶点，点B是箱顶上离点A最远的那个顶点。用一根细绳沿箱子的外表面从点A拉到点B，细绳的长度至少为________cm。 评卷人 得分 三、解答题（本大题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本题6分）计算下面两题，结果能化简的要化简： (1)∛(-27)+×|－10|； (2)＋1)－1)－÷。 17．（本题9分）工厂有一个体积为343 c m³的正方体铁块。 (1)求这个铁块的棱长，以及它一个面上的对角线长； (2)把铁块熔化后铸成一个高为14 cm、底面为正方形的长方体（损耗忽略不计），求底面正方形的边长（结果化成最简二次根式）； (3)求(2)中底面正方形的对角线长。 18．（本题9分）如图，某小区有一块四边形空地ABCD，∠B＝90°，量得AB＝80 m，BC＝84 m，CD＝87 m，DA＝145 m。 (1)求A，C两点之间的距离； (2)求证：AC⊥CD； (3)要从点C修一条垂直于AD的小路CH（点H在AD上），求小路CH的长。 19．（本题9分）社区要修一个长方形花坛，设计图上标出长边为 m，短边为 m。 (1)花坛四周要围一圈护栏，求护栏的总长（用最简二次根式表示）； (2)求这个花坛的面积； (3)另修一个正方形花坛，使它的面积与这个长方形花坛的面积相等，求正方形花坛的边长比长方形花坛的短边长多少米。 20．（本题9分）如图，学校劳动实践基地有一块长方形菜地ABCD，宽AB＝17 m。同学们发现：从A沿对角线走到C，比先从B出发沿长边BC走到C的路程多1 m（即AC比BC长1 m）。 (1)求菜地的长BC； (2)求这块菜地的面积和对角线AC的长。 21．（本题10分）如图，把一张长方形彩纸ABCD（AB＝18 cm，AD＝19.5 cm）的一角折过去：折痕的一端是顶点A，另一端E在边CD上，折过去以后，顶点D正好碰到对边BC，落点记为F。 (1)求点F到点C的距离FC； (2)求△ECF的周长； (3)求折痕AE的长（用最简二次根式表示）。 22．（本题10分）如图，在数轴上方画一个直角三角形ABC，直角边AB落在数轴上，点A，B分别表示－3和1，另一条直角边BC＝2（O为原点）。用圆规量出斜边AC的长，针尖放在点A，向右画弧，与数轴正半轴相交，交点记作D，D表示的数记作d。 (1)斜边AC有多长（用最简二次根式表示）？写出d的值； (2)求d的整数部分和小数部分； (3)点E表示的数是d的相反数，求线段DE的长，并写出点E与点D之间（不含E，D）表示整数的点有几个。 23．（本题13分）(1)手工课上，小敏手里有长 dm和 dm的两根细木条，她想再锯一根木条，与这两根首尾相接钉成直角三角形框架，求锯出的木条的长； (2)她又找来许多长 dm和 dm的木条，想钉一个等腰三角形框架，三条边只从这两种长度中选取，并且两种长度都要用到，求这个等腰三角形框架围成的面积。 附：命题双向细目表 下表逐题写出考查内容、难度与核心素养。选择题第1～6题、填空题第11～13题、解答题第16～17题为基础题，第1题可以口算；从第7题起难度逐步上升；末三题分别考查折叠中的方程思想、在数轴上构造无理数、不指明斜边或腰时的分类讨论。 题号 题型 分值 考查内容 难度 核心素养 1 选择题 3 立方根与算术平方根的计算 基础 运算能力 2 选择题 3 已知两直角边求斜边（长方形对角线） 基础 几何直观 3 选择题 3 估算无理数的大小 基础 数感 4 选择题 3 等腰三角形底边上的高 基础 几何直观 5 选择题 3 二次根式的乘法 基础 运算能力 6 选择题 3 勾股定理的逆定理（三边含二次根式） 基础 推理能力 7 选择题 3 二次根式的整体代入求值 中档 运算能力 8 选择题 3 圆柱侧面上的最短路径 中档 模型观念 9 选择题 3 算术平方根中的规律探究 难 运算能力 10 选择题 3 方格中求三角形的高（割补法与二次根式） 难 几何直观 11 填空题 3 勾股定理的实际应用（楼梯铺地毯） 基础 模型观念 12 填空题 3 二次根式的大小比较（木棒长度差） 基础 运算能力 13 填空题 3 勾股定理的实际应用（少走的路程） 基础 模型观念 14 填空题 3 最简二次根式与被开方数的因数 中档 运算能力 15 填空题 3 长方体表面的最短路径 难 模型观念 16 解答题 6 实数的混合运算 基础 运算能力 17 解答题 9 立方根与平方根的实际应用（熔铸铁块） 基础 运算能力 18 解答题 9 勾股定理与逆定理的综合应用（四边形地块） 中档 推理能力 19 解答题 9 二次根式的运算与化简（长方形花坛） 中档 运算能力 20 解答题 9 方程思想求长方形的边（菜地） 中档 模型观念 21 解答题 10 长方形折叠中的勾股定理 中档 模型观念 22 解答题 10 数轴上表示无理数与实数的性质 难 数感 23 解答题 13 分类讨论（直角边与斜边、腰与底） 难 几何直观 　参考答案与解析 　客观题答案速查 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D A C B A D C 题号 9 10 11 12 13 14 15 答案 A D 15.3 － 4.8 5 73 　一、选择题 1．【答案】B 【解析】【分析】负数的立方根是负数，一个正数的算术平方根是正数，分别求出后再相加。 【详解】∵(－0.4)³＝－0.064，∴∛(-0.064)＝－0.4；∵0.3²＝0.09，∴＝0.3。 原式＝－0.4＋0.3＝－0.1。 所以选B。 A项把∛(-0.064)算成0.4，漏掉了负号，按此错法真算得0.7；C项把算成－0.3，把算术平方根取成了负值，按此错法真算得－0.7；D项把0.064的立方根算成0.04，小数点的位置错了，按此错法真算得0.26。 【方法点拨】负数有立方根而且是负数；算术平方根只取非负值，符号先定、数值再算。 2．【答案】D 【解析】【分析】长方形的四个角都是直角，斜撑AC是Rt△ABC的斜边，用勾股定理求斜边。 【详解】在长方形ABCD中，∠B＝90°，由勾股定理得AC²＝AB²+BC²＝60²+63²＝3600＋3969＝7569， ∴AC＝87（cm）。 所以选D。 A项把两条直角边直接相加，按此错法真算得123；B项求出AB²+BC²后忘了开平方，按此错法真算得7569；C项把斜边的平方算成BC²-AB²，按此错法真算得。 【方法点拨】长方形的对角线把它分成两个直角三角形，对角线就是斜边。 3．【答案】A 【解析】【分析】找出与53相邻的两个完全平方数，再比较53离哪一个更近。 【详解】∵49＜53＜64，∴7＜＜8。 又53－49＝4，64－53＝11，53离49更近，且7.5²＝56.25＞53，∴＜7.5，与最接近的整数是7。 所以选A。 B项只看到53＜64就取了，没有比较53离49近还是离64近，按此错法真算得8；C项把拆成+来算，按此错法真算得9；D项只找到比53小的完全平方数49，忘了开平方，按此错法真算得49。 【方法点拨】估算先找相邻的两个完全平方数，再用两个整数中间的数（如7.5）的平方判断更接近哪一边。 4．【答案】C 【解析】【分析】等腰三角形底边上的高平分底边，在Rt△ABD中用勾股定理求直角边AD。 【详解】∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，BD＝＝1.1 dm（等腰三角形三线合一）。 在Rt△ABD中，AD²＝AB²-BD²＝6.1²－1.1²＝37.21－1.21＝36，∴AD＝6 dm。 所以选C。 A项求出AB²-BD²后忘了开平方，按此错法真算得36；B项把AD当成腰长减去底边的一半，按此错法真算得5；D项把AD当成腰长加上底边的一半，按此错法真算得7.2。 【方法点拨】等腰三角形底边上的高、中线重合，把问题转化到一半的直角三角形里。 5．【答案】B 【解析】【分析】二次根式相乘，把被开方数相乘：×＝（a≥0，b≥0），再化简。 【详解】×＝＝＝12。 （也可以先化简：×＝6×＝6×2＝12。） 所以选B。 A项把×算成了，按此错法真算得；C项被开方数相乘后忘了开平方，按此错法真算得144；D项化成×后只把系数3与2相乘，按此错法真算得6。 【方法点拨】×＝（a≥0，b≥0），先乘后化简或先化简后乘，结果相同。 6．【答案】A 【解析】【分析】用勾股定理的逆定理：先找最长边，再看另两边的平方和是否等于最长边的平方；含根号的边长先平方。 【详解】A组中最长边是，＋＝2＋3＝5＝，所以能围成直角三角形。 所以选A。 B项：2²＋3²＝13，4²＝16，不相等；C项：4²＋5²＝41，6²＝36，不相等；D项：最长边是，＋2²＝3＋4＝7，＝5，不相等。这三组都不能围成直角三角形。 【方法点拨】三边中含二次根式时，先把各边平方化成整数，再比较“较短两边的平方和”与“最长边的平方”。 7．【答案】D 【解析】【分析】a²+b²＝(a＋b)²－2ab，把a＋b与ab整体代入。 【详解】∵(a＋b)²＝a²＋2ab＋b²，∴a²+b²＝(a＋b)²－2ab。 ∵a＋b＝，ab＝1，∴a²+b²＝－2×1＝12－2＝10。 所以选D。 A项把a²+b²当成(a＋b)²，没有减去2ab，按此错法真算得12；B项由(a＋b)²＝a²＋2ab＋b²移项时把－2ab写成了＋2ab，按此错法真算得14；C项只减去了ab，漏了系数2，按此错法真算得11。 【方法点拨】已知两数的和与积，求平方和时用a²+b²＝(a＋b)²－2ab整体代入，不必求出a，b。 【易错提醒】＝4×3＝12；a²＋b²与(a＋b)²相差2ab，不是ab。 8．【答案】C 【解析】【分析】把圆柱侧面沿过点A且垂直于底面的线剪开，展成长方形，A，B间的最短路线就是展开图中的线段AB。 【详解】侧面展开后，A，B所在的直角三角形中，一条直角边是圆柱的高28 cm，另一条直角边是底面周长的一半90÷2＝45（cm）。 由勾股定理，AB²＝28²+45²＝784＋2025＝2809，∴AB＝53 cm。 所以选C。 A项先竖直向上、再沿底面半圈走，把两段直接相加，按此错法真算得73；B项展开后把整个底面周长当成了一条直角边，按此错法真算得；D项求出两直角边平方和后忘了开平方，按此错法真算得2809。 【方法点拨】曲面上的最短路线要展开成平面，用“两点之间线段最短”，再用勾股定理计算。 【易错提醒】B在A的正对面，展开后水平方向只走了半个周长，不是整个周长。 9．【答案】A 【解析】【分析】从已知的三个式子里找出结果与四个连续整数的关系，再用于第四个式子。 【详解】5＝2×3－1，11＝3×4－1，19＝4×5－1，结果都等于“中间两个数的积减1”，也等于“首尾两数的积加1”：1×4＋1＝5，2×5＋1＝11，3×6＋1＝19。 ∴＝21×22－1＝461（或20×23＋1＝461）。 检验：461²＝212521，20×21×22×23＋1＝212520＋1＝212521，正确。 所以选A。 B项把结果看成“首尾两数的积”，漏了加1，按此错法真算得460；C项把结果看成“中间两数的积”，漏了减1，按此错法真算得462；D项取了较大的两个数相乘再减1，按此错法真算得505。 【方法点拨】找规律先把几个特例的结果用题中的数表示出来，猜出一般式后必须再用一个式子检验。 【易错提醒】规律要用已知的每个式子都检验一遍，“中间两数积减1”与“首尾两数积加1”是同一个数。 10．【答案】D 【解析】【分析】先用割补法求△ABC的面积，再用勾股定理求BC，最后由“面积＝×底×高”求高，并化成分母不含根号的形式。 【详解】△ABC所在的外框长方形为4×3，面积12，减去三个直角三角形的面积：×1×3＝1.5，×4×1＝2，×3×2＝3， ∴S△ABC＝12－1.5－2－3＝5.5。 BC²＝4²+1²＝17，BC＝。 设BC边上的高为h，则××h＝5.5，h＝11÷＝。 所以选D。 A项由面积求高时忘了把面积乘2，按此错法真算得；B项把底边错当成AB（AB＝），按此错法真算得；C项割补时漏减了以AC为斜边的直角三角形，面积算成8.5，按此错法真算得。 【方法点拨】格点三角形的面积用“外框减三角”，格点线段长用勾股定理，高由等积式求出。 【易错提醒】由面积求高要用“高＝2×面积÷底”；结果的分母中不能留根号。 　二、填空题 11．【答案】15.3 【解析】【分析】每级台阶的竖直部分合起来等于楼梯高AC，水平部分合起来等于BC，先用勾股定理求BC。 【详解】在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC²＝AB²-AC²＝11.7²－4.5²＝136.89－20.25＝116.64，∴BC＝10.8 m。 地毯的长度＝AC＋BC＝4.5＋10.8＝15.3（m）。 所以答案为15.3。 【方法点拨】台阶的水平面、竖直面分别平移后，合起来恰是直角三角形的两条直角边。 12．【答案】－ 【解析】【分析】先比较与的大小，找出较长的一根，再用较长的减去较短的。 【详解】＝＝，＝＝。 ∵18＜20，∴＜，长 dm的木棒较长， 它比较短的一根长－。 所以答案为－。 【方法点拨】比较型的数，把根号外的正因数平方后移入根号内，再比较被开方数。 13．【答案】4.8 【解析】【分析】斜穿草坪走的是斜边OQ，先用勾股定理求OQ，再与两条直角边的和比较。 【详解】在Rt△OPQ中，OQ²＝OP²+PQ²＝6.6²＋11.2²＝43.56＋125.44＝169，∴OQ＝13 m。 沿小路走的路程为6.6＋11.2＝17.8（m），少走的路程为17.8－13＝4.8（m）。 所以答案为4.8。 【方法点拨】“少走多少”＝两条直角边的和－斜边，先求斜边再作差。 14．【答案】5 【解析】【分析】把180分解质因数，写成“完全平方数×不含平方因数的数”，n要补全不含平方因数的部分。 【详解】180＝36×5＝6²×5，∴＝＝。 要使是整数，5n必须是完全平方数，正整数n最小取5，此时＝＝30。 所以答案为5。 【方法点拨】把被开方数分解成“平方数×不含平方因数的数”，要开得尽方就要补足后一部分。 【易错提醒】n＝20，45，180也能使它是整数，但题目要的是最小值。 15．【答案】73 【解析】【分析】把相邻两个面展开到同一平面内，A，B间的路线就是展开图中的线段；展开的方式有三种，都要算出来再比较。 【详解】①把长55 cm的棱留作一条直角边，另一条直角边为30＋18＝48（cm），AB²＝55²+48²＝3025＋2304＝5329； ②另一条直角边为55＋30＝85（cm），与高18 cm组成直角三角形，AB²＝85²+18²＝7225＋324＝7549； ③另一条直角边为55＋18＝73（cm），与宽30 cm组成直角三角形，AB²＝73²+30²＝5329＋900＝6229。 ∵5329＜6229＜7549，∴细绳最短时AB²＝5329，AB＝73 cm。 所以答案为73。 【方法点拨】长方体表面的最短路径有三种展开方式，逐一算出后比较，不能只画一种。 【易错提醒】三种展开都要算；把最长的棱单独作一条直角边、另两条棱的和作另一条直角边时路线最短。 　三、解答题 16．【答案】（1）4；（2）17 【解析】【分析】(1)先求立方根、算术平方根和绝对值，再按先乘后加计算；(2)第一部分用平方差公式，第二部分用二次根式的除法法则。 【详解】(1)原式＝－3＋0.7×10＝－3＋7＝4。　……3分 (2)原式＝－1²- ＝20－1－＝19－2＝17。　……3分 【方法点拨】实数运算的顺序与有理数相同：先乘方、开方，再乘除，最后加减。 【评分说明】(1)立方根、算术平方根、绝对值各算对1分，结果正确；(2)平方差展开2分，除法与结果1分。 17．【答案】（1）棱长7 cm，面对角线长 cm；（2） cm；（3）7 cm 【解析】【分析】(1)体积开立方得棱长，面对角线用勾股定理；(2)体积不变，底面积＝343÷14，再开平方并化成最简二次根式；(3)底面正方形的对角线同样用勾股定理。 【详解】(1)∵7³＝343，∴棱长为∛343＝7（cm）。 一个面是边长7 cm的正方形，对角线长为＝＝（cm）。　……3分 (2)长方体的底面积为343÷14＝24.5＝（cm²）， 底面边长为＝7÷＝（cm）。　……3分 (3)设对角线长为d cm，由勾股定理，d²＝＋＝+＝49， ∴d＝7。　……3分 【方法点拨】熔铸前后体积不变，由体积求棱长用开立方，由面积求边长用开平方。 【评分说明】(1)棱长1分，面对角线2分；(2)求出底面积1分，开平方并化成最简二次根式2分；(3)列式2分，结果1分。 18．【答案】（1）116 m；（2）证明见解析；（3）69.6 m 【解析】【分析】连接AC把四边形分成两个三角形：在Rt△ABC中用勾股定理求AC，在△ACD中用勾股定理的逆定理证直角，再用“两种方法表示△ACD的面积”求斜边AD上的高CH。 【详解】(1)连接AC，在Rt△ABC中，∠B＝90°， AC²＝AB²+BC²＝80²+84²＝6400＋7056＝13456，∴AC＝116 m。　……3分 (2)证明：在△ACD中，AC²+CD²＝116²+87²＝13456＋7569＝21025，DA²＝145²＝21025， ∴AC²+CD²＝DA²，由勾股定理的逆定理得∠ACD＝90°，即AC⊥CD。　……3分 (3)由(2)知△ACD是直角三角形，S△ACD＝×AC×CD＝×AD×CH，即116×87＝145×CH，∴CH＝10092÷145＝69.6（m）。　……3分 【方法点拨】不规则四边形的面积常连对角线分成两个三角形，先判断是否为直角三角形再计算。 【评分说明】(1)列式2分，结果1分；(2)算出两边平方和与第三边平方2分，引用逆定理得垂直1分；(3)列出等积式2分，结果1分。 【易错提醒】证垂直要用逆定理（由三边关系得直角），求AC才用勾股定理，两者方向相反。 19．【答案】（1） m；（2）48 m²；（3）－ 【解析】【分析】先把，化成最简二次根式，周长用二次根式的加法（合并同类二次根式），面积用乘法；正方形的边长是面积的算术平方根。 【详解】(1)＝＝，＝＝， 周长＝2×＋＝2×＝（m）。　……3分 (2)面积＝×＝×＝24×2＝48（m²）。　……3分 (3)正方形花坛的边长为＝＝（m）， 正方形花坛的边长比长方形花坛的短边长－＝－（m）， 答：正方形花坛的边长比长方形花坛的短边长－。　……3分 【方法点拨】二次根式的加减先化成最简二次根式，再合并被开方数相同的项。 【评分说明】(1)化简两个根式各1分，周长1分；(2)列式1分，结果2分；(3)求边长2分，求差1分。 【易错提醒】与的被开方数不同，不能合并成；只有被开方数相同的二次根式才能合并。 20．【答案】（1）144 m；（2）面积2448 m²，AC＝145 m 【解析】【分析】长方形的长、宽与对角线构成直角三角形；只知道对角线比长多1 m，设长为x m，用勾股定理列方程。 【详解】(1)设BC＝x m，则AC＝(x＋1)m。 在Rt△ABC中，∠B＝90°，由勾股定理得AB²+BC²＝AC²， 即17²+x²＝(x＋1)²，　……2分 289＋x²＝x²＋2x＋1， 2x＝288，x＝144。 答：菜地的长BC为144 m。　……3分 (2)面积为17×144＝2448（m²）； AC＝144＋1＝145（m），检验：17²+144²＝289＋20736＝21025＝145²，符合题意。　……4分 【方法点拨】只知道两条边的数量关系时，设未知数表示三边，用勾股定理列方程，二次项常能消去。 【评分说明】(1)设元并用勾股定理列方程2分，解出x并作答3分；(2)面积2分，对角线及检验2分。 【易错提醒】(x＋1)²展开是x²＋2x＋1，中间项别漏；x²在方程两边抵消后是一元一次方程。 21．【答案】（1）12 cm；（2）30 cm；（3） cm 【解析】【分析】折叠前后对应线段相等：AF＝AD，EF＝DE。先在Rt△ABF中求BF，再在Rt△ECF中设未知数列方程，最后在Rt△ADE中求AE并化简。 【详解】(1)由折叠可知AF＝AD＝19.5 cm。 在Rt△ABF中，∠B＝90°，BF²＝AF²-AB²＝19.5²-18²＝380.25－324＝56.25，∴BF＝7.5 cm，FC＝BC－BF＝19.5－7.5＝12（cm）。　……3分 (2)设DE＝x cm，则EF＝x cm，CE＝(18－x)cm。 在Rt△ECF中，EF²＝CE²+FC²，即x²＝(18－x)²+12²， 0＝324－36x＋144，36x＝468，x＝13， ∴EF＝13 cm，CE＝18－13＝5（cm），△ECF的周长＝EF＋CE＋FC＝13＋5＋12＝30（cm）。　……4分 (3)在Rt△ADE中，∠D＝90°，AE²＝AD²+DE²＝19.5²+13²＝380.25＋169＝549.25， ∵549.25×4＝2197＝13²×13，∴AE＝＝（cm）。　……3分 【方法点拨】折叠问题抓“对应线段相等”，把已知量集中到一个直角三角形中设元列方程。 【评分说明】(1)得AF＝AD 1分，求出BF与FC 2分；(2)设元列方程2分，求出EF，CE 1分，周长1分；(3)列式2分，化简结果1分。 【易错提醒】FC是BC减去BF，BC＝AD＝19.5；方程里斜边是EF（等于DE），不是CE。 22．【答案】（1）AC＝，d＝－3＋；（2）整数部分为1，小数部分为－4；（3）DE＝－6，有3个 【解析】【分析】AB是数轴上的一段，AB＝1－(－3)＝4；在Rt△ABC中用勾股定理求AC；AD＝AC，D在A的右侧，d等于－3加上AD。 【详解】(1)AB＝1－(－3)＝4，BC⊥AB，BC＝2， 在Rt△ABC中，AC²＝AB²+BC²＝4²+2²＝20，∴AC＝＝。 ∵AD＝AC＝，点D在点A的右侧，∴d＝－3＋。　……3分 (2)∵16＜20＜25，∴4＜＜5，∴1＜－3＋＜2， ∴d的整数部分为1，小数部分为(－3＋－1＝－4。　……3分 (3)点E表示的数为－d＝3－， DE＝d－(－d)＝2d＝2(－3＋＝－6。 由(2)知1＜d＜2，∴－2＜－d＜－1， 点E与点D之间表示整数的点有－1，0，1，共3个。　……4分 【方法点拨】在数轴上作：构造斜边平方为n的直角三角形，再以某点为圆心、斜边为半径画弧。 【评分说明】(1)求AC 2分，写出d 1分；(2)估算2分，写出整数部分与小数部分1分；(3)写出E表示的数1分，求DE 1分，数出整数点2分。 【易错提醒】圆心是表示－3的点A，不是原点，所以d＝－3＋；小数部分＝这个数减去它的整数部分。 23．【答案】（1） dm或 dm；（2） dm²或 dm² 【解析】【分析】(1)没有指明哪条边是斜边，要按“两条已知边都是直角边”和“较长的已知边是斜边”分类；(2)没有指明哪条边是腰，要按腰长分两类，先检验能否组成三角形，再作底边上的高，用勾股定理求高。 【详解】(1)①当和都是直角边时，第三边（斜边）²＝＋＝18＋24＝42，第三边为； ②∵＝＞＝，∴可以是斜边，此时第三边²＝－＝24－18＝6，第三边为。 比短，不能作斜边。 综上，第三条边的长为或。　……4分 (2)①当腰长为、底边为时，＋＝＝＞＝，能组成三角形。 作底边上的高，它平分底边，底边的一半为， 高²＝－＝12－4.5＝7.5＝，高＝＝， 面积＝××＝＝。　……4分 ②当腰长为、底边为时，＋＞，能组成三角形。 底边的一半为，高²＝－＝18－3＝15，高＝， 面积＝××＝＝。　……4分 综上，这个等腰三角形的面积为或。　……1分 【方法点拨】不给图、不指明斜边或腰时要分类讨论，每种情况都要检验能否组成三角形。 【评分说明】(1)每种情况各2分；(2)每种情况检验1分、求高2分、求面积1分，结论1分。 【易错提醒】只给两边不指明哪条是斜边、哪条是腰时要分类；每种情况先检验能否组成三角形，只写一种要扣分。 试卷第 1 页，共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $八年级上册 第一次月考 第一次月考·提高卷 保密★启用前 第一次月考模拟卷（第一至二章•提高卷） 北师大版数学八年级上册 （试卷总分：120分　建议用时：100分钟　测试范围：第一章 勾股定理、第二章 实数） 学校：__________　姓名：__________　班级：__________　考号：__________ 注意事项： 1．答题前，请把学校、姓名、班级、考号填写在规定位置。 2．考试范围：北师大版（2024）八年级上册第一章 勾股定理、第二章 实数。 3．计算题要写出必要的演算步骤，结果中的二次根式要化成最简二次根式。 4．请按题号顺序在指定区域作答，超出区域的答案无效；写完后认真检查一遍。 命题说明本卷考查：第一章、第二章（10 选／5 填／8 解，满分 120 分） 考点清单 本卷考查北师大版八年级上册第一章 勾股定理与第二章 实数。第一章约占65分，第二章约占55分，两章的题目交替编排；第10题、第22题、第23题把勾股定理与二次根式结合在一起。下表列出每个考点对应的题号与分值，订正时错题集中在哪一行，就回到对应的小节复习。 章 考点 题号 分值 第一章 勾股定理（探索与验证） 2，4，10，23 22 第一章 勾股定理的逆定理 6，18 12 第一章 勾股定理的应用（最短路径、方程思想） 8，11，13，15，20，21 31 第二章 认识实数（无理数、数轴、估算） 3，22 13 第二章 平方根与立方根 1，9，16，17 21 第二章 二次根式（化简与运算） 5，7，12，14，19 21 两章知识要点速览 下面九条是第一章、第二章的核心结论。建议考前遮住右栏，看着左栏的名称默写结论，写完再揭开核对，漏写或写错的结论就是复习重点。 序号 知识要点 掌握要求 1 勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方：a²＋b²＝c²；已知两边求第三边前先认准斜边 2 勾股定理的逆定理 三角形三边a，b，c满足a²＋b²＝c²，这个三角形是直角三角形，c所对的角是直角；满足该式的正整数叫勾股数 3 勾股定理的应用 圆柱、长方体表面最短路径先展开再算；折叠、测量问题找对应相等的线段，设未知数列方程 4 无理数与实数 无限不循环小数叫无理数；有理数和无理数统称实数；实数与数轴上的点一一对应 5 平方根与立方根 正数有两个平方根，互为相反数，正的叫算术平方根；0的平方根是0；负数没有平方根；每个数都有唯一的立方根 6 估算 用相邻的两个完全平方数（立方数）夹逼无理数，确定整数部分；小数部分＝这个数－整数部分 7 二次根式的乘除 ×＝（a≥0，b≥0）；÷＝（a≥0，b＞0） 8 最简二次根式 被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数；化简结果的分母中不含根号 9 二次根式的加减 先化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式合并；有理数的运算律对实数仍然适用 评卷人 得分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（本题3分）小明先分别求出∛(-0.064)和，再把两个结果相加，他得到的和应当是(____)。 A．0.7 B．－0.1 C．－0.7 D．0.26 2．（本题3分）如图，为了让长方形木框ABCD更牢固，木工在A，C两点之间钉了一根斜撑木条。量得AB＝60 cm，BC＝63 cm，这根木条AC的长（单位：cm）为(____)。 A．123 B．7569 C． D．87 3．（本题3分）整数m使|m－的值尽可能小，那么m＝(____)。 A．7 B．8 C．9 D．49 4．（本题3分）如图，一面等腰三角形小旗ABC（AB＝AC）的两条长边都是6.1 dm，短边BC是2.2 dm。从顶点A到BC的中点D缝一条彩线，彩线AD的长（单位：dm）为(____)。 A．36 B．5 C．6 D．7.2 5．（本题3分）已知a＝，b＝，那么a与b的积ab等于(____)。 A． B．12 C．144 D．6 6．（本题3分）在下列四组线段中，只有一组的三条线段首尾相接能围成直角三角形，这一组是(____)。 A．，， B．2，3，4 C．4，5，6 D．，2， 7．（本题3分）两个实数a，b的和为，积为1，那么a²+b²的值为(____)。 A．12 B．14 C．11 D．10 8．（本题3分）一个圆柱形收纳桶的高为28 cm，底面周长为90 cm。在桶的下底面边缘有一点A，上底面边缘有一点B，A，B恰好位于圆柱相对的两侧（B在A的正对面）。沿桶的侧面从A到B贴一条装饰胶带，胶带的长至少为(____)cm。 A．73 B． C．53 D．2809 9．（本题3分）小聪算出：1×2×3×4＋1＝25＝5²，2×3×4×5＋1＝121＝11²，3×4×5×6＋1＝361＝19²。用他发现的结论，可以直接写出＝(____)。 A．461 B．460 C．462 D．505 10．（本题3分）如图，△ABC画在方格纸上，A，B，C三点恰好落在网格线的交点处。已知网格中小正方形的边长为1，那么BC边上的高等于(____)。 A． B． C． D． 评卷人 得分 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．（本题3分）如图，体育馆看台旁有一段楼梯，它的侧面是直角三角形ABC，楼梯高AC＝4.5 m，斜面AB长11.7 m。现要在台阶上铺满地毯（沿每级台阶的水平面和竖直面铺），则地毯的长度至少为________m。 12．（本题3分）两根木棒的长分别为 dm和 dm，较长的一根比较短的一根长________dm。 13．（本题3分）如图，公园里有一块直角三角形草坪OPQ，∠OPQ＝90°，OP＝6.6 m，PQ＝11.2 m。有些游人不沿小路先从O走到P、再从P走到Q，而是从O直接斜穿草坪走到Q，这样做只少走了________m，却踩坏了草坪。 14．（本题3分）n是正整数，恰好也是整数，满足条件的n中最小的一个是________。 15．（本题3分）如图，一个长方体收纳箱的长为55 cm，宽为30 cm，高为18 cm，点A是箱底的一个顶点，点B是箱顶上离点A最远的那个顶点。用一根细绳沿箱子的外表面从点A拉到点B，细绳的长度至少为________cm。 评卷人 得分 三、解答题（本大题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本题6分）计算下面两题，结果能化简的要化简： (1)∛(-27)+×|－10|； (2)＋1)－1)－÷。 17．（本题9分）工厂有一个体积为343 c m³的正方体铁块。 (1)求这个铁块的棱长，以及它一个面上的对角线长； (2)把铁块熔化后铸成一个高为14 cm、底面为正方形的长方体（损耗忽略不计），求底面正方形的边长（结果化成最简二次根式）； (3)求(2)中底面正方形的对角线长。 18．（本题9分）如图，某小区有一块四边形空地ABCD，∠B＝90°，量得AB＝80 m，BC＝84 m，CD＝87 m，DA＝145 m。 (1)求A，C两点之间的距离； (2)求证：AC⊥CD； (3)要从点C修一条垂直于AD的小路CH（点H在AD上），求小路CH的长。 19．（本题9分）社区要修一个长方形花坛，设计图上标出长边为 m，短边为 m。 (1)花坛四周要围一圈护栏，求护栏的总长（用最简二次根式表示）； (2)求这个花坛的面积； (3)另修一个正方形花坛，使它的面积与这个长方形花坛的面积相等，求正方形花坛的边长比长方形花坛的短边长多少米。 20．（本题9分）如图，学校劳动实践基地有一块长方形菜地ABCD，宽AB＝17 m。同学们发现：从A沿对角线走到C，比先从B出发沿长边BC走到C的路程多1 m（即AC比BC长1 m）。 (1)求菜地的长BC； (2)求这块菜地的面积和对角线AC的长。 21．（本题10分）如图，把一张长方形彩纸ABCD（AB＝18 cm，AD＝19.5 cm）的一角折过去：折痕的一端是顶点A，另一端E在边CD上，折过去以后，顶点D正好碰到对边BC，落点记为F。 (1)求点F到点C的距离FC； (2)求△ECF的周长； (3)求折痕AE的长（用最简二次根式表示）。 22．（本题10分）如图，在数轴上方画一个直角三角形ABC，直角边AB落在数轴上，点A，B分别表示－3和1，另一条直角边BC＝2（O为原点）。用圆规量出斜边AC的长，针尖放在点A，向右画弧，与数轴正半轴相交，交点记作D，D表示的数记作d。 (1)斜边AC有多长（用最简二次根式表示）？写出d的值； (2)求d的整数部分和小数部分； (3)点E表示的数是d的相反数，求线段DE的长，并写出点E与点D之间（不含E，D）表示整数的点有几个。 23．（本题13分）(1)手工课上，小敏手里有长 dm和 dm的两根细木条，她想再锯一根木条，与这两根首尾相接钉成直角三角形框架，求锯出的木条的长； (2)她又找来许多长 dm和 dm的木条，想钉一个等腰三角形框架，三条边只从这两种长度中选取，并且两种长度都要用到，求这个等腰三角形框架围成的面积。 附：命题双向细目表 下表逐题写出考查内容、难度与核心素养。选择题第1～6题、填空题第11～13题、解答题第16～17题为基础题，第1题可以口算；从第7题起难度逐步上升；末三题分别考查折叠中的方程思想、在数轴上构造无理数、不指明斜边或腰时的分类讨论。 题号 题型 分值 考查内容 难度 核心素养 1 选择题 3 立方根与算术平方根的计算 基础 运算能力 2 选择题 3 已知两直角边求斜边（长方形对角线） 基础 几何直观 3 选择题 3 估算无理数的大小 基础 数感 4 选择题 3 等腰三角形底边上的高 基础 几何直观 5 选择题 3 二次根式的乘法 基础 运算能力 6 选择题 3 勾股定理的逆定理（三边含二次根式） 基础 推理能力 7 选择题 3 二次根式的整体代入求值 中档 运算能力 8 选择题 3 圆柱侧面上的最短路径 中档 模型观念 9 选择题 3 算术平方根中的规律探究 难 运算能力 10 选择题 3 方格中求三角形的高（割补法与二次根式） 难 几何直观 11 填空题 3 勾股定理的实际应用（楼梯铺地毯） 基础 模型观念 12 填空题 3 二次根式的大小比较（木棒长度差） 基础 运算能力 13 填空题 3 勾股定理的实际应用（少走的路程） 基础 模型观念 14 填空题 3 最简二次根式与被开方数的因数 中档 运算能力 15 填空题 3 长方体表面的最短路径 难 模型观念 16 解答题 6 实数的混合运算 基础 运算能力 17 解答题 9 立方根与平方根的实际应用（熔铸铁块） 基础 运算能力 18 解答题 9 勾股定理与逆定理的综合应用（四边形地块） 中档 推理能力 19 解答题 9 二次根式的运算与化简（长方形花坛） 中档 运算能力 20 解答题 9 方程思想求长方形的边（菜地） 中档 模型观念 21 解答题 10 长方形折叠中的勾股定理 中档 模型观念 22 解答题 10 数轴上表示无理数与实数的性质 难 数感 23 解答题 13 分类讨论（直角边与斜边、腰与底） 难 几何直观 试卷第 1 页，共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $