2026-2027学年北师大版八年级数学上学期第一次学情检测卷含答案解析

2026-2027学年八年级数学上学期第一次学情检测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材北师大版八年级上册第1-2章 一、单选题：本题共10小题，每题3分，共30分。 1．16的平方根是（     ） A． B． C．4 D．2 2．估算的值应在（     ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 3．在下列各数，，，，，，，，，（相邻两个1之间有1个0）中，是无理数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图，依据所标数据，下列判断正确的是（     ）． A．只有是直角三角形 B．只有是直角三角形 C．和都是直角三角形 D．和都不是直角三角形 5．以下各组数为三角形的三边，能构成直角三角形的是（     ） A．3，4，5 B．6，7，8 C．2，3，4 D． 6．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，，，在线段的三等分点（靠近点）处有一只蚂蚁，中点处有一米粒，则蚂蚁沿长方体表面爬到米粒处的最短距离为（     ） A． B． C． D． 7．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高．若这支铅笔长为，则这支铅笔在笔筒外面部分长度的最小值为（     ）． A． B． C． D． 8．老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是（     ） A．小明和小丽 B．小丽和小红 C．小红和小亮 D．小丽和小亮 9．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 10．若一个整数能表示成（是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，是“完美数”，因为．下列四个数中，哪个是“完美数”（     ）． A． B． C． D． 二、填空题：本题共6小题，每题3分，共18分。 11．已知直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为．则________ 12．若，满足，则________； 13．比较下列实数的大小（在空格中填上或） ①______        ②______        ③______ 14．观察下列数据：，，，，，…，寻找规律，第个数据应是________． 15．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为．以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为；以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，…，如此继续，则的长为______． 16．如图，在一棵树离地面10米高的处有两只猴子，在离树底20米的池塘边的处有水果．为了吃水果，一只猴子爬下树跑到处，另一只爬到树顶后直接跳到处（路径以直线计算），如果两只猴子所经过的路程相等，那么这棵树高为_________米． 三、解答题：本题共7小题，共72分。 17．如图所示，某小区在施工过程中留下了一块四边形空地，小区管理人员为美化环境，计划在空地上种上绿植，经测量，，，，，． (1)请计算这个四边形对角线的长度： (2)请用学过的知识求出这块空地的面积； 18．一旗杆离地面3米A处折断，旗杆顶部C落在离旗杆底部B处4米远，旗杆折断之前有多高？ 19．已知，两艘船同时从港口O出发，船向东航行了6千米，船向北航行了8千米．此时船与船相距多远? 20．计算 (1)； (2)； 21．阅读材料，完成任务：我们知道，因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了，例如： ． (1)模仿材料中的计算方法，化简________；________． (2)计算：； (3)已知，，求的值． 22．完成下列各题 (1)填空：______；______； (2)当时，______（用“”填空）； (3)当时，求证：． 23．明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地……”翻译成现代文为：如图，秋千绳索悬挂于点，静止时竖直下垂，点为踏板位置，踏板离地高度为一尺（尺）．将它往前推进两步（于点，且尺），踏板升高到点位置，此时踏板离地五尺（尺），则秋千绳索（或）长多少尺． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C C A B B B D D 1．B 【详解】解：∵， ∴16的平方根是． 2．C 【分析】先化简原式，再估算的范围确定原式的取值范围． 【详解】解：， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即原式的值在和之间． 3．C 【分析】先化简含乘方、开方的数，再判断无理数的个数，即可求解． 【详解】解：，，． ，，，为整数，是有理数．是有限小数，是有理数． 、（相邻两个之间有个）是无限循环小数，是有理数． 是无限不循环小数，是无理数． 是无理数． 是开方开不尽的数，是无理数． 综上，无理数共个． 4．C 【分析】根据勾股定理的逆定理，计算两短边的平方和以及长边的平方，判断得数是否相等，即可得到答案． 【详解】解：∵的三边， 又∵，， ∴， ∴， ∵的三边， 又∵，， ∴， ∴， ∴和都是直角三角形． 5．A 【分析】根据勾股定理的逆定理，先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可． 【详解】解：A、，能构成直角三角形， B、，，，不能构成直角三角形， C、，，不能构成直角三角形， D、，，，不能构成直角三角形． 6．B 【分析】将长方体表面展开，分前面与右面展开、前面与顶面展开两种情况，利用勾股定理计算的长，比较大小即可． 【详解】解：如图1，将前面和顶面展开在同一平面内， ，，，在线段的三等分点（靠近点）处有一只蚂蚁，中点处有一米粒， ，， ； 如图2，将前面和右面展开在同一平面内， ，，，在线段的三等分点（靠近点）处有一只蚂蚁，中点处有一米粒， ，，， ． ， 最短距离为． 7．B 【分析】 铅笔在笔筒外面的长度=铅笔长度铅笔在笔筒内的长度；铅笔在笔筒外面的长度最小时，在笔筒内的长度最长，即斜放在圆柱形笔筒内的时候，用勾股定理求解即可． 【详解】 解：如图所示：铅笔斜放在圆柱形笔筒内的时候，铅笔在笔筒外面的长度最小， ，，， 由勾股定理得：， （负值已舍去）， ， 答：铅笔在笔筒外面部分长度的最小值是． 8．B 【分析】利用二次根式的运算法则逐步进行判断即可． 【详解】解：小明的步骤符合二次根式除法法则，正确； ∵， ∴小丽的步骤错误； ∵， ∴小红的步骤错误； 小亮的步骤符合二次根式运算法则，正确； 9．D 【分析】根据二次根式的性质逐一判断每个选项的正确性． 【详解】解：A、，该选项不符合题意； B、和不是同类二次根式，不能直接相减，且差值不为1，该选项不符合题意； C、，该选项不符合题意； D、，该选项符合题意． 10．D 【分析】根据“完美数”的定义，逐一分析各选项即可． 【详解】解：根据“完美数”的定义逐一验证： ∵无法表示为两个正整数的平方和， ∴不是“完美数”， ∵，且均为正整数， ∴是“完美数”． 11． 【分析】利用勾股定理列等式求解，再根据边长为正数取正根即可． 【详解】解：∵直角三角形两直角边长分别为，，斜边长为， ∴由勾股定理得， 整理得， ∵三角形边长为正数， ∴． 12． 【分析】根据算术平方根和绝对值的非负性，多个非负数的和为时，每个非负数都为，先求出和的值，再计算． 【详解】解：∵ ， 又∵， ， ∴，， ∴，， ∴． 13． 【分析】①两个负数比较大小，先比较绝对值，绝对值大的数反而小；②两个正无理数比较大小，平方后比较平方结果，平方结果大的原数更大；③通过放缩估算得到的范围，即可比较大小． 【详解】解：①，， ∵， ∴， ∴； ②，， ∵，且，， ∴； ③∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ． 14． 【分析】将所有数据统一改写为二次根式，观察被开方数与数据序号的关系，归纳得到一般规律． 【详解】解：将所有数据改写为二次根式形式：第1个数： 第2个数： ； 第3个数： ； 第4个数： ； 第5个数： ... 由此可归纳出规律，第个数据为． 15．/ 【分析】通过估算无理数的大小，找到图形变化规律是解题的关键．利用表示的数，根据实数与数轴的关系，逐一计算各点所对应的数，再计算、、……，得出规律即可解决． 【详解】解：根据题意得：，点表示的数为2，点表示的数为3， 即点表示的数为，， ∴， ∴， 同理，，……， 以此类推可得， 当n为奇数时，； 当n为偶数时，， ∴． 16．15 【分析】设这棵树高米，即米，根据题意可得，米，米，从而可得米，再求出米，然后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：设这棵树高米，即米， 由题意得：，米，米， ∴米， ∵两只猴子所经过的距离相等， ∴，即， ∴（米）， 在中，，即， 解得， 即米， 答：这棵树高米． 17．(1) (2) 【分析】（1）利用勾股定理求解； （2）首先利用勾股定理的逆定理得到，然后利用求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴这块空地的面积为． 18．8米 【分析】根据勾股定理求出米，进而求出旗杆折断之前的高即可． 【详解】解：由题意，得 ， ∴（米）， ∴旗杆折断之前的高为（米）． 19．千米 【分析】正东方向和正北方向夹角为，通过这个角度关系可用勾股定理解决问题． 【详解】由题意得千米、千米，， 在中，由勾股定理有，即（千米）， ∴此时船与船相距千米． 20．(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 21．(1)； (2) (3) 【分析】（1）利用平方差公式，分子分母同乘分母的有理化因式，将分母化为有理数，化简即可． （2）观察式子发现每一项都可以通过分母有理化化简为两个二次根式的差，从而产生相互抵消的项，最后化简计算即可． （3）先对和进行分母有理化，求出和的值，再将所求代数式变形为含有和的形式代入计算． 【详解】（1）解：；． （2）解：由材料可得，； ； ；； ； 原式 ． （3）解：，， ，， ， 原式 ． 22．(1)； (2) (3)证明：∵， ∴， ∴． 【详解】（1）解：；； （2）解：当时，， ∴； （3）略 23． 【分析】设，在中利用勾股定理构建方程即可解决问题． 【详解】解：设， 根据题意得：，，， ∴， ∵，， ∴， 在中，，，， ∵， ∴， 解得：， ∴秋千绳索（或）长尺． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $