10.1.1 平方根（课件）--2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

华东师大版八年级上册10.1.1平方根专项练习 核心知识点梳理 1. 平方根定义：如果一个数的平方等于a（a≥0），那么这个数叫做a的平方根。正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根。 2. 算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作√a，0的算术平方根是0，算术平方根具有非负性（√a≥0）。 3. 核心公式：(√a)²=a（a≥0），√a²=|a|，熟练区分平方根与算术平方根是解题关键。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 下列数中，没有平方根的是（）A. 0 B. (-3)² C. -16 D. 25 2. 81的平方根是（）A. 9 B. ±9 C. 3 D. ±3 3. √16的平方根是（）A. 4 B. ±4 C. 2 D. ±2 4. 若一个正数的平方根是2m-1和m+4，则m的值为（）A. -1 B. 1 C. -3 D. 3 5. 下列说法正确的是（）A. 平方根等于本身的数是1和0 B. 算术平方根等于本身的数是0和1 C. √(-4)²=-4 D. 5的平方根是√5 二、填空题（每题4分，共20分） 6. 49的算术平方根是______，0.36的平方根是______。 7. 若√x=5，则x=______；若x²=(-7)²，则x=______。 8. 一个正数的两个平方根分别为a+3和2a-15，这个正数是______。 9. 若√(x-2)有意义，则x的取值范围是______。 10. 已知√a-2 + (b+3)²=0，则a+b=______。 三、解答题（共60分） 11. 求下列各数的平方根和算术平方根（16分）（1）121 （2）0.64 （3）9/25 （4）(-8)² 12. 计算下列各式的值（16分）（1）√196 （2）-√0.09 （3）±√144/169 （4）√(-11)² 13. 已知一个正数的两个平方根分别为3a-5和7-a，求这个正数的值（14分） 14. 已知√x-3 + |y-4|=0，求x+y的平方根（14分） 参考答案与解析 选择题：1.C（负数无平方根）2.B（正数有两个互为相反数的平方根）3.D（√16=4，4的平方根为±2）4.A（互为相反数的平方根和为0，2m-1+m+4=0，解得m=-1）5.B（A平方根为本身只有0；C√(-4)²=4；D5的平方根为±√5） 填空题：6.7，±0.6 7.25，±7 8.49（a+3+2a-15=0，a=4，平方根为±7，正数为49）9.x≥2（被开方数非负）10.-1（非负数和为0，各项均为0，a=2，b=-3） 解答题：11.（1）平方根±11，算术平方根11 （2）平方根±0.8，算术平方根0.8 （3）平方根±3/5，算术平方根3/5 （4）平方根±8，算术平方根8 12.（1）14 （2）-0.3 （3）±12/13 （4）11 13. 由题意得3a-5+7-a=0，解得a=-1，平方根为-8和8，正数为64 14. 由非负性得x=3，y=4，x+y=7，平方根为±√7 （字数：1232） 华东师大版（新教材）数学八年级上册 10.1.1 平方根 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/26 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第10章 数的开方 学习目标 1．了解一个数的平方根与算术平方根的意义,会用根号表示一个数的平方根、算术平方根； 2．了解开方与乘方是互逆运算,会利用这个逆运算关系求某些非负数的算术平方根； # 幻灯片分页内容：10.1.1 平方根 ## 第1页：课题引入——逆向思维求“边长” - 情境展示： - 问题1：一个正方形花坛的边长为3米，它的面积是多少？（3×3=9平方米，引导学生回忆正方形面积公式：面积=边长×边长）； - 问题2：一个正方形花坛的面积是16平方米，它的边长是多少？（设边长为x，則x×x=16，引导学生思考“哪个数的平方等于16”）。 - 提问引导： - 已知一个数的平方，如何求这个数？ - 这样的数有几个？有什么特点？ - 课题：今天我们学习——平方根（板书课题），解决“已知平方求原数”的问题，掌握平方根的定义、性质和表示方法。 ## 第2页：核心概念——平方根的定义 - 平方根的定义： - 如果一个数x的平方等于a，即x² = a，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）。 - 符号表示： - 正数a的平方根记作“±√a”，读作“正、负根号a”，其中“√”是平方根符号（根号），a叫做被开方数。 - 举例说明： - ∵ 3² = 9，(-3)² = 9，∴ 3和-3都是9的平方根，记作±√9 = ±3； - ∵ 0.5² = 0.25，(-0.5)² = 0.25，∴ ±0.5是0.25的平方根，记作±√0.25 = ±0.5。 - 关键强调： - 被开方数a必须满足a≥0（因为任何数的平方都是非负数，负数没有平方根）。 ## 第3页：平方根的性质——正数、0、负数的平方根情况 - 分情况讨论： 1. 正数的平方根： - 性质：正数有两个平方根，它们互为相反数（一个正，一个负，绝对值相等）； - 示例：16的平方根是±4，25的平方根是±5。 2. 0的平方根： - 性质：0只有一个平方根，就是0本身； - 示例：∵ 0² = 0，∴ √0 = 0。 3. 负数的平方根： - 性质：负数没有平方根（因为任何数的平方都不可能是负数）； - 示例：-4没有平方根，-9没有平方根。 - 口诀记忆：“正数两个根，互为相反数；0根只有0，负数没根找”。 ## 第4页：平方根的计算——求一个数的平方根 - 计算方法： - 利用平方与开平方的互逆关系，找到平方后等于被开方数的数； - 对于简单的完全平方数（如1、4、9、16、25等），直接写出其平方根； - 对于小数或分数，先转化为整数或最简分数，再求平方根。 - 例题解析： - 例1：求下列各数的平方根： （1）36 解：∵ (±6)² = 36，∴ 36的平方根是±√36 = ±6； （2）4/25 解：∵ (±2/5)² = 4/25，∴ 4/25的平方根是±√(4/25) = ±2/5； （3）0.01 解：∵ (±0.1)² = 0.01，∴ 0.01的平方根是±√0.01 = ±0.1； （4）-7 解：∵ 负数没有平方根，∴ -7没有平方根。 - 注意事项： - 求平方根时，不要遗漏负的平方根（除非题目明确要求“求算术平方根”）； - 被开方数为分数时，根号下的分子分母要同时开方，结果仍为分数。 ## 第5页：算术平方根——平方根的“正根” - 算术平方根的定义： - 正数a的两个平方根中，那个正的平方根叫做a的算术平方根，记作“√a”（读作“根号a”），0的算术平方根是0。 - 与平方根的区别与联系： - 区别：平方根是“±√a”（两个根），算术平方根是“√a”（一个正根）； - 联系：算术平方根是平方根的一部分，正数的算术平方根是其平方根中非负的那个。 - 例题解析： - 例2：求下列各数的算术平方根： （1）16 解：∵ 4² = 16，∴ 16的算术平方根是√16 = 4； （2）81 解：∵ 9² = 81，∴ 81的算术平方根是√81 = 9； （3）0 解：0的算术平方根是√0 = 0。 - 强调：算术平方根的结果一定是非负数（≥0）。 ## 第6页：易错点辨析与纠正 - 易错点1：混淆平方根与算术平方根 - 错误：认为√16 = ±4（算术平方根只取正根）； - 纠正：√a表示算术平方根（非负），±√a表示平方根（两个根），∴ √16 = 4，±√16 = ±4。 - 易错点2：被开方数为负数时求平方根 - 错误：求-16的平方根为±4（负数没有平方根）； - 纠正：任何数的平方都是非负数，负数没有平方根，∴ -16没有平方根。 - 易错点3：计算分数平方根时出错 - 错误：√(9/16) = 9/4（分子分母未分别开方）； - 纠正：√(9/16) = √9 / √16 = 3/4，分子分母分别开方再相除。 - 易错点4：忽略平方根的相反数性质 - 错误：121的平方根是11（遗漏负根）； - 纠正：正数有两个平方根，121的平方根是±11。 ## 第7页：课堂小结（核心回顾） - 1. 平方根的定义：x² = a → x是a的平方根（a≥0）； - 2. 平方根的性质： - 正数：两个平方根，互为相反数（±√a）； - 0：一个平方根，为0（√0 = 0）； - 负数：无平方根。 - 3. 算术平方根：正数a的正平方根（√a ≥ 0），是平方根的一部分； - 4. 计算关键：利用平方与开平方互逆关系，注意被开方数非负，结果符号正确。 ## 第8页：课堂练习（即时巩固） - 1. 填空： - 25的平方根是______，算术平方根是______； - √36 = ______，±√49 = ______； - 0的平方根是______，-10______平方根（填“有”或“没有”）。 - 2. 求下列各数的平方根和算术平方根： - （1）64 （2）1/9 （3）0.04 （4）121 - 3. 判断下列说法是否正确： - （1）5是25的平方根（ ）； - （2）√81 = ±9（ ）； - （3）负数没有算术平方根（ ）； - （4）0.1的平方根是0.01（ ）。 - 4. 解答题： - 已知一个数的平方根是±3，求这个数； - 若√x = 5，求x的值。 学习目标 新知探究 “现在看第二张纸片，面积是 4 cm²，同样是个正方形。请大家动手测量它的边长，是多少呢？” “嗯，边长是 2 cm。想一想，有没有哪个数自乘后等于 4 呢？” “再来一张，面积是 9 cm²的正方形。测量一下边长？” “边长是 3 cm。哪个数自乘后等于 9 呢？” 活动名称：寻找“完美搭档”的边长 活动内容：探索简单整数平方 （答：2cm） （答：2×2=4） （答：3×3=9） 探究新知 新知探究 “大家观察这三组关系（1->1, 4->2, 9->3）。我们由正方形的面积，找到了对应的边长。而这个边长恰好满足一个条件：它的平方等于已知的面积。” “现在请看最后一张纸片，面积是 8 cm²，它也是一个正方形。挑战来了！请用尺子测量它的边长，看看是多少厘米？” 活动名称：寻找“完美搭档”的边长 活动内容：引入核心问题与“平方根”概念萌芽 不是整数？具体测量值会在 2.8 cm 左右 探究新知 新知探究 “量出来的边长大约是2.8 cm，但2.8 × 2.8等于多少？我们用计算器算一下看看。”（2.8 × 2.8 = 7.84 < 8） “2.82 × 2.82呢？”（2.82 × 2.82 = 7.9524 ≈ 7.95 < 8） “2.83 × 2.83呢？”（2.83 × 2.83 = 8.0089 ≈ 8.01 > 8） “精确的边长肯定在 2.8 和 2.9 之间，但用小数来表示好像无穷无尽，也没法精确写完整？” 活动名称：寻找“完美搭档”的边长 活动内容：引入核心问题与“平方根”概念萌芽 “那么，哪个数自乘等于 8 呢？”、“它既不是整数（如2, 3），也不是我们之前学过的一个有限小数。我们怎么精确地表示这个边长呢？这个边长就是这个面积为8的正方形的边长，也就是那个满足‘自乘等于8’的数。” 探究新知 新知探究 学生思考：①面积为144的正方形边长为多少？②面积为25的正方形边长为多少？ ③面积为的正方形边长为多少？ 答：①144=12×12 单独看144还可以等于（-12）×（-12）也就是说 144=（±12）2 答：②25=5×5 单独看25还可以等于（-5）×（-5）也就是说25=（±5）2 答：③单独看还可以等于（-）×（-）也就是说=（±）24 知识点总结：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根。一个正数有两个平方根，它们互为相反数。 探究新知 知识概括 教师提问：通过以上的问题，我们知道一个正数的平方根有2个，它们互为相反数，那么0有没有平方根，是多少呢？负数有没有平方根呢？ 正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作“”，读作“根号a”；另一个平方根是它的相反数，记作“-”；因此a的平方根记作“”；a称为被开方数，被开方数大于等于0，即a≥0; 一个正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根。求一个非负数平方根的运算叫做开平方。 算术平方根具有双重非负性，即a≥0, 探究新知 注意事项 ①正数有两个平方根它们互为相反数； ②0的平方根是0； ③负数没有平方根； 典例分析 例1 下面各数有平方根吗？如果有，则求出它的平方根；如果没有，则说明理由。 ①49 ② ③0 ④-16 解答：①有，因为72=49，所以，因此49的平方根为 ②有，因为2=，所以，因此49的平方根为 ③有，0的平方根是0； ④没有，负数没有平方根； 探究新知 1．[知识初练]因为(　　)2＝16，所以16的平方根有______个，且它们互为相反数，分别是__________．特别地，0的平方根是________． 1星题 夯实四基 ±4 2 4和－4 0 举一反三 2．9的平方根是(　　) A．3 B．－3 C．±3 D．± C 举一反三 3．(－5)2的平方根是(　　) A．－5 B．5 C．±5 D．25 C 举一反三 注意事项 平方根，又叫二次方根，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根。正数的平方根有2个。 典例分析 例2 下列说法正确的是（ ） A .25的平方根是5 B .（-3）2的平方根是-3 B .0.16的算术平方根是±0.4 D .的算术平方根是 解：A. 25的平方根是±5，故A选项错误； B. （-3）2=9，所以9的平方根是±3，故B选项错误； C .0.16的算术平方根是0.4，故C选项错误； D .的算术平方根是，故D选项正确。 D 探究新知 注意事项 需要判断此数是否有平方根，如果有平方根，再求出平方根后取正的那个平方根即可 做一做 求下列各数的算术平方根。 ①900 ② ③1 ④14 解答：①因302=900，所以900的算术平方根是30； ②因，所以的算术平方根是； ③因12=1，所以1的算术平方根是1； ④因，所以14的算术平方根是； 探究新知 注意事项 本题主要考查的是绝对值和算术平方根的非负性，|a|+=0型 做一做 已知与互为相反数 （1）求a、b的值 （2）求5a-4b的平方根 解：（1）∵与互为相反数 ∴+=0 ∵， ∴=0,=0 解得a=4，b=-4 （2）由题（1）知a=4，b=-4 ∴5a-4b=5×4-4×（-4）=36，36的平方根是±6 探究新知 典例分析 例3 （教材母题）用计算器求下列各数的算术平方根 （1）529 （2）44.81（精确到0.01） 解：（1）本小题的按键顺序是 显示结果为23，所以=23 用计算器求一个正数的算术平方根，只需要直接按书写顺序按键即可。 （2）本小题的按键顺序是 显示结果为6.694027188，要求精确到0.01，所以44.81的算术平方根是 探究新知 课堂练习 1．下面各数有平方根吗，如果有，请写出它们的平方根，算术平方根；如果没有，则说明理由。 ①6400 ② 0.25 ③ ④7 解：①有，因为802=6400，所以6400的平方根式±80，算术平方根是80； 基础巩固题 ②有，因为0.52=0.25，所以0.25的平方根式±0.5，算术平方根是0.5； ③有，因为=，所以的平方根式±，算术平方根是 ④有，因为=，所以的平方根式±，算术平方根是 正数的平方根有2个，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根 探究新知 课堂练习 2．下列说法正确的是（ ） A .表示25的算术平方根 B .-表示2的算术平方根 C .2的算术平方根记作 D .2是的算术平方根 基础巩固题 解：对于A选项，表示25的算术平方根，所以A选项正确； 对于B选项，表示2的算术平方根，所以B选项错误； 对于C选项，2的算术平方根记作，所以C选项错误； 对于D选项，是2的算术平方根，所以D选项错误。 正数的平方根有2个，正的那个平方根叫做算术平方根 探究新知 4．写出下列各数的平方根： (1)64；　 (2)3 600；　 (3)0.49；　 (4) 解：(1)因为(±8)2＝64，所以64的平方根是±8. (2)因为(±60)2＝3 600，所以3 600的平方根是±60. (3)因为(±0.7)2＝0.49，所以0.49的平方根是±0.7. 举一反三 5．[北京期中]下列各数中，没有平方根的是(　　) A．0 B．(－7)2 C．－72 D．－(－7) C 举一反三 6．若某数的一个平方根是－ ，则该数的另一个平方根是________． 举一反三 7．若y的平方根等于它本身，则(y－1)227的值是________． －1 举一反三 8．下列说法错误的是______(填序号)． ①负分数没有平方根； ②只有非负数才有平方根； ③正数的平方根是它本身； ④正数a的两个平方根的和为0. ③ 举一反三 9. 【思维生长】下列各数中，一定有平方根的是(　　) A．m2＋1 B．m2－1 C．－m2＋1 D．－m2－1 向“正向应用”生长：一个正数m的平方根分别是x＋1和x－5，则x＝________，m＝________． A 2星题 提升四能 2 9 举一反三 向“分类讨论思想”生长：若x＋4是4的一个平方根，则x＝______________． 向“逆向推理”生长：若2x－4与1－3x是同一个正数a的平方根，则a的值为____________． －2或－6 4或100 举一反三 课堂小结 ①正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作“”，读作“根号a”； ②算术平方根具有双重非负性，即a≥0, 算术平方根的概念及其性质 正确使用计算器求一个非负数的平方根 正确使用计算器 ①定义： 如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根。 ②表示： 一个非负数的平方根表示为。a为被开放式且a≥0 平方根的基本概念 ①一个正数有两个不同的平方根，它们互为相反数； ②0的平方根是0； ③负数没有平方根。 平方根的性质 01 02 03 04 课堂小结 谢谢观看 THANKS 学习目标 (4)因为＝，所以的平方根是±. . $