4.1.2 垂线（课件）--2026-2027学年华东师大版数学七年级上册

# 华东师大版七年级上册4.1.2 垂线 专项练习（约1212字） ## 一\(AB、CD\)知识点梳理 **垂线定义**：两条直线相交，如果夹角是$90^\circ$，就称这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。记作：$AB\perp CD$，垂足为$O$。 两条重要基本事实： 1. **过一点有且只有一条直线与已知直线垂直**（点可以在直线上，也可以在直线外）。 2. **垂线段最短**：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。 **点到直线的距离**：直线外一点到这条直线的**垂线段的长度**，叫做点到直线的距离。 要点： 1. 垂直是相交的特殊情况，垂直一定相交，相交不一定垂直。 2. 画垂线可以用三角尺或量角器；线段\(AB、CD\)射线的垂线，是指它们所在直线的垂线。 易错提醒：点到直线的距离是**长度（数值）**，不是垂线段这条线段本身；混淆“垂线段最短”和“两点之间线段最短”；误认为一条直线只有一条垂线；过一点画线段的垂线，垂足可能在线段延长线上；判断垂直只看夹角是否$90^\circ$，和摆放方向无关。 ## 二\(AB、CD\)基础巩固 1. 选择题 （1）下列说法正确的是（） A. 两条直线相交，就是互相垂直 B. 互相垂直的两条直线夹角一定是$90^\circ$ C. 点到直线的距离就是垂线段 D. 直线外一点到直线只能画一条斜线段 （2）直线$AB\perp CD$，交点为$O$，则$\angle BOC$度数为（） A.$45^\circ$　B.$90^\circ$　C.$120^\circ$　D.$180^\circ$ 2. 填空 （1）过一点有且只有____条直线与已知直线垂直。 （2）直线外一点到直线上所有点连线中，____最短。 （3）点到直线的距离，是点到直线的________。 ## 三\(AB、CD\)能力提升 1. 判断对错，对打√，错打× ① 垂直是相交的一种特殊情况（） ② 点到直线的距离是垂线段（） ③ 过直线外一点，可以画无数条直线和已知直线垂直（） ④ 线段的垂线，是线段所在直线的垂线（） 2. 直线$AB\(AB、CD\)CD$交于$O$，$OE\perp AB$，$\angle COE=50^\circ$，求$\angle BOD$。 3. 简述生活中利用“垂线段最短”的实例。 ## 四\(AB、CD\)列式与实际应用题 1. 如图，公路$l$旁有村庄$P$，要修一条小路连接村庄到公路，怎样修路路程最短？写出作图方法和依据。 2. 直线$AB$与$CD$相交于点$O$，$OE\perp CD$，$\angle AOE=42^\circ$，求$\angle BOD$度数。 ## 五\(AB、CD\)参考答案与解析 ### 基础巩固 1.（1）答案：B。解析：垂直是夹角$90^\circ$的相交；距离是垂线段的长度，不是线段本身。 （2）答案：B。解析：垂直相交，夹角$90^\circ$。 2.（1）一；（2）垂线段；（3）垂线段的长度。 ### 能力提升 1. ①√；②×；③×；④√。 2. 解：$OE\perp AB$，$\angle AOE=90^\circ$，$\angle AOC=90^\circ-50^\circ=40^\circ$。 $\angle BOD=\angle AOC=40^\circ$（对顶角相等）。 答：$\angle BOD=40^\circ$。 3. 示例：从河边向村庄引水，沿垂线段铺设水管，节省材料。 ### 应用题 1. 解：过点$P$作公路$l$的垂线段，垂足为$Q$，沿$PQ$修路最短。 依据：**垂线段最短**。 答：过$P$作公路的垂线，垂足为修路终点。 2. 解：$OE\perp CD$，$\angle EOD=90^\circ$。 $\angle AOE+\angle EOD+\angle BOD=180^\circ$ $\angle BOD=180^\circ-90^\circ-42^\circ=48^\circ$。 答：$\angle BOD=48^\circ$。 ## 六\(AB、CD\)专项小结 垂线核心：垂直定义\(AB、CD\)两条基本事实\(AB、CD\)点到直线距离。 高频易错：**距离是长度，不是线段**，这个概念填空选择题高频丢分。区分两个最短：两点之间线段最短；点到直线，垂线段最短，不要混淆。 题型：垂直概念判断；角度计算（结合对顶角\(AB、CD\)邻补角）；作图题；生活实际应用。 几何计算题思路：看到垂直直接得到$90^\circ$，再结合对顶角\(AB、CD\)邻补角来计算其他角。 做题技巧：看到“点到直线距离”，立刻警惕概念陷阱；画线段垂线，垂足不一定在线段上，有可能在延长线上。答题写依据时，分清两个基本事实，不要写混理由。 本节是相交线重点，后面学习平行线\(AB、CD\)三角形的高都会用到垂线知识。做题注意几何语言规范，计算角度时写出推理依据，为同位角\(AB、CD\)内错角的学习做好铺垫。 （全文：1212字） 接下来写**4.2 同位角\(AB、CD\)内错角\(AB、CD\)同旁内角**，同样格式1212字专项练习吗？ 华东师大版（新教材）数学七年级上册 4.1.2 垂线 授课教师： . 班 级： 7年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/26 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第4章 相交线与平行线 学习目标 观察以上图片中直线，它们有什么特殊的位置关系？ 情境导入 新课讲授 【问题】取两根木条a、b，将它们钉在一起，固定木条a，转动木条b． 1）当a与b所成锐角α为45°时，其余的角分别为多少？ 2）当a与b所成锐角α为60°时，其余的角分别为多少？ 3）观察结果，你发现了什么？ 按照顺时针方式，其余角分别为：135°、45°、135° 按照顺时针方式，其余角分别为：120°、60°、120° a与b所成角随木条b的转动而变化 探究新知 新课讲授 【问题】取两根木条a、b，将它们钉在一起，固定木条a，转动木条b． 4）尝试转动木条，是否存在一种情况使a与b所形成的四个角都相等。 5）当a与b所成锐角α为90°时，其余的角分别为多少？ ∵周角为360° ∴若形成四个相等的角，则这个角为90° 当a与b互相垂直时，所成的四个角都为90° 按照顺时针方式，其余角分别为：90°、 90 °、 90 ° 探究新知 新课讲授 两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角时，叫做这两条直线互相垂直。 其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足． 读作：AB垂直CD于点Ｏ 如图，若直线AB与CD垂直，则用符号“⊥”表示，即AB⊥CD 几何描述： 1）∵AB⊥CD，∴∠AOC=90° 2）∵∠AOC=90°,∴ AB⊥CD 探究新知 典例分析 例1 如图，点O在直线AB上，∠EOD＝90°，∠COB＝90°，那么下列说法错误的是（　） A．∠1与∠2相等 B．∠AOE与∠2互余 C．∠AOE与∠COD互余 D．∠AOC与∠COB互补   例2 如图，直线BO⊥AO于点O，OB平分∠COD，∠COD＝24°．则∠AOC的度数是( ) A．22° B．46° C．68° D．78° C D 探究新知 知识点1 垂线 （第1题） 1. 如图，直线，相交于点 ，在下列 条件中，能说明 的有( ) B ① ；② ；③ ；④ ；⑤ . A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 举一反三 7 （第2题） 2. 如图是光的反射规律 示意图.是入射光线， 是反射光 线，法线， . 若，则 的度数为 ( ) D A. B. C. D. 举一反三 8 （第2题） 【点拨】设 ，则 .因为 ， 所以 ， ，所以 .所以 . 所以 .所以 . 举一反三 9 3. 已知，直线经过点且 ，则 等于( ) C A. B. C. 或 D. 举一反三 10 【点拨】如图①，当 在 的内部时，因为 ， ，所 如图②，当在 的外部时， . 故选C. 所以 . 以 ， 举一反三 11 新课讲授 【问题】经过直线m和直线m外一点A，过点A画直线m的垂线，想一想有几种方法？ 探究新知 新课讲授 【问题】经过直线m和直线m外一点A，过点A画直线m的垂线，想一想有几种方法？ 1.一落：把三角尺的一条直角边落在已知直线上; 2.二过：让三角尺的另一条直角边经过已知的点; 3.三画：沿着直角边经过已知点画直线。 探究新知 新课讲授 【问题】经过直线m和直线m外一点A，过点A画直线m的垂线，你能作出几条？ 探究新知 新课讲授 【问题】经过直线m上一点P，过点P画直线m的垂线，你能作出几条？你发现了什么？ 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 探究新知 新课讲授 对于线段的垂线，有一种特殊且重要的情况，如下图，直线CD经过线段AB的中点0，并且垂直于线段AB，则有A0=BO，AB⊥CD，我们把垂直并且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线. 探究新知 新课讲授 在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖掘能使渠道最短？ 将实际问题转化为数学问题（如下图），即求直线外一点p与直线的最短距离。 思考：最短距离是哪条线段，为什么？ 直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短。简称：“垂线段最短” 线段PO的长度，就叫做点P到直线l的距离. 探究新知 课堂测试 例3 如图，△ABC中，CD是AB边上的高，CM是AB边上的中线，点C到边AB所在直线的距离是( ) A．线段CA的长度 B．线段CM的长度 C．线段CD的长度 D．线段CB的长度 C 例4 如图，在立定跳远中，体育老师是这样测量运动员的成绩的，用一块直角三角板的一边附在起跳线上，另一边与拉直的皮尺重合，这样做的理由（ ） A．垂线段最短 B ．过两点有且只有一条直线 C．过一点可以作无数条直线 D．两点之间线段最短 A 探究新知 课堂测试 1．如图，已知𝑂𝑁⊥𝑙，𝑂𝑀⊥𝑙，所以𝑂𝑀与𝑂𝑁重合，这个推理的根据是（ ） A．过一点只能作一条垂线 B．过两点只能作一条垂线 C．垂线段最短 D．经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 D 2．在数学课上，同学们在练习过点B作线段𝐴𝐶所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，请你数一数，错误的个数为（    ）   A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 C 探究新知 知识点2 垂线的画法 4. 下列各图中，过点画直线的垂线 ，用三角板或量角 器操作正确的是( ) B A. ①④ B. ①③ C. ②④ D. ②③ 举一反三 20 5. 如图，的一边在网格线上，另一边经过点 ， 点和点 均为格点.请完成下列各题： 举一反三 21 （1）过点作的垂线，垂足为点 ； 【解】如图所示． 举一反三 22 （2）过点作的垂线，交于点 ； 如图所示. 举一反三 23 （3）找出图中与 相等的角 （不再添加字母）：_______，理由是 _________________. 同角的余角相等 【点拨】因为 ,所以 .因为 ,所以 .所以 .所以图中与 相等的角为 .理由是同角的余角相等. 举一反三 24 课后小结 1.垂线的定义:当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足. 2.垂线的画法:一、放；二、靠；三、移 ；四、画. 3.垂线的性质: （1）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； （2）垂线段最短. 4.点到直线的距离:过点作直线的垂线段，垂线段的长度就是点到直线的距离. 课堂小结 谢谢观看 THANKS $