4.1.2 垂线（课件）-2026-2027学年华东师大版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦“垂线”核心知识点，涵盖垂直定义、双重判定、两大性质、点到直线的距离及易错区分。通过情景观察图片中直线位置关系，结合转动木条的实验操作，搭建从相交线到垂线的学习支架，帮助学生衔接旧知与新知。 其亮点在于以数学眼光观察生活实例（如修路引水、跳远测量），通过实验探究和作图实践（过点画垂线步骤）培养几何直观与空间观念。结合“垂线段最短”等性质的推理应用，发展学生推理意识，课堂小结系统梳理知识框架，助力学生夯实基础，教师可利用分层练习提升教学效率。

华东师大版数学7年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 7年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月3日 4.1.2 垂线 第四章 相交线和平行线 华东师大版七年级上册 4.1.2 垂线 同步精讲练习题 一、本节核心知识点 1. 垂直与垂线的定义 如果两条直线相交成直角（90°），那么这两条直线互相垂直。 其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。 垂直符号：⊥，记作：$$a\perp b$$ 或 $$AB\perp CD$$。 ⚠️ 关键：两条直线垂直，只要求夹角为90°，不要求水平竖直。 2. 垂直的双重判定 ① 若两直线垂直 → 相交四个角都是90°； ② 若两直线相交有一个角是90° → 两直线互相垂直。 3. 垂线两大基本性质（必考） 性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 重点：“一点”可以在直线上，也可以在直线外，有且只有一条。 性质2：垂线段最短。 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。 4. 点到直线的距离（核心考点） 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 ⚠️ 易错区分： 垂线段：是图形（线段）； 点到直线的距离：是长度（数值），不是线段。 5. 垂线与垂线段区别 垂线：是一条直线，两端无限延伸，不可度量； 垂线段：是一条线段，有两个端点，可以度量长度。 6. 高频易错点汇总 1. 垂直是相交的特殊情况（相交成90°）； 2. 点到直线的距离特指垂线段的长度，不是任意线段； 3. 过一点作垂线，有且只有一条，不存在多条垂线； 4. “垂线段最短”不能说成“垂线最短”。 二、基础练习题 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 两条直线互相垂直，它们的夹角是（） A. 60° B. 90° C. 180° D. 360° 2. 点到直线的距离是指（） A. 点到直线的线段 B. 点到直线的垂线段 C. 点到直线垂线段的长度 D. 任意一条线段的长度 3. 过直线外一点画已知直线的垂线，可以画几条（） A. 1条 B. 2条 C. 无数条 D. 0条 4. 直线外一点与直线上各点连接的线段中，最短的是（） A. 斜线段 B. 垂线段 C. 任意线段 D. 无法确定 5. 下列说法正确的是（） A. 垂线最短 B. 垂线段最短 C. 两条直线相交一定垂直 D. 不垂直就不相交 二、填空题（每题4分，共24分） 1. 两条直线相交成________度时，这两条直线互相垂直。 2. 过一点有且只有________条直线与已知直线垂直。 3. 直线外一点到这条直线的________叫做点到直线的距离。 4. 连接直线外一点与直线上各点的线段中，________最短。 5. 垂直的两条直线，四个夹角都是________°。 6. 垂线是直线，垂线段是________，可以度量长度。 三、解答题（共56分） 1.（18分）判断正误（对的打√，错的打×）： （1）两条直线相交就是互相垂直。（） （2）垂线段最短。（） （3）点到直线的距离是垂线段。（） （4）过一点只能画一条直线与已知直线垂直。（） （5）垂直是特殊的相交。（） （6）垂线可以度量长度。（） 2.（18分）基础简答计算题： （1）简述垂线和垂线段的区别； （2）为什么修路、引水总是尽量修垂直路段？ （3）已知直线AB⊥CD，垂足为O，∠AOC的度数是多少？ 3.（20分）综合应用题： 从点P向直线l作垂线段PO，垂足为O，若PO=6cm，请问点P到直线l的距离是多少？并说明理由。 三、参考答案与解析 一、选择题 1.B 2.C 3.A 4.B 5.B 二、填空题 1. 90 2. 1 3. 垂线段的长度 4. 垂线段 5. 90 6. 线段 三、解答题 1. （1）× （2）√ （3）× （4）√ （5）√ （6）× 2.（1）区别：垂线是直线，无限延伸，无法度量长度；垂线段是线段，有两个端点，可以度量长度，是点到直线的最短线段。 （2）依据垂线段最短的原理，垂直修建路程最短、最节省材料和时间。 （3）解：∵AB⊥CD，根据垂直定义，∴$$\angle AOC=90^\circ$$。 3. 解：点P到直线l的距离是6cm。 理由：点到直线的距离的定义为直线外一点到这条直线的垂线段的长度，PO是点P到直线l的垂线段，且PO=6cm，因此点P到直线l的距离为6cm。 知道垂线的概念，会用三角板、量角器过一点画一条直线的垂线. 知道点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离. 能说出关于垂线的基本事实，并会用它解题. 观察以上图片中直线，它们有什么特殊的位置关系？ 情景引入 取两根木条a、b,将他们钉在一起固定木条a,转动木条b a b ） α 垂线的概念 问题： （1）在木条b转动的过程中，什么也随着改变 a与b所成的角也随之发生改变 取两根木条a、b,将他们钉在一起固定木条a,转动木条b 问题： （2）在木条b与a成90°的位置有几个？木条b与a所在的直线有什么位置关系？ a b ） α a与b垂直 定义：两条直线相交所构成的四个角中有一个为直角时，其他三个角也都成为直角，此时，这两条直线互相垂直. 记作：AB⊥CD或m⊥l 注意：两条线段互相垂直是指这两条线段所在的直线互相垂直.（如图2） 垂直的定义及表示方法 A B C D O （2） B C D O （1） A l m 两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足. 记作：AB⊥CD于点O A B C D O 符号语言： 如图，当直线AB与CD相交于O点，∠AOD=90°时， 那么AB⊥CD. 因为∠AOD=90°（已知） , 所以AB⊥CD（垂直的定义） 垂线的判定 符号语言： 若直线AB与CD垂直,垂足为O， 则∠AOD=90° 因为 AB⊥CD （已知） , 所以 ∠AOD=90°（垂直的定义） (或∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°) A B C D O 垂线的性质 8 如图1，若直线m、n相交于点O,∠1＝90°,则_______. 若直线AB、CD相交于点O，且AB⊥CD，则∠BOD =______. 如图2，BO⊥AO，∠BOC与∠BOA的度数之比为1∶5，那么∠COA＝____, ∠BOC的补角为______. O m n 1 B C A O m⊥n 90° 72° 162° 图1 图2 牛刀小试 4.日常生活中，我们经常可以看到线线互相垂直的图形，你能再举出一些例子么？ 经过直线AB外一点P，按图中所示的两种方法，画出垂直于直线AB的直线，这样的垂线能画多少条呢？ 垂线的画法及基本事实 试一试 P B A (1) (2) P A B B 问题 这样画AB的垂线我们可以画几条？ O 如图，已知直线 AB,作AB的垂线. 无数条 1.落 2.靠 3.画 A B P 如图，已知直线 AB 和AB上的一点P ,过点P作AB的垂线. 问题 这样画l的垂线可以画几条？ 一条 1.落 2.靠 3.移 4.画 A B P 如图，已知直线 AB 和AB外的一点P ,过点P作AB的垂线. 根据以上几种情况的操作，你能得出什么结论？ 问题 这样画l的垂线可以画几条？ 一条 1.落 2.靠 3.移 4.画 A 注意： 1.“过一点”中的点，可以在已知直线上，也可以在已知直线外； 2.“有且只有”中,“有”指存在性,“只有”指唯一性. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 垂线的性质 特殊的直线 如图，如果直线CD经过线段AB的中点O，并且CD⊥AB，我们可以得到AO=BO, CD⊥AB. A B C D O // // 此时，我们将垂直并且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线（图中直线CD即为线段AB的垂直平分线） 垂直平分线又可称为中垂线 如图①所示，已知钝角∠AOB，点 D 在射线 OB 上． （1）画直线 DE⊥OB; （2）画直线 DF⊥OA，垂足为 F． 解： （1）如图②所示，直线DE为所求作的直线. （2）如图②所示，直线DF为所求作的直线. 牛刀小试 探究：在如图所示的方格图中，点A是直线l外一点，从A点向已知直线 l 画一条垂直的线段和几条不垂直的线段. 1.线段AB， AC， AD ，AE谁最短？ 2.你能用一句话表示这个结论吗？ 说一说： 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短 简述：垂线段最短. 线段AB的长度叫做点A到直线l的距离. 规定： 作图过程中我们可以发现其中最短的应该是线段AB，线段AB叫做点A到直线l的垂线段 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离. 垂线段 思考：体育课上是怎样测量跳远成绩的？你知道其中的原因吗？ 1.在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖掘能使渠道最短？请画出图来，并说明理由. m 垂线段最短 牛刀小试 如图，小海龟位于图中点 A 处，按下述口令移动：前进 3 格；向右转 90°，前进 5 格；向左转 90°，前进3 格；向左转 90°，前进 6 格；向右转 90°，后退 6 格；最后向右转 90°，前进 1 格. 用粗线将小海龟经过的路线描出来，看一看是什么图形． 做一做 1. 在下列条件中：①两直线相交所成的四个角都是直角；②两直线相交，对顶角互补；③两直线相交所成的四个角都相等，可以判定两条直线互相垂直的是 （ ）A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ D 随堂练习 2. 如图，直线 AB 和 CD 交于点 O，OD 平分∠BOF，OE⊥CD，垂足为 O，∠AOC = 40°， 则 ∠EOF =_____. ∠1 = ∠2 分析： ∠EOF = 90°+∠DOF OD 平分∠BOF ∠AOC = ∠DOB ∠EOF = 90°+40° = 130° 130° 随堂练习 3. 如图，平原上有 A，B，C，D 四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备修建一个蓄水池. (1) 不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池 M 点的位置，使它到四个村庄距离之和最小； (2) 计划把河水引入蓄水池 M 中，怎样开渠最短并说明根据. 随堂练习 ∠1 = ∠2 分析: (1) 两点之间，线段最短； (2) 垂线段最短. M N M (1) (2) 解：如下图所示. 随堂练习 1. 过点作直线的垂线 ，下面三角板 的位置摆放正确的是( ) A A. B. C. D. 返回 考试考法 27 2. ［2025重庆沙坪坝区期末］下列说法正确的是( ) D A. 过线段外一点不一定能作出它的垂线 B. 过直线外一点和直线上一点可画一条直线与 垂直 C. 只能过直线外一点画一条直线和这条直线垂直 D. 过任意一点均可作一条直线的垂线 返回 考试考法 28 （第3题） 3. ［2024北京］如图，直线和 相交于点， .若 ，则 的大小为 ( ) B A. B. C. D. 返回 考试考法 29 （第4题） 4. 如图是光的反射 规律示意图.是入射光线， 是反 射光线，法线 ， .若 ，则 的度数为( ) D A. B. C. D. 考试考法 30 （第4题） 【点拨】设 ，则 .因为 ， 所以 ， ，所以 ，所以 ， 所以 ，所以 . 返回 考试考法 31 5. 点为直线外一点，点,,为直线 上三点， ，，，则点到直线 的距离 ( ) D A. 等于 B. 等于 C. 小于 D. 不大于 返回 考试考法 32 课堂小结 垂线 垂线的定义 交角90° 垂线的画法 利用三角板或量角器画：一落、二靠、三移、四画 垂线的性质 有且只有 线段最短 点到直线的距离 垂线段的长度 $