1.2提公因式法讲义2026-2027学年鲁教版八年级数学上册

1.2　提公因式法 知识点归纳 知识点一　公因式与提公因式法 多项式中各项都含有的公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式． 如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． 公因式的确定：（1）系数：取各项系数的最大公约数；（2）字母：取各项都含有的相同字母；（3）指数：取相同字母的最低次幂． 注意： （1）公因式可以是单项式，也可以是多项式，如的公因式是； （2）当多项式的首项系数为负数时，通常把“-”号提到括号外，此时括号内各项都要变号； （3）提公因式后，括号内的项数与原多项式的项数相同，不要漏项，特别是不要漏掉“1”这一项； （4）分解因式要彻底，若提公因式后所得的因式还能继续分解，应继续分解． 知识点二　提公因式法分解因式的步骤与检验 第一步：确定多项式各项的公因式；第二步：把公因式提到括号外面，用公因式去除原多项式的每一项，把所得的商写在括号内；第三步：用整式乘法检验分解结果是否正确． 例如：分解因式，检验：，结果正确． 【例1】 把下列各式分解因式： （1）；（2）；（3）． 解：（1）； （2）； （3）． 【总结】确定公因式要按“系数—字母—指数”三步进行；首项为负时先提负号，注意括号内各项变号；提公因式后括号内的项数与原多项式相同，不要漏掉系数为1或-1的项；公因式为多项式时，把多项式整体看作一个“字母”进行提取． 知识点精练 1.(2026•山东烟台期中)多项式的公因式是(　　) A. B. C. D. 2.(2025•山东淄博期末)下列各式从左到右的变形中，因式分解正确的是(　　) A. B. C. D. 3.(2025•山东威海期末)下列因式分解中，错误的是(　　) A. B. C. D. 4.(2025•山东青岛期中)将多项式分解因式，结果为，则括号内应填(　　) A. B. C. D. 5.(2026•山东青岛期中)下列说法中正确的是(　　) A.多项式各项的公因式只是各项系数的最大公约数 B.提公因式后，括号内多项式的项数与原多项式的项数相同 C.多项式分解因式为 D.任何多项式都能用提公因式法进行因式分解 6.(2025•山东潍坊期中)多项式的公因式是(　　) A. B. C. D. 7.(2025•山东聊城期中)把分解因式，结果是(　　) A. B. C. D. 8.(2025•四川成都中考)用整式乘法检验，下列因式分解正确的是(　　) A. B. C. D. 9.(2025•山东德州期中)甲、乙两名同学分解多项式的过程如下： 甲：； 乙：． 下列判断正确的是(　　) A.甲对　　　　B.乙对　　　　C.都对　　　　D.都错 10.(2026•山东烟台期末)把分解因式，结果是(　　) A. B. C. D. 11.(2026•山东威海期中)分解因式：=______． 12.(2025•山东青岛期末)分解因式：=______． 13.(2025•山东泰安期中)分解因式：，则括号内应填______． 14.(2025•山东东营期中)已知，，则的值为______． 15.(2025•山东日照期中)利用因式分解计算：=______． 16.(2025•山西太原期中)一个多项式分解因式的结果为，则这个多项式是______． 17.(2025•山东聊城期中)把下列各式分解因式： （1）； （2）； （3）． 18.(2025•山东济宁期中)下面的因式分解是否正确？如果不正确，请改正： （1）； （2）； （3）． 19.(2025•山东菏泽期中)把下列各式分解因式： （1）； （2）． 20.(2026•山东青岛期末)利用因式分解计算： （1）； （2）． 21. (2025•山东潍坊期末)已知，求多项式的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 答案： 1.B　解析：12与8的最大公约数是4，相同字母a的最低次幂是，b的最低次幂是，所以公因式是．故选B. 2.C　解析：A漏掉了“1”，应为；B提负号后括号内各项未变号，应为；C正确；D漏掉了项“x”，应为．故选C. 3.C　解析：C提公因式m后漏掉了“1”这一项，应为；A、B、D都正确．故选C. 4.B　解析：把-4ab与各选项相乘检验：，与原多项式相等．故选B. 5.B　解析：公因式还要取相同字母的最低次幂，故A错误；提负号后括号内各项要变号，，故C错误；如的各项没有公因式，不能用提公因式法分解，故D错误．故选B. 6.B　解析：4与6的最大公约数是2，两项都含有因式，所以公因式是．故选B. 7.A　解析：．故选A. 8.B　解析：，故A错误；，故B正确；，故C错误；，故D错误．故选B. 9.B　解析：甲提公因式后漏掉了“1”这一项；乙正确，因为．故选B. 10.A　解析：各项系数-16、24、-8的最大公约数是8，为使首项系数为正，提出，括号内各项依次为，，1，所以．故选A. 11.　解析：提公因式ab，． 12.　解析：提公因式3ab，注意“3ab”这一项提取后剩下1，不能漏掉． 13.　解析：，，，所以括号内应填． 14.　解析：，把，代入，得． 15.2026　解析：． 16.　解析：． 17.解：（1）； （2）； （3）． 18.解：（1）错误，； （2）错误，； （3）正确． 19.解：（1）； （2）． 20.解：（1）； （2）． 21.解：．因为，所以原式． 学科网（北京）股份有限公司 $