2026-2027学年人教版九年级上册数学第一次月考仿真卷

【金考密卷】2026-2027学年第一次月考仿真卷 九年级数学细目表 题号 难度 知识点 一、单选题 1 容易 y=ax²+k的图象和性质 2 容易 解一元二次方程——配方法 3 容易 一元二次方程的定义 4 容易 二次函数图象与各项系数符号,y=ax²+k的图象和性质 5 适中 y=ax²+bx+c的图象与性质 6 适中 增长率问题(一元二次方程的应用) 7 适中 增长率问题(一元二次方程的应用) 8 困难 y=ax²+bx+c的图象与性质,二次函数图象与各项系数符号,根据二次函数的图象判断式子符号,y=ax²+bx+c的最值,根据二次函数图象确定相应方程根的情况 二、填空题 9 容易 二次函数图象的平移 10 容易 化成一元二次方程的一般式 11 容易 一元二次方程的根与系数的关系 12 容易 增长率问题(一元二次方程的应用) 13 适中 一元二次方程的根与系数的关系,已知式子的值，求代数式的值 14 适中 根据交点确定不等式的解集 15 适中 由一元二次方程的解求参数 16 困难 y=ax²+bx+c的图象与性质,根据二次函数的图象判断式子符号,根据二次函数的对称性求函数值,根据二次函数图象确定相应方程根的情况 三、解答题 17 容易 因式分解法解一元二次方程 18 适中 解一元一次方程（一）——合并同类项与移项,因式分解法解一元二次方程,根据判别式判断一元二次方程根的情况,整式的混合运算,运用完全平方公式进行运算 19 容易 y=a（x-h）²的图象和性质 20 容易 因式分解法解一元二次方程,待定系数法求二次函数解析式,y=a（x-h）²+k的图象和性质,抛物线与x轴的交点问题,喷水问题(实际问题与二次函数) 21 容易 已知二次函数的函数值求自变量的值 22 适中 根据矩形的性质求线段长,动态几何问题(一元二次方程的应用),利用矩形的性质证明,用勾股定理解三角形,利用平行四边形性质和判定证明 23 适中 营销问题(一元二次方程的应用),解分式方程（化为一元一次）,分式方程的经济问题,用一元一次不等式解决实际问题 24 适中 配方法的应用,已知字母的值 ，求代数式的值,运用完全平方公式进行运算,通过对完全平方公式变形求值,完全平方公式分解因式 25 困难 与图形有关的问题(一元二次方程的应用),待定系数法求二次函数解析式,特殊四边形(二次函数综合),一次函数、二次函数图象综合判断,等腰三角形的性质和判定,求一次函数解析式 学科网（北京）股份有限公司 $ 【金考密卷】2026-2027学年第一次月考仿真卷 九年级数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答题标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水笔将答案写在答题卡的指定位置，在其他位置答题一律无效。 3. 涂卡必须用2B铅笔做答，并请加黑、加粗。 4. 本试卷测试范围：人教版2024九年级第25,26章 一，选择题（24分） 1．（本题3分）（26-27九年级上·新疆吐鲁番·阶段检测）二次函数的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 2．（本题3分）（26-27九年级上·新疆吐鲁番·阶段检测）用配方法解方程，配方后所得方程正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（本题3分）（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）下列方程中一定是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 4．（本题3分）（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）二次函数的图像的顶点在轴正半轴上，开口向下，则、的符号为（     ） A． B． C． D． 5．（本题3分）（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 6．（本题3分）（26-27九年级上·北京·期中）某区为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2022年投入3000万元，预计2024年投入5000万元．设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是(     ) A． B． C． D． 7．（本题3分）（26-27九年级上·河南开封·阶段检测）“双碳”背景下，我国新能源汽车保有量已处于世界第一，随着消费人群不断增多，某款新能源汽车销售量持续增长．假设月销售量的增长率一致，且第三个月的销售量是第一个月的2倍．设第一个月的销售量为a辆，月销售量的增长率为x，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 8．（本题3分）（23-24九年级上·山东泰安·阶段检测）如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④一元二次方程没有实数根．⑤其中正确的结论个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（共24分） 9．（本题3分）（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）将二次函数的图像向左平移个单位，再向上平移个单位，得到的函数解析式是______．（用顶点式表示） 10．（本题3分）（26-27九年级上·湖北黄冈·阶段检测）把一元二次方程 化为一般形式是____________． 11．（本题3分）（26-27九年级上·甘肃酒泉·阶段检测）已知是方程的一个根，则方程的另一个根是______． 12．（本题3分）（2022·福建福州·模拟预测）某加工厂九月份加工了吨干果，十一月份加工了吨干果．设该厂加工干果重量的月平均增长率为，根据题意可列方程为_____． 13．（本题3分）（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知，是方程的两个根．则_______． 14．（本题3分）（26-27九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是____________ 15．（本题3分）（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）若关于的一元二次方程有一个根为2026，则一元二次方程必有一个根为________． 16．（本题3分）（25-26九年级上·吉林长春·开学考试）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③若点、点、点在该函数图象上，则；④若方程的两根为和，且，则．其中正确的结论是__________． 三、解答题（共102分） 17．（本题10分）（26-27九年级上·湖北黄冈·阶段检测）解下列方程： (1)； (2)． 18．（本题10分）（24-25九年级上·云南曲靖·期中）已知关于x的一元二次方程（m为实数且）． (1)求证：此方程总有两个实数根； (2)如果此方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值． 19．（本题10分）（26-27九年级上·新疆吐鲁番·阶段检测）已知二次函数 (1)在如图的坐标系中描点，画出该二次函数的图象； (2)写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标； x … 0 1 2 3 4 … … 2 0 2 … 20．（本题10分）（2026·广东清远·三模）某公园雕塑的顶端点A处安装有喷水装置，喷出的水呈抛物线形．测得雕塑的高度为，当喷出的水柱与的水平距离为时，达到最大高度．以点O为原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系（如图）． (1)求水柱所在抛物线的函数表达式； (2)求水柱落地点与雕塑的水平距离． 21．（本题10分）（26-27九年级·浙江·暑假作业）已知二次函数 (1)当时，y的值是多少？ (2)当x为何值时，y的值为0？ 22．（本题12分）（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在矩形中，．动点P从点A出发沿方向以的速度运动，动点Q同时从点C出发沿方向以的速度运动．当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动． (1)这两个动点出发后经过多长时间它们之间的距离是? (2)请根据题目情境提出一个新问题，并加以解决． 23．（本题12分）（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）暑期档电影《牛来》和《奥德赛》深受大家喜爱．已知某电影院，1张《奥德赛》电影票比1张《牛来》电影票贵5元，用525元购买《奥德赛》电影票数量与用450元购买《牛来》电影票数量一样多． (1)求《牛来》和《奥德赛》电影票的单价． (2)该电影院按（1）中价格售票，平均每日可以售卖《牛来》电影票50张．据调查发现票价每降价1元销售量会增加5张，但是销售单价不得低于20元．若《牛来》的日销售额要达到1820元，单价应降低多少元？ 24．（本题14分）（26-27九年级上·甘肃天水·阶段检测）阅读：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．例如：是的一种形式的配方，是的另一种形式的配方 请根据阅读材料解决下列问题： (1)比照上面的例子，写出的一种形式的配方； (2)已知，求的值； (3)已知，求的值． 25．（本题14分）（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图1，抛物线交轴于点和点，交轴于点，且． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上一动点，连接和，交于点，交轴于点，若是以为底的等腰三角形，求点的坐标； (3)如图2所示，若点是抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，请问在轴上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第20页（共20页） 试卷第1页（共20页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 【金考密卷】2026-2027学年第一次月考仿真卷 九年级数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答题标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水笔将答案写在答题卡的指定位置，在其他位置答题一律无效。 3. 涂卡必须用2B铅笔做答，并请加黑、加粗。 4. 本试卷测试范围：人教版2024九年级第25,26章 一，选择题（24分） 1．（本题3分）（26-27九年级上·新疆吐鲁番·阶段检测）二次函数的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】抛物线是抛物线解析式中的顶点式，直接写出顶点坐标即可． 【详解】解：二次函数顶点坐标为． 2．（本题3分）（26-27九年级上·新疆吐鲁番·阶段检测）用配方法解方程，配方后所得方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， 移项得， 两边加，得， 即. 3．（本题3分）（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）下列方程中一定是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一元二次方程是指只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、方程含有x，y两个未知数，故不是一元二次方程； B、方程未知数最高次数为3，故不是一元二次方程； C、方程是一元二次方程； D、方程中分母含未知数，故不是一元二次方程． 4．（本题3分）（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）二次函数的图像的顶点在轴正半轴上，开口向下，则、的符号为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据开口向下确定，根据二次函数的图像的顶点在轴正半轴上，确定． 【详解】解：∵二次函数的图像开口向下， ∴， ∵该函数的顶点坐标为，且顶点在轴正半轴上， ∴． 5．（本题3分）（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定二次函数的对称轴与开口方向，通过比较各点到对称轴的距离判断函数值大小． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线． ∵ ， ∴ 抛物线开口向上，点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大． 点到对称轴的距离为． 点到对称轴的距离为． 点到对称轴的距离为． ∵ ， ∴ ． 6．（本题3分）（26-27九年级上·北京·期中）某区为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2022年投入3000万元，预计2024年投入5000万元．设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是(     ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据增长率问题的公式列式即可．增长率问题的公式：，其中a是增长前的量，b是增长后的量，x是增长率，n是增长的次数． 【详解】解：教育经费的年平均增长率为x， 根据题意，得：． 7．（本题3分）（26-27九年级上·河南开封·阶段检测）“双碳”背景下，我国新能源汽车保有量已处于世界第一，随着消费人群不断增多，某款新能源汽车销售量持续增长．假设月销售量的增长率一致，且第三个月的销售量是第一个月的2倍．设第一个月的销售量为a辆，月销售量的增长率为x，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用公式（其中a指原销售量，b指连续两次增速后的销售量，x为每次的平均增长率），列方程求解即可． 【详解】解：第一个月销售量为，月增长率为. 第二个月销售量为. 第三个月销售量为， ∵第三个月销售量是第一个月的倍， ∴． 8．（本题3分）（23-24九年级上·山东泰安·阶段检测）如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④一元二次方程没有实数根．⑤其中正确的结论个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】图象开口方向判断出，由对称轴得出，抛物线与y轴的交点判断，抛物线与轴交点的个数确定，再结合抛物线的部分图象和其顶点，且与轴的一个交点在点和之间，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：由抛物线开口向下可知， 对称轴为直线， ，即， 抛物线与轴交点在轴上方， ， ，故①错误； 抛物线与轴的一个交点在和之间，对称轴为， 抛物线与轴的另一个交点在和之间， 当时，， 即， ， ， 即，故②正确； 顶点坐标为， ， ， ，故③正确； 抛物线开口向下，顶点纵坐标为， 函数最大值为， ， 抛物线与直线无交点， 方程无实数根，故④正确； 当时，取最大值， 对于任意实数，都有， ， 即， 当时，，故⑤错误； 综上所述，正确的结论有②③④，共3个． 二、填空题（共24分） 9．（本题3分）（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）将二次函数的图像向左平移个单位，再向上平移个单位，得到的函数解析式是______．（用顶点式表示） 【答案】 【分析】根据二次函数图像平移的“左加右减，上加下减”规律，对原解析式进行变换即可得到结果． 【详解】解：二次函数图像平移遵循“左加右减，上加下减”的规律， 原二次函数解析式为，向左平移个单位，需对自变量左加，将替换为， 第一次平移后得到． 再向上平移个单位，需对函数整体上加，在式子后加， 最终得到的函数解析式为． 10．（本题3分）（26-27九年级上·湖北黄冈·阶段检测）把一元二次方程 化为一般形式是____________． 【答案】 【分析】一元二次方程的一般形式为，移项整理原方程即可得到结果． 【详解】解：移项得． 11．（本题3分）（26-27九年级上·甘肃酒泉·阶段检测）已知是方程的一个根，则方程的另一个根是______． 【答案】 【分析】设方程另一个根为，利用一元二次方程根与系数的关系，由两根之积建立等式求解． 【详解】解：设方程的另一个根为，已知一个根， ， 整理得， 解得． 12．（本题3分）（2022·福建福州·模拟预测）某加工厂九月份加工了吨干果，十一月份加工了吨干果．设该厂加工干果重量的月平均增长率为，根据题意可列方程为_____． 【答案】 【分析】十一月加工量=九月加工量（+月平均增长率），把相关数值代入即可． 【详解】解：设该厂加工干果重量的月平均增长率为， 根据题意，可列方程为：． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握求平均变化率的方法．若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为． 13．（本题3分）（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知，是方程的两个根．则_______． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到两根和与两根积，再将所求式子配方变形后代入计算． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴， ∴． 14．（本题3分）（26-27九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是____________ 【答案】 【分析】将不等式变形为，结合函数图像，找出抛物线在直线下方部分对应的的取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴， 抛物线与直线交于，两点， 当或时，， 观察函数图像可知，当时，抛物线的图像在直线的下方， 不等式的解集为． 15．（本题3分）（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）若关于的一元二次方程有一个根为2026，则一元二次方程必有一个根为________． 【答案】 【分析】观察两个方程的结构，利用换元法将待求方程转化为与已知方程形式相同的方程，结合已知根求解． 【详解】解：将方程变形为， 设，则原方程可化为， ∵关于的一元二次方程有一个根为， ∴有一个根为， 即，解得， 因此一元二次方程必有一个根为． 16．（本题3分）（25-26九年级上·吉林长春·开学考试）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③若点、点、点在该函数图象上，则；④若方程的两根为和，且，则．其中正确的结论是__________． 【答案】 【分析】利用对称轴公式得到与的关系判断①，根据二次函数与x轴交点位置判断处的函数值符号判断②，根据开口方向和点到对称轴的距离比较函数值大小判断③，将方程的根转化为抛物线与直线的交点位置判断④． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， 由对称轴公式可得， ， 整理得，故①正确； 抛物线过点，对称轴为， 抛物线与轴的另一个交点横坐标为， 即另一个交点为，且抛物线开口向下， 当时，， ，移项得，故②错误； 计算三个点到对称轴的距离： 点的距离， 点的距离， 点的距离， 可得， 抛物线开口向下，点到对称轴的距离越大，函数值越小， ，故③正确； 方程的根是抛物线与直线交点的横坐标， 抛物线过和，开口向下，， 两个交点分别在和的范围内， ，，故④正确； 综上，正确结论为． 三、解答题（共102分） 17．（本题10分）（26-27九年级上·湖北黄冈·阶段检测）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可； 利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： 或 ∴，； （2）解： 或 ∴，． 18．（本题10分）（24-25九年级上·云南曲靖·期中）已知关于x的一元二次方程（m为实数且）． (1)求证：此方程总有两个实数根； (2)如果此方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值． 【答案】(1) 证明：由题意可得： ， ， 此方程总有两个实数根； (2)或 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程，整式的混合运算，完全平方公式，解一元一次方程等知识点，熟练掌握一元二次方程根的判别式及一元二次方程的解法是解题的关键． （1）由题意可得，于是结论得证； （2）利用因式分解法解一元二次方程，得，，由“方程的两个实数根都是整数”可得或，解方程即可求出的值，再结合“是正整数”，即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ，， 方程的两个实数根都是整数， 或， 解得：或或或， 是正整数， 或． 19．（本题10分）（26-27九年级上·新疆吐鲁番·阶段检测）已知二次函数 (1)在如图的坐标系中描点，画出该二次函数的图象； (2)写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标； 【答案】(1)描点，连线 (2)对称轴为直线，顶点坐标为 【详解】（1）解：列表： x … 0 1 2 3 4 … … 2 0 2 … 画图略 （2）解：该二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为． 20．（本题10分）（2026·广东清远·三模）某公园雕塑的顶端点A处安装有喷水装置，喷出的水呈抛物线形．测得雕塑的高度为，当喷出的水柱与的水平距离为时，达到最大高度．以点O为原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系（如图）． (1)求水柱所在抛物线的函数表达式； (2)求水柱落地点与雕塑的水平距离． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）由题目所给条件可得点的坐标和抛物线顶点坐标，设出其顶点式，把点代入求解即可得到该抛物线的函数表达式； （2）题意为求点的坐标，令（1）中求得的函数表达式值为求解即可． 【详解】（1）解：由题可得，点的坐标为，该抛物线的顶点为， 设该抛物线的顶点式为， 把点代入得，解得， 该抛物线的函数表达式为； （2）解：令得， 两边同时乘以得， 因式分解得， 解得，， 点的坐标为， 水柱落地点与雕塑的水平距离为． 21．（本题10分）（26-27九年级·浙江·暑假作业）已知二次函数 (1)当时，y的值是多少？ (2)当x为何值时，y的值为0？ 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：当时，； （2）解：当时， ， 解得． 故当或时，y的值为0． 22．（本题12分）（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在矩形中，．动点P从点A出发沿方向以的速度运动，动点Q同时从点C出发沿方向以的速度运动．当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动． (1)这两个动点出发后经过多长时间它们之间的距离是? (2)请根据题目情境提出一个新问题，并加以解决． 【答案】(1)出发后经过或时，两点之间的距离是 (2)问题：当为何值时，四边形是矩形？ 解：∵四边形是矩形， ∴，． ∵，， ∴ 解得， ∴此时， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 【分析】（1）过作于，得矩形，故．用时间表示、，推得水平距离．在中，由勾股定理列方程，结合验根，得到两个符合条件的解； （2）可设问题为：当为何值时，四边形是矩形？，由矩形性质得，只需满足即可先判定平行四边形，结合即可得矩形．根据、，列方程求解，即可得到对应时间． 【详解】（1）解：过点作于点，如图： ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，． 设运动时间为， 由题意得，，， ∴，， ∴， 在中， 解得或； 由题意得，点到达终点的时间为，点到达终点的时间为， ∵当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动， ∴的取值范围为． ∵，，均符合题意， 答：出发后经过或时，两点之间的距离是； （2）略 23．（本题12分）（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）暑期档电影《牛来》和《奥德赛》深受大家喜爱．已知某电影院，1张《奥德赛》电影票比1张《牛来》电影票贵5元，用525元购买《奥德赛》电影票数量与用450元购买《牛来》电影票数量一样多． (1)求《牛来》和《奥德赛》电影票的单价． (2)该电影院按（1）中价格售票，平均每日可以售卖《牛来》电影票50张．据调查发现票价每降价1元销售量会增加5张，但是销售单价不得低于20元．若《牛来》的日销售额要达到1820元，单价应降低多少元？ 【答案】(1)《牛来》电影票单价为30元，《奥德赛》电影票单价为35元 (2)单价应降低4元 【分析】（1）设《牛来》电影票的单价为元，则《奥德赛》电影票的单价为元，根据题意列出分式方程，即可求解； （2）设单价应降低元，根据题意列出一元二次方程，解方程得的值，再根据销售单价不得低于20元，确定的值，即可求解． 【详解】（1）解：设《牛来》电影票的单价为元，则《奥德赛》电影票的单价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是方程的解， ∴（元）． 答：《牛来》电影票单价为30元，《奥德赛》电影票单价为35元． （2）解：设单价应降低元， 由题意得，， 解得，， ∵销售单价不得低于20元， ∴， 解得， ∴， ∴． 答：单价应降低4元． 24．（本题14分）（26-27九年级上·甘肃天水·阶段检测）阅读：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．例如：是的一种形式的配方，是的另一种形式的配方 请根据阅读材料解决下列问题： (1)比照上面的例子，写出的一种形式的配方； (2)已知，求的值； (3)已知，求的值． 【答案】(1) （答案不唯一） (2) (3) 【分析】（1）将二次项与一次项组合，利用完全平方公式配成完全平方式，调整常数项即可得到配方形式； （2）将等式中含x、y的项分别分组配方，根据平方的非负性求出x、y的值，代入代数式计算； （3）将等式左边拆项后分组配方，根据平方的非负性求出a、b、c的值，代入代数式计算． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 解得，， ∴． （3）解：∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴，，， 解得，，， ∴． 25．（本题14分）（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图1，抛物线交轴于点和点，交轴于点，且． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上一动点，连接和，交于点，交轴于点，若是以为底的等腰三角形，求点的坐标； (3)如图2所示，若点是抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，请问在轴上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2) (3)符合条件的点有三个，坐标为：，， 【分析】（1）先推导出，再根据待定系数法进行求解即可； （2）先求出，即，根据三角形的内角和求出，推导出，得到，可推导出是等腰直角三角形，求出，继而求出直线解析式是，联立直线与抛物线，求出点D的横坐标，再求出，即可解答； （3）分类讨论：当为对角线和菱形边时，利用直线与x轴成角关系建立关于P的横坐标的方程，进而求出点的坐标． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∴， 将，分别代入，得 ， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：当时， ， 解得， ∴，即， ∵，， ∴， ∵是以为底的等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， 设直线解析式是，把，分别代入，得 ， ∴， ∴直线解析式是， 联立直线与抛物线：，得 ， 解得（点B，舍去），， 将代入，得 ， ∴； （3）解：设直线解析式是， 把，代入，得 ， ∴， ∴直线解析式是． ①当为菱形的对角线时，如图2， 设，则， ∴， ，四边形是菱形， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴，即轴， ∴， ， 解得（不合题意舍去）或， 此时， ． ②当为菱形的边时，如图， 作于点H，   设，则， ∴，， ， ∴． ∴ 解得：，，（不合题意舍去）． 或． ∴，， 如图所示， 综上所述，符合条件的点有三个，坐标为：，，． 试卷第20页（共20页） 试卷第1页（共20页） 学科网（北京）股份有限公司 $