2026-2027学年北师大版九年级数学上学期第一次学情检测卷含答案解析

2026-2027学年九年级数学上学期第一次学情检测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材北师大版九年级上册第1-2章 一、单选题：本题共10小题，每题3分，共30分。 1．下列关于的方程，属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．若是方程的一个根，则实数m的值为（     ） A． B． C．1 D．3 3．用配方法解方程配方后可得（     ） A． B． C． D． 4．一个同学经过培训后会做某项实验，回到班级后第一节课他教会了若干个同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有49人会做这项实验，若设每人每次能教会名同学，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 5．根据如图平行四边形中所标注的角的度数、边的长度，一定能判定其为菱形的是（     ） A． B． C． D． 6．如图，小明能用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线长就可以判断了，他的依据是（     ） A．有一个角是直角的四边形是矩形 B．对角线垂直的平行四边形是矩形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．有三个角是直角的四边形是矩形 7．矩形、菱形、正方形不同时具有的性质是（     ） A．对边平行且相等 B．每条对角线平分一组对角 C．对角线互相平分 D．对角相等 8．下列命题中为假命题的是（   ） A．有三个角都是直角的四边形是矩形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．对角线互相平分且相等的四边形是矩形 D．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 9．以红色和金色的丝线精心编织的菱形中国结装饰，不仅展现了中国传统手工艺的精细与复杂，也蕴含着深厚的文化意义和美好的祝福．如图1是一个中国结，图2是其菱形示意图，若菱形的对角线，则它的边长为（     ） A． B． C． D． 10．如图，是矩形的边上（端点除外）的动点，连接，，作平行四边形，连接，分别交于点，．下列四个结论： ①；②；③；④若点是的中点，则为菱形． 以上结论正确的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题：本题共6小题，每题3分，共18分。 11．如图，在中，，是边上的中线，若，，则的长是_______________． 12．如图，菱形的面积为，，点在边上，连结，点是直线上的动点，连结，分别取、的中点、，连结，则的最小值是__________． 13．如图，在直角坐标系中，菱形的顶点A的坐标为，B的坐标为，点D在y轴上，则点C的坐标为___________． 14．若p，q是方程的两个实数根，则代数式的值为_______． 15．如图，在矩形中，，，点在上，且，连接，将沿折叠得到，若点的对应点Q落在矩形的边上，则___________． 16．对于一元二次方程，下列说法： ①若方程的两个根是和，则； ②若是方程的一个根，则一定有成立； ③若，则它有一个根是； ④若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根． 其中正确的是__ ． 三、解答题：本题共7小题，共72分。 17．解方程： (1)； (2)． 18．如图，学校课外生物小组的试验园地是长、宽的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道．要使种植面积为，求小道的宽．（精确到） 19．如图，在中，是的一条角平分线，为的外角的平分线，，垂足为E．连接，交于点F． (1)试判断四边形的形状，并证明你的结论． (2)线段与有怎样的关系？请证明你的结论． 20．如图，四边形是正方形，E是边上的一点，且．当点P在对角线上运动时，的最小值是多少？ 21．已知：如图，在菱形中，为对角线上的两点，且．求证：． 22．如图，在中，为锐角，点D为射线上一动点，连接，以为一边且在的右侧作正方形．解答下列问题： (1)如果 ①当点D在线段上时，（与点B不重合），如图1，线段之间的位置关系为_________，数量关系为_________． ②当点D在线段的延长线上时，如图2，①中的结论是否成立，为什么？（要求写出证明过程．） (2)如果，点D在线段上运动，且时， ①请你判断线段之间的位置关系，并直接写出结论． ②若，求正方形的边长． 23．如图1，在四边形中，，，，，．点P从点A出发以的速度向点D运动：点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点P，Q运动的时间为． (1)如图，从运动开始，当t为何值时，； (2)如图，从运动开始，当t为何值时，； (3)如图，从运动开始，当t为何值时，为直角三角形． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A C C C C B D B C 1．B 【分析】只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程． 【详解】解：A选项方程为，含两个未知数，不符合题意； B选项方程为，只含一个未知数，最高次数为2，是整式方程，符合题意； C选项方程为，不是整式方程，不符合题意； D选项方程为，最高次数为1，不符合题意． 2．A 【分析】把代入方程，然后解关于m的方程即可． 【详解】解：把代入方程，得， 解得：． 3．C 【详解】解：方程， 移项得， 配方得，即． 4．C 【分析】以每节课后会做总人数为下一节课的传播基数，累加各阶段人数列方程． 【详解】解：∵初始会做人数为1，每人每节课教会名同学． ∴第一节课后总会做人数为． ∴第二节课新增会做人数为． ∵总会做人数为49． ∴可列方程． 5．C 【分析】根据菱形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A、如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴无法判断是菱形．故本选项不合题意． B、如图， ∵，， ∴，即， ∴， ∴无法判断是菱形，故本选项不合题意． C、如图， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴是菱形．故本选项符合题意． D、如图， ∵，， ∴， ∴与不垂直， ∴无法判断是菱形，故本选项不合题意． 6．C 【详解】解：检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线长就可以判断了，依据是对角线相等的平行四边形是矩形． 7．B 【分析】根据矩形、菱形和正方形的性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：∵ 矩形、菱形和正方形是特殊的平行四边形， ∴ 三者的对边平行且相等，对角相等、对角线互相平分，故选项A、C、D不符合题意； ∵ 每条对角线平分一组对角是菱形、正方形的性质，矩形不具有该性质， ∴ B不是三者共有的性质，故选项B符合题意． 8．D 【分析】根据平行四边形、菱形、矩形的判定定理，逐项判断命题的真假即可得出答案． 【详解】解：A．三个角是直角的四边形是矩形，符合矩形的判定定理，是真命题，不符合题意； B．对角线相等的平行四边形是矩形，是矩形的判定定理，是真命题，不符合题意； C．对角线互相平分的四边形是平行四边形，结合对角线相等，可判定该四边形是矩形，是真命题，不符合题意； D． 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不一定是矩形，是假命题，符合题意． 9．B 【分析】根据菱形的对角线互相垂直且平分的性质，计算菱形的边长即可． 【详解】解：∵菱形的两条对角线，， ∴， ∴菱形的边长为． 10．C 【分析】根据矩形和平行四边形的性质，利用平行线的性质可判断①；利用面积公式可判断②；通过作辅助线构造全等三角形可判断③；利用全等三角形和菱形的判定可判断④，从而得出正确结论． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ，故结论①正确； 设矩形的边长为，则， 又的底为，高为， ， ， ，故结论②不正确； 过点作于点， ， ， ， 在和中，      ()， ， 同理， ， ，故结论③正确； 若点是的中点，则， 在和中，      ()， ， 又四边形是平行四边形， 为菱形，故结论④正确； 综上所述，正确的结论是①③④． 11． 【分析】利用直角三角形斜边中线定理求出斜边长度，再利用勾股定理进行求解． 【详解】解：∵在中，是斜边上的中线，且， ∴， 由勾股定理得． 12．2 【分析】连接，证明是的中位线，则，当时，取得最小值，此时取得最小值，根据菱形的面积求出，即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵、的中点分别、， ∴是的中位线， ∴， 当时，取得最小值，此时取得最小值， ∵菱形的面积为，， ∴当时， ∴， 此时， 即的最小值是． 13． 【分析】根据、两点坐标求出菱形边长，利用勾股定理在中求出长从而确定点坐标，最后根据菱形对边平行且相等的性质求出点坐标． 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵点在轴上，且由图可知在轴正半轴， 在中，， ∴， ∴， ∵，在轴上，轴， ∴点的纵坐标与点相同，为， ∵在的左侧，， ∴点的横坐标为， ∴点的坐标为． 14．8 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系得到的值，然后根据方程根的定义表示出，最后代入代数式即可求解． 【详解】解：∵p，q是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴． 15．8或 【分析】分两种情况：①当Q点在上时，根据矩形的性质和折叠的性质，可得，根据，即可求出a的值；②当Q点在边上时，根据折叠的性质可得，，进而可得．设，则，在中，根据勾股定理可得，在中, 根据勾股定理可得． 本题主要考查了矩形的性质和勾股定理，注意分类讨论是解题的关键． 【详解】解：①如图1，当Q点在上时 ∵四边形是矩形， ∴， ∵将沿折叠得到， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②如图2，当Q点在边上时， ∵四边形是矩形， ∴，且，， ∵， ∴， ∵将沿折叠得到， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 解得． 在中，， ∴， ∴， 解得（舍去），． 综上，或． 16．①③④ 【分析】根据一元二次方程根的定义和根与系数关系分别进行计算即可得到答案． 【详解】解：若方程的两个根是和2，则， ， ，故①正确； 若是方程的一个根，则， 或，故②错误； 若，则， 即有一个根是，故③正确； 若方程有一个根是，则， 当时，， 若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根，故④正确； 综上可知，正确的是①③④． 17．(1)， (2)， 【分析】（1）利用因式分解法即可解答； （2）利用公式法即可解答； 【详解】（1）解：因式分解得， 或， 解得，； （2）解：，，， ， ∴ 解得，． 18． 【分析】设小道的宽为，种植面积等于一个长为，宽为的矩形的面积，据此建立方程求解即可． 【详解】解：设小道的宽为， 由题意得， 整理得 解得或（舍去）， 答：小道的宽约为． 19．(1)解：四边形为平行四边形， 证明：平分，平分， ，， ， 在中，，平分， ， ， ， ． ， 四边形为矩形； ∴， ∴四边形是平行四边形； (2) 解：，，证明如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，，即， ∵四边形为矩形， ∴， ∴． 【分析】（1）由在中，，是的一条角平分线，可得，，又由为的外角的平分线，可得，又由，即可证得：四边形为矩形，再由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明； （2）根据矩形和平行四边形的性质即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 20． 【分析】本题为将军饮马题型，利用正方形对角线是对称轴，得到点的对称点是点，连接，可得，将转化为；连接，依据两点之间线段最短，的长度就是的最小值，再用勾股定理计算． 【详解】解：如图，连接、， 四边形是正方形， 点，关于直线对称，， ， ． 两点之间，线段最短， 当，，三点共线时，取得最小值，最小值为线段的长． ，， ， ， ． 四边形是正方形， ． 由勾股定理得： ， 的最小值是． 21．， ， ， ， ． 【详解】证明： 略 22．(1)①，； ②结论仍然成立，证明如下： ∵四边形是正方形， ∴，． ∵， ∴， 即． 又， ∴． ∴，． ∵，， ∴， ∴， ∴， 即． (2)①．②． 【分析】（1）①运用正方形的边相等、内角为的性质，以及已知的，的条件．得，，所以可推出，结合，，用证明，根据全等三角形对应边相等、对应角相等得到和的数量关系，再结合推导角的关系得到位置关系． ②点D在延长线上时同理证明全等即可验证结论． （2）①过点A作交于点G，构造出等腰直角，可得到，结合正方形，同理证明，再通过推导角的关系得到与的位置关系． ②连接，过点A作，交于点G．因为已证，且构造的是等腰直角三角形，已知，可求出的长度，结合得到的长度，再在直角三角形中用勾股定理求的长度，即正方形的边长． 【详解】（1）解：①∵四边形是正方形， ∴，． ∵， ∴，即． 又， ∴． ∴，． ∵，， ∴， ∴， ∴， 即． ②略 （2）解：①结论：． 过点A作，交于点G． ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴． ②连接，过点A作，交于点G． 由①知，是等腰直角三角形， ∴． 由①知，， ∴， ∵等腰直角中，， ∴． 由①知，， ∴在中，． ∵正方形的边，且正方形边长满足， ∴， 解得． 即正方形的边长为． 23．(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用两组对边分别平行得到平行四边形，对边相等列方程求解即可； （2）过D、Q作垂线构造矩形，利用等腰三角形三线合一，F是的中点建立等式解方程即可； （3）对的直角顶点分两种情况讨论，分别构造直角，利用矩形性质、勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ，， ， ， ， 当时，四边形为平行四边形， ， ，解得； （2）解：如图，过点D作，过点Q作， ， ，， ， 四边形和均为矩形， ，， ， ， ， 点为的中点， ， ，解得； （3）解：①如图，当时， ，，， ， 四边形为矩形， ， ， ，解得； ②如图，当时，过点D作， ， ，， ， 四边形为矩形， ，， ， ，， 在中，， 在中，， ， ，解得； 综上所述，或． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $