专题26.3 二次函数与一元二次方程 培优讲义 -2026-2027学年人教版数学九年级上册

null2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 专题26.3二次函数与一元二次方程『重点难点同步培优讲义』 (知识梳理+11个题型讲练+中考真题演练+难度分层练共58题) 【人教版数学新教材•九年级上册（原卷版）】 山进义简介」 同学你好，本套讲义针对2026年人教版九年级上册最新版教材精心制作，贴合书本内容。讲 义包含精编思维导图，知识梳理精讲，重点难点题型讲练，中考真题实战演练，精选真题难度 分层练等五大部分！题日新颖，题量充沛，解析思路清晰，精选近两年名校真题，模拟题等最 新题日，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优和拔尖的同学使用，讲义可作为同步复习， 章节巩固，期中期木强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ ■山且录导航 。98g8。。 思维导图… 2 知识梳理... 2 知识点一二次函数图像与x轴的交点和一元二次方程根的关系............2 知识点二利用二次函数的图像求一元二次方程的近似根.…………3 知识点三二次函数与不等式的关系. 题型讲练.…… 题型一求抛物线与×轴的交点坐标.... 题型二求抛物线与y轴的交点坐标.. .5 题型三已知二次函数的函数值求自变量的值..· 7 题型四抛物线与×轴的交点问题· …8 题型五根据二次函数图象确定相应方程根的情况 …9 题型六求×轴与抛物线的截线长..... 10 题型七图象法确定一元二次方程的近似根.... 11 题型八图象法解一元二次不等式. 12 题型九利用不等式求自变量或函数值的范围... 13 题型十根据交点确定不等式的解集….14 题型十一一元二次方程的解的估算 15 中考真题演练… .16 第1页共24页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 难度分层训练 18 【基础夯实】 18 【培优拔高】.. 37 思维导图 人教版九年级上册第26章《二次函数》 二次函数与一元二次方程 第3节二次函数与一元二次方程 是互关银的 它们的图像。方程和解有着害切的联系！上 ●1.复习回顾 2.二次函数与一元二次方程的关系 3.解一元二次方程 二次函数的定义 -元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 解法： 一般地，形如y=ax2+bx+c(a≠0)的函数， 的实数根与二次函数y=ax2+bx+c的图像 (1)直接开平方法：形如x2=a 叫做二次函数.其中，a,b,c是常数，a≠0. 与x轴的交点横坐标相同。 A50 4=0 A<0 (a≥0)x=±Va. 二次函数的图像与性质(a决定开口方向，c次定与y轴交点) 判别式：△=b2-4ac (2)国式分解法：形如(x-m)(x-n)=0 (1)△>0：有两个不相等的实数根： →x=m或x=n。 (2)△=0：有两个相等的实数根： 两个不相等 两个相等 (3)△<0：没有实数根。 的实数根 没有实数根 的实数根 (3)公式法：x=-b土yF-4a 2a a>0,开口向上 a<0,开口向下 注意：用公式法时要先计算判别式△， 有最小值 有最大值 二次函数 再判断根的情况 顶点坐标为（名如。），对将轴为=会 与一元二次方程 Aa A6.易错点拨 44.数形结合 ◆5.知识拓展 ①忽略a≠0，导数二次函数或一元二次方程失去意义 二次函数的图像与x轴的交点即为一元二次方程的根 (1)二次函数与一元二次方程的联系 ②不能正确判断判别式△的符号，导致根的个数判断错误 例：如图，图像与x轴交于A、B两点， 二次函数y=ax2+bx+c 一元二次方程ar2+br+c=0 ③用公式法时，b-4ac的符号计算错误。 删一元二次方程x2-4红+3=0的两根 图像与x轴的交点 方程的实数根 ④不能正确理解“二次函数的图像与x轴的交点就是 是x=1,x=3. 项点的纵坐标 二次函数的最值 一元二次方程的根”，忽视交点情况。 对称轴一名 根的平均值一会 ③解一元二次方程时，忽略检验，产生增根 图像与工轴有两个交点 +有两个不相等的实数根， (2)一元二次方程根的判别式的几何意义 ☆小提示 △=b2-4ac>0一抛物线与x轴有两个交点： 做题时要先看方程或函数的系数特任， 4==0口抛物线与x轴有一个交点（项点）： 进择合适的方法；注意判别式的计算和特号 △<0一她物线与x轴没有交点。 并结合图像进行判断，避免计算错误。 書知识梳理 知识点一二次函数图像与X轴的交点和一元二次方程根的关系 求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与x轴的交点坐标，就是令y=0,求ax2+bx+c=0中x的值 的问题.此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的 个数，它们的关系如下表： 第2页共24页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 二次函数 元二次方程 与x 判别 y=ax2+bx+c(a≠0) x2+bx+c=0(a≠0) 轴交 式 点个 图像 与x轴的交点坐标 根的情况 数 y a>0 抛物线y=r2+bx+c(a≠O) 一元二次方程 2个 与x轴交于(x1,0),(x,0) x2+bx+c=0(a≠0) △>0 有两个不相等的实数根 交点 (化<x)两点 -b±Vb2-4ac a<0 X1,3= 2a y 元二次方程 a>0 -2a 抛物线y=+bx+c(a≠0)与x x2+bx+c=0(a≠0) 1个 △=0 y b 交于（会0这-应 有两个相等的实数根 交点 -2a a<0 X1=x2=- 6 2a a>0 一元二次方程 抛物线y=°+b+C(a≠O) 0个 △<0 +bx+c=0(a≠0) 伊 交点 与x轴无交点 在实数范围内无解（或 a<0 称无实数根) 知识点二利用二次函数的图像求一元二次方程的近似根 1)利用二次函数的图像求一元二次方程的近似根的步骤如下： (1)作图：通过列表、描点、连线，作二次函数y=心+bx+C(a≠O)的图像： (2)找点：确定二次函数图像与x轴的交点： (3)初步估值：根据二次函数图像与x轴的交点的位置，初步估算交点横坐标在整数值之间的大致范围； (4)深入估值：借助计算器，逐步缩小取值范围求值 2)由于作图会存在一定的误差，所以通过图像求得的一元二次方程的根一般是近似值. 第3页共24页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 3)在估值时，x的值一定要连续，在连续的前提下，x的近似值在y值首次出现负数与正数时对应的两个x 值之间」 当x由x1取到x2对应的y值出现y1>0,y2<0(或y1<O,y2>0)且符合题目近似值要求时，x1或x2可 以看作方程的近似根， 知识点三二次函数与不等式的关系 不等式 图像 解集 抛物线y=++C在x轴上方的部分对应的自变量 ax+bx+c-a0) 的取值范围，即x<m或x>n ax+bx+c-a0) 抛物线y=++C在x轴下方的部分对应的自变量 的取值范围，即m<x<n 山题型进练 题型一求抛物线与X轴的交点坐标 【典例精讲】(26-27九年级上·全国·课后作业)下列函数的图象与x轴是否有公共点？如果有公共点， 写出公共点的坐标. (1)y=3x2-6x+9: (2)y=2x2-4x-6. 【变式训练1】(26-27九年级上·北京西城·阶段检测)已知抛物线y=2x2+4x-6. (1)用配方法将y=2x2+4x-6化成y=a(x-五)+k的形式. (2)补全下方的表格，并在答题纸所给的平面直角坐标系中，画出抛物线： 抛物线 顶点坐标 与x轴交点坐标 与y轴交点坐标 2 =2x2+4x .6 第4页共24页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 (3)结合图象回答： ①当x_时，y随x的增大而减小： ②当x满足_时，y<0: ③当-2<x<2时，y的取值范围是_ 【变式训练2】(26-27九年级上·浙江衢州·阶段检测)如图所示，己知抛物线y=x2-1与x轴交于A B两点，与y轴交于点C. (1)求AB、C三点的坐标. (2)在抛物线上是否存在一点M,使得△ABM的面积是△ACB面积的2倍.若存在，请求出M点的坐标；否 则，请说明理由. 题型二求抛物线与y轴的交点坐标 【典例精讲】(2026九年级上·全国·专题练习)已知二次函数y=x2-2x-3. (1)求该抛物线与x轴的交点坐标； (2)求该抛物线与y轴的交点坐标： (3)在直角坐标系中画出该函数的大致图像. 第5页共24页 2026-2027学年人数版数学九年级上册同步精编培优讲练 【变式训练1】(26-27九年级上·福建·单元测试)如图，抛物线y=mx2+nx-3与x轴交于A(-40), B(2,0)两点，与y轴交于C点， (1)填空：m= n= (2)设D为此抛物线的对称轴上一点，当△ACD的面积等于△ABC的面积时，求D点坐标： 【变式训练2】(25-26九年级上·广东东莞·阶段检测)如图，抛物线y2=-x2-x+2与x轴交于点A和 点B,与y轴交于点C,直线y1=x+2经过点A,C. (1)求点A,B,C的坐标： (2)不等式x+2>-x2-x+2的解集为一一： (3)若点M在抛物线上，且S△4Bc=2S△BcM,求点M的坐标. 第6页共24页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 题型三已知二次函数的函数值求自变量的值 【典例精讲】(26-27九年级上·全国·课后作业)一辆汽车在一段时间内加速行驶，测得行驶路程1（单 位：m)关于行驶时间t(单位：s)的函数解析式是l=9t+t2,经过10s汽车行驶了多远？行驶180m需 要多长时间？ 【变式训练1】如图，抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,己知0B=OC=30A. VA B D (1)求该抛物线的函数表达式和对称轴， (2)将点A向上平移m个单位得到点A1,将A1向左平移n个单位得到A2,将A1向右平移5n个单位得到A3,已 知A2和A3均在抛物线上，求m和n的值. 【变式训练2】(2026·甘肃兰州·模拟预测)在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+2的图象过 点A(2,k),B(-1,k) (1)求的值： ②)己知二次函数y=2+bx+2的最大值为岁-a2,求该二次函数的表达式. 第7页共24页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 题型四抛物线与X轴的交点问题 【典例精讲】(26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测)在平面直角坐标系中，设二次函数y=ax2+bx-3a (a,b是实数，a≠0)· (1)判断该函数图象与x轴的交点个数，并说明理由： (2)若该函数图象的对称轴为直线x=1,A(x1,y1),B(x2,y2)为函数图象上的两点，其中x1<x2·求当x1, x2为何值时，y1=y2=5a: 【变式训练1】(26-27九年级上·上海金山·阶段检测)已知二次函数y=kx2-2x+1(k为常数)的图 像与x轴有两个交点， (1)求k的取值范围： (2)若此二次函数图像与x轴的两个交点之间的距离为1，求k的值. 【变式训练2】(26-27九年级上·辽宁铁岭·阶段检测)己知二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数， 且a≠0)的函数值y与自变量x的部分对应值如表： -2 0 2 3 5 -3 一3 (1)该函数图象的对称轴为直线_： (2)关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根是： (3)关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>5的解集是_： (4)若关于x的一元二次方程ax2+bx+c-t=0(t为实数)在-1<x<4的范围内有实数根，请直接写出 t的取值范围_· 第8页共24页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 题型五根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【典例精讲】(2026九年级上·山东·专题练习)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，根据 图象解答下列问题， 4 (1)写出方程ax2+bx+c=0的两个根： (2)写出不等式ax2+bx+c<0的解集： (3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围 (4)若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，直接写出k的取值范围： 【变式训练1】(2026九年级上·全国·专题练习)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论： ①a>0:②b<0:③c>0:④b2-4ac>0:⑤a+b+c<0:⑥2a+b=0,其中正确的个数是( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【变式训练2】(26-27九年级上·北京海淀·开学考试)如图，直线y1=mx+n与抛物线y2=ax2+bx+c 相交于点A(3,0),B(-2,5).下面四个结论： ①m<0: ②当-2<x<3时，ax2+bx+c<mx+n: ③方程ax2+bx+c=0的解为x1=-2,x2=3; 第9页共24页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 ④当x<时，函数值y2随着x的增大而减小. 其中所有正确结论的序号是 VA B 题型六求X轴与抛物线的截线长 【典例精讲(26-27九年级上全国单元复习)已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A(-2,0),B(1,2), 该图象与x轴的另一个交点为C,则AC的长为 【变式训练1K25-26九年级上河北邢台阶段检测)己知抛物线y=x2-6x+c与x轴的交点分别为A(1,0), B(x2,0) (1)求一元二次方程x2-6x+c=0的两个根： (2)设抛物线与y轴交于点C,作CDIx轴交抛物线于点D,求线段CD的长： (3)若点P(-2,p),Q(8,q)在抛物线上，你能比较出p和q的大小吗？若能，请比较出大小：若不能，请说明 理由. 【变式训练2】(24-25九年级下·湖北武汉·阶段检测)定义[a,b,c为函数y=ax2+bx+c的特征数，下 面给出特征数为[2m,1-m,-1-m的函数的一些结论： ①当m=-1时，函数图象的顶点坐标是(，)： ②无论为何值，函数图象一定经过同一个点. ③当m<0时，函数在x>时，y随x的增大而减小： ④当m>0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于： 其中正确的结论是 (填序号) 第10页共24页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 题型七图象法确定一元二次方程的近似根 【典例精讲】(26-27九年级上·全国·课后作业)利用函数图象求下列方程的根的近似值（结果保留小数 点后一位)： (1)2x2-3x-1=0: (2)x2+5x-4=0. 【变式训练1】(26-27九年级上全国课后作业)在如图所示的平面直角坐标系中画出函数y=x2-3x-2 的图象，并利用图象直接写出： A (1)方程x2-3x-2=0的近似根（结果保留小数点后一位）： (2)方程x2-3x-2=2的实数根： (3)方程x2-3x-2=-3的近似根（结果保留小数点后一位）· 【变式训练2】(25-26九年级上·安微芜湖·期末)二次函数y=ax2+bx+c自变量x与函数值y的对应 关系如下表， 一元二次方程ax2+bx+c=0的根中较大的根的范围是( -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 -0.22 0.13 0.38 0.53 0.58 0.53 0.38 A.-1.5<X<-1 B.-1<x<-0.5 C.-0.5<x<0.5 D.2<x<2.5 第11页共24页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 题型八图象法解一元二次不等式 【典例精讲】(26-27九年级上浙江衢州阶段检测)已知抛物线的对称轴是直线x=1,项点在直线y=x+3 上，并且经过点(-1,0) 4 3 3 1 -4-3-2-10 1 234x -2 4 (1)求抛物线的表达式： (2)在网格中，画出大致的函数图象，并写出y>0时，自变量x的取值范围. 【变式训练1】(2026九年级上·全国·专题练习)如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐 标分别为A(-3,4),B(1,1),则不等式ax2≤bx+c的解集是_-一· 【变式训练2】如图是二次函数y=Qx2+bx+c的图象的一部分，图象过点A(3,0),二次函数的对称轴为x= 1,给出下列结论：①b2>4ac;②abc<0:③2a+b=0;④a+b+c=0:⑤当-1<x<3时，y<0, 其中正确的结论有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 第12页共24页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 题型九利用不等式求自变量或函数值的范围 【典例精讲】(26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测)如图，已知直线y1=-x-3与x轴交于点B,与y 轴交于点C,抛物线y2=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=-1,且抛物线经过B,C两点. (1)求抛物线的解析式： (2)当-3<x<0时，直接写出y2的取值范围： (3)在直线BC的下方的抛物线上，是否存在点N,使△NBC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标及最大 面积；若不存在，请说明理由。 【变式训练1】(2627九年级上·河南开封·阶段检测)已知二次函数y=x2。 。 -7-- 4 -L- 3 2 -5-4-3-2-012345x -2 A (1)在给出的平面直角坐标系中画出函数y-x2的图像； (②)直接写出抛物线y=x2的开口方向、对称轴和顶点坐标： (3)当x>2时，直接写出y的取值范围. 第13页共24页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 【变式训练2】如图，若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的对称轴为直线x=1,与y轴交于点C, 与x轴交于点A、点B(-1,0),则：①二次函数的最大值为a+b+c;②a-b+c<0:③b2-4ac>0:④ 当y>0时，-1<x<3;其中正确的个数是( A -10 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 题型十根据交点确定不等式的解集 【典例精讲】(26-27九年级上·北京·期中)已知二次函数y=-x2-2x+3 珠 3 1 -5-4-3-2-10 12345 4 --- (1)将y=-x2-2x+3化成y=a(x-五)+k的形式，并写出它的顶点坐标： (2)在所给的平面直角坐标系中画出此函数的图象： (3)当y<0时，结合图象，直接写出自变量x的取值范围. 【变式训练1】(26-27九年级上·辽宁铁岭·阶段检测)如图，抛物线y=ax2+c与直线y=kx+b交于 A(-2,m),B(1,n)两点，则不等式ax2-kx+c<b的解集是 第14页共24页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 【变式训练2】已知函数y1=x2-x-2与函数y2=-x+1的图象如图所示.若y1<2,则自变量x的 取值范围是( A.-3<X<2 B.X>2或x<-3 C.-2<X<3 D.x<-2或x>3 题型十一一元二次方程的解的估算 【典例精讲】(26-27九年级上·广东深圳·开学考试)观察下面的表格，一元二次方程x2-3x=1的一 个解x的取值范围是( 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4.0 0 0.31 0.64 0.99 1.36 1.75 2.16 2.59 3.04 3.51 4 3x A.0.99<x<1.36 B.3.2<X<3.3 C.3.3<x<3.4 D.3<x<4 【变式训练1(2026江西中考真题)如图，观察函数y=x2+3x-3的图象，可以发现方程x2+3x-3=0 在0,1之间有根.取0,1的平均数0.5，当x=0.5时，y<0,进一步可知这个根在0.5和1之间，则与 方程x2+3x-3=0另一根更接近的是() A.-4.5 B.-4 C.-3.5 D.-3 第15页共24页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 【变式训练2】(25-26九年级上·山西太原·阶段检测)我们可以通过不断缩小范围的方法求一元二次方 程的近似解，即找出使方程成立的一个初始范围，在该范围内提高精确度，得到一个新的范围，再对新的 范围进行操作.例如在求(x+6)2+72=102时，根据以下表格，可知道其中一个解的大致范围是() 1.1 1.2 1.3 1.4 (x+6)2 98 99.41 100.84 102.29 103.76 +72 A.1<x<1.1 B.1.1<x<1.2 C.1.2<x<1.3 D.1.3<x<1.4 山中专真题演练 【真题演练1】(2026江苏常州中考真题)如图，二次函数y=x2+bx-3的图像与x轴相交于点A(-1,0), B,与y轴相交于点C. 备用图 (1)b= (2)若点D(4,y),E(t,y2)在抛物线上，且-3<y2<y1,求t的取值范围. (3)连接BC.若0<m<1,过点P(m,0)作x轴的垂线交BC于点G,交抛物线于点H,过点Q(3m,0)作x轴的 垂线交BC于点M,交抛物线于点N,当GH+MN最大时，求m的值. 第16页共24页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 【真题演练2】(2026·江苏南通·中考真题)二次函数y=x2+2x+3的部分图象如图所示，当x>0 时，y的值可以是( A.1 B.2 C.3 D.4 【真题演练3】(2026江苏无锡中考真题)如图，二次函数y=ax2+bx+c(a>0)与一次函数y=mx+n 的图象交于A,B两点，已知点A(-3,-1),点B在y轴上，则不等式ax2+bx-mx≤0的解集是( y=ax2+bx+c y=mx+nA A.x≤-3或x≥0 B.x≤-1或x≥0 C.-3≤x≤0 D.-1≤x≤0 【真题演练4】(2026辽宁中考真题)如图，两条曲线关于y轴对称，y轴左侧的部分可以用y=(x+1)(x≤ O)表示.垂直于y轴的直线与两条曲线依次相交于点A,B,C,D.若AB=BC=CD,则AD的长为 ABΛCD 【真题演练5】(2026·北京·中考真题)在平面直角坐标系x0y中，抛物线C1:y=ax2+bx+c(a≠0) 经过点(0，。)，对称轴为x=。 (1)求b的值，并用含a的式子表示c: (2)己知M是抛物线C1上的点，M的横坐标为t,抛物线C2的项点为M,且可以由抛物线C1平移得到（特别地， 当M是C1的顶点时，C2即为C1)·若无论t为何值，抛物线C2都不经过点O,求a的取值范围. 第17页共24页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 山难度分层训练 【基础夯实】 1.(26-27九年级上全国期中)对于二次函数y=-4(x+3)2-5的图象，下列说法正确的是( A.对称轴是直线x=3 B.顶点坐标为(-3,5) C.当x<-3时，y随x的增大而增大 D.图象与y轴交点的坐标是(0,5) 2.(26-27九年级上·江西九江·阶段检测)对一元二次方程x2+3x一5=0的一个正数解的取值范围的 探索如下表， 0 2 2 x2+3x -5 -1 13 23 -5 从表中可以看出方程x2+3x-5=0的一个正数解x的大致范围是( A.2<X<3 B.1<x<2 C.0<x<1 D.-1<x<0 3.(26-27九年级上·天津·期中)己知二次函数y=ax2+bx+c中y与x的部分对应值如下表，下列判断 正确的是( 0 1 2 y 3 A.抛物线开口向上 B.抛物线与y轴交于负半轴 C.当x>1时，y随x的增大而减小 D.方程ax2+bx+c=0的正根在3与4之间 4.(26-27九年级上·天津·期中)二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，当y<0时，x的取 值范围是 第18页共24页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 02 5.(26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测)二次函数y=(x-1)2与y轴的交点坐标为 6.(26-27九年级上·北京西城·阶段检测)在平面直角坐标系x0y中，抛物线y=x2一2bx的对称轴为直 线x= (用含b的式子表示)；若抛物线上存在两点A(b-1,y1)和B(b+2,y2),当y1·y2<0时， b的取值范围为 7.(26-27九年级上·辽宁铁岭·阶段检测)将二次函数y=一x2+2x+3的图象在x轴上方的部分沿x轴 翻折后，所得新函数的图象如图所示.当直线y=x+b与新函数的图象有4个公共点时，则b的范围为 8.(25-26八年级下·山东菏泽·期中)用描点法画函数y=-x2+2的图象，并完成下列问题： (1)求曲线与x轴、y轴交点坐标； (2)根据图象分析，y随x变化而变化的情况. 第19页共24页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 9.(26-27九年级上·全国·课后作业)二次函数y=-x2+3x+1的图象与一次函数y=-x+4的图象 如图所示，方程-x2+3x+1=-x+4有解吗？如果有，请直接写出；如果没有，请说明理由. 3 y=-x+4 y=-x2+3x+1 10.（26-27九年级上·上海金山·阶段检测)己知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像上的部分点的 横、纵坐标x、y的对应值如表： -4 -2 -1 0 … -3 m 根据以上信息，回答下列问题： (1)二次函数图像的顶点坐标为_一一-，m=一一一； (2)关于x的一元二次方程ax2+bx+c=m的解为一-； (3)关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个实数根更接近于-； A.x=-3.5;B.x=-2.5;C.x=-1;D.x=2 第20页共24页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 【培优拔高】 1.(26-27九年级上·北京西城·阶段检测)设二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，如 表列出了x、y的部分对应值 -5 3 1 2 雨。 y 2.79 m -2.79 则不等式ax2+bx+c<m的解集是( A.X<-3 B.x>-3 C.x<-3或x>-1D.-3<x<-1 2.(26-27九年级上·辽宁铁岭·阶段检测)如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，对称轴是直线x=一1， 下列结论正确的是( A.b2-4ac<0 B.a+b+c>0 C.b=2a D.abc<0 3.(23-24九年级上·山东泰安·阶段检测)如图所示是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象，其顶 点坐标为(1，n),且与x轴的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间，则下列结论：①abc>0;②3a+c>0:③b2= 4a(c-n):④一元二次方程ax2+bx+c=n+1没有实数根.⑤a+b>m(am+b)其中正确的结论个数是 ( ) (1,n) -2-1012345衣 x=1 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 第21页共24页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 4.(25-26九年级上·陕西安康·阶段检测)如图，抛物线y=ax2+bx+c（a,b,c为常数，且a≠0) 的对称轴是直线x=1,下列结论：①abc>0;②2a+b=0;③b2-4ac>0;④a-b+c>0.所 有正确的结论有一一·（填序号） 12 34 5.(26-27九年级上·辽宁鞍山·开学考试)如图，y1与y2关于y轴对称，且y1=(x+1)2(x<0),一条平 行于x轴的直线与y1和y2共有四个交点，从左到右依次记为A、B、C、D,当AB=BC=CD时，则 AD= B 6.(25-26九年级上·吉林长春·开学考试)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，图象 过点(-1,0)，对称轴为直线x=1,下列结论：①2a+b=0:②9a+c>3b:③若点A(-3,y1)、点B(-y2) 点C(（G,y为)在该函数图象上，则y1<3<y2:④若方程ax2+bx+c=-3(a≠0)的两根为x1和x2,且x1<x2, 则x1<-1<3<x2:其中正确的结论是 第22页共24页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 7.(26-27九年级上·全国·课后作业)下列二次函数的图象与x轴是否相交？如果相交，请求出交点的 坐标，并画草图验证 (1)y=2x2-x+3: (2)y=-2x2+20x-49. 8.(26-27九年级上·河北邯郸阶段检测)在直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+1(a,b是常数，a≠0) 与y轴相交于点A. (1)求A点坐标； (2)若抛物线经过点(1,6)，(-2,3)，求a,b的值： (3)已知3a+b=0,若-1≤x≤2，y有最大值9，求a的值； 9.(2026九年级上·全国·专题练习)如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A,B两点（点A在点B 的左侧)，与y轴交于点C B表 (1)求A,B,C三点的坐标； (2)求△ABC的面积. 第23页共24页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 10.(26-27九年级上·福建福州·阶段检测)已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0). (1)若a+b+c=0,且该抛物线的图象经过A(-1,4),B(0,-1),C(1,1)三个点中的两个点，则这两个点分 别是一一一，该抛物线的解析式为 (2)若抛物线与x轴两个交点的横坐标分别为k,-2k(k≠0)，求证：2b2+ac=0. (3)若抛物线的对称轴为直线x=2+,函数图象过点(1,0)，当a>b≥c时，求a2+b2+c2的最小值. 第24页共24页null 专题26.3 二次函数与一元二次方程『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+11个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共58题） 【人教版数学新教材•九年级上册（原卷版）】 同学你好，本套讲义针对2026年人教版九年级上册最新版教材精心制作，贴合书本内容。讲义包含精编思维导图，知识梳理精讲，重点难点题型讲练，中考真题实战演练，精选真题难度分层练等五大部分！题目新颖，题量充沛，解析思路清晰，精选近两年名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优和拔尖的同学使用，讲义可作为同步复习，章节巩固，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 思维导图 2 知识梳理 2 知识点一 二次函数图像与x轴的交点和一元二次方程根的关系 2 知识点二 利用二次函数的图像求一元二次方程的近似根 3 知识点三 二次函数与不等式的关系 4 题型讲练 4 题型一 求抛物线与x轴的交点坐标 4 题型二 求抛物线与y轴的交点坐标 5 题型三 已知二次函数的函数值求自变量的值 7 题型四 抛物线与x轴的交点问题 8 题型五 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 9 题型六 求x轴与抛物线的截线长 10 题型七 图象法确定一元二次方程的近似根 11 题型八 图象法解一元二次不等式 12 题型九 利用不等式求自变量或函数值的范围 13 题型十 根据交点确定不等式的解集 14 题型十一 一元二次方程的解的估算 15 中考真题演练 16 难度分层训练 18 【基础夯实】 18 【培优拔高】 21 知识点一 二次函数图像与x轴的交点和一元二次方程根的关系 求二次函数的图像与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表： 判别式 二次函数 一元二次方程 与x轴交点个数 图像 与x轴的交点坐标 根的情况 △＞0 抛物线 与x轴交于， 两点 一元二次方程 有两个不相等的实数根 2个交点 △＝0 抛物线与x轴交于这一点 一元二次方程 有两个相等的实数根 1个交点 △＜0 抛物线 与x轴无交点 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根） 0个交点 知识点二 利用二次函数的图像求一元二次方程的近似根 1）利用二次函数的图像求一元二次方程的近似根的步骤如下： （1）作图：通过列表、描点、连线，作二次函数的图像； （2）找点：确定二次函数图像与x轴的交点； （3）初步估值：根据二次函数图像与x轴的交点的位置，初步估算交点横坐标在整数值之间的大致范围； （4）深入估值：借助计算器，逐步缩小取值范围求值. 2）由于作图会存在一定的误差，所以通过图像求得的一元二次方程的根一般是近似值. 3）在估值时，x的值一定要连续，在连续的前提下，x的近似值在y值首次出现负数与正数时对应的两个x值之间. 当x由x1取到x2对应的y值出现y1＞0，y2＜0(或y1＜0，y2＞0)且符合题目近似值要求时，x1或x2可以看作方程的近似根. 知识点三 二次函数与不等式的关系 不等式 图像 解集 抛物线在x轴上方的部分对应的自变量的取值范围，即x＜m或x＞n 抛物线在x轴下方的部分对应的自变量的取值范围，即m＜x＜n 题型一 求抛物线与x轴的交点坐标 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）下列函数的图象与x轴是否有公共点？如果有公共点，写出公共点的坐标． (1) ； (2)． 【变式训练1】（26-27九年级上·北京西城·阶段检测）已知抛物线． (1)用配方法将化成的形式． (2)补全下方的表格，并在答题纸所给的平面直角坐标系中，画出抛物线； 抛物线 顶点坐标 与轴交点坐标 与轴交点坐标 (3)结合图象回答： ①当 时，随的增大而减小； ②当满足 时，； ③当时，的取值范围是 ． 【变式训练2】（26-27九年级上·浙江衢州·阶段检测）如图所示，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． (1)求A、B、C三点的坐标． (2)在抛物线上是否存在一点M，使得的面积是面积的2倍．若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由． 题型二 求抛物线与y轴的交点坐标 【典例精讲】（2026九年级上·全国·专题练习）已知二次函数． (1)求该抛物线与 轴的交点坐标； (2)求该抛物线与 轴的交点坐标； (3)在直角坐标系中画出该函数的大致图像． 【变式训练1】（26-27九年级上·福建·单元测试）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)填空：__________，__________； (2)设为此抛物线的对称轴上一点，当的面积等于的面积时，求点坐标； 【变式训练2】（25-26九年级上·广东东莞·阶段检测）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，直线经过点． (1)求点的坐标； (2)不等式的解集为_____； (3)若点在抛物线上，且，求点的坐标． 题型三 已知二次函数的函数值求自变量的值 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）一辆汽车在一段时间内加速行驶，测得行驶路程l（单位：m）关于行驶时间t（单位：s）的函数解析式是，经过汽车行驶了多远？行驶需要多长时间？ 【变式训练1】如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，已知． (1)求该抛物线的函数表达式和对称轴． (2)将点向上平移个单位得到点，将向左平移个单位得到，将向右平移个单位得到，已知和均在抛物线上，求和的值． 【变式训练2】（2026·甘肃兰州·模拟预测）在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点． (1)求的值； (2)已知二次函数的最大值为，求该二次函数的表达式． 题型四 抛物线与x轴的交点问题 【典例精讲】（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）在平面直角坐标系中，设二次函数（，是实数，）． (1)判断该函数图象与轴的交点个数，并说明理由； (2)若该函数图象的对称轴为直线，，为函数图象上的两点，其中．求当，为何值时，； 【变式训练1】（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）已知二次函数（为常数）的图像与轴有两个交点， (1)求的取值范围； (2)若此二次函数图像与轴的两个交点之间的距离为1，求的值． 【变式训练2】（26-27九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）已知二次函数（，，是常数，且）的函数值与自变量的部分对应值如表： … 0 2 3 … … 5 0 … (1)该函数图象的对称轴为直线 ； (2)关于的一元二次方程的根是 ； (3)关于的一元二次不等式的解集是 ； (4)若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有实数根，请直接写出的取值范围 ． 题型五 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【典例精讲】（2026九年级上·山东·专题练习）二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题． (1)写出方程的两个根：__________； (2)写出不等式的解集：__________； (3)写出随的增大而减小的自变量的取值范围__________； (4)若方程有两个不相等的实数根，直接写出的取值范围：__________． 【变式训练1】（2026九年级上·全国·专题练习）二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥，其中正确的个数是（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式训练2】（26-27九年级上·北京海淀·开学考试）如图，直线与抛物线相交于点，．下面四个结论： ①； ②当时，； ③方程的解为，； ④当时，函数值随着的增大而减小． 其中所有正确结论的序号是________． 题型六 求x轴与抛物线的截线长 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·单元复习）已知二次函数的图象经过点，，该图象与轴的另一个交点为，则的长为________． 【变式训练1】（25-26九年级上·河北邢台·阶段检测）已知抛物线与x轴的交点分别为，． (1)求一元二次方程的两个根； (2)设抛物线与轴交于点，作轴交抛物线于点，求线段的长； (3)若点，在抛物线上，你能比较出和的大小吗？若能，请比较出大小；若不能，请说明理由． 【变式训练2】（24-25九年级下·湖北武汉·阶段检测）定义为函数的特征数，下面给出特征数为的函数的一些结论： ①当时，函数图象的顶点坐标是； ②无论为何值，函数图象一定经过同一个点． ③当时，函数在时，随的增大而减小； ④当时，函数图象截轴所得的线段长度大于； 其中正确的结论是_____________．（填序号） 题型七 图象法确定一元二次方程的近似根 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）利用函数图象求下列方程的根的近似值（结果保留小数点后一位）： (1)； (2)． 【变式训练1】（26-27九年级上·全国·课后作业）在如图所示的平面直角坐标系中画出函数的图象，并利用图象直接写出： （1）方程的近似根（结果保留小数点后一位）； （2）方程的实数根； （3）方程的近似根（结果保留小数点后一位）． 【变式训练2】（25-26九年级上·安徽芜湖·期末）二次函数自变量与函数值的对应关系如下表，一元二次方程的根中较大的根的范围是（    ） 0 0.5 1 1.5 0.13 0.38 0.53 0.58 0.53 0.38 A． B． C． D． 题型八 图象法解一元二次不等式 【典例精讲】（26-27九年级上·浙江衢州·阶段检测）已知抛物线的对称轴是直线，顶点在直线上，并且经过点． (1)求抛物线的表达式； (2)在网格中，画出大致的函数图象，并写出时，自变量x的取值范围． 【变式训练1】（2026九年级上·全国·专题练习）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是_____． 【变式训练2】如图是二次函数的图象的一部分，图象过点A，二次函数的对称轴为，给出下列结论：①；②；③；④；⑤当时，，其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型九 利用不等式求自变量或函数值的范围 【典例精讲】（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，直接写出的取值范围； (3)在直线的下方的抛物线上，是否存在点，使的面积最大？若存在，请求出点的坐标及最大面积；若不存在，请说明理由． 【变式训练1】（26-27九年级上·河南开封·阶段检测）已知二次函数． (1)在给出的平面直角坐标系中画出函数的图像； (2)直接写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； (3)当时，直接写出y的取值范围． 【变式训练2】如图，若二次函数的图象的对称轴为直线，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点，则：①二次函数的最大值为；②；③；④当时，；其中正确的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型十 根据交点确定不等式的解集 【典例精讲】（26-27九年级上·北京·期中）已知二次函数． (1)将化成的形式，并写出它的顶点坐标； (2)在所给的平面直角坐标系中画出此函数的图象； (3)当时，结合图象，直接写出自变量的取值范围． 【变式训练1】（26-27九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是____________ 【变式训练2】已知函数与函数的图象如图所示．若，则自变量x的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 题型十一 一元二次方程的解的估算 【典例精讲】（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）观察下面的表格，一元二次方程的一个解的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】（2026·江西·中考真题）如图，观察函数的图象，可以发现方程在0，1之间有根．取0，1的平均数0.5，当时，，进一步可知这个根在0.5和1之间，则与方程另一根更接近的是（  ） A． B． C． D． 【变式训练2】（25-26九年级上·山西太原·阶段检测）我们可以通过不断缩小范围的方法求一元二次方程的近似解，即找出使方程成立的一个初始范围，在该范围内提高精确度，得到一个新的范围，再对新的范围进行操作．例如在求时，根据以下表格，可知道其中一个解的大致范围是（　　） x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 98 99.41 100.84 102.29 103.76 A． B． C． D． 【真题演练1】（2026·江苏常州·中考真题）如图，二次函数的图像与轴相交于点，，与轴相交于点． (1)__________． (2)若点，在抛物线上，且，求的取值范围． (3)连接．若，过点作轴的垂线交于点，交抛物线于点，过点作轴的垂线交于点，交抛物线于点，当最大时，求的值． 【真题演练2】（2026·江苏南通·中考真题）二次函数的部分图象如图所示，当时，的值可以是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【真题演练3】（2026·江苏无锡·中考真题）如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C． D． 【真题演练4】（2026·辽宁·中考真题）如图，两条曲线关于轴对称，轴左侧的部分可以用表示．垂直于轴的直线与两条曲线依次相交于点，，，．若，则的长为_________． 【真题演练5】（2026·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，对称轴为． (1)求b的值，并用含a的式子表示c； (2)已知M是抛物线上的点，M的横坐标为t，抛物线的顶点为M，且可以由抛物线平移得到（特别地，当M是的顶点时，即为）．若无论t为何值，抛物线都不经过点O，求a的取值范围． 【基础夯实】 1．（26-27九年级上·全国·期中）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（     ） A． 对称轴是直线 B． 顶点坐标为 C． 当时，随的增大而增大 D． 图象与轴交点的坐标是 2．（26-27九年级上·江西九江·阶段检测）对一元二次方程的一个正数解的取值范围的探索如下表． 从表中可以看出方程的一个正数解的大致范围是（     ） A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·天津·期中）已知二次函数中与的部分对应值如下表，下列判断正确的是（     ） … 0 1 2 … … 1 3 1 … A．抛物线开口向上 B．抛物线与轴交于负半轴 C．当时，随的增大而减小 D．方程的正根在3与4之间 4．（26-27九年级上·天津·期中）二次函数的部分图象如图所示，当时，x的取值范围是____________． 5．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）二次函数与轴的交点坐标为_______． 6．（26-27九年级上·北京西城·阶段检测）在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线__________（用含的式子表示）；若抛物线上存在两点和，当时，的取值范围为__________． 7．（26-27九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）将二次函数的图象在轴上方的部分沿轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线与新函数的图象有4个公共点时，则的范围为____________． 8．（25-26八年级下·山东菏泽·期中）用描点法画函数的图象，并完成下列问题： (1)求曲线与x轴、y轴交点坐标； (2)根据图象分析，y随x变化而变化的情况． 9．（26-27九年级上·全国·课后作业）二次函数的图象与一次函数的图象如图所示，方程有解吗？如果有，请直接写出；如果没有，请说明理由． 10．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）已知二次函数的图像上的部分点的横、纵坐标、的对应值如表： … 0 … … 1 1 … 根据以上信息，回答下列问题： (1)二次函数图像的顶点坐标为______，______； (2)关于的一元二次方程的解为______； (3)关于的一元二次方程的一个实数根更接近于 ； A．；B．；C．；D． 【培优拔高】 1．（26-27九年级上·北京西城·阶段检测）设二次函数（，，是常数，），如表列出了、的部分对应值． … 1 2 3 … … 0 … 则不等式的解集是（     ） A． B． C．或 D． 2．（26-27九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）如图是二次函数的图象，对称轴是直线，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·山东泰安·阶段检测）如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④一元二次方程没有实数根．⑤其中正确的结论个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，抛物线（，，为常数，且）的对称轴是直线，下列结论： ； ； ； ．所有正确的结论有______．（填序号） 5．（26-27九年级上·辽宁鞍山·开学考试）如图，与关于轴对称，且，一条平行于轴的直线与和共有四个交点，从左到右依次记为，当时，则___________． 6．（25-26九年级上·吉林长春·开学考试）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③若点、点、点在该函数图象上，则；④若方程的两根为和，且，则．其中正确的结论是__________． 7．（26-27九年级上·全国·课后作业）下列二次函数的图象与x轴是否相交？如果相交，请求出交点的坐标，并画草图验证． (1)； (2)． 8．（26-27九年级上·河北邯郸·阶段检测）在直角坐标系中，抛物线（是常数，）与轴相交于点． (1)求点坐标； (2)若抛物线经过点，求的值； (3)已知，若，有最大值9，求的值； 9．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，抛物线 与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求三点的坐标； (2)求的面积． 10．（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）已知抛物线（a，b，c是常数，）． (1)若，且该抛物线的图象经过，，三个点中的两个点，则这两个点分别是________，该抛物线的解析式为______________． (2)若抛物线与x轴两个交点的横坐标分别为k，，求证：． (3)若抛物线的对称轴为直线，函数图象过点，当时，求的最小值． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题26.3 二次函数与一元二次方程『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+11个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共58题） 【人教版数学新教材•九年级上册（解析版）】 同学你好，本套讲义针对2026年人教版九年级上册最新版教材精心制作，贴合书本内容。讲义包含精编思维导图，知识梳理精讲，重点难点题型讲练，中考真题实战演练，精选真题难度分层练等五大部分！题目新颖，题量充沛，解析思路清晰，精选近两年名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优和拔尖的同学使用，讲义可作为同步复习，章节巩固，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 思维导图 2 知识梳理 2 知识点一 二次函数图像与x轴的交点和一元二次方程根的关系 2 知识点二 利用二次函数的图像求一元二次方程的近似根 3 知识点三 二次函数与不等式的关系 4 题型讲练 4 题型一 求抛物线与x轴的交点坐标 4 题型二 求抛物线与y轴的交点坐标 7 题型三 已知二次函数的函数值求自变量的值 12 题型四 抛物线与x轴的交点问题 15 题型五 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 18 题型六 求x轴与抛物线的截线长 21 题型七 图象法确定一元二次方程的近似根 24 题型八 图象法解一元二次不等式 27 题型九 利用不等式求自变量或函数值的范围 29 题型十 根据交点确定不等式的解集 34 题型十一 一元二次方程的解的估算 37 中考真题演练 39 难度分层训练 44 【基础夯实】 44 【培优拔高】 51 知识点一 二次函数图像与x轴的交点和一元二次方程根的关系 求二次函数的图像与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表： 判别式 二次函数 一元二次方程 与x轴交点个数 图像 与x轴的交点坐标 根的情况 △＞0 抛物线 与x轴交于， 两点 一元二次方程 有两个不相等的实数根 2个交点 △＝0 抛物线与x轴交于这一点 一元二次方程 有两个相等的实数根 1个交点 △＜0 抛物线 与x轴无交点 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根） 0个交点 知识点二 利用二次函数的图像求一元二次方程的近似根 1）利用二次函数的图像求一元二次方程的近似根的步骤如下： （1）作图：通过列表、描点、连线，作二次函数的图像； （2）找点：确定二次函数图像与x轴的交点； （3）初步估值：根据二次函数图像与x轴的交点的位置，初步估算交点横坐标在整数值之间的大致范围； （4）深入估值：借助计算器，逐步缩小取值范围求值. 2）由于作图会存在一定的误差，所以通过图像求得的一元二次方程的根一般是近似值. 3）在估值时，x的值一定要连续，在连续的前提下，x的近似值在y值首次出现负数与正数时对应的两个x值之间. 当x由x1取到x2对应的y值出现y1＞0，y2＜0(或y1＜0，y2＞0)且符合题目近似值要求时，x1或x2可以看作方程的近似根. 知识点三 二次函数与不等式的关系 不等式 图像 解集 抛物线在x轴上方的部分对应的自变量的取值范围，即x＜m或x＞n 抛物线在x轴下方的部分对应的自变量的取值范围，即m＜x＜n 题型一 求抛物线与x轴的交点坐标 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）下列函数的图象与x轴是否有公共点？如果有公共点，写出公共点的坐标． (1)； (2)． 【答案】(1)函数的图象与轴没有公共点 (2)函数的图象与轴有公共点，公共点坐标为， 【思路引导】令，将函数图象与x轴的交点问题转化为对应一元二次方程的根的问题，通过判别式判断根的存在性，有实根时求解方程得到交点横坐标． 【规范解答】（1）解：∵ ∴当时，， ， ∴函数的图象与轴没有公共点； （2）解：∵ ∴当时，， ∴， ∴函数的图象与轴有公共点， ∴， 解得，， ∴公共点坐标为，． 【变式训练1】（26-27九年级上·北京西城·阶段检测）已知抛物线． (1)用配方法将化成的形式． (2)补全下方的表格，并在答题纸所给的平面直角坐标系中，画出抛物线； 抛物线 顶点坐标 与轴交点坐标 与轴交点坐标 (3)结合图象回答： ①当 时，随的增大而减小； ②当满足 时，； ③当时，的取值范围是 ． 【答案】(1) (2) 抛物线 顶点坐标 与轴交点坐标 与轴交点坐标 ， 画图如下： (3)①；②；③ 【思路引导】（1）利用配方法求解； （2）根据二次函数的性质补全表格，然后画出图象即可； （3）根据图象求解即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解：∵， ∴顶点坐标为； 当时，， 解得，， ∴与轴的交点坐标为，； 当时，， ∴与轴的交点坐标为； （3）解：①由图象可得，当时，随的增大而减小； ②由图象可得，当满足时，； ③由图象可得，当时，的取值范围是． 【变式训练2】（26-27九年级上·浙江衢州·阶段检测）如图所示，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． (1)求A、B、C三点的坐标． (2)在抛物线上是否存在一点M，使得的面积是面积的2倍．若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 【思路引导】（1）求出时y的值可得点C的坐标，求出时x的值可得点A和点B的坐标； （2）根据（1）所求求出的面积，则可得到的面积，根据三角形的面积公式求出点M的纵坐标即可得到答案． 【规范解答】（1）解：在中，当时，，则， 当时，则，解得，则； （2）解：由（1）得， ∴ ， ∴ ， ∵的面积是面积的2倍， ∴， ∴ ，即， ∴，即， 在中，当时，，此时方程无解，不符合题意； 在中，当时，，解得， ∴点的坐标为或． 题型二 求抛物线与y轴的交点坐标 【典例精讲】（2026九年级上·全国·专题练习）已知二次函数． (1)求该抛物线与 轴的交点坐标； (2)求该抛物线与 轴的交点坐标； (3)在直角坐标系中画出该函数的大致图像． 【答案】(1) 该抛物线与轴的交点坐标为， (2) 该抛物线与轴的交点坐标为 (3) 【思路引导】（1）将代入函数解析式，计算求解即可； （2）将代入函数解析式，计算求解即可； （3）求出函数的对称轴，通过描点法画出函数图象即可． 【规范解答】（1）解：令，解得或，则与轴的交点坐标为和． （2）解：令，得，则与轴的交点坐标为． （3）解：根据题意得，二次函数， 由（1）（2）知，该函数图象经过点、和，其对称轴为， 令，则，则顶点坐标为，描点画图即可． 【变式训练1】（26-27九年级上·福建·单元测试）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)填空：__________，__________； (2)设为此抛物线的对称轴上一点，当的面积等于的面积时，求点坐标； 【答案】(1)， (2)或 【思路引导】（1）因为抛物线过A、B两点，所以将两点坐标代入抛物线解析式，得到关于m、n的二元一次方程组，解方程组即可求出m、n的值． （2）设直线交对称轴于点M，令代入抛物线解析式即可得到C点坐标；以为底，为高，用三角形面积公式计算的面积，将抛物线化为顶点式得对称轴，求出直线的解析式，得到点Ｍ坐标，由写出其表达式，根据，得到关于的方程，解方程求出的值，即可得到D点坐标． 【规范解答】（1）解：把，代入，得：， 解得； （2）解：， ∴此抛物线的对称轴是直线， 当时，， ， 设直线的表达式为，直线交直线于点M， 把，代入，得： ， 解得：， ∴直线的表达式为， 当时，， ， ，，， ， ， ∵的面积等于的面积， ， ， ∴，， 或． 【变式训练2】（25-26九年级上·广东东莞·阶段检测）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，直线经过点． (1)求点的坐标； (2)不等式的解集为_____； (3)若点在抛物线上，且，求点的坐标． 【答案】(1)，， (2)或 (3)或 【思路引导】（1）分别令，，解方程，即可得到抛物线与坐标轴的交点坐标； （2）观察图象，根据抛物线和直线的位置关系即可得解； （3）利用待定系数法得到直线的解析式，以及根据（1）中结论得到的面积，设，根据点位于轴左侧和右侧，分两种情况讨论，过点作轴交直线于点，则，，根据割补法求的面积，得到关于的方程，解方程即可得到答案． 【规范解答】（1）解：对于抛物线， 令，得， ∴， 令，则，解得，， ∴，； （2）解：由图象可得的解集为直线在抛物线上方时对应的取值范围， 即或； （3）解：∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 将点，的坐标代入，得：，解得， ∴直线的解析式为， 如图，当点位于轴左侧时，过点作轴交直线于点， 设，则， ∴， ∵， ∴，解得， ∵， ∴取，此时， 故； 如图，当点位于轴右侧时，过点作轴交直线于点， 设，则， ∴， ∴， ∴，解得， ∵， 取，， 故； 综上，或． 题型三 已知二次函数的函数值求自变量的值 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）一辆汽车在一段时间内加速行驶，测得行驶路程l（单位：m）关于行驶时间t（单位：s）的函数解析式是，经过汽车行驶了多远？行驶需要多长时间？ 【答案】经过汽车行驶了，行驶需要 【思路引导】将直接代入函数解析式，计算得到对应的行驶路程；把代入函数解析式，整理成一元二次方程求解，舍去时间为负的根，即可得到所需时间． 【规范解答】解：把代入， 得， 因此，经过汽车行驶了． 当时，由函数关系， 列得方程， 即， 解得（舍去）， 因此，汽车行驶需要． 答：经过汽车行驶了，行驶需要． 【变式训练1】如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，已知． (1)求该抛物线的函数表达式和对称轴． (2)将点向上平移个单位得到点，将向左平移个单位得到，将向右平移个单位得到，已知和均在抛物线上，求和的值． 【答案】(1)；直线 (2)， 【思路引导】（1）根据待定系数法即可求解解析式，进而可知对称轴； （2）根据平移的性质即可求得坐标，进而代入即可求解． 【规范解答】（1）解：当时，， ． ， ，， ，， 代入到抛物线的表达式得， 解得， 抛物线的函数表达式为， 对称轴为直线． （2）解：由（1）得，点， 由平移的性质得，点，， 将点代入函数表达式可知： 解得或（舍去）． 【变式训练2】（2026·甘肃兰州·模拟预测）在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点． (1)求的值； (2)已知二次函数的最大值为，求该二次函数的表达式． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）根据点的纵坐标相等，建立方程解答即可； （2）由（1）知，把二次函数转化为，结合函数的最大值为，确定a值即可． 【规范解答】（1）解：二次函数的图象过点， ∴，， ∴， ∴， 解得， ∴． （2）解：由（1）知， 故二次函数转化为， 则， ∵函数的最大值为， ∴二次函数图象开口向下，即，且， 整理，得， 解得或（舍去）， 故． 故抛物线的解析式为． 题型四 抛物线与x轴的交点问题 【典例精讲】（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）在平面直角坐标系中，设二次函数（，是实数，）． (1)判断该函数图象与轴的交点个数，并说明理由； (2)若该函数图象的对称轴为直线，，为函数图象上的两点，其中．求当，为何值时，； 【答案】(1) 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴函数图象与轴的交点个数为个． (2) ， 【思路引导】（1）根据函数的交点与一元二次方程的关系，利用一元二次方程根的判别式进行判断即可； （2）由对称轴为直线得，代入函数解析式结合得一元二次方程，求解即可． 【规范解答】（1）略； （2）解：∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， 当时，， 即， ∵，且 ∴，． 【变式训练1】（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）已知二次函数（为常数）的图像与轴有两个交点， (1)求的取值范围； (2)若此二次函数图像与轴的两个交点之间的距离为1，求的值． 【答案】(1)且. (2)或. 【思路引导】（1）由是二次函数解析式可得，再由二次函数的图像与轴有两个交点可得，即可求出的取值范围； （2）设二次函数图像与轴的两个交点的横坐标为，（），由和根与系数的关系即可求解． 【规范解答】（1）解：∵是二次函数， ∴， ∵二次函数的图像与轴有两个交点， ∴，解得：， 综上：且． （2）解：设二次函数图像与轴的两个交点的横坐标为，（）， ∴，为（）的两个根， ∴，， ∵二次函数图像与轴的两个交点之间的距离为1， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即或， ∴或． 【变式训练2】（26-27九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）已知二次函数（，，是常数，且）的函数值与自变量的部分对应值如表： … 0 2 3 … … 5 0 … (1)该函数图象的对称轴为直线 ； (2)关于的一元二次方程的根是 ； (3)关于的一元二次不等式的解集是 ； (4)若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有实数根，请直接写出的取值范围 ． 【答案】(1) (2)， (3)或 (4) 【思路引导】（1）根据抛物线的对称性进行求对称轴； （2）由表格数据可得方程的一个根，再根据抛物线的对称性求出另一个根； （3）根据表格数据确定抛物线的开口方向，然后借助抛物线求不等式解集； （4）求出临界点的函数值，然后利用待定系数法求出函数解析式，求出最低点纵坐标，利用数形结合的思想即可求解． 【规范解答】（1）解：由表格数据可得， 当时，；当时，，根据抛物线的对称性可得， 该抛物线的对称轴为直线； （2）解：由表格数据可得， 当时，， ∴关于的一元二次方程的一个根是， 由抛物线的对称轴，得， 解得， ∴关于的一元二次方程的根是，； （3）解：由表格数据可得，该抛物线开口向上， 当时，， 由抛物线的对称轴，得， 解得， ∴当时，， ∴关于的一元二次不等式的解集为或； （4）解：由（2）可知，当时，； 由（3）可知，当时，， 将代入得， ， 解得， ∴， 当时，， ∴若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有实数根，则直线与抛物线有交点， ∴． 题型五 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【典例精讲】（2026九年级上·山东·专题练习）二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题． (1)写出方程的两个根：__________； (2)写出不等式的解集：__________； (3)写出随的增大而减小的自变量的取值范围__________； (4)若方程有两个不相等的实数根，直接写出的取值范围：__________． 【答案】(1)， (2) (3) (4) 【思路引导】（1）根据函数图象与x轴的两个交点的横坐标进行解答即可； （2）根据函数图象找出在x轴下方的部分所对的x值即可； （3）根据抛物线的开口方向和对称轴进行解答即可； （4）根据函数图象进行解答即可． 【规范解答】（1）解：抛物线的图象与轴的两个交点的横坐标分别为和， 一元二次方程的两个根分别是，； （2）解：由图象可知，当时，抛物线的图象在轴的下方， 不等式的解集为； （3）解：由图象可知，抛物线开口向上，对称轴为， 在对称轴的左侧随的增大而减小， 随的增大而减小的自变量的取值范围是； （4）解：由图象可知，当时， 抛物线与直线有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数根时，． 【变式训练1】（2026九年级上·全国·专题练习）二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥，其中正确的个数是（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【思路引导】根据图象特征（开口方向、对称轴位置、与坐标轴交点、特殊点的函数值）判断系数及代数式的符号，逐一分析结论． 【规范解答】解：判断结论①： 观察图象可知，抛物线开口向下，根据二次函数的性质，开口向下意味着二次项系数，故结论①错误； 判断结论②： 抛物线的对称轴为直线，由图象可知，对称轴在y轴右侧，即，所以，因为，所以分母，要使分式，分子必须为负数，解得，故结论②错误； 判断结论③： 设抛物线与y轴的交点坐标为，由图象可知，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即，所以，故结论③正确； 判断结论④： 抛物线与x轴有两个不同的交点，根据一元二次方程根的判别式，当抛物线与x轴有两个不同交点时，，故结论④正确； 判断结论⑤： 当时，函数值，观察图象，当时，对应的点在x轴上方，即，所以，故结论⑤错误； 判断结论⑥： 若，则，此时对称轴，观察图象，对称轴（虚线）明显在的左侧，即对称轴，所以，故结论⑥错误． 综上所述，正确的结论有③和④，共2个．因此A选项符合题意． 【变式训练2】（26-27九年级上·北京海淀·开学考试）如图，直线与抛物线相交于点，．下面四个结论： ①； ②当时，； ③方程的解为，； ④当时，函数值随着的增大而减小． 其中所有正确结论的序号是________． 【答案】①②④ 【思路引导】根据一次函数和二次函数的性质，结合函数图象，逐项进行判断即可． 【规范解答】解：①∵一次函数图象经过一、二、四象限， ∴，故①正确； ②∵当时，一次函数图象在二次函数图象的上面， ∴当时，，故②正确； ③根据函数图象可得：抛物线与x轴的两个交点都在的右侧， ∴把代入得， ∴不在二次函数图象上， ∴方程的一个解一定不是，故③错误； ④∵抛物线与x轴的一个交点为，另外一个交点在的右侧，且， ∴抛物线的对称轴在直线的右侧， ∴当时，函数值随着的增大而减小，故④正确； 综上，正确的是①②④． 题型六 求x轴与抛物线的截线长 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·单元复习）已知二次函数的图象经过点，，该图象与轴的另一个交点为，则的长为________． 【答案】 【思路引导】将、两点坐标代入二次函数解析式，求出和的值得到完整解析式，再求函数与轴的交点坐标，最后计算的长度． 【规范解答】解：∵二次函数经过点，， ∴， 解得，， ∴二次函数解析式为， 当时，， 解得，， ∵点坐标为， ∴另一个交点坐标为， ∴的长为． 【变式训练1】（25-26九年级上·河北邢台·阶段检测）已知抛物线与x轴的交点分别为，． (1)求一元二次方程的两个根； (2)设抛物线与轴交于点，作轴交抛物线于点，求线段的长； (3)若点，在抛物线上，你能比较出和的大小吗？若能，请比较出大小；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)能， 【思路引导】本题考查了二次函数与坐标轴交点问题，求函数值，二次函数的性质； （1）将的坐标代入得，，得出抛物线的解析式为令，解方程，即可求解． （2）将代入得，，即．根据轴交抛物线于点，得出，两点的纵坐标相等，则解方程，进而求得线段的长； （3）解法一∶分别将代入解析式求得函数值，即可求解；解法二：根据抛物线的对称轴为直线，进而可得关于对称轴对称，即可求解． 【规范解答】（1）解∶将的坐标代入得， ，解得， 所以抛物线的解析式为 令，则 解得 所以一元二次方程的两个根为，． （2）将代入得，，即． 因为轴，即，两点的纵坐标相等，则 解得 又， 即线段的长为． （3）解法一∶能比较，的大小，． 将点的坐标代入得， 将点的坐标代入得， 所以． 解法二：抛物线的对称轴为， 点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，则，两点到对称轴的距离相等， 即，两点关于对称轴对称， 所以． 【变式训练2】（24-25九年级下·湖北武汉·阶段检测）定义为函数的特征数，下面给出特征数为的函数的一些结论： ①当时，函数图象的顶点坐标是； ②无论为何值，函数图象一定经过同一个点． ③当时，函数在时，随的增大而减小； ④当时，函数图象截轴所得的线段长度大于； 其中正确的结论是_____________．（填序号） 【答案】①②④ 【思路引导】此题考查二次函数的性质，顶点坐标，两点间的距离公式，以及二次函数图象上点的坐标特征. ①把代入，求得，求得解析式，利用顶点坐标公式解答即可；②根据特征数的特点，直接得出的值，进一步验证即可解答；③首先求得对称轴，利用二次函数的性质解答即可；④令函数值为，求得与轴交点坐标，利用两点间的距离公式解决问题. 【规范解答】解：①当时，特征数为， ∴ 函数图象的顶点坐标是：故①正确； ②当时，即 对任意，函数图象都经过点，故②结论正确； ③当时，是一个开口向下的抛物线，其对称轴是：，在对称轴的右边随的增大而减小.因为当时，，即对称轴在右边，因此函数在右边先递增到对称轴位置，再递减，故③错误； ④当时，令，有， 解得， ∴， 所以当时，函数图象截轴所得的线段长度大于故④正确； 故答案为：①②④． 题型七 图象法确定一元二次方程的近似根 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）利用函数图象求下列方程的根的近似值（结果保留小数点后一位）： (1)； (2)． 【答案】(1)方程的近似根为，. (2)方程的近似根为，. 【思路引导】（1）设，根据图象与x轴的交点横坐标求解； （2）设，根据图象与x轴的交点横坐标求解． 【规范解答】（1）解：函数的图象如图： 由图象可知，； （2）解：函数的图象如图： 由图象可知，． 【变式训练1】（26-27九年级上·全国·课后作业）在如图所示的平面直角坐标系中画出函数的图象，并利用图象直接写出： （1）方程的近似根（结果保留小数点后一位）； （2）方程的实数根； （3）方程的近似根（结果保留小数点后一位）． 【答案】 （1） （2） （3） 【思路引导】根据列表描点连线的方法作出函数图象，再根据二次函数图象和一元二次方程的关系求方程的近似根即可． 【规范解答】解：列表如下： 描点并连线画出函数的图象如图所示． （1）根据图象可知当时，， ∴方程的近似根为 （2）根据图象可知当时，， ∴方程的实数根为 （3）根据图象可知当时，， ∴方程的近似根为 【变式训练2】（25-26九年级上·安徽芜湖·期末）二次函数自变量与函数值的对应关系如下表，一元二次方程的根中较大的根的范围是（    ） 0 0.5 1 1.5 0.13 0.38 0.53 0.58 0.53 0.38 A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根．根据表格找出y的值接近0时对应的x的值的取值范围，从而分析求解． 【规范解答】解：由表格可得： 当时，； 当时，，当时，， 二次函数图像的对称轴为直线， 当时，， 设一元二次方程的根为，，且， ∴，， 即一元二次方程的根中较大的根的范围是， 故选：D． 题型八 图象法解一元二次不等式 【典例精讲】（26-27九年级上·浙江衢州·阶段检测）已知抛物线的对称轴是直线，顶点在直线上，并且经过点． (1)求抛物线的表达式； (2)在网格中，画出大致的函数图象，并写出时，自变量x的取值范围． 【答案】(1) (2)如图即为所求， ， 【思路引导】（1）先求出顶点坐标，再设其顶点式，再将代入求解可得； （2）利用五点画出函数图象即可，然后根据函数图象即可得出时自变量x的取值范围． 【规范解答】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线，顶点在直线上， ∴抛物线顶点纵坐标为， 设抛物线的解析式为， 将点代入，得． 解得， ∴抛物线的解析式为， （2）解：∵， ∴抛物线与y轴的交点为，其关于对称轴的对称点为， 令，则，解得或3， ∴抛物线与x轴的交点为， 图略， 由函数图象知，当时，自变量x的取值范围是． 【变式训练1】（2026九年级上·全国·专题练习）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是_____． 【答案】 【思路引导】观察函数图象，二次函数的图象不在一次函数的图象上方时自变量的取值范围，即为不等式的解集． 【规范解答】解：∵抛物线与直线的两个交点坐标分别为，, ∴由图象可得，不等式的解集是． 【变式训练2】如图是二次函数的图象的一部分，图象过点A，二次函数的对称轴为，给出下列结论：①；②；③；④；⑤当时，，其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路引导】根据抛物线的开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点、特殊值点等方面逐项判断即可． 【规范解答】解：∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，即，故①正确； ∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴， ∴， ∵抛物线交y轴于正半轴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴，故③正确； ∵时，， ∴，故④错误； ∵抛物线交x轴于，对称轴为， ∴抛物线与x轴的另一交点为， ∴时，，故⑤错误． 综上所述，正确的结论有3个． 题型九 利用不等式求自变量或函数值的范围 【典例精讲】（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，直接写出的取值范围； (3)在直线的下方的抛物线上，是否存在点，使的面积最大？若存在，请求出点的坐标及最大面积；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标是时，有最大面积，最大面积是． 【思路引导】（1）根据直线的解析式求出点、的坐标，再根据抛物线的对称性求出点的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）根据抛物线的对称轴是，可以求出抛物线的最小值为，最大值为，即可得到的取值范围； （3）过点作直线轴，交直线于点，设点的坐标是，即可得到点的坐标为，根据三角形的面积公式可得：，根据二次函数的性质可知当点的坐标是时，有最大面积，最大面积是． 【规范解答】（1）解：当时，可得：， 解得：， 点的坐标为， 设点的坐标是， 抛物线的对称轴为直线， 可得：， 解得：， 点的坐标为， 当时，可得：， 点的坐标是， 把点、、的坐标代入， 可得：， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：抛物线的对称轴为直线， 当时，抛物线有最小值，最小值为， 当时，， 当时，， 当时，； （3）解：设点的坐标是， 如下图所示，过点作直线轴，交直线于点， 则点的横坐标为，纵坐标为， 点的坐标为， ， 点的坐标为， ， ， 整理可得：， 当时有最大面积，最大面积是， 此时，即点的坐标是． 【变式训练1】（26-27九年级上·河南开封·阶段检测）已知二次函数． (1)在给出的平面直角坐标系中画出函数的图像； (2)直接写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； (3)当时，直接写出y的取值范围． 【答案】(1) (2)抛物线的开口方向向上、对称轴为，顶点坐标为． (3) 【思路引导】（1）按照列表、描点、连线的方法画出函数图像即可； （2）根据函数图像确定函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标； （3）根据函数图像确定当时，函数值y的取值范围即可． 【规范解答】（1）解：根据题意：列表如下： x 0 2 4 4 1 0 1 4 描点、连线略． （2）解：由函数图像可得：抛物线的开口方向向上、对称轴为，顶点坐标为． （3）解：当时，， 由函数图像可得：当时， y的取值范围为． 【变式训练2】如图，若二次函数的图象的对称轴为直线，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点，则：①二次函数的最大值为；②；③；④当时，；其中正确的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路引导】函数图象开口向下，则在对称轴处函数有最大值，结合对称轴为直线可判断①；根据点B的坐标可判断②；根据二次函数与x轴有两个交点可判断③；根据对称性求出点A的坐标，结合函数图象可判断④． 【规范解答】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴在对称轴处函数有最大值， ∵对称轴为直线， ∴把代入得， ∴函数的最大值为，故①正确； ∵二次函数与交于点， ∴当时，，故②错误； ∵二次函数与x轴交于点A、点， ∴关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，故③正确； 由对称性可知，点A的坐标为， ∴由函数图象可知，当时，，故④正确； 综上所述，正确的有①③④，共3个． 题型十 根据交点确定不等式的解集 【典例精讲】（26-27九年级上·北京·期中）已知二次函数． (1)将化成的形式，并写出它的顶点坐标； (2)在所给的平面直角坐标系中画出此函数的图象； (3)当时，结合图象，直接写出自变量的取值范围． 【答案】(1)，顶点坐标是 (2) (3)或 【思路引导】（1）运用配方法将原解析式化为顶点式即可； （2）根据（1）所得的顶点式解析式，利用五点作图法直接画出图象即可； （3）根据函数图象确定当时对应的的取值范围即可． 【规范解答】（1）解： ， 抛物线的顶点坐标是； （2）解：列表如下： x … 0 1 … y … 0 3 4 3 0 … 作图如下： （3）解：由图象知：在点的左侧和的右侧， 当时，或． 【变式训练1】（26-27九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是____________ 【答案】 【思路引导】将不等式变形为，结合函数图像，找出抛物线在直线下方部分对应的的取值范围即可． 【规范解答】解：∵， ∴， 抛物线与直线交于，两点， 当或时，， 观察函数图像可知，当时，抛物线的图像在直线的下方， 不等式的解集为． 【变式训练2】已知函数与函数的图象如图所示．若，则自变量x的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【思路引导】令两个函数的函数值相等，解方程求出的值，结合函数图象即可得到答案． 【规范解答】解：令，则， 解得或， ∴由函数图象可知当时，自变量x的取值范围是． 题型十一 一元二次方程的解的估算 【典例精讲】（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）观察下面的表格，一元二次方程的一个解的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【规范解答】解：方程的解是使的值为1的． ∵当时，，当时，． ∴方程的一个解的取值范围是． 【变式训练1】（2026·江西·中考真题）如图，观察函数的图象，可以发现方程在0，1之间有根．取0，1的平均数0.5，当时，，进一步可知这个根在0.5和1之间，则与方程另一根更接近的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】由一元二次方程根与系数关系可知两根之和为，结合已知根在0.5与之间，可推知另一根在与之间．再取中点缩小范围，确定另一根更接近． 【规范解答】解：设方程的两个根为，， ，，， 由一元二次方程根与系数关系可知， 已知在0.5与之间， ， 当x在0.5和1之间时， 另一根在与之间， 取， ， 当时，， 在与之间， 到的距离， 到的距离， 到的距离小于到的距离， 与另一根更接近的是． 【变式训练2】（25-26九年级上·山西太原·阶段检测）我们可以通过不断缩小范围的方法求一元二次方程的近似解，即找出使方程成立的一个初始范围，在该范围内提高精确度，得到一个新的范围，再对新的范围进行操作．例如在求时，根据以下表格，可知道其中一个解的大致范围是（　　） x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 98 99.41 100.84 102.29 103.76 A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查求一元二次方程的近似解，通过观察表格数据，找到使的值等于100的x的范围．当时，值为99.41小于100；当时，值为100.84大于100，因此解在1.1和1.2之间． 【规范解答】解：∵方程， ∴． 由表格： 当时，， 当时，， ∴在和之间，值从99.41增加到100.84，必然经过100， ∴方程的一个解在范围内． 故选：B． 【真题演练1】（2026·江苏常州·中考真题）如图，二次函数的图像与轴相交于点，，与轴相交于点． (1)__________． (2)若点，在抛物线上，且，求的取值范围． (3)连接．若，过点作轴的垂线交于点，交抛物线于点，过点作轴的垂线交于点，交抛物线于点，当最大时，求的值． 【答案】(1) (2)的取值范围为或． (3)的值为． 【思路引导】（1）将点的坐标代入二次函数表达式即可求得的值． （2）先令求得，再令和分别求得的值，最后结合函数图像即可求得的取值范围． （3）先用待定系数法求得直线的函数表达式，从而得到点，，，的坐标，再结合得到，的长，进而得到关于的二次函数表达式，最后利用二次函数的性质即可求得当最大时的值． 【规范解答】（1）解：将点的坐标代入，得 ， 解得． （2）解：由（1）知，二次函数表达式为． 令，得． 令，得， 解得或． 令，得， 解得或． 如图，结合函数图像可知，当时，函数值介于与5之间，对应的自变量分为两段，当点，在抛物线上，且时，的取值范围为或． （3）解：如图 令，得， 解得或． ． 令，得， ． 设直线的函数表达式为． 将点，的坐标分别代入． 得 解得 直线的函数表达式为． ， ． 由题意可知，，，，，且点在点上方，点在点上方， ，， ， ，抛物线开口向下，二次函数在处取得最大值． 又，满足题设条件， 当时，取得最大值，即当最大时，的值为． 【真题演练2】（2026·江苏南通·中考真题）二次函数的部分图象如图所示，当时，的值可以是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【规范解答】解：二次函数的对称轴为直线， ， 当时，随的增大而增大， 当时，， 当时，， 结合选项可知的值可以是． 【真题演练3】（2026·江苏无锡·中考真题）如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【规范解答】解：对于二次函数，令，则， ∴二次函数的图象与y轴的交点为， ∵对于一次函数，令，则， ∴一次函数的图象与y轴的交点为， ∵两个图象交于，两点，已知点，点在轴上， ． 则不等式可变形为， 即， ∴由图象可得，它的解集是． 【真题演练4】（2026·辽宁·中考真题）如图，两条曲线关于轴对称，轴左侧的部分可以用表示．垂直于轴的直线与两条曲线依次相交于点，，，．若，则的长为_________． 【答案】 【思路引导】设点，，，的纵坐标是其中，可以求出点的坐标是，点的坐标是，根据对称性质可知点的坐标是，点的坐标是，根据可得，即可求出，根据的值即可求出的长度． 【规范解答】解：设点，，，的纵坐标是其中， 则有， 解得：，， 点的坐标是，点的坐标是， 两条曲线关于轴对称， 点的坐标是，点的坐标是， ，，， ， ， 解得：， ， ， ． 【真题演练5】（2026·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，对称轴为． (1)求b的值，并用含a的式子表示c； (2)已知M是抛物线上的点，M的横坐标为t，抛物线的顶点为M，且可以由抛物线平移得到（特别地，当M是的顶点时，即为）．若无论t为何值，抛物线都不经过点O，求a的取值范围． 【答案】(1)， (2)且 【思路引导】（1）利用抛物线过直接得，再套用对称轴公式，化简求出； （2）先写出顶点为的平移后抛物线，代入原点得到关于的一元二次方程，方程无实数根则判别式，解不等式得到范围． 【规范解答】（1）解：抛物线经过点， ． 抛物线的对称轴为， ． ； （2）解：设点， 是抛物线上的点， ． 由题意，抛物线， 设抛物线与y轴交于点，则． 无论t为何值，抛物线都不经过点O， 无论t为何值，都有， 关于t的方程没有实数根． ，即． ， 化简得：， 解得：， 且． 【基础夯实】 1．（26-27九年级上·全国·期中）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（     ） A． 对称轴是直线 B． 顶点坐标为 C． 当时，随的增大而增大 D． 图象与轴交点的坐标是 【答案】C 【思路引导】根据二次函数的顶点式，确定对称轴、顶点坐标、开口方向及增减性，并计算与y轴的交点即可解答． 【规范解答】解：∵二次函数为， ∴对称轴为直线，顶点坐标为， 选项A：对称轴应为直线，不是，故A说法错误，不符合题意； 选项B：顶点坐标应为，不是，故B说法错误，不符合题意； 选项C：∵， ∴抛物线开口向下，当时，y随x的增大而增大，故C说法正确，符合题意； 选项D：当时，， ∴与y轴交点坐标为 ，不是，故D说法错误，不符合题意． 2．（26-27九年级上·江西九江·阶段检测）对一元二次方程的一个正数解的取值范围的探索如下表． 从表中可以看出方程的一个正数解的大致范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】通过表格中代数式的符号变化，确定方程正数解的范围． 【规范解答】解：当时，， 当时，， 故方程的一个正数解的大致范围是． 3．（26-27九年级上·天津·期中）已知二次函数中与的部分对应值如下表，下列判断正确的是（     ） … 0 1 2 … … 1 3 1 … A．抛物线开口向上 B．抛物线与轴交于负半轴 C．当时，随的增大而减小 D．方程的正根在3与4之间 【答案】C 【思路引导】根据题意和表格中的数据可以得到该函数的对称轴、开口方向，从而可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【规范解答】解：由图表可得，当时，随的增大而增大， ∴抛物线开口向下，故选项A错误，不合题意； 当时，，即抛物线与轴的交点为， 即抛物线与轴交于正半轴，故选项B错误，不合题意； ∵该函数图象开口向下，对称轴为， ∴当时，随的增大而减小，选项C正确，符合题意； 根据二次函数图象的对称性质可知，当时，， 可知方程的正根在2与3之间，故选项D错误，不符合题意． 4．（26-27九年级上·天津·期中）二次函数的部分图象如图所示，当时，x的取值范围是____________． 【答案】或 【思路引导】首先根据对称轴和与x轴的一个交点确定另一个交点的坐标，然后根据其图象确定自变量的取值范围即可． 【规范解答】解：由图象可得抛物线对称轴为直线，抛物线与轴一个交点为， ∴抛物线与轴另一个交点为， ∴当时，x的取值范围是或． 5．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）二次函数与轴的交点坐标为_______． 【答案】 【思路引导】轴上点的横坐标为，将代入二次函数解析式，计算即可得到交点的纵坐标，从而得到交点坐标． 【规范解答】解：∵轴上所有点的横坐标为， ∴将代入 得， 因此二次函数与轴的交点坐标为． 6．（26-27九年级上·北京西城·阶段检测）在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线__________（用含的式子表示）；若抛物线上存在两点和，当时，的取值范围为__________． 【答案】 或 【思路引导】第一空利用二次函数对称轴公式计算即可；第二空将两点坐标代入抛物线解析式得到，，再根据解不等式得到的取值范围． 【规范解答】解：求对称轴： ∵ 二次函数为，其中二次项系数，一次项系数为， ∴ 对称轴为直线； 求的取值范围： 将和代入， 得，， 整理得： ，， ∵ ， ∴ ， 变形得， 即． 将四个因式按大小排列为：， 分情况讨论： 当四个因式中只有一个负数时， ，解得； 当四个因式中三个负数一个正数时， ，解得； 因此的取值范围是或． 7．（26-27九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）将二次函数的图象在轴上方的部分沿轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线与新函数的图象有4个公共点时，则的范围为____________． 【答案】 【思路引导】求出翻折后新函数的分段解析式，分别计算直线与中间段抛物线相切、直线经过右侧交点时的值，结合图象确定范围． 【规范解答】解：令，得解得， 抛物线与轴交点为和 新函数在时，； 在或时， 当直线与相切时 方程有两个相等实数根 整理得 即 解得 当直线经过点时 ，解得 如图， 结合图象可知，当时，直线与新函数的图象有个公共点． 8．（25-26八年级下·山东菏泽·期中）用描点法画函数的图象，并完成下列问题： (1)求曲线与x轴、y轴交点坐标； (2)根据图象分析，y随x变化而变化的情况． 【答案】(1)与x轴交点坐标为和，与y轴交点坐标为 (2)当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小 【思路引导】本题考查了描点作图法画二次函数图象以及二次函数图象的相关性质． （1）根据列表、描点、连线的步骤作出二次函数的图象，令，求得函数与y轴的交点坐标；令，求得函数与x轴的交点坐标； （2）根据函数图象以及函数增减性的定义求解即可． 【规范解答】（1）解：列表如下： x 0 1 2 y 2 1 1 描点作图如图所示： 令，则，即二次函数与y轴的交点为； 令，则，解得，即二次函数与x轴的交点为和； （2）解：由图象可知，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小． 9．（26-27九年级上·全国·课后作业）二次函数的图象与一次函数的图象如图所示，方程有解吗？如果有，请直接写出；如果没有，请说明理由． 【答案】有；， 【思路引导】根据函数图象与方程的关系可知，方程的解就是两个函数图象交点的横坐标． 【规范解答】解：有解， 理由：观察图象可得抛物线与直线的交点横坐标分别为1和3， 故方程的解为，． 10．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）已知二次函数的图像上的部分点的横、纵坐标、的对应值如表： … 0 … … 1 1 … 根据以上信息，回答下列问题： (1)二次函数图像的顶点坐标为______，______； (2)关于的一元二次方程的解为______； (3)关于的一元二次方程的一个实数根更接近于 ； A．；B．；C．；D． 【答案】(1) ， (2) ， (3) A 【思路引导】（1）由表格中纵坐标相同的两点确定二次函数的对称轴与顶点坐标，用待定系数法求解析式； （2）方程的解即为时对应的值，利用对称性求解即可； （3）求出时对应的值，计算各选项与最近根的距离，比较即可得到结论． 【规范解答】（1）解：∵二次函数图像过点和， ∴对称轴为直线； ∵当时，， ∴顶点坐标为； 设二次函数解析式为， 将代入解析式，得， 解得， ∴二次函数解析式为， 当时，； （2）解：关于的方程的解，即函数中时对应的值， ∵时，，且函数的对称轴为直线， ∴另一个解为， ∴方程的解为，； （3） 解：令，则， 解得， ∵， ∴方程的两个实数根约为和， 计算各选项与最近根的距离： 选项A：， 选项B：最小距离为， 选项C：最小距离为， 选项D：最小距离大于， ∵， ∴一个实数根更接近于． 【培优拔高】 1．（26-27九年级上·北京西城·阶段检测）设二次函数（，，是常数，），如表列出了、的部分对应值． … 1 2 3 … … 0 … 则不等式的解集是（     ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【思路引导】利用二次函数的对称性求对称轴，找到对应的两个横坐标，结合开口方向确定不等式解集． 【规范解答】解：∵抛物线过点，， ∴抛物线对称轴为直线， ∵时函数值为， ∴关于直线的对称点横坐标为， 即时函数值为， ∵当时，从增大到，从增大到，随的增大而增大， ∴抛物线开口向上， ∴不等式的解集为． 2．（26-27九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）如图是二次函数的图象，对称轴是直线，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】根据二次函数图象判定，的符号，利用对称轴公式确定，关系，结合特殊点坐标判断代数式符号． 【规范解答】解：∵抛物线开口向下， 又∵抛物线与 轴交于正半轴 ， ∴， ∵对称轴为直线， ∴，故选项正确； ∵， ∴， ∴，故选项错误； ∵抛物线与 轴有两个交点， ∴，故选项错误 ； 由图象可知，当 时，， ∴，故选项错误； 故选． 3．（23-24九年级上·山东泰安·阶段检测）如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④一元二次方程没有实数根．⑤其中正确的结论个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路引导】图象开口方向判断出，由对称轴得出，抛物线与y轴的交点判断，抛物线与轴交点的个数确定，再结合抛物线的部分图象和其顶点，且与轴的一个交点在点和之间，进行逐项分析，即可作答． 【规范解答】解：由抛物线开口向下可知， 对称轴为直线， ，即， 抛物线与轴交点在轴上方， ， ，故①错误； 抛物线与轴的一个交点在和之间，对称轴为， 抛物线与轴的另一个交点在和之间， 当时，， 即， ， ， 即，故②正确； 顶点坐标为， ， ， ，故③正确； 抛物线开口向下，顶点纵坐标为， 函数最大值为， ， 抛物线与直线无交点， 方程无实数根，故④正确； 当时，取最大值， 对于任意实数，都有， ， 即， 当时，，故⑤错误； 综上所述，正确的结论有②③④，共3个． 4．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，抛物线（，，为常数，且）的对称轴是直线，下列结论： ； ； ； ．所有正确的结论有______．（填序号） 【答案】 【思路引导】根据抛物线的开口方向，对称轴的位置和与轴交点情况即可判断、、的符号，从而判断；根据对称轴是直线即可判断；根据抛物线与轴的交点情况即可判断；当时，根据图象即可判断． 【规范解答】解：∵抛物线开口方向向下， ∴， ∵抛物线对称轴位于轴右侧， ∴， ∴， ∵抛物线与轴交于正半轴， ∴， ∴，故错误； ∵抛物线对称轴为直线， ∴，即，故正确； ∵抛物线与轴有两个不同交点， ∴，故正确； 当时，， ∴，故正确； 综上可得：正确． 5．（26-27九年级上·辽宁鞍山·开学考试）如图，与关于轴对称，且，一条平行于轴的直线与和共有四个交点，从左到右依次记为，当时，则___________． 【答案】3 【思路引导】设点的纵坐标为，先分别求出点的坐标，再根据求出的值，由此即可得． 【规范解答】解：由题意，设点的纵坐标为， 令得：， 解得或， ∴，， ∴， ∵与关于轴对称， ∴点与点关于轴对称，点与点关于轴对称， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 6．（25-26九年级上·吉林长春·开学考试）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③若点、点、点在该函数图象上，则；④若方程的两根为和，且，则．其中正确的结论是__________． 【答案】 【思路引导】利用对称轴公式得到与的关系判断①，根据二次函数与x轴交点位置判断处的函数值符号判断②，根据开口方向和点到对称轴的距离比较函数值大小判断③，将方程的根转化为抛物线与直线的交点位置判断④． 【规范解答】解：二次函数的对称轴为直线， 由对称轴公式可得， ， 整理得，故①正确； 抛物线过点，对称轴为， 抛物线与轴的另一个交点横坐标为， 即另一个交点为，且抛物线开口向下， 当时，， ，移项得，故②错误； 计算三个点到对称轴的距离： 点的距离， 点的距离， 点的距离， 可得， 抛物线开口向下，点到对称轴的距离越大，函数值越小， ，故③正确； 方程的根是抛物线与直线交点的横坐标， 抛物线过和，开口向下，， 两个交点分别在和的范围内， ，，故④正确； 综上，正确结论为． 7．（26-27九年级上·全国·课后作业）下列二次函数的图象与x轴是否相交？如果相交，请求出交点的坐标，并画草图验证． (1)； (2)． 【答案】(1)二次函数的图象与轴不相交，画图如下： (2)二次函数的图象与轴相交，交点坐标为和． 画图如下： 【思路引导】（1）先求出△的值，再画出函数图象即可； （2）求出抛物线与x轴的交点坐标，画出函数图象即可． 【规范解答】（1）解：， ∴ ， ∴二次函数与x轴无交点； ∵，，， ∴抛物线的开口向上，顶点坐标为． 画图略 （2）解：当时，， ∴， 解得： ，， 与x轴交点坐标为，． ∵，，， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为， 画图略． 8．（26-27九年级上·河北邯郸·阶段检测）在直角坐标系中，抛物线（是常数，）与轴相交于点． (1)求点坐标； (2)若抛物线经过点，求的值； (3)已知，若，有最大值9，求的值； 【答案】(1)点坐标为 (2)， (3)的值为或 【思路引导】（1）根据轴上点的横坐标为，代入抛物线解析式求纵坐标； （2）将两点坐标代入抛物线解析式，联立方程组求解； （3）用表示，得到抛物线对称轴，结合的取值范围，分开口向上和向下两种情况确定最大值对应的值，代入计算． 【规范解答】（1）解：∵点是抛物线与轴的交点， ∴点的横坐标为， 将代入，得， ∴； （2）解：∵抛物线经过点和， ∴将两点坐标代入解析式，得 整理得 两式相加得， 解得， 将代入， 得． （3）解：∵， ∴， ∴抛物线解析式为．抛物线的对称轴为， ∵， ∴分两种情况讨论：①当时，抛物线开口向上，在范围内，的最大值出现在离对称轴较远的端点． ∵，，， ∴当时，取得最大值， 将，代入解析式，得， 解得，符合， ②当时，抛物线开口向下，在范围内，的最大值出现在顶点处． ∴当时，取得最大值， 将，代入解析式，得， 整理得， 解得，符合． 综上所述，的值为或． 9．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，抛物线 与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求三点的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）令，可以求出抛物线与轴的交点的坐标；令，可以求出抛物线与轴的交点的坐标； （2）根据（1）中所求点的坐标得到的长度，进而求得的面积． 【规范解答】（1）解：令，则， ， 或， 点在点的左侧， ． 令，则， ． （2）解： ， ， 到轴的距离为，即 ． 10．（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）已知抛物线（a，b，c是常数，）． (1)若，且该抛物线的图象经过，，三个点中的两个点，则这两个点分别是________，该抛物线的解析式为______________． (2)若抛物线与x轴两个交点的横坐标分别为k，，求证：． (3)若抛物线的对称轴为直线，函数图象过点，当时，求的最小值． 【答案】(1)，； (2)证明：抛物线与x轴两个交点的横坐标为k，， ，是一元二次方程的两个根， ，， ，， ，， ． (3) 【思路引导】（1）由可得抛物线经过点，进而得出不会经过点，再根据点A，B的坐标，利用待定系数法即可求解； （2）根据抛物线与一元二次方程的关系，可得，是一元二次方程的两个根，由根与系数的关系可得，，进而即可求解； （3）将代入得，根据抛物线的对称轴公式得出，整理得，结合，可得，，代入，可得，求二次函数的最值即可． 【规范解答】（1）解： ， 当时，， 抛物线经过点， 抛物线不会经过点， 抛物线经过的两个点分别是：，， 将，代入，结合， 得， 解得， 该抛物线的解析式为； （2）略 （3）解：将代入，得， 抛物线的对称轴为直线， ， ， 由得， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， 二次项系数， 时，的值最小，最小值为：， 满足， 的最小值为． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $