专题26.3 二次函数与一元二次方程（暑假预习讲义）2026-2027学年人教版九年级数学上册

专题26.3 二次函数与一元二次方程 【本节预习目标】 1.知识与技能 理解二次函数与一元二次方程的关系，知道抛物线与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的根 掌握判别式与抛物线和x轴交点个数的对应关系 会用图象法求一元二次方程的近似解 能利用二次函数的图象解一元二次不等式 2.过程与方法 经历"观察—猜想—验证—归纳"的探究过程，体会数形结合的思想方法 通过二次函数与一元二次方程的联系，感受函数与方程的辩证统一 在解决实际问题中，建立数学模型，发展应用意识 【前置旧知回顾】 知识模块 核心内容 与本节的关联 一元二次方程的解法 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法；根的判别式 二次函数与x轴交点问题转化为一元二次方程求解问题 二次函数的图象和性质 抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标；增减性；最值 利用二次函数的图象研究方程的根和不等式的解集 一次函数与一元一次方程、不等式的关系 一次函数图象与x轴交点的横坐标就是对应一元一次方程的解；利用一次函数图象解一元一次不等式 类比一次函数与方程、不等式的关系，研究二次函数与一元二次方程、不等式的关系 平面直角坐标系 点的坐标；函数图象与坐标轴交点的求法 求抛物线与坐标轴交点坐标的基础 知识点1：二次函数与一元二次方程的关系 1.基本关系 二次函数（），当时，得到一元二次方程。 抛物线与x轴的公共点的横坐标，就是一元二次方程的根。 2.判别式与交点个数的关系 判别式 一元二次方程根的情况 抛物线与x轴的交点个数 有两个不相等的实数根 有两个交点 有两个相等的实数根 有一个交点（顶点） 没有实数根 没有交点 3.拓展结论 一元二次方程的解，是抛物线与直线的公共点的横坐标 抛物线与直线的交点坐标，是方程组的解 抛物线与x轴两交点间的距离（截线长）： 知识点2：用图象法求一元二次方程的近似解 1.图象法的基本原理 利用二次函数的图象与x轴的交点，来确定一元二次方程的根。由于作图和观察存在误差，求得的解一般是近似的。 2.常用的图象法 方法 具体作法 原理 方法一 直接画出抛物线的图象 图象与x轴交点的横坐标就是方程的根 方法二 画出抛物线和直线 两图象交点的横坐标就是方程的根 方法三 画出抛物线和直线 两图象交点的横坐标就是方程的根 3.确定近似根的方法 第一步：观察图象，确定根在哪两个连续整数之间 第二步：利用"取平均数"的方法，不断缩小根所在的范围 第三步：当根所在的范围满足题目要求的精确度时，即可得到近似解 知识点3：二次函数与一元二次不等式 1.基本关系 一元二次不等式（或）的解集，就是抛物线在x轴上方（或下方）的部分所对应的自变量x的取值范围。 2.利用图象解一元二次不等式 当时： 的解集：或（） 的解集：（） 当时： 的解集：（） 的解集：或（） 3.拓展应用 不等式的解集，就是抛物线在直线上方的部分对应的x的范围 不等式的解集，就是抛物线在直线下方的部分对应的x的范围 【基础巩固题型】 【题型1】抛物线与x轴交点个数的判断 1.核心知识点: 二次函数与一元二次方程的关系；根的判别式；抛物线与x轴交点个数 2.解题方法技巧: ①判别式法：计算，根据的符号判断交点个数 ②图象分析法：根据开口方向和顶点位置，直观判断与x轴的交点情况 ③特殊值法：通过代入特殊值，结合函数值的正负变化判断交点个数 【例题1】.（2026·江苏南京·二模）函数（m为常数）的图象与x轴公共点的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 【变式题1-1】.（2026·四川泸州·一模）若直线与抛物线只有一个交点，则k的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式题1-2】.（2026·广东深圳·三模）已知二次函数（是常数）的图象与轴有两个不同的交点，则的值可以是______．（写出一个即可） 【变式题1-3】.（2026·河南许昌·二模）若抛物线（c是常数）与x轴没有交点，请写出一个符合条件的c的值：_______． 【题型2】求抛物线与坐标轴的交点坐标 1.核心知识点: 抛物线与x轴的交点；抛物线与y轴的交点；一元二次方程的解法 2.解题方法技巧: ①与y轴交点法：令，得，交点坐标为 ②与x轴交点法：令，解方程，方程的解就是交点的横坐标 ③因式分解法：当一元二次方程容易因式分解时，用因式分解法求根更简便 【例题2】.（25-26九年级上·安徽安庆·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线，求该抛物线与x轴的交点坐标． 【变式题2-1】.（2026·黑龙江哈尔滨·一模）抛物线与轴交点坐标是（     ） A． B． C． D． 【变式题2-2】.（25-26九年级下·全国·单元复习）填空： （1）抛物线与y轴的交点坐标是________，与x轴的交点坐标是________； （2）抛物线与y轴的交点坐标是________，与x轴的交点坐标是________． 【变式题2-3】.（25-26九年级上·河南周口·期末）已知二次函数 (1)求该函数图象的顶点坐标及与坐标轴的交点坐标； (2)请画出该函数的大致图象． 【题型3】利用二次函数图象解一元二次方程 1.核心知识点: 二次函数与一元二次方程的关系；抛物线与x轴交点的意义；方程的根的几何意义 2.解题方法技巧: ①直接读图法：根据抛物线与x轴的交点坐标，直接写出方程的根 ②对称法：已知一个交点和对称轴，利用对称性求另一个交点 ③转化法：将方程变形，转化为两个函数图象的交点问题 【例题3】.（25-26九年级上·云南大理·期末）二次函数的图象如图所示，，为图象上的两点，则方程的一个解可能是（   ） A． B． C． D． 【变式题3-1】.（25-26九年级上·河北保定·期中）如图是函数的图象，对称轴为直线，则方程的负数解的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式题3-2】.（25-26九年级上·北京·阶段检测）在关于x的二次函数中，自变量x可以取任意实数，下表是自变量x与函数y的几组对应值： x … 1 2 3 4 5 6 7 8 … … … 根据以上信息，关于x的一元二次方程的两个实数根中，其中的一个实数根约等于______（结果保留小数点后一位小数）． 【变式题3-3】.（25-26九年级下·广东深圳·开学考试）根据下列表格的对应值，判断方程（为常数）一个解的范围是（    ） 3.23 3.24 3.25 3.26      -0.06 -0.02 0.03 0.09 A．3 B．3 C．3 D．3 【题型4】抛物线截线长的计算 1.核心知识点: 抛物线与x轴两交点间的距离；一元二次方程根与系数的关系；完全平方公式 2.解题方法技巧: ①公式法：直接用截线长公式 ②韦达定理法：利用根与系数的关系， ③直接求根法：先求出两个交点的横坐标，再计算距离 【例题4】.（2026·内蒙古·中考真题）二次函数的图象与轴交于，两点，则线段的长是（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 【变式题4-1】.（25-26九年级下·河南周口·阶段检测）若抛物线 与轴两交点距离为，对称轴为，则抛物线解析式为_____________． 【变式题4-2】.（25-26九年级上·湖南衡阳·阶段检测）已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，则A、B两点间的距离是______． 【变式题4-3】.（2026·浙江丽水·二模）已知二次函数． (1)求二次函数图象的顶点坐标； (2)过点与y轴平行的直线交抛物线于点B，若，求t的值； (3)若点，为二次函数图象上的两点，且，求的最大值． 【培优提升题型】 【题型5】图象法估算一元二次方程的近似解 1.核心知识点: 二次函数的图象；一元二次方程的近似解；二分法思想；估算能力 2.解题方法技巧: ①范围确定法：先观察图象，确定根在哪两个连续整数之间 ②二分逼近法：取区间中点，计算函数值，根据正负不断缩小根的范围 ③表格辅助法：通过列表计算函数值，观察函数值的变化确定根的位置 【例题5】.（25-26九年级上·广东汕尾·阶段检测）已知二次函数的部分图像如图所示，则关于x的一元二次方程的正数解为（   ） A．1 B．3 C．2 D．0 【变式题5-1】.（25-26九年级上·全国·单元测试）若关于x的二次函数的图象与x轴的交点坐标是和，则关于x的一元二次方程的解为（   ） A． B．， C．， D．， 【变式题5-2】.（25-26九年级上·河北邯郸·阶段检测）已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式题5-3】.（25-26九年级上·广东广州·期末）若二次函数的部分图象如图所示，关于的一元二次方程的一个解，则另一个解_____． 【题型6】利用二次函数图象解一元二次不等式 1.核心知识点: 二次函数与一元二次不等式的关系；不等式解集的几何意义；数形结合思想 2.解题方法技巧: ①图象法：画出抛物线，根据不等式的符号，找出图象在x轴上方或下方的部分对应的x范围 ②口诀法：时，大于取两边，小于取中间；时相反 ③验证法：取特殊值代入验证，确保解集的正确性 【例题6】.（25-26九年级上·湖南衡阳·期末）如图是二次函数的图象，使成立的的取值范围是_____． 【变式题6-1】.（2025九年级上·江苏泰州·专题练习）已知二次函数 的部分图象如图，若，则的取值范围是 （    ） A． B． C．或 D．或 【变式题6-2】.（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）若二次函数的图象如图所示，则方程的解是__________；不等式的解集是______________；不等式的解集是________________． 【变式题6-3】.（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）抛物线 如图所示，回答下列问题 (1)方程的解是___________； (2)关于的不等式的解集是___________； (3)当时，y的取值范围是___________； (4)若关于的方程的两个实数根异号，则t的取值范围是___________． 【题型7】二次函数与直线的交点问题 1.核心知识点: 二次函数与一次函数的交点；方程组的解与函数图象交点的关系；一元二次方程的应用 2.解题方法技巧: ①联立方程法：将两个函数解析式联立，得到一元二次方程，方程的解就是交点的横坐标 ②判别式法：用判别式判断两函数图象的交点个数 ③图象分析法：结合两个函数的图象，直观分析交点情况 【例题7】.（25-26九年级下·广东揭阳·阶段检测）已知二次函数与一次函数的图象如图所示，则方程的解为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式题7-1】.（2018·湖北孝感·中考真题）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为 ，，则关于 x 的方程的解为_______．    【变式题7-2】.（25-26九年级上·北京·阶段检测）如图，二次函数的图象与直线相交于点和点，对称轴为直线，那么关于的一元二次方程的解为_____ 【变式题7-3】.（25-26九年级上·山西朔州·阶段检测）如图，抛物线与直线的两个交点分别为，，则关于x的一元二次方程的解为（   ）． A．， B．， C．， D．， 【压轴素养题型】 【题型8】二次函数与不等式的综合应用 1.核心知识点: 二次函数的图象和性质；一元二次不等式；函数值大小比较；数形结合思想 2.解题方法技巧: ①图象位置法：比较两个函数值的大小，转化为比较两个图象的上下位置 ②作差法：构造新函数，通过判断新函数值的正负来比较大小 ③分类讨论法：根据参数的不同取值范围，分类讨论不等式的解集 【例题8】.（25-26九年级下·江苏扬州·开学考试）如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是___________ ． 【变式题8-1】.（25-26九年级上·北京·期中）解关于x的不等式． 【变式题8-2】.（25-26九年级上·甘肃武威·阶段检测）如图，在同一直角坐标系中，二次函数的图象与两坐标轴分别交于点、点和点，一次函数的图象与抛物线交于B、C两点． (1)求一次函数与二次函数的解析式． 根据图象直接回答下列问题： (2)当自变量 时，两函数的函数值都随增大而增大． (3)当自变量 时，一次函数值大于二次函数值． 【变式题8-3】.（25-26九年级下·河南商丘·阶段检测）数形结合是一种重要的数学思想，在中学有着极为广泛的应用，很多复杂的问题结合图形能够快速直观得到结论．在中学阶段，一元二次函数、一元二次方程和一元二次不等式简称为“三个二次”，它们之间有着密切的联系，其中一元二次函数居于核心地位，利用一元二次函数的图象能够很方便地解决很多一元二次方程和一元二次不等式问题． 【特例感知】 如解不等式，我们构造函数，作出它的图象，易得它与x轴的两个交点分别为和，结合图象易得不等式的解集为或，同时易知函数与x轴交点的横坐标和3为方程的两个根． 【理解运用】 结合上述知识请解决下面的问题： (1)不等式的解集为 ； (2)对任意实数b，关于x的一元二次方程恒有两个不等的实数根，求实数a的取值范围． 【题型9】抛物线的平移与方程根的变化 1.核心知识点: 二次函数图象的平移规律；平移前后解析式的变化；方程根的变化规律 2.解题方法技巧: ①顶点跟踪法：跟踪顶点的平移，确定平移后的解析式，再求方程的根 ②规律应用法："左加右减自变量，上加下减常数项"，直接写出平移后的方程 ③图象分析法：结合平移前后的图象，直观分析方程根的变化 【例题9】.（2026·上海浦东新·模拟预测）将抛物线向右平移1个单位，平移后的抛物线与y轴交点的坐标是_____． 【变式题9-1】.（2026·福建三明·三模）将抛物线进行平移得抛物线，点在抛物线上，对应点在抛物线上，则点的横坐标可以是（     ）． A． B． C． D． 【变式题9-2】.（25-26九年级上·上海崇明·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点、 (1)求抛物线的表达式； (2)若将该抛物线向上平移个单位长度，使得平移后的抛物线与轴只有一个公共点，求的值． 【变式题9-3】.（2026·河南·二模）如图，点和点是平面直角坐标系中的两个点． (1)若二次函数经过两点，请求出此二次函数的关系式和函数的最大值； (2)若将（1）中的二次函数图象向下平移个单位长度后，与轴交于，两点（点在点左侧）且，求函数图象的平移距离； (3)若二次函数的图象经过点，且当时函数的最小值为，请直接写出的值． 【题型10】二次函数与方程的探究性问题 1.核心知识点: 二次函数的图象和性质；一元二次方程；探究式学习方法；归纳猜想与验证 2.解题方法技巧: ①特殊到一般法：从特殊情况入手，通过观察、归纳，猜想一般规律 ②图象分析法：结合函数图象，直观分析方程根的变化规律 ③代数证明法：对猜想的结论进行代数推导和证明 【例题10】.（25-26九年级上·山东威海·自主招生）某班兴趣小组对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． 已知自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下： (1)根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该图象的另一部分； (2)观察函数图象，当随增大而减小时，则的取值范围是______； (3)进一步探究函数图象发现： ①函数图象与轴有______个交点，所以对应方程有______个实数根； ②方程有______个实数根； ③若关于的方程有个实数根，则的取值范围是______． 【变式题10-1】.（25-26九年级上·山西临汾·阶段检测）阅读与思考： 某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． (1)自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如表： … 0 1 2 3 … … 3 0 0 3 … 其中，___________． (2)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分． (3)观察函数图象，写出两条函数的性质． ①___________  ②___________ (4)进一步探究函数图象发现： ①函数图象与轴有___________个交点，所以对应的方程有___________个实数根； ②方程有___________个实数根； ③关于的方程有4个实数根时的取值范围是___________． 【变式题10-2】.（2026·广西柳州·二模）某数学兴趣小组在组长的带领下对二次函数展开了深度探究． 基础回顾 组长先让大家回顾二次函数的基本性质 (1)若，当________时，函数有最小值，最小值________． 探究发现 经过合作探究，小组成员得出结论： “当自变量的取值范围受到限制时，二次函数的最小值不一定在顶点处取得．” (2)当时，求该范围内函数的最小值（用含的代数式表示），并用计算结果说明小组成员的结论成立． 拓展应用 基于前面的探究成果，小组成员尝试解决新问题，请你和他们一起完成： (3)在（2）的条件下，当时，的最小值为．设二次函数的图象与轴的两个交点坐标分别为，，求线段的长度． 【变式题10-3】.（2026九年级下·全国·专题练习）小明根据学习函数的经验，对函数的图象及性质进行了探究和应用．下面是小明的探究过程 x … 1 2 … y … … (1)函数的自变量x的取值范围是 ； (2)下表是y与x的几组对应值，在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象； (3)探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是，结合函数的图象，写出该函数的其它2条不同的性质：① ，② ； (4)设，，利用图象比较a和b的大小（请写出比较过程）． 易错点 1、混淆判别式的符号与交点个数的对应关系，特别是时只有一个交点 2、解一元二次不等式时，不考虑二次项系数的正负，直接套用"大于取两边" 3、求抛物线与x轴交点时，忘记令，或解方程出错 4、图象法求近似解时，估算不准确，或缩小范围的方法不正确 5、抛物线平移后，方程的变化规律记错，特别是左右平移容易出错 重点 1、二次函数与一元二次方程的关系，判别式与交点个数的对应关系 2、利用二次函数的图象解一元二次方程和一元二次不等式 3、抛物线与坐标轴交点坐标的求法 4、二次函数与直线的交点问题 难点 1、利用二次函数的图象解一元二次不等式，特别是含参数的不等式 2、一元二次方程根的分布问题，需要结合图象和函数值综合分析 3、二次函数与方程、不等式的综合应用，数形结合思想的灵活运用 4、二次函数的实际应用问题，建立数学模型的过程 一、单选题 1．若二次函数的图象与轴没有交点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．若抛物线与轴的交点坐标为，则代数式的值为（     ） A．118 B．119 C．120 D．121 3．如图，已知二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，其对称轴为直线，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．二次函数与轴交于，则的值为______． 5．二次函数的图象与坐标系横轴有交点，那么的取值范围是___________． 6．抛物线的部分图象如图所示，对称轴为直线，直线与抛物线都经过点．下列说法： ①； ②； ③关于x的一元二次方程的两根为，； ④不等式的解集是； ⑤当时，二次函数有最大值． 其中正确的有_____ （填写序号）． 三、解答题 7．已知二次函数． (1)将化成的形式； (2)在平面直角坐标系中画出此函数的图象； (3)当时，结合图象，直接写出的取值范围． … 0 … … … 8．已知函数． (1)求证：不论为何实数，此二次函数的图象与轴都有两个不同的交点； (2)若，求函数与轴的交点坐标． 9．二次函数的图象与轴交于点，且，． (1)求，的值． (2)当时，函数值都小于，求的取值范围． 10．抛物线经过点，，，直线经过点B，C，则： (1)该抛物线的对称轴为直线______； (2)关于x的方程的解为______； (3)关于x的不等式的解为______； (4)若关于x的方程在的范围内有两个不相等实数根，则k的取值范围是______． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题26.3 二次函数与一元二次方程 【本节预习目标】 1.知识与技能 理解二次函数与一元二次方程的关系，知道抛物线与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的根 掌握判别式与抛物线和x轴交点个数的对应关系 会用图象法求一元二次方程的近似解 能利用二次函数的图象解一元二次不等式 2.过程与方法 经历"观察—猜想—验证—归纳"的探究过程，体会数形结合的思想方法 通过二次函数与一元二次方程的联系，感受函数与方程的辩证统一 在解决实际问题中，建立数学模型，发展应用意识 【前置旧知回顾】 知识模块 核心内容 与本节的关联 一元二次方程的解法 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法；根的判别式 二次函数与x轴交点问题转化为一元二次方程求解问题 二次函数的图象和性质 抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标；增减性；最值 利用二次函数的图象研究方程的根和不等式的解集 一次函数与一元一次方程、不等式的关系 一次函数图象与x轴交点的横坐标就是对应一元一次方程的解；利用一次函数图象解一元一次不等式 类比一次函数与方程、不等式的关系，研究二次函数与一元二次方程、不等式的关系 平面直角坐标系 点的坐标；函数图象与坐标轴交点的求法 求抛物线与坐标轴交点坐标的基础 知识点1：二次函数与一元二次方程的关系 1.基本关系 二次函数（），当时，得到一元二次方程。 抛物线与x轴的公共点的横坐标，就是一元二次方程的根。 2.判别式与交点个数的关系 判别式 一元二次方程根的情况 抛物线与x轴的交点个数 有两个不相等的实数根 有两个交点 有两个相等的实数根 有一个交点（顶点） 没有实数根 没有交点 3.拓展结论 一元二次方程的解，是抛物线与直线的公共点的横坐标 抛物线与直线的交点坐标，是方程组的解 抛物线与x轴两交点间的距离（截线长）： 知识点2：用图象法求一元二次方程的近似解 1.图象法的基本原理 利用二次函数的图象与x轴的交点，来确定一元二次方程的根。由于作图和观察存在误差，求得的解一般是近似的。 2.常用的图象法 方法 具体作法 原理 方法一 直接画出抛物线的图象 图象与x轴交点的横坐标就是方程的根 方法二 画出抛物线和直线 两图象交点的横坐标就是方程的根 方法三 画出抛物线和直线 两图象交点的横坐标就是方程的根 3.确定近似根的方法 第一步：观察图象，确定根在哪两个连续整数之间 第二步：利用"取平均数"的方法，不断缩小根所在的范围 第三步：当根所在的范围满足题目要求的精确度时，即可得到近似解 知识点3：二次函数与一元二次不等式 1.基本关系 一元二次不等式（或）的解集，就是抛物线在x轴上方（或下方）的部分所对应的自变量x的取值范围。 2.利用图象解一元二次不等式 当时： 的解集：或（） 的解集：（） 当时： 的解集：（） 的解集：或（） 3.拓展应用 不等式的解集，就是抛物线在直线上方的部分对应的x的范围 不等式的解集，就是抛物线在直线下方的部分对应的x的范围 【基础巩固题型】 【题型1】抛物线与x轴交点个数的判断 1.核心知识点: 二次函数与一元二次方程的关系；根的判别式；抛物线与x轴交点个数 2.解题方法技巧: ①判别式法：计算，根据的符号判断交点个数 ②图象分析法：根据开口方向和顶点位置，直观判断与x轴的交点情况 ③特殊值法：通过代入特殊值，结合函数值的正负变化判断交点个数 【例题1】.（2026·江苏南京·二模）函数（m为常数）的图象与x轴公共点的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 【答案】D 【分析】二次函数图象与x轴公共点的个数，等价于时对应一元二次方程的实数根个数，利用一元二次方程根的判别式即可判断公共点个数． 【详解】当函数图象与x轴相交时，，可得一元二次方程， ，，， ， 任意实数的平方都大于等于0， ， 当时，，方程有1个相等的实数根，图象与x轴有1个公共点； 当时，，方程有2个不相等的实数根，图象与x轴有2个公共点； 因此函数图象与x轴公共点的个数是1或2， 故选：D． 【变式题1-1】.（2026·四川泸州·一模）若直线与抛物线只有一个交点，则k的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】联立两函数解析式得到，根据两函数只有一个交点可得关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，据此利用判别式求解即可． 【详解】解：联立得，即， ∵直线与抛物线只有一个交点， ∴关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴． 【变式题1-2】.（2026·广东深圳·三模）已知二次函数（是常数）的图象与轴有两个不同的交点，则的值可以是______．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】二次函数图象与轴有两个不同交点，对应一元二次方程有两个不相等的实数根，根据根的判别式大于零求出的取值范围，任取范围内一个值即可. 【详解】解：二次函数的图象与轴有两个不同交点 一元二次方程有两个不相等的实数根 ， 解得， 满足，（答案不唯一）． 【变式题1-3】.（2026·河南许昌·二模）若抛物线（c是常数）与x轴没有交点，请写出一个符合条件的c的值：_______． 【答案】 1（答案不唯一，只要满足即可） 【分析】抛物线与轴没有交点，说明对应的一元二次方程没有实数根，利用一元二次方程根的判别式得到关于的不等式，求解得到的取值范围，在范围内取一个符合条件的值即可． 【详解】解： 抛物线与轴没有交点， 一元二次方程没有实数根，即， 将，，常数项为代入，得 ， 解得， ∴一个符合条件的c的值可以取1．(答案不唯一) 【题型2】求抛物线与坐标轴的交点坐标 1.核心知识点: 抛物线与x轴的交点；抛物线与y轴的交点；一元二次方程的解法 2.解题方法技巧: ①与y轴交点法：令，得，交点坐标为 ②与x轴交点法：令，解方程，方程的解就是交点的横坐标 ③因式分解法：当一元二次方程容易因式分解时，用因式分解法求根更简便 【例题2】.（25-26九年级上·安徽安庆·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线，求该抛物线与x轴的交点坐标． 【答案】， 【详解】解：当抛物线与x轴相交时，， ∴，即， ∴， 解得，， ∴该抛物线与x轴的交点坐标为，． 【变式题2-1】.（2026·黑龙江哈尔滨·一模）抛物线与轴交点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】抛物线与轴交点的横坐标为，将代入抛物线解析式计算出的值，即可得到交点坐标． 【详解】解：当时， ， ∴抛物线与轴的交点坐标是． 【变式题2-2】.（25-26九年级下·全国·单元复习）填空： （1）抛物线与y轴的交点坐标是________，与x轴的交点坐标是________； （2）抛物线与y轴的交点坐标是________，与x轴的交点坐标是________． 【答案】 【分析】根据坐标轴上点的坐标特征，y轴上点的横坐标为0，x轴上点的纵坐标为0，将对应值代入抛物线解析式，计算得到对应坐标即可. 【详解】解：（1）对于抛物线， 令， ， 因此抛物线与轴交点坐标为； 令，得方程 ， 因式分解得， 解得，， 因此抛物线与轴交点坐标为 ； （2）对于抛物线 ， 令， ， 因此抛物线与轴交点坐标为； 令，得方程 ， 整理得， 因式分解得， 解得，， 因此抛物线与轴交点坐标为. 【变式题2-3】.（25-26九年级上·河南周口·期末）已知二次函数 (1)求该函数图象的顶点坐标及与坐标轴的交点坐标； (2)请画出该函数的大致图象． 【答案】(1)顶点坐标为；与y轴交点坐标为；与x轴交点坐标为和 (2)见解析 【分析】本题考查二次函数的图象，熟练掌握二次函数的图象是解题的关键． （1）将函数解析式化为顶点式后即可得出顶点坐标，将、分别代入函数解析式，计算求解即可； （2）通过描点法画出函数图象即可． 【详解】（1）解：∵， ∴顶点坐标为， 令得，， 则与轴的交点坐标为， 令得，， 解得或， 则与轴的交点坐标为和； （2）解：由（1）知，该函数图象经过点、和，顶点坐标， 二次函数图象如下： 【题型3】利用二次函数图象解一元二次方程 1.核心知识点: 二次函数与一元二次方程的关系；抛物线与x轴交点的意义；方程的根的几何意义 2.解题方法技巧: ①直接读图法：根据抛物线与x轴的交点坐标，直接写出方程的根 ②对称法：已知一个交点和对称轴，利用对称性求另一个交点 ③转化法：将方程变形，转化为两个函数图象的交点问题 【例题3】.（25-26九年级上·云南大理·期末）二次函数的图象如图所示，，为图象上的两点，则方程的一个解可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似值，用到的知识点为：点在函数解析式上，点的横纵坐标适合这个函数解析式；二次函数值为0，就是函数图象与轴的交点，跟所给的接近的函数值对应的自变量相关． 根据自变量两个取值所对应的函数值是和，可得当函数值为0时，的取值应在所给的自变量两个值之间． 【详解】解：∵图象上有两点分别为，， 当时，；当时，， 当时，，只有选项C符合， 故选：C． 【变式题3-1】.（25-26九年级上·河北保定·期中）如图是函数的图象，对称轴为直线，则方程的负数解的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，抛物线的对称性，抛物线与x轴交点坐标，二次函数与一元二次方程的关系，理解抛物线的轴对称性质是解题的关键． 令方程的正数解为，根据在x轴的位置确定的位置即可． 【详解】解：令方程的正数解为， 如图可知，， 点关于直线的对称点坐标为， 抛物线关于直线对称， ． 故选：B． 【变式题3-2】.（25-26九年级上·北京·阶段检测）在关于x的二次函数中，自变量x可以取任意实数，下表是自变量x与函数y的几组对应值： x … 1 2 3 4 5 6 7 8 … … … 根据以上信息，关于x的一元二次方程的两个实数根中，其中的一个实数根约等于______（结果保留小数点后一位小数）． 【答案】5.9(答案不唯一) 【分析】根据表格中的数据可知方程的一个根在之间，据此可得答案． 【详解】解：由表格可知，当时，，当时，， ∵， ∴根更靠近6，可估算为5.9， ∴关于x的一元二次方程的两个实数根中，其中的一个实数根可取5.9（答案不唯一）． 【变式题3-3】.（25-26九年级下·广东深圳·开学考试）根据下列表格的对应值，判断方程（为常数）一个解的范围是（    ） 3.23 3.24 3.25 3.26      -0.06 -0.02 0.03 0.09 A．3 B．3 C．3 D．3 【答案】C 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，方程的解就是二次函数与x轴交点的横坐标，只需找出函数值由负变正对应的x范围即可． 【详解】令（，，，为常数）， ∵当时，， 当时，， ∴当时，必然取到0， 即方程的一个解的范围是：． 【题型4】抛物线截线长的计算 1.核心知识点: 抛物线与x轴两交点间的距离；一元二次方程根与系数的关系；完全平方公式 2.解题方法技巧: ①公式法：直接用截线长公式 ②韦达定理法：利用根与系数的关系， ③直接求根法：先求出两个交点的横坐标，再计算距离 【例题4】.（2026·内蒙古·中考真题）二次函数的图象与轴交于，两点，则线段的长是（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 【答案】B 【分析】本题先利用轴上点的纵坐标为的性质，求出二次函数与轴的两个交点坐标，再计算两点间的距离即可得到结果． 【详解】解：二次函数图象与轴交点的纵坐标为 令，得方程 解得， ，两点的坐标为和 线段的长为 【变式题4-1】.（25-26九年级下·河南周口·阶段检测）若抛物线 与轴两交点距离为，对称轴为，则抛物线解析式为_____________． 【答案】 【分析】本题利用抛物线对称轴公式求出参数，再结合抛物线与轴两交点的距离，根据根与系数的关系求出参数，即可得到抛物线解析式． 【详解】解：对于抛物线，可得二次项系数，一次项系数，常数项． 已知抛物线对称轴为，由抛物线对称轴公式，得： 解得． 设抛物线与轴两交点的横坐标分别为，，由题意得两交点距离为，即： 等式两边同时平方，得： 由完全平方公式变形得： 根据根与系数的关系，可得，， 将代入得，代入上式得： 整理得： 解得． 将，代入原抛物线方程，得抛物线解析式为． 【变式题4-2】.（25-26九年级上·湖南衡阳·阶段检测）已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，则A、B两点间的距离是______． 【答案】3 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，通过求解二次方程得到与轴的交点横坐标，再计算两点距离即可得出结果，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：令，则， 解得，， ∴A、B两点的坐标为和， ∴A、B两点间的距离是， 故答案为：． 【变式题4-3】.（2026·浙江丽水·二模）已知二次函数． (1)求二次函数图象的顶点坐标； (2)过点与y轴平行的直线交抛物线于点B，若，求t的值； (3)若点，为二次函数图象上的两点，且，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将二次函数的解析式化为顶点式，即可解答； （2）把代入函数，得点B的坐标为，，求出t的值，再根据即可解答； （3）由得到，从而得到，求出，由于，则随的增大而增大，即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数， ∴该二次函数图象的顶点坐标为． （2）解：∵过点与y轴平行的直线交抛物线于点B， ∴把代入函数，得， ∴点B的坐标为， ∵， ∴， 解得，， ∵二次函数自变量的取值范围为， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴， ∵点，为二次函数图象上， ∴，即， 解得， ∵ ， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，有最大值，为． 【培优提升题型】 【题型5】图象法估算一元二次方程的近似解 1.核心知识点: 二次函数的图象；一元二次方程的近似解；二分法思想；估算能力 2.解题方法技巧: ①范围确定法：先观察图象，确定根在哪两个连续整数之间 ②二分逼近法：取区间中点，计算函数值，根据正负不断缩小根的范围 ③表格辅助法：通过列表计算函数值，观察函数值的变化确定根的位置 【例题5】.（25-26九年级上·广东汕尾·阶段检测）已知二次函数的部分图像如图所示，则关于x的一元二次方程的正数解为（   ） A．1 B．3 C．2 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数与一元二次方程的关系，解决本题的关键是求解出二次函数与x轴正半轴的交点． 根据二次函数的图像可知对称轴为，则可得二次函数与x轴正半轴的交点，由此可得一元二次方程的正数解． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为，且与x轴负半轴的交点为， ∴二次函数与x轴正半轴的交点为， ∴关于x的一元二次方程的正数解为1． 故选：A ． 【变式题5-1】.（25-26九年级上·全国·单元测试）若关于x的二次函数的图象与x轴的交点坐标是和，则关于x的一元二次方程的解为（   ） A． B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程是解题的关键．根据二次函数图象与x轴的交点横坐标即为对应一元二次方程的解，直接得出答案． 【详解】解：∵ 二次函数的图象与轴的交点坐标是和， ∴ 一元二次方程的解为，． 故选：D． 【变式题5-2】.（25-26九年级上·河北邯郸·阶段检测）已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的对称性等知识．根据图象得到抛物线对称轴为直线，与x轴的一个交点为，进而得到抛物线与x轴的另一个交点为，根据二次函数与一元二次方程的关系即可求解． 【详解】解：由二次函数的图象得抛物线对称轴为直线，与x轴的一个交点为， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴关于x的一元二次方程的解为，． 故选：D 【变式题5-3】.（25-26九年级上·广东广州·期末）若二次函数的部分图象如图所示，关于的一元二次方程的一个解，则另一个解_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程，由图象可得该二次函数的对称轴为直线，与轴的一个交点为，从而得出该二次函数与轴的另一个交点为，即可得出结果，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得，该二次函数的对称轴为直线，与轴的一个交点为， ∴该二次函数与轴的另一个交点为， ∴关于的一元二次方程的一个解，则另一个解， 故答案为：． 【题型6】利用二次函数图象解一元二次不等式 1.核心知识点: 二次函数与一元二次不等式的关系；不等式解集的几何意义；数形结合思想 2.解题方法技巧: ①图象法：画出抛物线，根据不等式的符号，找出图象在x轴上方或下方的部分对应的x范围 ②口诀法：时，大于取两边，小于取中间；时相反 ③验证法：取特殊值代入验证，确保解集的正确性 【例题6】.（25-26九年级上·湖南衡阳·期末）如图是二次函数的图象，使成立的的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查二次函数与不等式的关系，抛物线与轴的交点，掌握相关知识是解决问题的关键．令，求出抛物线与轴两交点坐标，利用图像即可求时的的取值范围． 【详解】解：令 ， 由图象得：当时，． 故答案为：． 【变式题6-1】.（2025九年级上·江苏泰州·专题练习）已知二次函数 的部分图象如图，若，则的取值范围是 （    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，利用二次函数图象解不等式，掌握相关知识是解决问题的关键．求时，的取值范围，就是二次函数的图象在轴下方时对应的的范围． 【详解】解：∵二次函数的部分图象交轴于点， ∴时，的取值范围是， 故选：B． 【变式题6-2】.（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）若二次函数的图象如图所示，则方程的解是__________；不等式的解集是______________；不等式的解集是________________． 【答案】 ， 或 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，利用图象法解不等式，利用函数图象在平面直角坐标系中的位置即可求得自变量的取值范围．根据二次函数图象与x轴的交点和分别在轴上方和下方部分的的取值分别填空即可． 【详解】解：由图象可知： 方程的解是，； 不等式的解集是或； 不等式的解集是． 故答案为：，；或；． 【变式题6-3】.（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）抛物线 如图所示，回答下列问题 (1)方程的解是___________； (2)关于的不等式的解集是___________； (3)当时，y的取值范围是___________； (4)若关于的方程的两个实数根异号，则t的取值范围是___________． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】考查抛物线的对称性、二次方程的解与抛物线交点的关系、二次不等式的解集、二次函数的取值范围、根的符号与系数的关系．抓住抛物线的对称轴、顶点、特殊点（如）的特征是关键．易忽略抛物线的对称性；误判不等式的解集方向；计算端点y值时出错． （1）根据抛物线过及对称轴，找对称点得解； （2）由开口方向和交点，确定对应的x区间； （3）结合顶点（最小值）和时的y值（最大值）确定范围； （4）利用根异号时常数项小于0，结合抛物线最小值确定t的范围． 【详解】（1）解：抛物线过点，且对称轴为，由对称性知另一交点为，故解为，． 故答案为：，． （2）解：抛物线开口向上，对应两点与之间的区域，故解集为． 故答案为：． （3）解：抛物线顶点为； 由对称性得，与对称，y值大于，∴当时，， ∵结合开口向上，时，由时得，顶点，，解得，故时．故取值范围为． 故答案为：． （4）解：方程即，根异号则常数项，且抛物线顶点，故，结合有实根需，最终范围为． 故答案为：． 【题型7】二次函数与直线的交点问题 1.核心知识点: 二次函数与一次函数的交点；方程组的解与函数图象交点的关系；一元二次方程的应用 2.解题方法技巧: ①联立方程法：将两个函数解析式联立，得到一元二次方程，方程的解就是交点的横坐标 ②判别式法：用判别式判断两函数图象的交点个数 ③图象分析法：结合两个函数的图象，直观分析交点情况 【例题7】.（25-26九年级下·广东揭阳·阶段检测）已知二次函数与一次函数的图象如图所示，则方程的解为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】直接利用函数图象求解即可. 【详解】解：∵二次函数与一次函数的图象的交点的横坐标为：或， ∵， ∴， ∴由图象可得：的解为：或； ∴的解为：或. 【变式题7-1】.（2018·湖北孝感·中考真题）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为 ，，则关于 x 的方程的解为_______．    【答案】 【分析】本题主要考查了通过函数图象的交点确定方程的解，解题的关键是掌握数形结合的数学思想． 根据抛物线和直线的交点坐标及解析式，得出方程的解即可． 【详解】解：根据抛物线和直线的交点坐标及解析式得， 方程的解为， 故答案为：． 【变式题7-2】.（25-26九年级上·北京·阶段检测）如图，二次函数的图象与直线相交于点和点，对称轴为直线，那么关于的一元二次方程的解为_____ 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象与一元二次方程的关系，解题的关键是利用二次函数的对称性求出点的横坐标． 一元二次方程的解就是二次函数与直线交点的横坐标，已知一个交点，再根据对称轴求出另一个交点的横坐标． 【详解】解：二次函数的图象与直线的交点横坐标就是方程的解， 已知交点，且二次函数的对称轴为直线， 根据二次函数的对称性，点和点关于对称轴对称， 设点的横坐标为，则，解得， 关于的一元二次方程的解为． 故答案为：． 【变式题7-3】.（25-26九年级上·山西朔州·阶段检测）如图，抛物线与直线的两个交点分别为，，则关于x的一元二次方程的解为（   ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查二次函数、一次函数与一元二次方程，掌握函数与方程的关系是解题关键． 将方程变形得，该方程的意义是两个函数相交，故解为点A和点B的横坐标． 【详解】解：变形得，，即抛物线与直线相交 ∴方程的解为点A和点B的横坐标， ∴，． 故选：A． 【压轴素养题型】 【题型8】二次函数与不等式的综合应用 1.核心知识点: 二次函数的图象和性质；一元二次不等式；函数值大小比较；数形结合思想 2.解题方法技巧: ①图象位置法：比较两个函数值的大小，转化为比较两个图象的上下位置 ②作差法：构造新函数，通过判断新函数值的正负来比较大小 ③分类讨论法：根据参数的不同取值范围，分类讨论不等式的解集 【例题8】.（25-26九年级下·江苏扬州·开学考试）如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是___________ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了用图象法解一元二次不等式，理解不等式的解集即为直线图象在抛物线图象上方时自变量的取值范围是解题的关键．根据不等式的解集即为直线图象在抛物线图象上方时自变量的取值范围，进行求解即可． 【详解】解：∵抛物线与直线交于，两点， 观察函数图象可知：当时，直线在抛物线的上方， ∴不等式的解集为， 故答案为：． 【变式题8-1】.（25-26九年级上·北京·期中）解关于x的不等式． 【答案】 当时，， 当时，无解， 当时，． 【分析】本题考查了图像法解一元二次不等式，熟练掌握二次函数与一元二次不等式的关系，解一元二次方程，二次函数的图像和性质，分类讨论是解题的关键． 设，令，解得，得函数与的交点为，，分当时， 当时, 当时三种情况解答即得． 【详解】解：∵关于x的不等式， ∴， 设， 令， 则, 解得， ∴函数与的交点为，， 点与点关于对称轴直线对称， 当时，点在点的左侧， ∵函数图像开口向上， ∴原不等式解集为； 当时,点与点重合，原不等式无解； 当时，点在点的右侧， ∴原不等式解集为． 综上，原不等式解集为 当时，， 当时，无解， 当时，．    【变式题8-2】.（25-26九年级上·甘肃武威·阶段检测）如图，在同一直角坐标系中，二次函数的图象与两坐标轴分别交于点、点和点，一次函数的图象与抛物线交于B、C两点． (1)求一次函数与二次函数的解析式． 根据图象直接回答下列问题： (2)当自变量 时，两函数的函数值都随增大而增大． (3)当自变量 时，一次函数值大于二次函数值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与不等式，根据题意利用数形结合的方法是解题的关键． （1）利用待定系数法即可解答； （2）根据两函数图象即可得出结论； （3）根据图象可知当时，一次函数的图象在二次函数图象的上方即可得出结论． 【详解】（1）解：设一次函数的解析式为，代入、， 得， 解得， ∴一次函数的解析式为； 设二次函数的解析式为，代入、、， 得， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：由函数图象可知，时，两函数的函数值都随x增大而增大， 故答案为：； （3）解：由函数图象可知，当时，一次函数的图象在二次函数图象的上方， ∴当时，一次函数值大于二次函数值， 故答案为：． 【变式题8-3】.（25-26九年级下·河南商丘·阶段检测）数形结合是一种重要的数学思想，在中学有着极为广泛的应用，很多复杂的问题结合图形能够快速直观得到结论．在中学阶段，一元二次函数、一元二次方程和一元二次不等式简称为“三个二次”，它们之间有着密切的联系，其中一元二次函数居于核心地位，利用一元二次函数的图象能够很方便地解决很多一元二次方程和一元二次不等式问题． 【特例感知】 如解不等式，我们构造函数，作出它的图象，易得它与x轴的两个交点分别为和，结合图象易得不等式的解集为或，同时易知函数与x轴交点的横坐标和3为方程的两个根． 【理解运用】 结合上述知识请解决下面的问题： (1)不等式的解集为 ； (2)对任意实数b，关于x的一元二次方程恒有两个不等的实数根，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据【特例感知】结合图象解答即可； （2）根据一元二次方程恒有两个不等的实数根，得到判别式并化简，即，然后令，看成关于的二次函数，结合图象求解即可． 【详解】（1）解：解不等式，我们构造函数， 作出它的图象如图1所示，可知它与x轴的两个交点分别为和， 结合图象可知不等式的解集为； （2）解：∵对于任意实数，关于的方程恒有两个不等的实数根， ∴方程恒有两个不等实数根对任意的恒成立． ∴对任意的实数恒成立． 令，则有，即． 令作出其函数图象如图2所示， 当时，实数的取值范围为． 【题型9】抛物线的平移与方程根的变化 1.核心知识点: 二次函数图象的平移规律；平移前后解析式的变化；方程根的变化规律 2.解题方法技巧: ①顶点跟踪法：跟踪顶点的平移，确定平移后的解析式，再求方程的根 ②规律应用法："左加右减自变量，上加下减常数项"，直接写出平移后的方程 ③图象分析法：结合平移前后的图象，直观分析方程根的变化 【例题9】.（2026·上海浦东新·模拟预测）将抛物线向右平移1个单位，平移后的抛物线与y轴交点的坐标是_____． 【答案】 【分析】先根据二次函数平移规律得到平移后抛物线的解析式，再令 求出的值，即可得到抛物线与轴的交点坐标． 【详解】解：将抛物线 向右平移 个单位，根据二次函数平移规律“左加右减”，可得平移后抛物线的解析式为， 令 ，则， 平移后的抛物线与轴交点的坐标是． 【变式题9-1】.（2026·福建三明·三模）将抛物线进行平移得抛物线，点在抛物线上，对应点在抛物线上，则点的横坐标可以是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据两个抛物线的顶点坐标确定平移规律，然后用含的代数式表示出点的坐标，再将点的坐标代入抛物线的方程，即可求出点的横坐标． 【详解】解：抛物线的顶点为，抛物线的顶点为， 平移规律为：向左平移3个单位，向下平移4个单位， 点在抛物线上，平移后对应点为， 的坐标为，即， 在抛物线上， 将代入得： ， 整理得， 解得或， 则的值可以是或， 因此点的横坐标可以是或，选项A符合． 【变式题9-2】.（25-26九年级上·上海崇明·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点、 (1)求抛物线的表达式； (2)若将该抛物线向上平移个单位长度，使得平移后的抛物线与轴只有一个公共点，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的表达式，二次函数的平移，解决本题的关键是掌握待定系数法求解析式和函数的图象特征及平移规律． （1）直接将点、代入，解得b、c的值即可求得表达式； （2）求得抛物线的顶点，再判断顶点经过怎样的平移能到x轴上即可． 【详解】（1）解：将点、代入， 得解得 抛物线的表达式． （2）解：， 该抛物线的顶点为． 要使抛物线与x轴只有一个公共点，即要求顶点在x轴上， 顶点纵坐标应为0． 将该抛物线向上平移5个单位后，所得抛物线与x轴只有一个公共点． 的值是5． 【变式题9-3】.（2026·河南·二模）如图，点和点是平面直角坐标系中的两个点． (1)若二次函数经过两点，请求出此二次函数的关系式和函数的最大值； (2)若将（1）中的二次函数图象向下平移个单位长度后，与轴交于，两点（点在点左侧）且，求函数图象的平移距离； (3)若二次函数的图象经过点，且当时函数的最小值为，请直接写出的值． 【答案】(1)解析式为，函数有最大值4 (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求解平移后的解析式为，设平移后与轴交于，两点（点在点左侧），可得，，结合可得答案； （3）求解二次函数为，可得抛物线的对称轴为直线，再分两种情况求解即可. 【详解】（1）解：∵二次函数经过点和点， ∴， 解得：， ∴二次函数为， ∴当时，函数最大值为. （2）解：二次函数的图象向下平移个单位长度可得函数解析式为：， ∵设平移后与轴交于，两点（点在点左侧） ∴当，即， ∴，， ∵， ∴ ， ∴， ∴， 解得：（经检验符合题意）. （3）解：∵二次函数的图象经过点， ∴， ∴二次函数为， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，， 此时当时，函数取最小值， ∴， 解得：， 当时，而， ∴当时，当时函数取最小值， ∴， 解得：， 综上：的值为或. 【题型10】二次函数与方程的探究性问题 1.核心知识点: 二次函数的图象和性质；一元二次方程；探究式学习方法；归纳猜想与验证 2.解题方法技巧: ①特殊到一般法：从特殊情况入手，通过观察、归纳，猜想一般规律 ②图象分析法：结合函数图象，直观分析方程根的变化规律 ③代数证明法：对猜想的结论进行代数推导和证明 【例题10】.（25-26九年级上·山东威海·自主招生）某班兴趣小组对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． 已知自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下： (1)根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该图象的另一部分； (2)观察函数图象，当随增大而减小时，则的取值范围是______； (3)进一步探究函数图象发现： ①函数图象与轴有______个交点，所以对应方程有______个实数根； ②方程有______个实数根； ③若关于的方程有个实数根，则的取值范围是______． 【答案】(1)见解析 (2)或 (3)①， ② ③ 【分析】本题考查的是函数图象与性质，函数与方程之间的关系，解决本题的关键是根据表格补全图象，通过观察函数图象，数形结合来求解． (1)根据表格补全函数图像； (2)由图像可知，当或时，随的增大而减小； (3)①由图像可知函数图像与轴有个交点，所以对应方程有个实数根； ②由函数图像可知，二次函数与直线有个交点，方程有个解； ③因为当时，二次函数与直线有个交点，所以当时，关于的方程有个实数根． 【详解】（1）解：如下图所示： （2）解：由图像可知，当或时，随的增大而减小， 故答案为：或； （3）解：①由图像可知，函数图像与轴有个交点， 对应方程有个实数根， 故答案为：，； ②解：如下图所示， 由函数图像可知，二次函数与直线有个交点， 方程有个解， 故答案为：； ③解：如下图所示，当时， 二次函数与直线有个交点， 关于的方程有个实数根， 则有． 故答案为：． 【变式题10-1】.（25-26九年级上·山西临汾·阶段检测）阅读与思考： 某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． (1)自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如表： … 0 1 2 3 … … 3 0 0 3 … 其中，___________． (2)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分． (3)观察函数图象，写出两条函数的性质． ①___________  ②___________ (4)进一步探究函数图象发现： ①函数图象与轴有___________个交点，所以对应的方程有___________个实数根； ②方程有___________个实数根； ③关于的方程有4个实数根时的取值范围是___________． 【答案】(1)0 (2)见解析 (3)①函数关于轴对称；②函数值取最小值时，有两个对应的值 (4)①3，3；②2；③ 【分析】本题考查复杂函数的图像与性质，函数交点与方程的关系，掌握函数交点个数即为对应方程实数根的个数是解题的关键． （1）将代入，求出的值即可； （2）根据已给出的点坐标画图即可； （3）观察函数图像，描述正确即可； （4）观察函数图像，明确函数图像交点个数与对应方程实数解个数一致，即可判断出所求的实数根情况． 【详解】（1）解：将代入， 解得， 即的值为0， 故答案为：． （2）按照表中信息，进行绘图，函数图形如下图： （3）解：观察函数图像可得出：①函数关于轴对称； ②函数值取最小值时，有两个对应的值． （4）解：①观察图像，可知当、、时，， 故函数图像与轴有个交点；即对应的方程有三个实数根， 则答案为：3，3． ②观察函数图像， 直线与函数有个交点， 故方程 有个实数根， 故答案为：2． ③观察函数图像，可知当时， 直线与函数有个交点，即方程有4个实数根， 故答案为：． 【变式题10-2】.（2026·广西柳州·二模）某数学兴趣小组在组长的带领下对二次函数展开了深度探究． 基础回顾 组长先让大家回顾二次函数的基本性质 (1)若，当________时，函数有最小值，最小值________． 探究发现 经过合作探究，小组成员得出结论： “当自变量的取值范围受到限制时，二次函数的最小值不一定在顶点处取得．” (2)当时，求该范围内函数的最小值（用含的代数式表示），并用计算结果说明小组成员的结论成立． 拓展应用 基于前面的探究成果，小组成员尝试解决新问题，请你和他们一起完成： (3)在（2）的条件下，当时，的最小值为．设二次函数的图象与轴的两个交点坐标分别为，，求线段的长度． 【答案】(1)； (2)小组成员的结论成立．理由如下： ， ∴图象开口向上，对称轴为直线， ①当时，区间在对称轴的右侧， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，取得最小值为； ②当时，在顶点处取得最小值， ∴当时，取得最小值为； ③当时，区间在对称轴的左侧， ∴当时，随的增大而减小， ∴当时，取得最小值为； 综上所述，当时，的最小值为；当时，的最小值为；当时，的最小值为， ∴当或时，函数的最小值在端点处取得，而不是顶点处， ∴小组成员的结论成立． (3) 【分析】（1）利用二次函数的性质求解即可； （2）先根据二次函数的图象与性质确定开口方向和对称轴，再分为，和三类讨论，结合二次函数的增减性计算函数的最小值即可； （3）结合（2）的结论容易计算出，将代入，求出与，进而求出线段的长度． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴当时，取得最小值； （2）略 （3）解：由（2）可知，当时，的最小值为， ∵，与题干的最小值为矛盾， ∴， 又∵， ∴， 由（2）可知，此时的最小值为， ∴， 解得或（与题设矛盾，舍去）， ∴， 将代入，得， ， 解得，， ∴． 【变式题10-3】.（2026九年级下·全国·专题练习）小明根据学习函数的经验，对函数的图象及性质进行了探究和应用．下面是小明的探究过程 x … 1 2 … y … … (1)函数的自变量x的取值范围是 ； (2)下表是y与x的几组对应值，在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象； (3)探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是，结合函数的图象，写出该函数的其它2条不同的性质：① ，② ； (4)设，，利用图象比较a和b的大小（请写出比较过程）． 【答案】(1) (2)见解析 (3)当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大； (4)，过程见详解 【分析】本题考查函数自变量取值范围，画函数图象，探究函数的图象及性质；熟练掌握探究函数性质的方法，能结合表格、图象探究函数性质是关键． （1）由可得，， （2）描点、连线画出函数图象即可； （3）根据图象即可得到函数的性质； （4）根据函数的增减性即可判断． 【详解】（1）解：由可得， 故答案为：； （2）解：所画函数图象如下图： （3）解：探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是， ①当时，y随x的增大而减小； ②当时，y随x的增大而增大； 故答案为：当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大； （4）解：由图象可知，当时，y随x的增大而减小，； ， ， ， ， ， ． 易错点 1、混淆判别式的符号与交点个数的对应关系，特别是时只有一个交点 2、解一元二次不等式时，不考虑二次项系数的正负，直接套用"大于取两边" 3、求抛物线与x轴交点时，忘记令，或解方程出错 4、图象法求近似解时，估算不准确，或缩小范围的方法不正确 5、抛物线平移后，方程的变化规律记错，特别是左右平移容易出错 重点 1、二次函数与一元二次方程的关系，判别式与交点个数的对应关系 2、利用二次函数的图象解一元二次方程和一元二次不等式 3、抛物线与坐标轴交点坐标的求法 4、二次函数与直线的交点问题 难点 1、利用二次函数的图象解一元二次不等式，特别是含参数的不等式 2、一元二次方程根的分布问题，需要结合图象和函数值综合分析 3、二次函数与方程、不等式的综合应用，数形结合思想的灵活运用 4、二次函数的实际应用问题，建立数学模型的过程 一、单选题 1．若二次函数的图象与轴没有交点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】二次函数图象与x轴没有交点，说明对应一元二次方程无实数根，利用一元二次方程根的判别式性质，判别式小于0，解不等式即可得到a的取值范围． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴没有交点， ∴一元二次方程没有实数根， 即， ∴， 解得． 2．若抛物线与轴的交点坐标为，则代数式的值为（     ） A．118 B．119 C．120 D．121 【答案】C 【分析】先求出的值，再用整体代入法计算所求代数式的值． 【详解】解：∵点是抛物线与轴的交点， ∴将代入，可得， ∴整理得， 将代入得原式． 3．如图，已知二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，其对称轴为直线，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】开口向下，则，与轴正半轴相交，则，再根据对称轴为直线，得到，则可得到，通过时y大于0得到含有a、b、c的不等式，再替换掉b，得到a、c之间的关系，由对称轴为直线可知，当时，y取得最大值，则可判断D选项的正误． 【详解】解：根据题意可得，， ， ， ，， A选项错误； ∵对称轴为直线， ∴当和时，函数值相等， 当时，， ∴当时，，即，故选项B错误； ∴即，故选项C错误； 对称轴为直线， ， D选项正确． 二、填空题 4．二次函数与轴交于，则的值为______． 【答案】 【分析】二次函数图象与轴交点的坐标满足二次函数解析式，将交点坐标代入函数解析式，求解关于的一元二次方程即可得到的值． 【详解】解：∵二次函数与轴交于点， ∴将，代入得， 整理得， ∴， 解得, ∴的值为． 5．二次函数的图象与坐标系横轴有交点，那么的取值范围是___________． 【答案】且 【分析】先根据二次函数的定义确定二次项系数不为0，再由二次函数图象与横轴有交点，可知对应一元二次方程有实数根，利用根的判别式大于等于0列不等式求解，即可得到的取值范围． 【详解】解： 是二次函数， ． 二次函数的图象与坐标系横轴有交点， 一元二次方程 有实数根， 根的判别式 ． 将 代入得， ， 解不等式得 ． 综上， 的取值范围是 且． 6．抛物线的部分图象如图所示，对称轴为直线，直线与抛物线都经过点．下列说法： ①； ②； ③关于x的一元二次方程的两根为，； ④不等式的解集是； ⑤当时，二次函数有最大值． 其中正确的有_____ （填写序号）． 【答案】①③④ 【分析】根据开口方向和对称轴可得的符号，即可判断①；根据抛物线经过点，可得，即得到，即可判断②；由对称性可得抛物线与轴的另一个交点为，即可判断③；由抛物线与直线交点的横坐标分别为和，当时，抛物线位于直线的上方，即可判断④；由直线经过点，可得，得到，即可判断⑤，进而可得答案． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴，故②错误； ∵抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为， ∴抛物线与轴的另一个交点为， ∴关于的一元二次方程的两根为，，故③正确； 由图象可知，抛物线与直线交点的横坐标分别为和，当时，抛物线位于直线的上方，即， ∴不等式的解集是，故④正确； ∵直线经过点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，故⑤错误， 综上，正确的有①③④． 三、解答题 7．已知二次函数． (1)将化成的形式； (2)在平面直角坐标系中画出此函数的图象； (3)当时，结合图象，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用配方法求解即可； （2）先列表，再描点，最后连线画出函数图象即可； （3）根据函数图象可得答案． 【详解】（1）解：； （2）解：列表如下： … 0 … … … 函数图象见解析； （3）解：由函数图象可知，当时，． 8．已知函数． (1)求证：不论为何实数，此二次函数的图象与轴都有两个不同的交点； (2)若，求函数与轴的交点坐标． 【答案】(1)证明：令，则有， ， ∴该方程有两个不相等的实数根， ∴不论为何实数，二次函数的图象与轴都有两个不同的交点． (2)， 【分析】（1）由题意可令，则有，然后根据一元二次方程根的判别式可进行求解； （2）把代入二次函数解析式进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：当时，则有， ∴令，则有， 解得， ∴二次函数与轴的交点坐标为，． 9．二次函数的图象与轴交于点，且，． (1)求，的值． (2)当时，函数值都小于，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 或 【分析】（1）根据题意，得，，，结合，得，解方程，解答即可． （2）当时，得，利用数形结合思想，结合函数的增减性求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得二次函数的图象与轴交于点，且， ，，， ， ， ， ， 整理，得， 解得， 当时，，不满足要求，舍去； 当时，，满足要求； 故，． （2）解：，， 故二次函数的解析式为，且抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，得， 解得， 如图所示，此时， 时，函数值都小于，且对称轴左侧，y随x减小而减小， ， 解得； 时，函数值都小于，且对称轴右侧，y随x增大而减小， ， 解得； 综上所述，符合要求的的取值范围是或． 10．抛物线经过点，，，直线经过点B，C，则： (1)该抛物线的对称轴为直线______； (2)关于x的方程的解为______； (3)关于x的不等式的解为______； (4)若关于x的方程在的范围内有两个不相等实数根，则k的取值范围是______． 【答案】(1) (2)， (3) (4) 【分析】（1）根据对称点即可求解对称轴； （2）先由待定系数法求解抛物线的表达式，再解一元二次方程即可； （3）先求出直线的表达式，然后得到不等式，再转化求解即可； （4）方程即，整理得，设，把问题转化为函数图象在的范围内有两个不同的交点求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，， ∴对称轴为直线，即； （2）解：∵抛物线经过点，，， ∴ 解得 ∴ ∴关于x的方程即为， 解得； （3）解：∵直线经过点，， ∴ 解得 ∴直线为 ∴不等式为 整理得， 即 ∴或 解不等式组，无解； 解不等式组，得， ∴解集为 ∴不等式的解集为； （4）解：方程即， 整理得， ∴方程在范围内有两个不相等实数根， 设， ∴， 解得； 而对称轴在范围内，符合要求， 如图： 当时，； 当时， 即 由①得 由②得 ∴， 综上：． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $