26.4 实际问题与二次函数(第1课时)-教案2026-2027学年人教版九年级数学上册

教学设计 《26.4 实际问题与二次函数(第1课时)》教学设计 课型 新授课☑ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口 教学内容分析 本课时是实际问题与二次函数第一课时，研究抛物线型运动问题和几何面积最值问题．教材选用跳水和篱笆靠墙围矩形菜园的典型例题，从现实几何情境抽象二次函数，重点强调自变量的实际取值范围，在范围之内求函数最值．本课是二次函数性质的综合应用，学生要经历“实际几何情境→设变量→建立二次函数→结合自变量取值范围求最值→回归实际解释结果”完整建模流程．前面所学开口、顶点、最值知识在这里落地到现实问题．教材提醒学生注意边长大于0，限定自变量区间，纠正直接套用顶点公式忽略实际范围的常见错误．本课发展模型观念，为利润、拱桥轨迹问题打好基础，是函数应用的重要开篇． 学习者分析 学生已经熟练二次函数求顶点、求最值的计算．但是面对实际几何情境，提取数量关系、建立函数解析式存在障碍．学生习惯直接代入顶点公式求最值，经常忽略自变量的现实取值范围，不会检验顶点横坐标是否落在取值区间内部．部分学生审题分不清哪条边设为x，等量关系梳理混乱．教学组织小组合作审题，梳理几何边长关系，反复强调自变量取值限制，理解实际问题中函数图象只是抛物线的一部分． 教学目标 1.能够建立二次函数模型解决抛物线型运动问题和几何面积最值问题． 2.会求二次函数实际问题的最大值、最小值． 3.懂得考虑自变量的实际取值范围． 教学重点 建立实际问题的二次函数模型，求实际情境下的函数最值． 教学难点 确定实际问题中自变量的取值范围，判断顶点是否在取值范围内． 学习活动设计 教师活动 学生活动 环节一：学习目标 教师活动1： 师出示学习目标： 1. 能够建立二次函数模型解决抛物线型运动问题和几何面积最值问题． 2.会求二次函数实际问题的最大值、最小值． 3.懂得考虑自变量的实际取值范围． 学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标 活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性。 环节二：新知导入 教师活动2： 问题：说一说抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴、顶点坐标及最值？ 答：抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是，顶点是．当a>0时，抛物线有最低点，即当，函数有最小值是，当a<0时，抛物线有最高点，即当，函数有最大值是. 导入：对于某些实际问题，如果其中变量之间的关系可以用二次函数来刻画，那么就可以利用二次函数的图象和性质对其进行研究. 学生活动2： 学生积极回答问题 活动意图说明： 通过复习已经学过的二次函数知识，为新课“实际问题与二次函数”作铺垫． 环节三：新知讲解 教师活动3： 例1：在一次跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度(单位：)与起跳后的时间(单位：)之间的关系式是.运动员起跳后经过多长时间达到最高点?运动员跳水过程中重心的最大高度是多少?(结果保留小数点后一位.) 分析：运动员在跳水过程中重心的高度是时间的二次函数，于是最大高度问题转化为求二次函数的最大值问题，而何时达到最高点问题，转化为二次函数取最大值时自变量的取值问题. 解：对于二次函数，当 时，有最大值 因此，运动员起跳后大约时，其重心达到最高点，最大高度为. 追问：函数的图象如图所示，直观地反映了运动员跳水过程中重心高度的变化，由此你能描述运动员的整个运动过程吗? 答：运动员起跳后，重心先向上运动，经过约 0.3 秒到达最高点，此时最大高度为；到达最高点后重心开始下降，继续向下运动，直到落入水中. 例2：如图所示，利用一面墙(墙的长度不限)，用长的篱笆围成一个矩形菜园.如何围才能使菜园的面积最大?最大面积是多少? 分析：菜园面积是一边长的函数，设一边长为，由矩形的面积公式可得函数解析式，于是菜园的面积最大问题转化为函数的最大值问题. 解：设垂直于墙的边长为，则平行于墙的边长为，矩形菜园的面积 即 当时，有最大值 因此，当垂直于墙的边长为时，这个矩形菜园的面积最大，最大面积为. 追问：自变量的取值范围是多少？ 解：在实际问题中，函数自变量的取值应使问题有现实意义. 如菜园的边长应为正数，即0，且，于是自变量的取值范围是. 归纳：利用二次函数解决实际问题的步骤 ①审题，确定变量； ②列二次函数解析式，确定自变量取值范围； ③利用二次函数性质求最值； ④检验结果是否符合实际； ⑤作答. 学生活动3： 读题，梳理数量关系；开展小组合作探究，组内讨论设哪个量为自变量，推导函数解析式；特别在例2中，小组共同分析为什么；小组计算顶点，判断顶点是否在取值范围；小组代表汇报解题过程，全班完善，体会实际问题中图象只是抛物线的一部分． 活动意图说明： 依托教材例题，小组合作完成建模，重点强化自变量取值范围，纠正直接套顶点公式的思维误区，落实数学模型观念． 环节四：课堂小结 教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识 活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系。 板书设计 课题：26.4 实际问题与二次函数(第1课时) 一、抛物线型运动问题 二、几何面积问题 三、解题步骤 教师板演区 学生展示区 课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．杭州世界羽联巡回赛总决赛，我国运动员勇夺混双冠军，羽毛球在空中行进的高度y（米）与水平距离x（米）之间满足关系为，则羽毛球飞出的最大高度为（     ） A．2米 B．2.5米 C．2.8米 D．3米 答案：A 2．如图，某中学把五育并举与减负延时服务相结合，劳动课准备在校园里利用校围墙的一段再围三面篱笆，形成一个矩形茶园，让学生在茶园里体验种茶活动．现已知校围墙长25米，篱笆40米长（篱笆用完），设长米，矩形茶园的面积为平方米．则的最大值是______平方米． 答案： 3．某公园计划建个音乐喷泉，已知喷水管垂直于地面且水流喷出点距离水平地面1.5米，水流喷出后落地点距离水管3米，建立如图平面直角坐标系，水流喷出点为A，落地点为B，水流高度y（米）与水流距水管的水平距离x（米）的近似满足，求水流的最大高度．    解：由题意可得，抛物线经过点和， 把上述两个点坐标代入二次函数表达式得： ，解得：， ∴函数表达式为：， ∵，故函数有最大值， ∴当时，y取得最大值，此时， 答：水流喷出的最大高度为2米． 选做题： 4．如图，已知正方形的边长是1，正方形的顶点分别在，，，上．设正方形的面积是S，的长是x，则下列说法正确的是（   ） A．当时，S有最小值 B．当时，S有最大值 C．S随x的增大而减小 D．S随x的增大而增大 答案：A 【综合拓展类练习】 5．如图是乒乓球发球器某次发球过程的部分示意图，已知球台的长约为，球网在球台的中点处（点A是的中点），球网的高度约为，发球点的高度为，当乒乓球到的距离为时，乒乓球离球台的最大高度是，，．设乒乓球距离发球点C的水平距离为，乒乓球距离球台的竖直高度为，以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，乒乓球的运动轨迹可视为一条抛物线． (1)求乒乓球运动轨迹所在抛物线的函数表达式； (2)请你判断乒乓球发球器此次发出的球是否有效（球是否越过球网并落在球台上），并说明理由． 解：（1）由题意可得抛物线的顶点坐标为，点C的坐标为． 设抛物线的函数表达式为， 将代入上式，得， 解得， 乒乓球运动轨迹所在抛物线的函数表达式为（或）． （2）乒乓球发球器此次发出的球无效， 由题意可知点A的横坐标为1.4， 当时，， ， 乒乓球越过了球网． 令，则， 解得（舍去），． ， 乒乓球没有落在球台上． 综上可得乒乓球发球器此次发出的球无效． 作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．如图，P是抛物线在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形周长的最大值为（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 答案：C 2．从地面竖直向上抛出一小球，小球距离地面的高度与小球的运动时间之间的关系式是．当小球到达最高点时，距离地面的高度是______． 答案：20 3．体育公园的圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，A处为喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下（如图①）．如图②，曲线表示的是落点B离点O最远的一条水流，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的表达式是，求圆形水池的半径至少为多少米时，才能使喷出的水流不至于落在池外． 解：当时，， 解得，， ∵， ∴，即． 答：圆形水池半径至少为时，才能使喷出的水流不至于落在池外． 选做题： 4．如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边用篱笆，且这三边的和为，有下列结论：①的长可以为；②的长有两个不同的值满足菜园面积为；③菜园面积的最大值为．其中不正确结论有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 答案：B 【综合拓展类作业】 5．某市消防中队引进一种新型用于高层消防的举高喷射消防车，为了熟练掌握其性能，在某广场进行了一次消防演练．如图所示，打开云梯后，消防车喷水口离地面的高度为，水流落地点为点，喷出的水流呈抛物线型．以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．（喷水装置和水流粗细忽略不计）已知，，从处喷出的水流高度与水平距离之间的关系为． (1)求，的值； (2)在水压和喷口方向不变的情况下，此时水流高度能达到的最大高度是多少米？ (3)点在点正前方米处，在水压和喷口方向不变的情况下，要求在处的水流高度达到米，则消防车从点沿方向应至少前进多少米？ 解：（1）∵，， ∴，， 将和代入中，得， 解得； （2）由（1）知抛物线的表达式为：， 将表达式转化为顶点式为：， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴水流高度能达到的最大高度是米； （3）令，即，整理得：， 解得：，， ∵点在点正前方米处， ∴， ∴至少需前进（米）， ∴消防车从点沿方向应至少前进米. 教学反思 本节课借助两道例题，小组合作建模，大部分学生可以列出面积函数．但很多学生容易忽略自变量取值范围，直接套用顶点公式求最值，不检验顶点是否在区间内．后续教学要反复强调现实约束条件，增加墙长有限制的变式练习，强化建模完整流程，落实模型观念． 学科网（北京）股份有限公司 $