第一章 特殊平行四边形压轴题专项训练2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦特殊平行四边形折叠、旋转及动点问题，通过分层探究构建从性质应用到综合变换的知识逻辑链，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |折叠探究|10+题（如矩形沿中点折叠）|猜想-证明-计算分层设问，结合轴对称性质|特殊平行四边形性质→折叠对应关系→全等/勾股定理应用| |旋转综合|5+题（如菱形旋转构等腰）|动态变换中判定图形形状，探究线段关系|旋转不变性→图形判定（菱形/正方形）→边角转化| |动点与图形判定|15+题（如动点折叠构等腰三角形）|含参数动点问题，分类讨论图形存在性|动点轨迹→特殊三角形性质→方程思想求解|

特殊平行四边形压轴题专项训练 1．综合与探究 问题情境： 数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在中，，垂足为，点为的中点，连接，，试猜想与的数量关系，并加以证明； 独立思考： (1)请解答老师提出的问题； 实践探究： (2)勤学小组受此问题的启发，将沿着（为的中点）所在直线折叠，如图②，点的对应点为，连接并延长交于点，请判断四边形的形状，并加以证明； 问题解决： (3)善思小组突发奇想，将矩形沿着（为的中点）所在直线折叠，如图③，点的对应点为，连接．该小组提出一个问题：若，，求四边形的面积．请你思考此问题，并直接写出结果． 2．综合与探究 数学活动课上，老师带领同学们利用矩形纸片开展折叠探究活动，同学们发现通过不同的折叠方式，能得到形状各异的四边形．请你结合矩形的性质与折叠的对称性，完成下列问题： (1)勤学小组先提出一个方法：如图1，将矩形沿过点B的直线折叠，使点A的对应点E落在边上，折痕与交于点F．试判断四边形的形状，并说明理由． (2)善思小组也提出一个方法：如图2，将矩形沿对角线折叠，点A的对应点为点E，与边相交与点F．过点B作交边于点G，求证：四边形是菱形． (3)如图3，若，，点M是的中点，点N是线段边上的动点，连接，将矩形沿折叠，点A的对应点为点E．在点N移动的过程中，若以E，D，C为顶点构成的三角形是以为腰的等腰三角形，请直接写出线段的长． 3．综合与探究 折纸是同学们喜爱的手工活动之一，其中蕴含着丰富的数学知识，在数学活动课上，老师通过折叠正方形纸片开展探究活动，帮助同学们提升空间观念，积累数学活动经验． [问题背景] 如图①，在正方形中，在边上任取一点，以为折痕折叠纸片，使点的对应点落在正方形内． (1)探究一：按照上述操作，如图②，点是的中点，连接，，得到四边形．若，，求证：四边形是菱形． 探究二：如图③，延长交于点，连接． (2)的度数会随点的位置变化而改变吗？请说明理由． (3)若正方形纸片的边长为，当时，请直接写出的长． 4．综合与探究 问题情境：如图甲，在纸片中，，点在边上，．沿过点的直线折叠该纸片，使的对应线段与平行，且折痕与边交于点，得到，然后展平． 猜想证明： (1)判断四边形的形状，并说明理由； 拓展延伸： (2)如图乙，继续沿过点的直线折叠该纸片，使点的对应点落在射线上，且折痕与边交于点，然后展平，连接交边于点，连接． ①若，判断与的位置关系，并说明理由； ②在①的条件下，与交于点，则有，若，，，当点为的中点时，请直接写出的长． 5．综合与实践 【问题情境】在数学活动课上，老师和同学们以矩形纸片的折叠为背景开展几何探究，在矩形纸片中，，点是射线边上一动点，连接，将沿折叠得到，并展开铺平如图1． 【操作探究】 (1)如图2，若点落在矩形内部，过点作交于，连接，请判断四边形的形状，并说明理由． (2)如图3，若点为的三等分点，点落在矩形内部，再取的中点，连接并延长交边于点，判断与的数量关系，并说明理由． (3)若，，在翻折过程中，当点落在直线上时，请直接写出的长． 6．综合与探究 问题情境：在一次数学活动课上，同学们用四根长度相等的木条首尾相接，围成了一个可变形的菱形框架，并对菱形角度改变后的线段关系进行探究． 如图，在菱形中，是线段上不与点D，C重合的点，连接，在射线上取一点，使，连接． (1)如图1，若，在射线上取一点，使，连接． ①求证：． ②判断的形状，并说明理由． (2)如图2，调整菱形框架，使，在射线上取一点，使得，连接．请判断与之间的数量关系，并说明理由． (3)在菱形中，．点在射线上运动，且始终满足．在射线上取一点，使得，连接．请直接写出线段的长． 7．综合与探究 已知四边形是菱形，连结，点为上一点，过点作交于点，交于点，过点作交于点． 初步探究： (1)如图1，若，求证：四边形是正方形； 深入思考： (2)在（1）的条件下，如图2，连结，判断线段与之间的关系（位置与数量），并证明； 拓展延伸： (3)如图3，在菱形中，，当，时，连结，直接写出线段的长．（提示：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半） 8．综合与探究 【问题情境】 如图1，在矩形纸片中，，点在边上，沿过点的直线折叠该纸片，使点的对应点落在矩形对角线上，折痕与边交于点E． 【猜想证明】 (1)如图2，当点与点D重合时，连接，判断四边形的形状，并说明理由； (2)【拓展延伸】如图3，当点F为中点时，连接并延长交边于点M，试探究与之间的数量关系和位置关系，并说明理由； (3)【深入探究】在（2）的情形下，若，．请直接写出的长． 9．综合与探究 问题情境：在菱形中，，作，，分别交边，于点P，Q． (1)如图1，若点P是边的中点，请你判断线段与之间的数量关系，并说明理由． 深入探究： (2)如图2，小阳说：“点P为上任意一点时，（1）中的结论仍然成立．”你同意吗？请说明理由． 拓展延伸： (3)小宛取出如图3所示的菱形纸片，测得，，在边上取一点P，连接，在菱形内部作，交于点Q，当时，请直接写出的长． 10．综合与探究 【问题情境】折叠问题的实质是图形的轴对称变换，找出对应相等的元素是解题的关键． 如图1，在矩形中，，为射线上一动点，连接，将沿折叠得到，点的对应点为． 【数学思考】 (1)如图2，当点落在边上时，判断四边形的形状，并说明理由． (2)如图3，当点落在对角线上时，求线段的长； (3)在点运动的过程中，当三点共线时，请直接写出线段的长． 11．综合与探究 问题情境： 如图①，在边长为4的正方形中，E是边的中点，F是边上的一个动点，连接，将沿折叠得到，点A的对应点为点G．延长交直线于点H． 猜想证明： (1)判断线段和的数量关系，并说明理由； 拓展延伸： (2)如图②，在点F运动的过程中，连接． ①判断与的位置关系，并说明理由； ②连接，，当是等腰三角形时，直接写出线段的长度． 12．综合与探究 【问题背景】将正方形纸片对折后展平，折痕为，在边上取一点（不与点重合），连接，将沿折叠得到，点的对应点为． 【问题解决】 (1)如图，若点恰好落在上，连接，试判断的形状，并说明理由． (2)延长交于点，连接．如图，若，，求的长． 【拓展延伸】 (3)当，时，请直接写出的长． 13．综合与探究 【问题提出】如图，四边形和均为菱形，且，连结和． 【探究猜想】 (1)如图1，当时， ①线段和之间的数量关系为_______________； ②直线和直线相交所成的较小角的度数为_______________； 【深入思考】 (2)如图2，当，且点在线段上时，过点作于点．请探究线段，，之间的数量关系，并求出的度数；（写出探究过程） 【拓展延伸】 (3)如图3，当，且点在线段的延长线上时，过点作于点，连结，，，请直接写出的长． 14．综合与探究 实践操作 如图1，在矩形纸片中，，． 第一步：如图2，将图1中的矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，折痕为，然后把纸片展平． 第二步：如图3，将图2中的矩形纸片再次折叠，使点与点重合，折痕为，然后展平，隐去． 第三步：如图4，将图3中的矩形纸片沿折叠，得到，延长，与交于点，与交于点． 问题解决 (1)请在图2中证明四边形是正方形． (2)请在图4中求证：． (3)请在图4中猜想与的数量关系，并加以证明． 15．综合与探究 【问题情境】 如图，在菱形中，，是射线上一动点，将线段绕着点逆时针方向旋转到达的位置，连接是的中点． (1)【操作发现】如图1，当点与点重合时，连接交于点，试猜想四边形的形状，并说明理由． (2)【操作探究】如图2，当点在线段上，点在线段的垂直平分线上，连接，求的长． (3)【拓展探究】如图3，当点在边的延长线上时，连接，，若，请直接写出线段的长． 16．综合与探究 问题情境：数学课上，同学们以矩形为基本图形探究图形折叠变化中的数学问题．已知矩形纸片，，． (1)操作证明：如图1，小聪先从特殊情形入手，折叠矩形纸片，使点B与点D重合，折痕分别交，边于点E，F，点A的对应点为点G．请猜想此时线段与的数量关系，并说明理由； (2)拓展延伸：如图2，小慧沿过点C的直线折叠该矩形纸片，使点B的对应点H落在对角线的延长线上，折痕交线段于点M，交于点N，点A的对应点为点G． ①求此时线段的长； ②小慧沿平行于的直线继续折叠该矩形纸片，折痕交线段于点P，交线段于点Q．请你借助备用图进行分析，直接写出是等腰三角形时，点D到的距离． 17．综合与探究 问题情境：数学课上，老师让同学们以矩形为背景，探索动点运动过程中产生的数学问题．已知四边形是矩形，，是它的一条对角线，点是平面内的一个动点，且始终等于，作线段的垂直平分线，分别交直线，，于点，，． (1)如图1，小敏画出了点在线段的延长线上时的图形．判断此时四边形的形状，并证明你的结论； (2)如图2，小捷画出了点与点重合时的图形．猜想线段与之间的数量关系，并说明理由； 拓展延伸： (3)保持（2）中的矩形形状不变，小琪继续改变点的位置（不再与点重合），且其他条件不变．请直接写出直线经过点时，的度数． 18．综合与探究 【问题情境】 如图1，在矩形纸片中，，点在边上，沿过点的直线折叠该纸片，使点的对应点落在矩形对角线上，折痕与边交于点． 【猜想证明】 （1）如图2，当点与点重合时，连接，判断四边形的形状，并说明理由； 【拓展延伸】 （2）如图3，当点为中点时，连接并延长交边于点，试探究与之间的数量关系和位置关系，并说明理由； 【深入探究】 （3）在（2）的情形下，若． ①请直接写出的长； ②如图4，将沿射线方向平移得到，顶点、、分别与、、对应，若以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出平移距离． 19．综合与探究 问题情境 在四边形专题复习课上，老师以矩形旋转为载体设计探究题： 将矩形绕点顺时针旋转，当旋转到如图①所示的位置时，得到矩形，点，，的对应点分别为点，，，设直线与直线交于点． 数学思考 (1)猜想与的数量关系，并证明； 实践探究 (2)如图②，在旋转的过程中，当点恰好落在矩形的对角线上时，点恰好落在的延长线上（即点与点重合），连接．求证：四边形是平行四边形； 拓展延伸 (3)在矩形绕点顺时针旋转的过程中，若，，当，，三点在同一条直线上时，请直接写出的值． 20．综合与探究 问题情境：如图，已知长方形，点为射线上一动点．以为边在其右侧作长方形，使得，连接，． 猜想证明： (1)如图1，当点在线段上时，请判断与的位置及数量关系（数量关系用含的代数式表示）并说明理由； 深入探究： (2)连接，交于点，连接，进一步研究． ①请在图中画出图形并证明在点运动的过程中始终是等腰三角形； ②如果，，能否成为直角三角形？若能，请直接写出的长；若不能，请说明理由． 21．综合与实践 问题情境：平行四边形是中心对称图形，在研究其部分性质时围绕其中心对称性展开，如图：平行四边形中，点是对角线的中点，过点的直线交边，所在的直线于点，．已知，． 猜想验证： （1）如图1，旋转直线，当时，连接，求证：四边形为矩形． （2）如图2，当时，猜想线段，和的数量关系，并说明理由． 深入探究： （3）当点，在，延长线上时，交，于点，，连接，，此时四边形为正方形．请直接写出的长度． 22．综合与探究 问题情境： 如图，在四边形中，，，平分交于点，连接，将线段绕点逆时针旋转到，使，连接． 问题初探： （1）如图1，当时，线段和线段的数量关系为 ，位置关系为 ． 深入探究： （2）对问题（1）进一步研究之后发现，线段与线段之间存在特定的数量关系．请你写出这种关系，并予以证明． 解决问题： （3）如图2，连接，当，时，请直接写出四边形的面积． 23．综合与探究 问题情境：数学活动课上，老师让同学们对一个直角三角形和一个等腰三角形进行探究，如图1，中，，，，中，， 观察感知： （1）如图1，将与的顶点重合，的直角边与等腰的边重合，与交于点，求线段的长； 探索发现： （2）在图1的基础上，保持不动，将绕点按顺时针方向旋转一定的角度 ①如图2，当点落在边上时，连接，判断四边形的形状并说明理由； ②请问当旋转角（）为多少度时，，在备用图中画出图形，直接写出的长度． 24．综合与探究 问题情境： 在中，，，过点C作于点F，且F为边的中点，D是直线上一点（点D不与点A，B重合），连结．将线段绕点C顺时针旋转90°得到，连结，． 基础感知： （1）如图1，当点D与点F重合时，线段与之间的数量关系为______． 深度探究： （2）如图2，当点D在线段的延长线上时，试判断线段，与之间的数量关系，并说明理由． 拓展迁移： （3）当点D在射线（点D不与点F重合）上时，请直接写出线段，与之间的数量关系． 25．综合与探究 【问题情境】在矩形中，，，E是边上一动点，将矩形沿所在直线翻折，点B的对应点为点 【猜想证明】 （1）如图1，过点F作交于点M，连接 ①试判断四边形的形状，并说明理由． ②如图2，当点F恰好落在边上时，求出此时四边形的周长． 【深入探索】 （2）连接，当的面积为4时，直接写出的长． 26．综合与实践 【问题情境】 数学活动小组在进行矩形纸片折纸活动． 如图1，在矩形纸片中，E是边上的动点，G是边上的动点，将沿折叠，点D恰好落到边上的点F处，展平，连接，再将沿折叠，使点B与点E重合，展平，连接． 【猜想证明】 （1）直接判断四边形的形状． （2）求证：． 【深入探究】 （3）如图2，M，N分别是边，上的点，若将矩形纸片沿第三次折叠，使得点C与点G重合，然后展平，连接，． ①判断与的位置关系，并证明； ②直接写出的值． 27．综合与探究 问题情境 如图1，在正方形中， ，点E为线段 上的一个动点，连接 ，以 为边，在 右上方作正方形，连接 ． (1)猜想与 的数量关系，并说明理由． 猜想证明 (2)如图2，在图1的基础上连接 ， 交于点H，连接 ．猜想的形状，并说明理由． 拓展延伸 (3)若点E为射线 上的一个动点，连接 与射线 交于点H，连接，其他条件不变．当点H落在的平分线上时，请直接写出的值． 28．综合与实践 数学课上，小组同学对含角的菱形进行了探究． 【问题背景】在菱形中，，作，、分别交边、于点、． (1)【初步感知】如图1，若点是边的中点，小智经过探索发现了线段与之间的数量关系，请你直接写出这个关系为______． (2)【综合探究】 ①如图2，说“点为上任意一点时，（1）中的结论是否仍然成立”？请说明理由． ②如图3，点为射线上任意一点时，作，交边所在射线于．则（1）中结论是否仍然成立？回答并说明理由． (3)【拓展应用】取出如图2所示的菱形纸片，测得，在边上取一点，连接，在菱形内部作交于点，当时，请直接写出线段的长． 29．综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． (1)操作判断 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接，．根据以上操作，当点M在上时，________，________； (2)迁移探究 嘉豪将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接． ①如图2，当点M在上时，________． ②改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断与的数量关系，并说明理由； (3)拓展应用 在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为8，当时，直接写出的长． 30．【问题情境】在矩形纸片中，点E是边上一动点，连接，将沿折叠得到，并展开铺平． 【操作探究】 (1)如图1，若点M落在边上，则四边形的形状是_________． (2)若点M落在矩形内部（包含在边上）． ①如图2，过点B作，垂足为H，交于点F，连接，证明：四边形是菱形． ②如图3，E，F为边的三等分点，且点E在点F的左侧，连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由． (3)若，，当以点M，C，D为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出的长． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 特殊平行四边形压轴题专项训练 1．综合与探究 问题情境： 数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在中，，垂足为，点为的中点，连接，，试猜想与的数量关系，并加以证明； 独立思考： (1)请解答老师提出的问题； 实践探究： (2)勤学小组受此问题的启发，将沿着（为的中点）所在直线折叠，如图②，点的对应点为，连接并延长交于点，请判断四边形的形状，并加以证明； 问题解决： (3)善思小组突发奇想，将矩形沿着（为的中点）所在直线折叠，如图③，点的对应点为，连接．该小组提出一个问题：若，，求四边形的面积．请你思考此问题，并直接写出结果． 【答案】(1)，证明如下： 如图，延长，相交于点， 四边形是平行四边形， ， ，． 为的中点， ， ， ，即为的中点， 又， ∴在中，； (2)四边形为平行四边形，证明如下：如图， 由折叠可知，． 为的中点， ， ， ． ， ， ， ． 四边形为平行四边形， ， 四边形为平行四边形； (3) 【分析】（1）延长，相交于点，证明，得到，然后利用直角三角形的性质证明即可； （2）由折叠的性质得到，，然后推出，得到，进而证明即可； （3）连接，首先求出，然后利用等面积法求出，利用勾股定理求出，然后利用四边形的面积求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，连接， ∵四边形是矩形 ∴， ∵为的中点 ∴ ∴ 由折叠得，，即 ∴ ∴ ∴ 由折叠得，，， ∴ 由（2）得， ∴ ∴ ∴四边形的面积 ． 2．综合与探究 数学活动课上，老师带领同学们利用矩形纸片开展折叠探究活动，同学们发现通过不同的折叠方式，能得到形状各异的四边形．请你结合矩形的性质与折叠的对称性，完成下列问题： (1)勤学小组先提出一个方法：如图1，将矩形沿过点B的直线折叠，使点A的对应点E落在边上，折痕与交于点F．试判断四边形的形状，并说明理由． (2)善思小组也提出一个方法：如图2，将矩形沿对角线折叠，点A的对应点为点E，与边相交与点F．过点B作交边于点G，求证：四边形是菱形． (3)如图3，若，，点M是的中点，点N是线段边上的动点，连接，将矩形沿折叠，点A的对应点为点E．在点N移动的过程中，若以E，D，C为顶点构成的三角形是以为腰的等腰三角形，请直接写出线段的长． 【答案】(1)四边形是正方形，理由如下： ∵四边形是矩形， ， 由折叠可知，，， ∴四边形是矩形， ， ∴四边形是正方形； (2)证明：∵四边形是矩形， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， 由折叠可知，， ， ． ∴四边形是菱形． (3)或 【分析】（1）根据矩形的性质以及折叠的性质解答即可； （2）先证明四边形是平行四边形，再根据折叠的性质可得，即可解答； （3）分两种情况，结合勾股定理解答即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵四边形是矩形， ，， ∴， ∵，点M是的中点， ∴， 由折叠的性质得：，， 设， ①若，过点E作于点H，于点Q，交于点P，则， ∵，， ∴垂直平分，即， ∴四边形为矩形，， ∴，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴ 解得：， 即； ②若，连接，此时， ∵，，， ∴， ， ， ∴， ∴N、E、C在同一条直线上， ∴， 在中，， ∴ 解得： 综上所述，线段的长为或． 3．综合与探究 折纸是同学们喜爱的手工活动之一，其中蕴含着丰富的数学知识，在数学活动课上，老师通过折叠正方形纸片开展探究活动，帮助同学们提升空间观念，积累数学活动经验． [问题背景] 如图①，在正方形中，在边上任取一点，以为折痕折叠纸片，使点的对应点落在正方形内． (1)探究一：按照上述操作，如图②，点是的中点，连接，，得到四边形．若，，求证：四边形是菱形． 探究二：如图③，延长交于点，连接． (2)的度数会随点的位置变化而改变吗？请说明理由． (3)若正方形纸片的边长为，当时，请直接写出的长． 【答案】(1)证明：由折叠可得，，，， 在正方形中，，， ， 点是的中点，， ， ， 四边形是菱形； (2)的度数不会随点的位置变化而发生改变， 理由：四边形是正方形， ，， 由折叠可得，，，， ， 延长交于点，   ， 在和中， ， ， ， ， 的度数不会随点的位置变化而改变； (3) 【分析】（1）由折叠可得，，，根据勾股定理求出，再根据直角三角形的斜边中线定理可得，即可得证； （2）由折叠可得，，，，结合正方形的性质可证明，得到，然后根据，即可得解； （3）根据正方形的性质可得，，由（2）得，，推出，进而得到，设，则，，在中，由勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：正方形纸片的边长为， ，， 由（2）得，， ， ， 由折叠可得，， 设， 则，， 在中，由勾股定理得，即， 解得， ． 4．综合与探究 问题情境：如图甲，在纸片中，，点在边上，．沿过点的直线折叠该纸片，使的对应线段与平行，且折痕与边交于点，得到，然后展平． 猜想证明： (1)判断四边形的形状，并说明理由； 拓展延伸： (2)如图乙，继续沿过点的直线折叠该纸片，使点的对应点落在射线上，且折痕与边交于点，然后展平，连接交边于点，连接． ①若，判断与的位置关系，并说明理由； ②在①的条件下，与交于点，则有，若，，，当点为的中点时，请直接写出的长． 【答案】(1)四边形是菱形，理由如下： 由折叠的性质可得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； (2)①证明：．理由如下： 由（1）知四边形是菱形， ∴，由折叠的性质得到， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； ② 【分析】（1）根据平行线的性质和折叠的性质，得到，继而得证结论． （2）①根据菱形的性质得到，由折叠的性质得到，进而得到，根据等边对等角以及三角形内角和定理得到，继而得到． ②根据菱形的性质得到，根据勾股定理得到，进而得到，，通过证明，得到，在中根据勾股定理解得，进而得到． 【详解】（1）略； （2）解：①略； ②当，点为的中点时，如图所示， 由（1）可知，四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴在中，， ∵， ∴，解得：， ∴． 5．综合与实践 【问题情境】在数学活动课上，老师和同学们以矩形纸片的折叠为背景开展几何探究，在矩形纸片中，，点是射线边上一动点，连接，将沿折叠得到，并展开铺平如图1． 【操作探究】 (1)如图2，若点落在矩形内部，过点作交于，连接，请判断四边形的形状，并说明理由． (2)如图3，若点为的三等分点，点落在矩形内部，再取的中点，连接并延长交边于点，判断与的数量关系，并说明理由． (3)若，，在翻折过程中，当点落在直线上时，请直接写出的长． 【答案】(1)四边形是菱形，理由如下： 由折叠的性质可知：， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； (2)，理由如下： ∵点为的三等分点， ∴， ∵取的中点， ∴， 由折叠的性质可知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴； (3)或 【分析】（1）由折叠的性质可知，由题意易得，则有，然后根据菱形的判定定理进行求解即可； （2）由题意易得，由折叠的性质可知：，则有，然后可得四边形是平行四边形，进而问题可求解； （3）由题意可分：当点落在矩形内部，当点落在矩形外部，然后分类进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由题意可分：当点落在矩形内部，如图所示： ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∴， 由折叠的性质可知：，，， ∴， ∴， ∴； 当点落在矩形外部，如图所示： ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∴，， 由折叠的性质可知：， ∴， ∴， ∴， ∴． 6．综合与探究 问题情境：在一次数学活动课上，同学们用四根长度相等的木条首尾相接，围成了一个可变形的菱形框架，并对菱形角度改变后的线段关系进行探究． 如图，在菱形中，是线段上不与点D，C重合的点，连接，在射线上取一点，使，连接． (1)如图1，若，在射线上取一点，使，连接． ①求证：． ②判断的形状，并说明理由． (2)如图2，调整菱形框架，使，在射线上取一点，使得，连接．请判断与之间的数量关系，并说明理由． (3)在菱形中，．点在射线上运动，且始终满足．在射线上取一点，使得，连接．请直接写出线段的长． 【答案】(1)①证明：∵四边形是菱形，， 四边形是正方形， ． 在和中， ， ； ②是等腰直角三角形．理由如下： ， ，， ， ， 是等腰直角三角形； (2)解：，理由如下： 四边形是菱形，， ，， 在和中，， ， ，， ， ， ， ， ， ， 如图2，作交于，则，， 在中，，， ， ， ； (3) 【分析】（1）证明四边形是正方形，得到，根据即可证明； ②根据得到，，从而得到，推出为等腰直角三角形，最后根据等腰直角三角形的性质即可得到答案； （2）证明，得到，，从而得到，作交于，则，，根据含角的性质及勾股定理得出，从而得到； （3）当时，可知点和点重合，利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理得到，根据菱形的性质得到，根据30度角的性质得到，进而求出，得到，求出x的值即可． 【详解】（1）①略； ②略； （2）略； （3）解：如图3，过点作于点， 当时， ∵菱形， ∴， ∵，， ∴， ∴，即点和点重合， 设， ，， 为等腰直角三角形， ∴， ∵， （负值舍去）， 四边形是菱形，，， ，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ， ， ， ． 7．综合与探究 已知四边形是菱形，连结，点为上一点，过点作交于点，交于点，过点作交于点． 初步探究： (1)如图1，若，求证：四边形是正方形； 深入思考： (2)在（1）的条件下，如图2，连结，判断线段与之间的关系（位置与数量），并证明； 拓展延伸： (3)如图3，在菱形中，，当，时，连结，直接写出线段的长．（提示：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半） 【答案】(1)证明：四边形是菱形，， 四边形是正方形． ，，． ， ， ， 即， 四边形是平行四边形． ， 四边形是矩形 ． ， ， 四边形是正方形． (2)，． 证明：如图，设与的交点为． 由（1）知，四边形，是正方形， ，，． ，，． ∴四边形是矩形． ． ． ，即． ，，， ． ，． ， ． ， (3) 【分析】（1）根据已知可得四边形是正方形，由正方形的性质结合已知可证，从而可得四边形是平行四边形，进而证明四边形是矩形，再由，得到，即可得证； （2）设与的交点为，证明四边形是矩形，可得，进而根据线段和差关系结合等量代换证明，证明，得到，，由直角三角形的两锐角互余等量代换证明，即可得证； （3）过点作延长线于点，证明四边形是平行四边形，可得的长，在中，由含角直角三角形的性质结合勾股定理求得的长，在中，利用勾股定理即可求得的长． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，过点作交延长线于点， 四边形是菱形， ，，，， ，，， ， ， ，， 四边形是平行四边形，， ，，， ， ， 在中， ， 在中，． 8．综合与探究 【问题情境】 如图1，在矩形纸片中，，点在边上，沿过点的直线折叠该纸片，使点的对应点落在矩形对角线上，折痕与边交于点E． 【猜想证明】 (1)如图2，当点与点D重合时，连接，判断四边形的形状，并说明理由； (2)【拓展延伸】如图3，当点F为中点时，连接并延长交边于点M，试探究与之间的数量关系和位置关系，并说明理由； (3)【深入探究】在（2）的情形下，若，．请直接写出的长． 【答案】(1)解：四边形为菱形，理由如下： 当点与点D重合时，由折叠的性质可得直线垂直平分，， ∴，， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形； (2)解：，，理由如下： ∵点为的中点， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴； (3) 【分析】（1）当点与点D重合时，由折叠的性质可得直线垂直平分，，由线段垂直平分线的性质可得，，由矩形的性质可得，再证明出，从而得出，即可得证； （2）由题意可得，由折叠的性质可得，，则，由等边对等角并结合三角形外角的定义及性质可得，从而得出，进而可得四边形为平行四边形，即可得证； （3）由矩形的性质可得，，，由勾股定理可得，由（2）可得，由折叠的性质可得，则，再由等面积法计算即可得出结果． 【详解】（1）略； （2）略； （3）解：∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， 由（2）可得， 由折叠的性质可得， ∴， ∵， ∴． 9．综合与探究 问题情境：在菱形中，，作，，分别交边，于点P，Q． (1)如图1，若点P是边的中点，请你判断线段与之间的数量关系，并说明理由． 深入探究： (2)如图2，小阳说：“点P为上任意一点时，（1）中的结论仍然成立．”你同意吗？请说明理由． 拓展延伸： (3)小宛取出如图3所示的菱形纸片，测得，，在边上取一点P，连接，在菱形内部作，交于点Q，当时，请直接写出的长． 【答案】(1)解：线段与之间的数量关系： 理由：如图，连接    ∵四边形是菱形，且， ∴，， ∴和都是等边三角形， ∴，， ∵点P是边的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴． (2)解：同意． 理由：如图，连接    ∵四边形是菱形，且， ∴，， ∴和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∴． (3)或 【分析】（1）连接，根据菱形的性质，可得，根据可得，根据等边三角形的判定和性质可得，，根据点P是边的中点，可得，，等量代换可得，，故，根据全等三角形的判定和性质可得； （2）连接，根据菱形的性质，可得，根据可得，根据等边三角形的判定和性质可得，，，等量代换可得，根据全等三角形的判定和性质可得； （3）过点A作于E，连接，根据菱形的性质，，可得，根据等边三角形的判定可得是等边三角形，根据勾股定理可得，，再进一步求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，过点A作于E，连接    ∵四边形是菱形，且， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或， 结合（2）可得：， ∴或． 10．综合与探究 【问题情境】折叠问题的实质是图形的轴对称变换，找出对应相等的元素是解题的关键． 如图1，在矩形中，，为射线上一动点，连接，将沿折叠得到，点的对应点为． 【数学思考】 (1)如图2，当点落在边上时，判断四边形的形状，并说明理由． (2)如图3，当点落在对角线上时，求线段的长； (3)在点运动的过程中，当三点共线时，请直接写出线段的长． 【答案】(1)解：四边形是正方形，理由如下， 由折叠的性质得， ∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形． (2) (3)的长度为或 【分析】（1）利用对称的性质与矩形的性质求解即可； （2）根据勾股定理求出线段的长，再根据对称的性质得到，设，再利用勾股定理求解即可； （3）根据题意将点在线段上和在线段的延长线上分两类讨论，根据对称的性质与矩形的性质，利用勾股定理求解． 【详解】（1）解：见答案 （2）解：由对称的性质得， 又∵四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， 即，解得， ∴． （3）解：情况1：当点在线段上，F，E，D三点共线时，如下图所示， 由对称的性质以及矩形的性质， 得， 在中，， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴； 情况2：当点在线段的延长线上，如下图所示， 由对称的性质以及矩形的性质， 得， 在中，， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴； 综上所述，的长度为或． 11．综合与探究 问题情境： 如图①，在边长为4的正方形中，E是边的中点，F是边上的一个动点，连接，将沿折叠得到，点A的对应点为点G．延长交直线于点H． 猜想证明： (1)判断线段和的数量关系，并说明理由； 拓展延伸： (2)如图②，在点F运动的过程中，连接． ①判断与的位置关系，并说明理由； ②连接，，当是等腰三角形时，直接写出线段的长度． 【答案】(1)方法一：．理由如下： 如图，连接． ∵四边形是正方形， ∴． ∵E是的中点， ∴． 由折叠，得，． ∴，． 又∵， ∴． ∴． 方法二：．理由如下： 如图，连接． ∵四边形是正方形， ∴． ∵E是的中点， ∴． 由折叠，得，． ∴，． ∴，． ∴，即． ∴． (2)①方法一：．理由如下： 如图，连接交于点O． 由折叠可知，是的垂直平分线． ∴O是的中点． ∵E是的中点， ∴是的中位线． ∴，即． 方法二：．理由如下： ∵E是的中点， ∴． 由折叠，得，． ∴，． ∴． ∴． ∴． ∴． ②或 【分析】（1）构造全等三角形或根据等腰三角形的性质，结合折叠的性质验证结论； （2）①借助中点和折叠的性质，利用中位线的性质得到两直线平行；或证明等腰三角形顶角外角的平分线与底边平行； ②分和两种情况计算线段的长． 【详解】（1）略 （2）①略 ②如图，当时，点G在边的垂直平分线上， 根据题意可知点G是正方形的对角线交点，得． 当时，由，， ∴． 所以． 因为， 所以． 所以B，G，H三点共线，即点F与点B重合． 如图，连接交于点O， 则，． 由，，得． 所以， 所以． 由（2），得，即． 因为， 所以． 在中， ． 12．综合与探究 【问题背景】将正方形纸片对折后展平，折痕为，在边上取一点（不与点重合），连接，将沿折叠得到，点的对应点为． 【问题解决】 (1)如图，若点恰好落在上，连接，试判断的形状，并说明理由． (2)延长交于点，连接．如图，若，，求的长． 【拓展延伸】 (3)当，时，请直接写出的长． 【答案】(1)是等边三角形，理由如下： ∵四边形是正方形， ，， ∵将正方形纸片对折后展平，折痕为， ∴分别为边的中点，， ，， 又， ， ， 由折叠的性质，得， ， 是等边三角形； (2) (3)或 【分析】证明，得到，由折叠的性质得，即得到，即可求证； 过点作于点，先证明，得到，即得到，即得，再根据勾股定理可得，，进而根据线段的和差关系即可求解； 分点在线段上和点在线段上，分别画出图形，利用正方形和折叠的性质、勾股定理解答即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点作于点， ∵四边形是正方形， ∴，， 由折叠的性质，得，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，，根据勾股定理，得， ∴， 在中，，，根据勾股定理，得， ∴； （3）解：当点在线段上时，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， 由知，， ∴， 又由折叠的性质，得， 设，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴； 当点在线段上时，如图， 同理可得； 综上，的长为或． 13．综合与探究 【问题提出】如图，四边形和均为菱形，且，连结和． 【探究猜想】 (1)如图1，当时， ①线段和之间的数量关系为_______________； ②直线和直线相交所成的较小角的度数为_______________； 【深入思考】 (2)如图2，当，且点在线段上时，过点作于点．请探究线段，，之间的数量关系，并求出的度数；（写出探究过程） 【拓展延伸】 (3)如图3，当，且点在线段的延长线上时，过点作于点，连结，，，请直接写出的长． 【答案】(1)①；② (2)， 四边形和均为正方形． ，，． ， ． ． 同（1）可证（）． ，． ． ， ， 即，； (3) 【分析】 （1）①证明即可作答；②设直线和直线相交于点Y，直线和直线相交于点K，利用三角形内角和，结合菱形的性质，即可作答； （2）先证明四边形和均为正方形，根据等腰三角形的“三线合一”得出、的关系，同（1）可证（），即可作答； （3）同（2）可得出、的关系，再证明即可作答． 【详解】（1）解：①∵四边形和均为菱形， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ②设直线和直线相交于点Y，直线和直线相交于点K，如图， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解析见答案 （3）， 四边形和均为正方形, ，，． ， ． ∵四边形和均为正方形, ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ． 14．综合与探究 实践操作 如图1，在矩形纸片中，，． 第一步：如图2，将图1中的矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，折痕为，然后把纸片展平． 第二步：如图3，将图2中的矩形纸片再次折叠，使点与点重合，折痕为，然后展平，隐去． 第三步：如图4，将图3中的矩形纸片沿折叠，得到，延长，与交于点，与交于点． 问题解决 (1)请在图2中证明四边形是正方形． (2)请在图4中求证：． (3)请在图4中猜想与的数量关系，并加以证明． 【答案】(1)证明：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形； (2)证明：∵四边形是正方形， ∴， 如图所示，连接， 由折叠的性质可得， ∴， 又∵， ∴ ， ∴； (3)解：，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴， 设，则， 由折叠的性质可得， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴，解得， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）根据矩形的性质和折叠的性质可得，，据此可证明结论； （2）连接，只需要证明即可得到； （3）设，则，由折叠的性质可得，则，由勾股定理可得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 15．综合与探究 【问题情境】 如图，在菱形中，，是射线上一动点，将线段绕着点逆时针方向旋转到达的位置，连接是的中点． (1)【操作发现】如图1，当点与点重合时，连接交于点，试猜想四边形的形状，并说明理由． (2)【操作探究】如图2，当点在线段上，点在线段的垂直平分线上，连接，求的长． (3)【拓展探究】如图3，当点在边的延长线上时，连接，，若，请直接写出线段的长． 【答案】(1) 四边形是矩形． 理由：四边形是菱形， ， ，是等边三角形， ． 点与点重合， ， ， ． 由旋转的性质得， ． 是的中点， ， ， 四边形是平行四边形． ， 四边形是矩形． (2) (3)的长为或3 【分析】（1）根据菱形的性质结合已知条件可得是等边三角形，进而得出，由旋转的性质得进而得出，即可证明四边形是平行四边形，根据，即可得出四边形是矩形． （2）连接，根据点在的垂直平分线上，得出，由旋转的性质得，进而得出，，证明，进而勾股定理即可求解． （3）分两种情况讨论，当时，当时，分别求解即可． 【详解】（1）略 （2）如图1，连接， 四边形是菱形，， ． 点在的垂直平分线上， ， ． 由旋转的性质得， ， ， ， ． ． ， 是的中点， ， ． （3）线段的长为或3 解：①当时，如图2， ， ． 为的中点， ，且为的中点． ， ， ． ②当时，如图3， 取的中点为，连接． 为的中点， 为的中位线， ． ， ． ， 是等边三角形， ． 设，则． 为的中点， ，即， 解得， ． 综上所述，的长为或3． 16．综合与探究 问题情境：数学课上，同学们以矩形为基本图形探究图形折叠变化中的数学问题．已知矩形纸片，，． (1)操作证明：如图1，小聪先从特殊情形入手，折叠矩形纸片，使点B与点D重合，折痕分别交，边于点E，F，点A的对应点为点G．请猜想此时线段与的数量关系，并说明理由； (2)拓展延伸：如图2，小慧沿过点C的直线折叠该矩形纸片，使点B的对应点H落在对角线的延长线上，折痕交线段于点M，交于点N，点A的对应点为点G． ①求此时线段的长； ②小慧沿平行于的直线继续折叠该矩形纸片，折痕交线段于点P，交线段于点Q．请你借助备用图进行分析，直接写出是等腰三角形时，点D到的距离． 【答案】(1) 解：，理由如下：如图所示， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 由折叠可得，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 由折叠可得，， ∴． (2)①；②或2或 【分析】（1）矩形的性质和折叠的性质即可得出； （2）①由折叠可得，垂直平分于点，进而得出，结合勾股定理即可求出的长；②将矩形沿着平行于的直线继续折叠，如图所示，矩形与矩形关于对称，即矩形与矩形是全等图形，可得出，是等腰三角形等价于是等腰三角形，然后分类讨论即可． 【详解】（1）略 （2）解：①∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 由折叠可得，垂直平分于点， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴． ②将矩形沿着平行于的直线继续折叠，如图所示，矩形与矩形关于对称，即矩形与矩形是全等图形，点对应点，点对应点，点对应点，点对应点，连接， 由对称可得，，，，点D到的距离即为的长度， ∴是等腰三角形，即是等腰三角形， 当时， ∴， 当时，由矩形的对角线相等且互相平分可得，此时为中点， ∴， 当时，过点作， ∴， 由三角形的面积公式可得，， ∴， ∴， ∴． 综上：点D到的距离为2或或． 17．综合与探究 问题情境：数学课上，老师让同学们以矩形为背景，探索动点运动过程中产生的数学问题．已知四边形是矩形，，是它的一条对角线，点是平面内的一个动点，且始终等于，作线段的垂直平分线，分别交直线，，于点，，． (1)如图1，小敏画出了点在线段的延长线上时的图形．判断此时四边形的形状，并证明你的结论； (2)如图2，小捷画出了点与点重合时的图形．猜想线段与之间的数量关系，并说明理由； 拓展延伸： (3)保持（2）中的矩形形状不变，小琪继续改变点的位置（不再与点重合），且其他条件不变．请直接写出直线经过点时，的度数． 【答案】(1) 解：四边形是正方形，证明如下： ∵四边形是矩形， ∴，， ∵是线段的垂直平分线， ∴，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， 略 ∴四边形是正方形； (2) 解：，理由如下： 连接， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵，点与点重合， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴，点是中点， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在直角中，， ∴， 由勾股定理可得，， ∵， ∴； (3)或或 【分析】（1）由垂直平分线的性质和矩形的性质可证明四边形是矩形，结合，可判定四边形是正方形； （2）根据含有的直角三角形的性质进行证明即可； （3）根据点在上的位置分三类讨论，结合（2）中的结论可得，，，结合等腰三角形的性质和三角形内角和定理，计算出即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：①当点在线段上时，如图，设， 由（2）可知，，， ∴， ∵， ∴在点运动的过程中，始终等于， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，； ②当点在线段的延长线上时，如图，设， ∵， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，； ③当点在线段的延长线上时，如图，设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得，； 综上所述，或或． 【点睛】本题考查矩形的性质，正方形的判定，垂直平分线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质， 三角形内角和定理，熟练掌握相关知识是解题关键． 18．综合与探究 【问题情境】 如图1，在矩形纸片中，，点在边上，沿过点的直线折叠该纸片，使点的对应点落在矩形对角线上，折痕与边交于点． 【猜想证明】 （1）如图2，当点与点重合时，连接，判断四边形的形状，并说明理由； 【拓展延伸】 （2）如图3，当点为中点时，连接并延长交边于点，试探究与之间的数量关系和位置关系，并说明理由； 【深入探究】 （3）在（2）的情形下，若． ①请直接写出的长； ②如图4，将沿射线方向平移得到，顶点、、分别与、、对应，若以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出平移距离． 【答案】 (1)解：四边形是菱形， 理由如下： 由折叠可知是的垂直平分线， ，，， ， 四边形是矩形， ， ， ， 在和中，， ， ， ， 四边形是菱形； (2)解：，， 理由如下：由折叠可知知 是的垂直平分线， ，， ， 又点为中点， ， ，， 在中，， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是平行四边形， ， ，； （3）① ② 【分析】(1)由折叠的性质可知，，，由矩形的性质可知，可证，根据全等三角形的性质可证，根据菱形的判定定理可证四边形是菱形； (2)由折叠的性质可证，根据等边对等角可证，，根据三角形内角和定理可证，由折叠的性质可得，从而可知四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可证结论成立； (3)①根据直角三角形的两个锐角互余可证，又因为，可证，根据相似三角形的性质可以求出，根据线段之间的关系可以求出的长度； ②根据等腰三角形的性质，分为当时、当时，当时，三种情况求解． 【详解】(1) 略 (2) 略 (3)①解：四边形是矩形，，， ，， 点是的中点， ， 由折叠可知， 由(2)可知， ， ， 又， ， ， ， ； ②解：如下图所示， 由平移可知， 四边形是平行四边形， ，， 当时， 可得， 过点作于点， ， ， ， ， 平移的距离是； 如下图所示， 当时， 可得：， 点与点重合， 在中，， 设，则， 在中，， ， 解得：， 即， ， ， 平移的距离是； 如下图所示， 当时，， 平移的距离是； 综上所述，平移的距离为或或. 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、平移的性质、等腰三角形的判定与性质、解直角三角形、全等三角形的判定与性质、菱形的判定、勾股定理，本题的综合性较强，难度较大，解决本题的关键是根据图形的性质找边、角之间的关系． 19．综合与探究 问题情境 在四边形专题复习课上，老师以矩形旋转为载体设计探究题： 将矩形绕点顺时针旋转，当旋转到如图①所示的位置时，得到矩形，点，，的对应点分别为点，，，设直线与直线交于点． 数学思考 (1)猜想与的数量关系，并证明； 实践探究 (2)如图②，在旋转的过程中，当点恰好落在矩形的对角线上时，点恰好落在的延长线上（即点与点重合），连接．求证：四边形是平行四边形； 拓展延伸 (3)在矩形绕点顺时针旋转的过程中，若，，当，，三点在同一条直线上时，请直接写出的值． 【答案】(1)， 证明：如图，连接， 四边形与四边形都是矩形， ， ，即． 由旋转可知：， 又， ． ． (2)证明：如图，连接， 由旋转可知：， 四边形是矩形， ，，． 又，， ， ． ，， 四边形是平行四边形． (3)或 【分析】（1）通过连接公共边构造两个三角形，利用矩形的直角性质和邻补角关系证明两个三角形均为直角三角形，结合旋转前后对应边相等的性质，用定理证明两个三角形全等，即可证明结论． （2）连接，利用旋转性质得到，结合矩形的性质和等腰三角形三线合一的性质，从而推出，最终由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得出结论． （3）根据三点共线的两种相对位置分类讨论，利用旋转性质得到对应边、对应角相等，结合矩形对边相等推出直角三角形，用勾股定理计算的长度，再根据线段的和差关系分别求出两种情况下的长度． 【详解】（1）略． （2）略． （3）解：①当点、在的同侧时，如图3， 根据旋转的性质可得，，，， ， 在中，， ． ②当点、在的异侧时，如图4， 同理可得，，，，， ． 综上，的值为或． 20．综合与探究 问题情境：如图，已知长方形，点为射线上一动点．以为边在其右侧作长方形，使得，连接，． 猜想证明： (1)如图1，当点在线段上时，请判断与的位置及数量关系（数量关系用含的代数式表示）并说明理由； 深入探究： (2)连接，交于点，连接，进一步研究． ①请在图中画出图形并证明在点运动的过程中始终是等腰三角形； ②如果，，能否成为直角三角形？若能，请直接写出的长；若不能，请说明理由． 【答案】(1) ，，理由如下： ∵四边形，是长方形， ∴， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∴，即， ∴，． (2) ①证明：如图1所示，当在线段上时： ②或 【分析】（1）根据已知可得，进而得到结论； （2）①分当在线段上或当在线段的延长线上两种情况进行讨论，根据长方形的性质和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证得； ②先根据当等腰直角三角形时，求得、，再根据，得到∴，不妨设，则，然后分当在线段上或当在线段的延长线上两种情况进行讨论，先表示出，然后在中，利用勾股定理建立方程，即可解答． 【详解】（1）略 （2）①∵四边形是长方形 ∴，，， ∴， 由（1）得：， ∴， 在中，，为的中点， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 如图2所示，当在线段上的延长线上时： ∵四边形，是长方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴是直角三角形， 在矩形中，，在中，为的中点， ∴， ∴为等腰三角形， 综上，始终为等腰三角形． ②解：能，的长或； 当成为直角三角形， 由①可知，为等腰三角形， ∴，， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴不妨设，则， ∵在长方形中，，， ∴ ∴如图，当在线段上时，， ∵， ∴， ∴， ∴（舍），， ∴； 如图，当在线段上的延长线上时，， ∵， ∴， ∴， ∴，（舍） ∴； ∴的长或． 【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的性质及判定、直角三角形的性质，等腰三角形的判定、勾股定理等知识点，解题的关键是相似三角形的性质及判定的应用． 21．综合与实践 问题情境：平行四边形是中心对称图形，在研究其部分性质时围绕其中心对称性展开，如图：平行四边形中，点是对角线的中点，过点的直线交边，所在的直线于点，．已知，． 猜想验证： （1）如图1，旋转直线，当时，连接，求证：四边形为矩形． （2）如图2，当时，猜想线段，和的数量关系，并说明理由． 深入探究： （3）当点，在，延长线上时，交，于点，，连接，，此时四边形为正方形．请直接写出的长度． 【答案】 （1）证明： ∵在平行四边形中，为中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形． ∵， ∴， ∴四边形为矩形． （2），证明： ∵在平行四边形中，为的中点， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形． ∴， ∴， 即， ∵， ∴四边形为菱形， ∴， 即； （3） 【分析】（1）先利用证明，根据全等三角形的性质可得，从而可证明四边形为平行四边形，再证明，进而可得四边形为矩形； （2）先利用证明，根据全等三角形的性质可得，从而可证明四边形为平行四边形，进而可证明四边形为菱形，从而可得出结论； （3）先利用正方形的性质，结合勾股定理求得，再勾股定理求得，然后利用含有角的直角三角形的性质求得的长度． 【详解】（1）略 （2）略 （3）如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴(负值舍去)， 又四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴(负值舍去)， ∴． 【点睛】本题考查了全等的性质和（）综合（或者），利用平行四边形的性质求解，利用矩形的性质证明，证明四边形是矩形，根据正方形的性质与判定求线段长等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 22．综合与探究 问题情境： 如图，在四边形中，，，平分交于点，连接，将线段绕点逆时针旋转到，使，连接． 问题初探： （1）如图1，当时，线段和线段的数量关系为 ，位置关系为 ． 深入探究： （2）对问题（1）进一步研究之后发现，线段与线段之间存在特定的数量关系．请你写出这种关系，并予以证明． 解决问题： （3）如图2，连接，当，时，请直接写出四边形的面积． 【答案】（1）；． （2），证明如下： 连接，如图， 由（1）知，， ∵平分， ∴， 又，， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， 在中，， ∴． （3） 【分析】（1）根据角边角的证明方法可证明与全等，由此可得数量关系为，再由，可得点共线，即可得位置关系． （2）根据（1）可知，，再由边角边的证明方法证明与全等，由此可得，再由即可得关系． （3）可先根据菱形的判定证明四边形为菱形，即可得，由（1）与（2）可知，，再由等边三角形的性质可得，再由梯形的面积公式求解即可． 【详解】解：（1）∵， 且，， ∴， ∵，， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴线段和线段的数量关系为， ∵在四边形中，， ∴， 又， ∴， ∴点共线， 又， ∴， ∴线段和线段的位置关系为． 故答案为：；． （2）略 （3）过点A作，如图， 由（1）和（2）可知，，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，图形旋转的性质，勾股定理的应用，菱形的判定与性质，平行线的性质，解决本题的关键是适当添加辅助线证明全等转化边长的关系． 23．综合与探究 问题情境：数学活动课上，老师让同学们对一个直角三角形和一个等腰三角形进行探究，如图1，中，，，，中，， 观察感知： （1）如图1，将与的顶点重合，的直角边与等腰的边重合，与交于点，求线段的长； 探索发现： （2）在图1的基础上，保持不动，将绕点按顺时针方向旋转一定的角度 ①如图2，当点落在边上时，连接，判断四边形的形状并说明理由； ②请问当旋转角（）为多少度时，，在备用图中画出图形，直接写出的长度． 【答案】（1） （2）①四边形是菱形，理由如下： ∵，， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． ②， 如图所示即为所求， 【分析】（1）根据等腰三角形的性质先求得，从而得到，即，在中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理，求得，即可解答； （2）①由，，得到是等边三角形，从而得到，，结合，得到是等边三角形，即可通过四条边相等的四边形为菱形证得结论； ②由，，，可知当点D旋转到与点B重叠时，此时，此时，据此画出图形，然后利用30度直角三角形的性质，求得，接着利用等腰三角形的性质和勾股定理求得等腰底边上的高，从而得到，最后利用勾股定理即可求得． 【详解】解：（1）∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在中，，，， ∴，即， ∴， 解得， ∴； （2）①略 ②∵，，， ∴当点D旋转到与点B重叠时，此时， 过点C作于点G， 此时， ∵中，，，， ∴， ∵， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理，旋转的性质，菱形的判定，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，30度直角三角形的性质，三角形内角和定理等，熟练掌握以上性质是解题的关键． 24．综合与探究 问题情境： 在中，，，过点C作于点F，且F为边的中点，D是直线上一点（点D不与点A，B重合），连结．将线段绕点C顺时针旋转90°得到，连结，． 基础感知： （1）如图1，当点D与点F重合时，线段与之间的数量关系为______． 深度探究： （2）如图2，当点D在线段的延长线上时，试判断线段，与之间的数量关系，并说明理由． 拓展迁移： （3）当点D在射线（点D不与点F重合）上时，请直接写出线段，与之间的数量关系． 【答案】（1）； （2）， 理由如下：根据旋转的性质，得，． ∵． ∴，即． 又∵， ∴（） ∴． ∵F为边的中点， ∴ ∵ ∴，即． （3）当点D在线段上时，；当点D在线段的延长线上时， 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质， （1）根据旋转的性质及等腰三角形的性质证得，得到四边形是矩形，即可推出； （2）证明（），得到．由，即可得到． （3）分两种情况：当点D在线段上时，当点D在线段的延长线上时，根据（2）的方法分别求出三条线段间的关系． 【详解】（1）由旋转得， ∵，，且F为边的中点，点D与点F重合， ∴，， ∴，， ∴， ∴ ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 故答案为： （2）略 （3）当点D在线段上时，由（2）得， ∴， ∵， ∴； 当点D在线段的延长线上时，由（2）得， ∴， ∵， ∴； 25．综合与探究 【问题情境】在矩形中，，，E是边上一动点，将矩形沿所在直线翻折，点B的对应点为点 【猜想证明】 （1）如图1，过点F作交于点M，连接 ①试判断四边形的形状，并说明理由． ②如图2，当点F恰好落在边上时，求出此时四边形的周长． 【深入探索】 （2）连接，当的面积为4时，直接写出的长． 【答案】 （1）①四边形为菱形，理由如下： 连接， 将矩形沿所在直线翻折， 垂直平分，， ， ， ， ， ， ， 四边形为菱形； ②（2）的长为或 【分析】本题主要考查了矩形与折叠、菱形的判定、勾股定理、相似三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）①由折叠易得，由平行可得，进而得到，所以，据此得解； ②由折叠可知，利用勾股定理可得，进而可知，然后在中利用勾股定理建立方程求解即可； （2）分类讨论，当点F在上方或者下方时，利用一线三垂直相似求解即可． 【详解】解：（1）①略 ②如图， ∵在矩形中，，， ∴， ∵折叠， ，，， 在中，， ， 设，则， 在中，， ， 解得， 菱形的周长； （2）设点到的距离为， 则：由题可知， ， ； 当点F在下方时，如图，过点作， 则，， ， 在中，， 设，则， ， ， ， ， ，即， 解得， ； 当点F在上方时，如图，过点作， 则， ， 在中，， 设，则， ， ， ， ， ，即， 解得， ； 综上，的长为或 26．综合与实践 【问题情境】 数学活动小组在进行矩形纸片折纸活动． 如图1，在矩形纸片中，E是边上的动点，G是边上的动点，将沿折叠，点D恰好落到边上的点F处，展平，连接，再将沿折叠，使点B与点E重合，展平，连接． 【猜想证明】 （1）直接判断四边形的形状． （2）求证：． 【深入探究】 （3）如图2，M，N分别是边，上的点，若将矩形纸片沿第三次折叠，使得点C与点G重合，然后展平，连接，． ①判断与的位置关系，并证明； ②直接写出的值． 【答案】（1）四边形是正方形； （2）证明：由（1）可知四边形是正方形， ， 由折叠可知，， ， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ； （3）①． 证明：设， ∵四边形是正方形， ∴是等腰直角三角形，， ， 由折叠可知， ， ， ， ， 在中，， 在中，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ∴； ②． 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质，勾股定理、正方形的性质及判定以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握折叠的性质，利用矩形和折叠的性质进行推理和证明。 （1）由折叠可知，，可知是等腰直角三角形，得到，故四条边相等，即四边形是菱形，再由可得四边形是正方形； （2）由折叠可得，由四边形是正方形可得，由平角定义可知，由已知可知，所以是等腰直角三角形，从而得到； （3）①设，根据折叠可得，分别求与的关系，再根据勾股定理分别求，而，代入可知，即，再根据证明，得到，根据可得，从而得证； （2）设，用的式子表示，连接，设，在中根据勾股定理得到方程解（含的代数式），在计算即可． 【详解】（1）∵四边形是矩形， ， 由折叠可知，， ∴是等腰直角三角形， ， ， ∴四边形是菱形， 又 ∴四边形是正方形； （2）略 （3）①略 ②设， 由①可知， ∵四边形是正方形， ∴是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 连接，设，则， 由折叠可知， ， ， 在中，， ， ， ． 27．综合与探究 问题情境 如图1，在正方形中， ，点E为线段 上的一个动点，连接 ，以 为边，在 右上方作正方形，连接 ． (1)猜想与 的数量关系，并说明理由． 猜想证明 (2)如图2，在图1的基础上连接 ， 交于点H，连接 ．猜想的形状，并说明理由． 拓展延伸 (3)若点E为射线 上的一个动点，连接 与射线 交于点H，连接，其他条件不变．当点H落在的平分线上时，请直接写出的值． 【答案】(1)，理由如下： ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； (2)是等腰直角三角形，理由如下： 如图，过点 作 的平行线，交 的延长线于点 ， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴ ， 由（1）已证：， ∴，， ∴， ∴点在同一条直线上， ∵， ∴ ， ， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ， ∴是等腰直角三角形； (3) 【分析】（1）先根据正方形的性质可得，再证出，根据全等三角形的性质即可得； （2）过点 作 的平行线，交 的延长线于点 ，先证出点在同一条直线上，再根据平行线的性质可得 ， ，然后证出 ，根据全等三角形的性质可得，最后根据等腰直角三角形的性质即可得； （3）分两种情况：①当点 在线段 上时，过点 作于点 ，过点 作于点 ，过点作，交 延长线于点 ，连接 ，先证出，，再根据等腰三角形的性质可得 ，根据角平分线的性质定理可得，然后设，则，解直角三角形可得，从而可得 ，利用三角形的面积公式计算即可得；②当点 在 的延长线上时，过点作，交 延长线于点 ，同理可得，根据平行线的判定可得，则此时点 不可能落在的平分线上，由此即可得． 【详解】（1）解：略 （2）解：略 （3）解：①如图，当点 在线段 上时，过点 作于点，过点 作于点 ，过点作，交 延长线于点 ，连接 ， ∴ ， ∴， ∵， ∴ ， ∴ ， 在和中， ， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ，即， ∴， ∴是等腰直角三角形，且， ∴ ， ∵平分， ∴ ， 由正方形的性质可知，正方形的对角线互相垂直且平分， ∴， 由（2）已证：， ∴， ∴ ， ， ∴ ， （等腰三角形的三线合一）， 又∵，， ∴ 是等腰直角三角形，且 ， ∴ ， ∴ ，即平分， ∴（角平分线的性质定理）， 设，则 ， 在中， ， ∴ ， ∴， 即的值为； ②如图，当点 在 的延长线上时，过点作，交 延长线于点 ，记的平分线交于点， 同理可证： ， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ，即， ∴， ∴是等腰直角三角形，且， ∴ ， ∴， ∴此时点 不可能落在的平分线上， 综上，的值为． 28．综合与实践 数学课上，小组同学对含角的菱形进行了探究． 【问题背景】在菱形中，，作，、分别交边、于点、． (1)【初步感知】如图1，若点是边的中点，小智经过探索发现了线段与之间的数量关系，请你直接写出这个关系为______． (2)【综合探究】 ①如图2，说“点为上任意一点时，（1）中的结论是否仍然成立”？请说明理由． ②如图3，点为射线上任意一点时，作，交边所在射线于．则（1）中结论是否仍然成立？回答并说明理由． (3)【拓展应用】取出如图2所示的菱形纸片，测得，在边上取一点，连接，在菱形内部作交于点，当时，请直接写出线段的长． 【答案】(1)； (2)解：①当点为上任意一点时，仍然成立．理由如下： 如图，连接， ∵四边形是菱形，， ，， ∴和都是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②当点为射线上任意一点时，仍然成立．理由如下： 如图，连接， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴和都是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (3)5或3 【分析】（1）连接，利用菱形的性质和等边三角形的三线合一性质证明即可； （2）①利用菱形的性质和等边三角形的性质证明即可； ②利用菱形的性质和等边三角形的性质证明即可； （3）利用菱形的性质和等边三角形的性质可得，利用勾股定理求，，分当点在点的左侧和点在点的右侧两种情况，分别讨论即可． 【详解】（1）解：线段与之间的数量关系：，理由如下： 如图，连接， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴和都是等边三角形， ∴， ∵点是边的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ， 在和中， ， ， ； （2）①略；②略； （3）解：如图，过点作于，连接，则， ∵四边形是菱形，， ∴，, ∴是等边三角形， ， ∴， 在中，，， ， 当点在点的左侧时，， 当点在点的右侧（图中处）时，， ∴或， 由（2）知：， ∴， ∴或3， ∴线段的长为5或3． 29．综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． (1)操作判断 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接，．根据以上操作，当点M在上时，________，________； (2)迁移探究 嘉豪将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接． ①如图2，当点M在上时，________． ②改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断与的数量关系，并说明理由； (3)拓展应用 在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为8，当时，直接写出的长． 【答案】(1)； (2)①； ②，理由如下： 由折叠可知，， 在正方形中，， ， 在正方形中，， 由折叠可知，， ， 在和中， ， ， ， (3)或 【分析】（1）由折叠得为的垂直平分线，，连接得，故为等边三角形，在中得，由折叠得； （2）①由折叠得，正方形中，故．由折叠得，故．在和中，证全等，得．由（1）得，故，从而，解得． ②同①证，即可得； （3）设，由折叠得．当在靠近的一侧，由正方形边长为8及是的垂直平分线得，．由得，．由（2）中全等得，故．在中，由勾股定理列方程，解得．当在靠近的一侧，同理列方程求解即可． 【详解】（1）解：由折叠可知，是的垂直平分线，， 连接，可得， ， 为等边三角形， ， ， ， 由折叠可知，， ． （2）解：①由折叠可知，， 在正方形中，， ， 在正方形中，， 由折叠可知，， ， 在和中， ， ， ， 由（1）可得， ， ②略 （3）解：如图，当在靠近的一侧， 设， 由折叠可知，，是的垂直平分线， 在正方形中，，， ，， ， ， 由（2）可得，， ， ， 在中， ，即， 解得， 如图，当在靠近的一侧， 设， 同理可得，，，， 在中， ，即， 解得， 综上， 或． 30．【问题情境】在矩形纸片中，点E是边上一动点，连接，将沿折叠得到，并展开铺平． 【操作探究】 (1)如图1，若点M落在边上，则四边形的形状是_________． (2)若点M落在矩形内部（包含在边上）． ①如图2，过点B作，垂足为H，交于点F，连接，证明：四边形是菱形． ②如图3，E，F为边的三等分点，且点E在点F的左侧，连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由． (3)若，，当以点M，C，D为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出的长． 【答案】(1)正方形 (2)①证明：如图，连接， 由折叠的性质，是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即四边形是菱形； ②；理由如下： 由折叠知，， ∵E，F为边的三等分点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 即线段与的数量关系为； (3)或5 【分析】（1）由矩形及折叠的性质得四边形是矩形，再结合折叠的性质得四边形是正方形； （2）①连接，由折叠的性质易得，由线段垂直平分线的性质得，再由等腰三角形的判定证明即可证明结论； ②由折叠的性质、等腰三角形的性质可得四边形是平行四边形，得，即可得线段与的数量关系； （3）分三种情况考虑，利用折叠的性质、等腰三角形的性质及勾股定理即可完成． 【详解】（1）解：在矩形纸片中，, 由折叠知， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形； （2）①略； ②略 （3）解：∵四边形是矩形，，， ∴，四个内角均为直角， 由折叠知，， 如图，当时，过点M作于点G，交于点F， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得， 即； 当时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴点M在上， 由（1）知，四边形是正方形， ∴； 当时， 如图，连接， 由勾股定理得， 而， ∴， ∴不可能等于； 综上，或5． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $