模型01 带电小球平衡问题--2026-2027学年高二上学期物理人教版必修第三册

模型01 带电小球平衡问题 【解模方法与技巧】 1.分析库仑力作用下的平衡问题的步骤 分析库仑力作用下的平衡问题时，方法与力学中分析物体的平衡问题的方法一样，具体步骤如下： 2.三个自由点电荷的平衡问题 (1)三个自由点电荷都处于平衡状态时，每个电荷受到的合力均为零。根据平衡条件可得，电荷间的关系为： “三点共线”——三个点电荷分布在同一条直线上； “两同夹异”——正、负电荷相互间隔； “两大夹小”——中间电荷的电荷量最小； “近小远大”——中间电荷靠近电荷量较小的电荷。 (2)对于三个自由点电荷的平衡问题，只需对其中两个电荷列平衡方程，不必再对第三个电荷列平衡方程。 3.分析库仑力作用下的动力学问题的步骤 分析库仑力作用下的动力学问题时，方法与力学中分析物体的动力学问题的方法相同，具体步骤如下： (1)确定研究对象； (2)进行受力分析，只是多了库仑力； (3)根据牛顿第二定律F合＝ma列式求解。 【模型专练】 一、单选题 1．（24-25高二上·福建厦门·阶段检测）如图所示，A为带正电的金属板，所带电荷量大小为Q，沿金属板的垂直平分线在距离板r处放一质量为m、电荷量为q的小球，小球可视为质点，用绝缘丝线悬挂于O点，小球受水平向右的电场力作用而偏转角后处于静止状态，静电力常量为k，则小球所在处的电场强度大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对小球受力分析，如图所示 根据平衡条件得 又 解得 因金属板不能看成点电荷，故其在小球所在位置的电场强度不能用进行计算。 故选C。 2．（25-26高二下·陕西西安·期中）如图所示，两个带电绝缘小球用等长细棉线悬挂在点，处于静止状态，两线夹角为。若两小球因缓慢漏电，电荷量均逐渐减小，则（     ） A．不变 B．变小 C．变大 D．先变大后变小 【答案】B 【详解】根据题意，设两小球间库仑力为，对其中任意小球受力分析，由几何关系可得 由于两小球因缓慢漏电后电荷量均减小，则两小球间库仑力减小，则减小。 故选B。 3．（25-26高二上·内蒙古乌海·期中）如图所示，光滑绝缘水平面上有三个带电小球（可视为点电荷），三球沿一条直线摆放，仅在它们之间的静电力作用下静止，以下判断正确的是（   ） A．间的静电力可能是斥力 B．间的静电力可能是引力 C．a的电荷量一定比b的电荷量多 D．a的电荷量一定与c的电荷量相等 【答案】C 【详解】ABC．三个带电小球在同一直线上仅在它们之间静电力的作用下处于静止，根据库仑定律，可知三个带电小球a、b、c满足电性“两同夹一异”，电荷量“两大夹一小”的规律，故判断得a、b间的静电力一定为引力，a的电荷量一定比b多，故AB错误，C正确； D．b电荷平衡，，因，所以，即a的电荷量一定小于c的电荷量相等，故D错误。 故选 C。 4．（25-26高二下·河南平顶山·期中）如图所示，在天花板上点通过两根长度分别为、的细绳悬挂两个带电小球P、Q，静止时两根细绳与竖直方向之间的夹角分别为和，已知，，则P、Q质量之比为（　　） A．3∶2 B．2∶3 C．9∶4 D．∶4∶9 【答案】A 【详解】将两个小球视为整体，以悬挂点O为转轴，整体静止，合力矩为零：绳子拉力作用点在O，力矩为零；两球之间的库仑力是内力，一对相互作用力的总力矩为零，因此只有两个重力的力矩平衡，则有 解得 故选A。 5．（25-26高二上·福建宁德·期中）如图所示，天花板下方固定一个光滑小定滑轮O，在定滑轮的正下方固定一个带正电的小球c，不带电的小球a与带正电的小球b由跨过定滑轮的绝缘轻绳相连，三个小球均可视为质点。开始时系统在图示位置静止，已知。若b球所带的电荷量缓慢减少（未减为零），则在b球到达O正下方前，下列说法正确的是（　　） A．a球的质量大于b球的质量 B．b球的轨迹是一段以c为圆心的圆弧 C．点电荷对b球的库仑力逐渐增大 D．此过程中滑轮受到轻绳的作用力逐渐变大 【答案】D 【详解】A．对b球进行受力分析，受到重力mbg和库仑力F库以及轻绳的拉力T，如图所示。 由相似三角形对应边比值相等可知 同一根轻绳，各处张力相等，T=mag 整理可得 由于Ob＜OC，因此ma＜mb 故A错误； B．由mag不变，可知Ob不变，库仑力减小，bC减小，故球的轨迹是一段以O为圆心的圆弧，故B错误； C．由于qb减小，可知bC也减小，此过程中b球所受库仑力减小且方向改变，故C错误； D．滑轮受到的轻绳的作用力大小均为mag，大小不变，由于bC减小，可知两绳夹角减小，所以滑轮受到两绳的合力增大，故D正确。 故选D。 6．（25-26高二上·江西南昌·期中）如图所示在光滑绝缘水平面上，电荷量为Q1、Q2两个正点电荷分别固定于A点和B点，两点相距L。在以L为直径的光滑绝缘半圆环也位于水平面上，其上穿有一个带正电小球电量为q（视为质点），在P点平衡，PA与AB的夹角为α，且α＜45°，则为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对带正电的小球进行受力分析如图所示 根据库仑定律有， 其中， 根据平衡条件有 联立解得 故选D。 7．（25-26高二上·福建泉州·阶段检测）如图所示，光滑水平面上有、两个带正电点电荷，质量均为，电荷量分别为和，在真空中相距。已知静电力常量为。现引进第三个点电荷，正好使三个点电荷均处于平衡状态，则点电荷（    ） A．带正电 B．应放在的左侧处 C．电荷量大小为 D．电荷量大小为 【答案】D 【详解】由“两大夹小，两同夹异”可知第三个小球应带负电，且位于、两小球之间某位置，假设第三个小球带电荷量大小为，距小球的距离为，则对第三个小球有 解得   对A小球有 解得 故选D。 8．（24-25高二上·广东湛江·期末）如图所示，电荷量为q的带电小球A用长为l的绝缘细线悬挂于O点，带有电荷量为的小球B固定在O点正下方绝缘柱上，之间距离为，小球A平衡时与小球B位于同一竖直平面内，此时悬线与竖直方向夹角，已知带电小球A、B均可视为点电荷，静电力常量为k，重力加速度为g，则（　　） A．细线拉力大小为 B．小球A的质量为 C．剪断细线瞬间，小球A的加速度大小为g D．剪断细线，小球A做匀加速运动 【答案】B 【详解】AB．以小球A为研究对象，受力情况如图所示 由几何关系可知AB连线与竖直方向夹角为30°；由库仑定律得 由共点力平衡条件得FTcos30°+Fcos30°=mg 联立解得， 故A错误，B正确； C．剪断细线瞬间小球A受的合外力为FT，可知加速度 故C错误； D．剪断细线之后，小球A受不变的竖直向下的重力和不断变化的库仑力，合外力不断变化，可知加速度不断变化，小球A做非匀加速运动，故D错误。 故选B。 9．（24-25高二上·天津·期中）如图所示，带电体P、Q可视为点电荷，电荷量相同，电性未知。倾角为θ的绝缘斜面体放在粗糙水平面上，将带电体P放在粗糙的斜面体上。当带电体Q固定在与P等高（PQ连线水平）且与P相距为r的右侧位置时，P静止且不受摩擦力作用，此时斜面体也保持静止，则下列说法中正确的是（　　） A．带电体P、Q所带电荷的电性相异 B．带电体P对斜面体的压力比P的重力小 C．斜面体受到地面的摩擦力方向向右 D．斜面体对地面的压力等于P、Q和斜面体的重力之和 【答案】C 【详解】AB．对物体P受力分析物体P受到水平向左的库仑力，垂直斜面向上的支持力N，竖直向下的重力，故带电体P、Q所带电荷的电性相同，且有： 则支持力大于重力，根据牛顿第三定律可知，带电体P对斜面体的压力比P的重力大，故AB错误； CD．整体平衡，对斜面体和物体P整体受力分析可知，受到竖直向下的重力，竖直向上的支持力，水平向左的库仑力和水平向右的摩擦力，所以竖直方向上受力平衡，此时地面对斜面体的支持力 由牛顿第三定律可知，斜面体对地面的压力为P和斜面体的重力之和，故C正确，D错误。 故选C。 10．（25-26高二上·四川凉山·期中）球心为O、半径为R的半球形光滑绝缘碗固定于水平地面上，带电量分别为和的小球甲、乙刚好静止于碗内等高的A、B两点，O、A连线与竖直方向的夹角为30°，截面如图所示。已知静电力常量为k，重力加速度大小为g，则甲球的质量为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】甲在A点、乙在B点且两点等高，OA、OB均为碗的半径R，OA、OB与竖直方向夹角均为，因此，为等边三角形，得两球间距 根据库仑定律，甲受到的库仑斥力为 由于A、B等高，库仑力沿水平方向向左（排斥力）。对甲受力分析重力，方向竖直向下、碗的支持力N，方向沿OA指向球心O、库仑力F，方向水平向左。根据平衡条件水平方向有 竖直方向有 解得 故选A。 二、多选题 11．（25-26高二上·云南昆明·期中）如图所示，甲小球固定，乙小球静止在绝缘斜面上，两小球均可视为点电荷。小球甲带正电荷，小球乙带负电荷。则小球乙可能的受力情况为（    ） A．重力、库仑力 B．重力、库仑力、支持力 C．重力、库仑力、支持力、压力 D．重力、库仑力、支持力、摩擦力 【答案】AD 【详解】由图可知甲在乙正上方，甲、乙带异种电荷，两者间存在库仑引力，当引力大小等于乙的重力时，则乙只受这两个力作用，静止在斜面上：当库仑引力小于乙的重力时，则乙受重力、库仑引力和斜面对它的支持力与摩擦力，共4个力作用。 故选AD。 12．（25-26高二上·福建厦门·期末）如图所示，绝缘水平地面上固定有一带正电小球A，小球A正上方有一个轻小光滑定滑轮（忽略大小），绝缘细线绕过定滑轮拴住另一个相同的带电小球B。已知两小球的质量均为m，电荷量均为q，重力加速度大小为g，静电力常量为k，两小球均可视为点电荷，拉力时，小球B对地面恰好无压力。然后继续缓慢拉动细线使小球B缓慢移动到定滑轮的过程中，下列说法正确的是（     ） A．小球B对地面恰好无压力时两小球间的距离为 B．小球B被拉动后，受到小球A的库仑力大小先变大再逐渐减小 C．小球B被拉动后，电场力对小球B先不做功后做正功 D．小球B恰好被拉到小球A正上方的过程中，拉力对小球B做的功为 【答案】AC 【详解】A．设小球A到定滑轮的距离为H，A、B间的距离为L，小球B恰好离开地面时，静电力为 由平衡可知 解得，故A正确； BC．小球B被拉动后，一直处于平衡状态，其受力如图 设小球A、B之间的距离为，A球到滑轮的距离为H，根据相似三角形的关系 而库仑力为 可知B球移动到A球正上方过程中： ①两球之间的距离保持不变，小球B受到小球A的库仑力大小不变，库仑力对小球B不做功； ②从A球正上方到移动定滑轮的过程中，库仑力做正功，且库仑力逐渐减小，故全过程B受到小球A的库仑力大小先不变再逐渐减小，电场力对小球B先不做功后做正功，故B错误，C正确； D．由上可知，拉力对小球B做的功等于小球B重力势能的增加量，则有，故D错误。 故选AC。 三、解答题 13．（25-26高二上·浙江丽水·期中）如图所示，带正电的小球1用绝缘细线a悬挂在水平墙壁上，带负电的小球2用绝缘细线b悬挂在竖直墙壁上。两小球处于静止状态时，细线b水平，细线a与竖直方向的夹角为37°，小球1、2（均可视为点电荷）的连线与水平方向的夹角也为37°，小球1、2间的距离d=2m。已知小球1、2所带的电荷量大小分别为、，静电力常量，取重力加速度大小g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8。求： (1)小球1、2间的库仑力大小F库； (2)小球2的质量m2； 【答案】(1)45N (2) 【详解】（1）根据库仑定律有 解得F库=45N （2）对小球2受力分析，竖直方向上有 解得 14．（24-25高二上·河北沧州·期末）如图所示，A、B、C三个质量均为、可视为质点的带电物体处于同一竖直平面内且三个物体的连线构成等边三角形，A、B两物体放在水平绝缘水平面上，三个物体恰好处于静止状态。已知A、B两物体的电荷量均为，物体C的电荷量为，静电力常量为，重力加速度为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。求： (1)等边三角形的边长； (2)绝缘水平面对A物体的支持力的大小； (3)A物体与绝缘水平面间的动摩擦因数。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据平衡条件，对物体C分析 解得 （2）对A分析，根据平衡条件 又 解得 （3）又水平方向 且 联立解得 15．（25-26高二上·河北·期末）如图，两绝缘细线上端分别固定在水平天花板上的A、B两点，下端均与一质量为m、带电荷量为（）的小球M相连，小球M静止于C点，CA、CB与竖直方向的夹角分别为37°和53°，在带电小球M右侧固定一小球N，小球N带电荷量大小可以调节，设为aq，两球距离为L，两球连线在水平方向上且与两细线在同一竖直平面内，固定小球N后，若小球M的位置没变化，k为静电力常量，，两球可视为点电荷，求a的取值范围。 【答案】 【详解】当细线上力为0时，对小球受力分析，此时小球带正电，电荷量为，根据库仑定律有 根据平衡条件可得 解得 当细线上力为0时，对小球受力分析，此时小球带负电，电荷量为，根据库仑定律有 根据平衡条件可得 解得 若小球的位置没变化，则两细线都不能松弛，则的取值范围为。 16．（25-26高二上·甘肃定西·期中）如图所示，水平地面上有一绝缘圆弧面体，圆弧面光滑，质量为m、电荷量为的小球放置在圆弧面上，在圆弧面右侧有一竖直光滑绝缘细杆，杆上套着一质量也为m的带电铁环，已知铁环与小球的连线与竖直方向夹角，小球到细杆的距离为d，静电力常量为k，重力加速度为g，若此时圆弧面、小球与小铁环均保持静止，求： (1)小铁环所带的电荷量； (2)圆弧面体与地面间摩擦力的大小。 【答案】(1)小铁环电荷量的大小为，带正电 (2) 【详解】（1）对铁环受力分析：铁环受重力、光滑绝缘细杆对铁环水平向左的弹力、小球对铁环的库仑斥力（沿连线斜向右上）。铁环处于静止状态，竖直方向受力平衡 由几何关系可知，小球到铁环的距离 根据库仑定律可知 联立解得铁环所带的电荷量的大小 由于小球带正电，库仑力为斥力，因此铁环带正电 （2）圆弧面、小球与小铁环均保持静止，将圆弧面体和小球看成整体，水平方向受力平衡，地面摩擦力的大小与库仑力的水平分量大小相等 解得 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 7 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 模型01 带电小球平衡问题 【解模方法与技巧】 1.分析库仑力作用下的平衡问题的步骤 分析库仑力作用下的平衡问题时，方法与力学中分析物体的平衡问题的方法一样，具体步骤如下： 2.三个自由点电荷的平衡问题 (1)三个自由点电荷都处于平衡状态时，每个电荷受到的合力均为零。根据平衡条件可得，电荷间的关系为： “三点共线”——三个点电荷分布在同一条直线上； “两同夹异”——正、负电荷相互间隔； “两大夹小”——中间电荷的电荷量最小； “近小远大”——中间电荷靠近电荷量较小的电荷。 (2)对于三个自由点电荷的平衡问题，只需对其中两个电荷列平衡方程，不必再对第三个电荷列平衡方程。 3.分析库仑力作用下的动力学问题的步骤 分析库仑力作用下的动力学问题时，方法与力学中分析物体的动力学问题的方法相同，具体步骤如下： (1)确定研究对象； (2)进行受力分析，只是多了库仑力； (3)根据牛顿第二定律F合＝ma列式求解。 【模型专练】 一、单选题 1．（24-25高二上·福建厦门·阶段检测）如图所示，A为带正电的金属板，所带电荷量大小为Q，沿金属板的垂直平分线在距离板r处放一质量为m、电荷量为q的小球，小球可视为质点，用绝缘丝线悬挂于O点，小球受水平向右的电场力作用而偏转角后处于静止状态，静电力常量为k，则小球所在处的电场强度大小为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·陕西西安·期中）如图所示，两个带电绝缘小球用等长细棉线悬挂在点，处于静止状态，两线夹角为。若两小球因缓慢漏电，电荷量均逐渐减小，则（     ） A．不变 B．变小 C．变大 D．先变大后变小 3．（25-26高二上·内蒙古乌海·期中）如图所示，光滑绝缘水平面上有三个带电小球（可视为点电荷），三球沿一条直线摆放，仅在它们之间的静电力作用下静止，以下判断正确的是（   ） A．间的静电力可能是斥力 B．间的静电力可能是引力 C．a的电荷量一定比b的电荷量多 D．a的电荷量一定与c的电荷量相等 4．（25-26高二下·河南平顶山·期中）如图所示，在天花板上点通过两根长度分别为、的细绳悬挂两个带电小球P、Q，静止时两根细绳与竖直方向之间的夹角分别为和，已知，，则P、Q质量之比为（　　） A．3∶2 B．2∶3 C．9∶4 D．∶4∶9 5．（25-26高二上·福建宁德·期中）如图所示，天花板下方固定一个光滑小定滑轮O，在定滑轮的正下方固定一个带正电的小球c，不带电的小球a与带正电的小球b由跨过定滑轮的绝缘轻绳相连，三个小球均可视为质点。开始时系统在图示位置静止，已知。若b球所带的电荷量缓慢减少（未减为零），则在b球到达O正下方前，下列说法正确的是（　　） A．a球的质量大于b球的质量 B．b球的轨迹是一段以c为圆心的圆弧 C．点电荷对b球的库仑力逐渐增大 D．此过程中滑轮受到轻绳的作用力逐渐变大 6．（25-26高二上·江西南昌·期中）如图所示在光滑绝缘水平面上，电荷量为Q1、Q2两个正点电荷分别固定于A点和B点，两点相距L。在以L为直径的光滑绝缘半圆环也位于水平面上，其上穿有一个带正电小球电量为q（视为质点），在P点平衡，PA与AB的夹角为α，且α＜45°，则为（　　） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·福建泉州·阶段检测）如图所示，光滑水平面上有、两个带正电点电荷，质量均为，电荷量分别为和，在真空中相距。已知静电力常量为。现引进第三个点电荷，正好使三个点电荷均处于平衡状态，则点电荷（    ） A．带正电 B．应放在的左侧处 C．电荷量大小为 D．电荷量大小为 8．（24-25高二上·广东湛江·期末）如图所示，电荷量为q的带电小球A用长为l的绝缘细线悬挂于O点，带有电荷量为的小球B固定在O点正下方绝缘柱上，之间距离为，小球A平衡时与小球B位于同一竖直平面内，此时悬线与竖直方向夹角，已知带电小球A、B均可视为点电荷，静电力常量为k，重力加速度为g，则（　　） A．细线拉力大小为 B．小球A的质量为 C．剪断细线瞬间，小球A的加速度大小为g D．剪断细线，小球A做匀加速运动 9．（24-25高二上·天津·期中）如图所示，带电体P、Q可视为点电荷，电荷量相同，电性未知。倾角为θ的绝缘斜面体放在粗糙水平面上，将带电体P放在粗糙的斜面体上。当带电体Q固定在与P等高（PQ连线水平）且与P相距为r的右侧位置时，P静止且不受摩擦力作用，此时斜面体也保持静止，则下列说法中正确的是（　　） A．带电体P、Q所带电荷的电性相异 B．带电体P对斜面体的压力比P的重力小 C．斜面体受到地面的摩擦力方向向右 D．斜面体对地面的压力等于P、Q和斜面体的重力之和 10．（25-26高二上·四川凉山·期中）球心为O、半径为R的半球形光滑绝缘碗固定于水平地面上，带电量分别为和的小球甲、乙刚好静止于碗内等高的A、B两点，O、A连线与竖直方向的夹角为30°，截面如图所示。已知静电力常量为k，重力加速度大小为g，则甲球的质量为（     ） A． B． C． D． 二、多选题 11．（25-26高二上·云南昆明·期中）如图所示，甲小球固定，乙小球静止在绝缘斜面上，两小球均可视为点电荷。小球甲带正电荷，小球乙带负电荷。则小球乙可能的受力情况为（    ） A．重力、库仑力 B．重力、库仑力、支持力 C．重力、库仑力、支持力、压力 D．重力、库仑力、支持力、摩擦力 12．（25-26高二上·福建厦门·期末）如图所示，绝缘水平地面上固定有一带正电小球A，小球A正上方有一个轻小光滑定滑轮（忽略大小），绝缘细线绕过定滑轮拴住另一个相同的带电小球B。已知两小球的质量均为m，电荷量均为q，重力加速度大小为g，静电力常量为k，两小球均可视为点电荷，拉力时，小球B对地面恰好无压力。然后继续缓慢拉动细线使小球B缓慢移动到定滑轮的过程中，下列说法正确的是（     ） A．小球B对地面恰好无压力时两小球间的距离为 B．小球B被拉动后，受到小球A的库仑力大小先变大再逐渐减小 C．小球B被拉动后，电场力对小球B先不做功后做正功 D．小球B恰好被拉到小球A正上方的过程中，拉力对小球B做的功为 三、解答题 13．（25-26高二上·浙江丽水·期中）如图所示，带正电的小球1用绝缘细线a悬挂在水平墙壁上，带负电的小球2用绝缘细线b悬挂在竖直墙壁上。两小球处于静止状态时，细线b水平，细线a与竖直方向的夹角为37°，小球1、2（均可视为点电荷）的连线与水平方向的夹角也为37°，小球1、2间的距离d=2m。已知小球1、2所带的电荷量大小分别为、，静电力常量，取重力加速度大小g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8。求： (1)小球1、2间的库仑力大小F库； (2)小球2的质量m2； 14．（24-25高二上·河北沧州·期末）如图所示，A、B、C三个质量均为、可视为质点的带电物体处于同一竖直平面内且三个物体的连线构成等边三角形，A、B两物体放在水平绝缘水平面上，三个物体恰好处于静止状态。已知A、B两物体的电荷量均为，物体C的电荷量为，静电力常量为，重力加速度为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。求： (1)等边三角形的边长； (2)绝缘水平面对A物体的支持力的大小； (3)A物体与绝缘水平面间的动摩擦因数。 15．（25-26高二上·河北·期末）如图，两绝缘细线上端分别固定在水平天花板上的A、B两点，下端均与一质量为m、带电荷量为（）的小球M相连，小球M静止于C点，CA、CB与竖直方向的夹角分别为37°和53°，在带电小球M右侧固定一小球N，小球N带电荷量大小可以调节，设为aq，两球距离为L，两球连线在水平方向上且与两细线在同一竖直平面内，固定小球N后，若小球M的位置没变化，k为静电力常量，，两球可视为点电荷，求a的取值范围。 16．（25-26高二上·甘肃定西·期中）如图所示，水平地面上有一绝缘圆弧面体，圆弧面光滑，质量为m、电荷量为的小球放置在圆弧面上，在圆弧面右侧有一竖直光滑绝缘细杆，杆上套着一质量也为m的带电铁环，已知铁环与小球的连线与竖直方向夹角，小球到细杆的距离为d，静电力常量为k，重力加速度为g，若此时圆弧面、小球与小铁环均保持静止，求： (1)小铁环所带的电荷量； (2)圆弧面体与地面间摩擦力的大小。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 7 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $