2.4 一元二次方程的应用 核心精练 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

2.4 一元二次方程的应用 核心精练2026-2027学年 北师大版九年级数学上册 一、单选题 1．中考在即，同学们要注意加强锻炼，保证睡眠，增强体质，抵抗病毒．据市疾控中心调查：有一种病毒，一人患病，经过两轮传染后共有144人患病，请你帮忙计算每轮平均一人传染（）人． A．人 B．人 C．人 D．人 2．在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400，设金色纸边的宽度为xcm（风景画四周的金色纸边宽度相同），则x的值为（    ） A．10 B．8 C．7 D．5 3．为了打造“清洁能源示范城市”，某地投入资金用于安装充电桩．已知第一年投入资金1200万元安装充电桩，预计第三年投入的资金为2700万元，设第二、三两年投入资金的年均增长率为x，可列出的方程为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在一块长，宽的矩形花园基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，设道路的宽为，若种植花苗的面积为，依题意列方程为（   ） A． B． C． D． 5．若一个两位数等于它的十位数字与个位数字和的平方的三分之一，且个位数字比十位数字大5，则这个两位数是（    ） A．27 B．72 C．27或16 D．或 6．由于春季气温回暖，某服装店从3月份开始对冬装进行“折上折”（两次打折数相同）优惠活动，已知一件原价1000元的冬装，优惠后实际仅需490元，设该店冬装原本打x折，则有（   ） A． B． C． D． 7．某职业学校，“礼仪小姐”培训班结业时，每个同学都要和培训班的其他同学照一张合影，摄影师共照了132次，如果设培训班共有x名同学，依题意，可列出的方程是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在长方形中，，，动点从点出发，以的速度沿着向点运动，同时动点从点出发以的速度沿向点运动，若其中一个动点到达终点，另一动点也同时停止．运动时间为，将四边形以直线为轴进行翻折，得到四边形，射线经过点时，可以是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．某种植物的主干长出若干个分支，每个支干又长出同样个数的小分支，主干、支干、小分支的总数是241，设每个支干长出小分支的个数是x，则可列方程为_________． 10．某校图书馆的藏书在两年内从5万册增加到万册，设图书馆的藏书平均每年增长的百分率是，可列方程____________． 11．一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，经统计所有人一共握了45次手，这次会议到会的人数是______人． 12．利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图1，是矩形的对角线，将分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若，则矩形的面积是______．    13．定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到这边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“豫点”．如图中，于E，，若点D是边上的“豫点”，则线段的长为________． 三、解答题 14．某中学团委爱心社组织学生为高三学生进行献爱心捐款活动．初三年级第一天收到捐款1000元，第三天收到1440元． (1)求这两天收到捐款的平均增长率． (2)按照（1）中的增长速度，第四天初三年级能收到多少捐款？ 15．一个两位数，个位数字比十位数字大4，把这个数的个位数字和十位数字对调后，得到新的两位数，原两位数与其十位数字的乘积加上10正好等于新的两位数，求原来的两位数． 16．如图是某月的日历，小明说：他用一个平行四边形框，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是 144，请求出最小数与最大数分别是多少．    17．如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止移动． (1)如果分别从同时出发，那么第几秒时，的面积等于？ (2)如果分别从同时出发，那么第几秒时，的长度等于？ 18．阅读下列材料，并解答问题： 赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程，即的方法．首先构造了如图1所示的图形，图中的大正方形面积是 其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得． (1)参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程的正确构图是_______；（从序号①②③中选择） (2)请你结合上述问题的学习，在图2的网格中设计用几何法求解方程的构图（类比图1标明相关数据），并写出解答过程； (3)构图序号①对应的方程是_____________________． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D A C A C D D 1．【答案】B 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】设每轮平均一人传染的人数为未知数，根据两轮传染后的总患病人数列一元二次方程，舍去不符合实际意义的负根后得到结果． 【详解】解：设每轮平均一人传染人， ∵最初有人患病， ∴第一轮传染后患病总人数为， 第二轮中每个现有患者再传染人，第二轮新增患病人， ∴两轮传染后患病总人数为， 根据题意列方程得：， 解得或， ∵传染人数为正整数， ∴舍去， ∴， 即每轮平均一人传染人． 2．【答案】D 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】设金色纸边的宽度为厘米，得到，进而得出结论． 【详解】设金色纸边的宽度为厘米， 则， 化简为：， 解得：（不合题意舍去），， 故选：D． 【点睛】本题考查用一元二次方程解决实际问题，正确列出方程是解题的关键． 3．【答案】A 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设第二、三两年投入资金的年均增长率为x，则第三年投入的资金为万元，据此列出方程即可． 【详解】解：设第二、三两年投入资金的年均增长率为x， 由题意得，， 故选：A． 4．【答案】C 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据在一块长，宽的矩形花园基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，设道路的宽为，得出种植花苗的长为，宽为，又因为种植花苗的面积为，故，即可作答． 【详解】解：∵在一块长，宽的矩形花园基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，设道路的宽为，且种植花苗的面积为， ∴， 故选：C 5．【答案】A 【知识点】数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设十位上的数字为，则个位上的数字为，根据“一个两位数等于它的十位数字与个位数字和的平方的三分之一”列出一元二次方程，解方程即可得出答案，理解题意，找准等量关系，正确列出方程是解此题的关键． 【详解】解：设这个两位数的十位数字为x，则个位数字为，根据题意得： ， 整理得， 解得，(不合题意，舍去)， ∴，， ∴这个两位数是27． 故选：A． 6．【答案】C 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】设该店冬装原本打x折，根据折上折的优惠规则，结合原价和最终实际售价，找出等量关系列出方程即可． 【详解】解：设该店冬装原本打x折． ∵打折时，打x折表示现价为原价的． 又∵本题为两次折扣相同的“折上折”，需要连续两次按计算价格． ∴原价1000元经过两次打折后价格为． ∵优惠后实际价格为490元， ∴可得方程． 7．【答案】D 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意是解题的关键． 设培训班共有x名同学，则每个人和人进行了合影，共次，因为甲与乙合影和乙与甲合影是同一张照片，所以每张照片被重复计算了一次，故总的合影次数为，据此列出方程即可． 【详解】解：设培训班共有x名同学， 依题意，可列出的方程， 故选：D． 8．【答案】D 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用)、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题 【分析】根据翻折的性质可得，由平行线的性质可得，结合射线经过点可推导出 ，从而得到，在 中利用勾股定理建立关于 的方程求解即可． 【详解】解：连接 四边形是长方形， ，， ． 由翻折的性质可知：， ∵射线经过点，即 三点共线， ， ， ． 由题意得：，， ． 在 中，， ， 解得 ，（舍去）． 点到达终点的时间为 ， ， 符合题意． 9．【答案】 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据“主干长出若干个分支，每个支干又长出同样个数的小分支，主干、支干、小分支的总数是241”列方程求解即可． 【详解】解：设每个支干长出小分支的个数是x， 根据题意，得， 故答案为：． 10．【答案】 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】设平均每年增长百分率为 ，根据题意，得． 本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握列方程是解题的关键． 【详解】解：设平均每年增长百分率为 ，依题意，得 ． 故答案为 ：． 11．【答案】10 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设这次会议到会的人数是x人，每个人都与其他人握手，共握手次数为，根据题意列方程． 【详解】解：设这次会议到会的人数是x人， 依题意得：， 整理得：， 解得，（舍去）． 答：参加这次会议的有10人， 故答案为：10． 12．【答案】30 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用)、根据矩形的性质求面积 【分析】设小正方形的边长为，利用、、表示矩形的面积，再用、、表示三角形以及正方形的面积，根据面积列出关于、、的关系式，解出，即可求出矩形面积． 【详解】解：设小正方形的边长为， 矩形的长为 ，宽为 ， 由图1可得：， 整理得：， ，， ， ， 矩形的面积为 ． 故答案为：30． 【点睛】本题主要考查列代数式，一元二次方程的应用，设出小正方形的边长列一元二次方程和整体代换是解题的关键． 13．【答案】或2 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、根据等角对等边求边长、用勾股定理解三角形 【分析】先求出，设，则，，再分三种情况：①点在上；②点与点重合，③点在上，利用勾股定理求出的值，再根据“豫点”的定义求出的值，两者建立方程，解方程即可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴，， ①如图，当点在上时，则， ∴， 在中，， ∵点是边上的“豫点”， ∴， ∴， 解得或（不符合题设，舍去）， ∴此时； ②如图，当点与点重合时，则， ∴，， ∴，这与点是边上的“豫点”矛盾，则的情形不存在； ③如图，当点在上时，则， ∴， 在中，， ∵点是边上的“豫点”， ∴， ∴， 解得或（不符合题设，舍去）， ∴此时； 综上，线段的长为或2． 14．【答案】(1) (2)1728元 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的应用，关键是读懂题意，找出题目中的等量关系，列出方程，注意把不合题意的解舍去． （1）设捐款的增长率为x，则第三天的捐款数量为元，根据第三天的捐款数量为1440元建立方程求出其解即可． （2）根据（1）求出的增长率列式计算即可． 【详解】（1）解：设捐款增长率为x，根据题意得： ， 解得：（舍去）． 答：捐款的平均增长率为． （2）根据题意得：（元）． 答：第四天初三年级能收到的捐款是元． 15．【答案】原来的两位数为26． 【知识点】数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】设原来的两位数十位上的数字为，根据“原两位数与其十位数字的乘积加上10正好等于新的两位数”列出一元二次方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设原来的两位数的十位数字为， ， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ， 答：原来的两位数为26． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际运用，读懂题意，正确列出一元二次方程是解题的关键． 16．【答案】最小数为8，最大数为18 【知识点】图表信息题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据日历中的数字规律，确定最大数与最小数是解题的关键．设最小数为x，根据题意，得到最大数为，列出方程为，解方程即可． 【详解】解：设最小数为x，根据题意，得到最大数为， ∴， 解得（舍去）． 故最小数为8，最大数为18． 17．【答案】(1)第1秒 (2)第0秒或2秒 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用)、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查动点问题，三角形的面积，一元二次方程的应用，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． （1）设第秒时，的面积为，得到，则，求出x的值即可； （2）设第秒时，的长度等于，由，得到，求出t的值即可． 【详解】（1）解：设第秒时，的面积为，此时， ∵， ∴， 整理得：， 解得：或（舍去）， 第1秒时的面积等于； （2）解：设第秒时，的长度等于， ∵， ∴， 解得：， 第0秒或2秒时，的长度等于． 18．【答案】(1)③ (2)解：如图， 图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，进一步可知大正方形的边长为8，所以，解得． (3)或 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、归纳与类比 【分析】（1）通过方程变形找到两个正数的积与差，验证构图结构，选出正确答案即可； （2）模仿材料的几何法，构造大正方形，利用面积和差列方程求解，再画图并标注； （3）分析构图的边长关系，大正方形由四个全等小矩形和中间小正方形组成，先从图中提取边长关系，再进一步推导对应的二次方程． 【详解】（1）解：方程可变形为，即每个小矩形面积为21，观察图形①②③，三个图形中小矩形面积分别为12，12，21，再进一步进行验证，可得方程的正确构图为③； （2）略； （3）解：由图①可设对应的方程为或，其中， ∴图①对应的方程为或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $