专题12 一元二次方程应用题分类训练02（销售动点道路日历方案5类40道）2026-2027学年九年级数学上册期末复习高频考题专项训练（新北师大版，重庆专用）

**基本信息** 聚焦一元二次方程应用题5类核心题型，通过40道题构建从实际情境抽象数量关系的建模训练体系，强化数学语言表达现实世界的应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |销售与利润|8道|含降价促销、利润计算等，涉及销量与价格关系|基于“利润=（售价-成本）×销量”构建方程，体现数学思维的运算能力| |几何动点存在性|8道|矩形、三角形中双动点运动，涉及线段长度、面积及等腰三角形存在性|通过运动时间变量表示线段，结合几何性质建立方程，培养几何直观| |几何图形道路|8道|矩形中修建道路（十字形、多横纵）求宽度，涉及面积关系|利用“总面积-道路面积=剩余面积”建模，发展空间观念| |日历问题|8道|方框、“回”字型、“Z”字型圈数，涉及日期规律|基于日历中日期差规律（横差1、竖差7）列方程，提升抽象能力| |方案问题|8道|含价格增长率、优惠方案选择、利润最大化等|综合运用方程与函数分析最优方案，强化模型意识与应用意识|

专题12 一元二次方程应用题分类训练02 （销售动点道路日历方案5类40道） 专题目录 【类型1 销售与利润】 1 【类型2 几何动点存在性问题】 8 【类型3 几何图形道路问题】 23 【类型4 日历问题】 31 【类型3 方案问题】 38 【类型1 销售与利润】 1．某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，为了适当增加销售，商店决定从第二周开始降价销售．根据市场调查，单价降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价．设单价降低元销售一周后，商店对剩余纪念品进行清仓处理，以每个4元的价格全部售出． (1)根据题意，填写如下表格： 售价（元个） 销售量（个） 第一周 10 200 第二周 第三周 4 (2)如果旅游纪念品共获利1250元，问：第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？ 【答案】(1) 售价 销售量 第一周 第二周 第三周 (2)9元 【分析】（1）根据题意进行求解即可； （2）根据“旅游纪念品共获利1250元”列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵单价降低1元，可多售出50个， ∴第二周的售价为元，销售量为个， ∵商店对剩余纪念品进行清仓处理，以每个4元的价格全部售出， ∴第三周的售价为4元，销售量为（个）； （2）解：由题意得，， 化简得：， 解得， ∴第二周售价 答：第二周旅游纪念品的销售价格为9元． 2．某商店为支持第三届“逐梦天姥”越野挑战赛，以每套300元的进价购进一批护膝．已知3月份每套护膝售价为440元时，售出了60套．4月份该商店决定降价支持越野赛，经调查发现，该护膝每降价10元，每月销售量就增加2套． (1)当每套护膝售价定为420元时，能售出多少套？ (2)当每套护膝售价多少元时，4月份售卖护膝可获利6800元？ 【答案】(1)套 (2)每套护膝的售价为400元 【分析】（1）根据该护膝每降价10元，每月销售量就增加2套列式计算即可； （2）设每套护膝降价元，根据4月份售卖护膝可获利6800元列方程求解即可． 【详解】（1）解：每套护膝售价为420元时，售出（套）； （2）解：设每套护膝降价元，则可列方程， 解得（舍去），． ． 答：每套护膝的售价为400元． 3．某商场将进货单价为40元的商品按50元售出时能卖出500个．经过市场调查发现，若这种商品售价每提高1元，其销售量就会少10个． (1)当售价定为54元时，求该商品销售的个数； (2)商场为了保证经营该商品赚得8000元的利润而又尽量兼顾顾客的利益，售价应定为多少元？ 【答案】(1)该商品销售的个数为460个 (2)售价应定为60元 【分析】（1）先算出提高的价格，用原来的销售量减去减少的销售量即可； （2）设售价提高了元，然后将单件利润和数量表示出来，根据“总利润单件利润数量”列一元二次方程求解． 【详解】（1）解：当售价定为54元时，商品售价较元提高元， ∴销售量为（个）； （2）解：设售价提高了元，则利润为元／个， 销售数量为个， 根据题意，得， 解得或， ∵要兼顾顾客的利益， ∴， 则售价为（元）． 4．某花圃用花盆培育某种花苗，经试验发现，每盆花的盈利与每盆株数存在一定的关系：每盆植入株时，平均单株盈利元；以同样的栽培条件，若增加花苗株数，每盆平均单株盈利（元）与每盆的总株数（株）成如图所示的一次函数关系． (1)每盆种植株时，平均单株的盈利是多少元？ (2)若要求每盆花苗超过株，且每盆的盈利为元，则每盆应种植多少株？ 【答案】(1)株时，平均单株的盈利是元 (2)或株 【分析】（1）设一次函数表达式为，根据待定系数法解题； （2）根据题意，，将（1）中的代入解方程即可． 【详解】（1）解：设一次函数表达式为， 代入和， 有， 解得 ∴函数表达式为， 当时，， 即每盆种植株时，平均单株的盈利是元； （2）解：根据题意，得， ， 整理得， ， 解得，，且都符合题意， 即每盆应种植或株． 5．某科技公司推出的数学画图软件深受用户喜爱，上线第天的用户为万人，由于功能持续优化，用户数量稳步增长，到第天用户达到万人． (1)求该软件用户前三天的日平均增长率． (2)公司推出会员优享业务，当会员价为元/月时，平均每天有名用户开通会员；月会员价每提高元，每天开通会员的用户就减少名． ①若公司希望每天的会员优享业务收入达到元，求会员价应为多少元/月？ ②公司每天的会员优享业务收入能否达到元？请说明理由． 【答案】(1)该软件用户前三天的日平均增长率为； (2)①会员价应为34元/月或36元/月； ②公司每天的会员优享业务收入不能达到元，理由如下： 设会员价在元/月的基础上提高n元/月，公司每天的会员优享业务收入为W元， 由题意得， ， ∵， ∴， ∴，即， ∴公司每天的会员优享业务收入不能达到元． 【分析】（1）设该软件用户前三天的日平均增长率为x，根据第一天用户量和第三天的用户量建立方程求解即可； （2）①设会员价在元/月的基础上提高m元/月，根据每天的会员优享业务收入达到元建立方程求解即可；②设会员价在元/月的基础上提高n元/月，公司每天的会员优享业务收入为W元，可求出，根据偶次方的非负性可推出，据此可得结论． 【详解】（1）解：设该软件用户前三天的日平均增长率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：该软件用户前三天的日平均增长率为； （2）解：①设会员价在元/月的基础上提高m元/月， 由题意得，， 整理得， 解得或， ∴或， 答：会员价应为34元/月或36元/月； ②略 6．某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价，据测算，若每箱饮料每降价1元，每天可多售出20箱，针对这种饮料的销售情况，请解答以下问题： (1)当每箱饮料降价3元时，这种饮料每天销售获利多少元？此时能销售多少箱？ (2)在每箱饮料获利大于8元的情况下，要使每天销售饮料获利1400元，问每箱应降价多少元？ (3)每天销售饮料获利能达到1600元吗？若能，求出此时应降价多少元；若不能，说明理由． 【答案】(1)每天销售获利1440元．此时能销售160箱； (2)每箱应降价2元； (3)每天销售饮料获利不能达到1600元． 【分析】（1）根据每箱利润×销售总箱数=每天销售总利润直接代入降价数值计算即可； （2）根据总利润列一元二次方程求解，再结合每箱获利大于8元的限制条件舍去不符合的解，得到结果； （3）列出方程后，通过根的判别式判断方程是否存在实数根，即可得出结论． 【详解】（1）解：销售量：（箱）， 总获利：（元）； （2）解：设每箱饮料降价元， 则每天的销售量为箱，每箱利润为元，总获利为． 根据题意列方程得， 整理得， 解得，． ∵要求每箱饮料获利大于8元， ∴，即， ∴不符合要求，舍去，仅取． 答：每箱应降价2元； （3）解：假设每天获利能达到1600元， 根据题意列方程得， 整理得， 其中，，， ∴， ∴该方程没有实数根， ∴每天销售饮料获利不能达到1600元． 答：每天销售饮料获利不能达到1600元． 7．某食品零售店为食品厂代销一种面包，未售出的面包可退回厂家，经统计销售情况发现，当这种面包单价定为7元时，每天卖出160个，在此基础上，这种面包单价每提高1元，该零售店每天就会少卖出20个，该零售店每个面包的成本是5元． (1)如果每天卖出面包100个，那么这种面包的单价定为多少？这天卖面包的利润是多少？ (2)如果每天销售这种面包获得的利润是480元，那么这种面包的单价是多少？ 【答案】(1) 这种面包的单价定为10元，这天卖面包的利润是500元； (2) 这种面包的单价是9元或11元. 【分析】（1）根据单价变化与销量变化的关系列一元一次方程求出单价，再利用总利润=单个利润×销售量计算总利润； （2）根据总利润的等量关系列一元二次方程，求解得到面包单价． 【详解】（1）解：设这种面包的单价定为元， 根据题意得， 解得 ， 则总利润为（元）， 答：这种面包的单价定为10元，这天卖面包的利润是500元． （2）解：设这种面包的单价定为元， 根据题意得 ， 解得， ， 答：这种面包的单价是9元或11元． 8．根据以下销售情况，解决销售任务． 销售情况分析 总公司将一批衬衫由甲、乙两家分店共同销售，因地段不同，它们的销售情况如下： 店面 甲店 乙店 日销售情况 每天可售出20件，每件盈利40元． 每天可售出32件，每件盈利30元． 市场调查 经调查发现，每件衬衫每降价1元，甲、乙两家店一天均可多售出2件．现两店每件衬衫同时降价元． 任务解决 (1)任务1：降价后，甲店每天的销售量为 件（用含的代数式表示）； (2)当时，求甲店每天的盈利； (3)当每件衬衫降价多少元时，甲乙两店一天的盈利和为2244元． 【答案】(1) (2)1050元 (3)11元 【分析】（1）根据原销量加上降价增加的销量，列出含a的代数式； （2）根据总盈利=每件盈利×销售量，代入计算得到甲店盈利； （3）根据总盈利为甲乙两店盈利之和，设未知数列出一元二次方程，解方程得到降价金额． 【详解】（1）解：已知甲店原每天售出20件，每件降价1元多售出2件，现降价元，因此多售出件， ∴降价后甲店每天的销售量为件； （2）解：当时，甲店每件盈利为元，销售量为件， ∴甲店每天的盈利为（元）； （3）解：设每件衬衫降价元时，甲乙两店一天的盈利和为2244元． 根据题意列方程得：， 整理得：， 即， 解得， 答：当每件衬衫降价11元时，甲乙两店一天的盈利和为2244元． 【类型2 几何动点存在性问题】 9．如图，在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果、分别从、同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为秒． (1)填空： ， ．（用含的代数式表示） (2)当五边形的面积等于时，求此时的值． (3)是否存在的值，使线段的长度最小，若存在，请求出此时的值和最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当五边形的面积等于104cm2时，此时的值为1 (3)存在，当时，线段的长度最小，最小值为 【分析】（1）根据P、Q两点的运动速度可得、的长度； （2）根据五边形的面积等于，代入相应数据解方程即可； （3）根据勾股定理求得，再根据配方法，求得最小值，即可求解． 【详解】（1）解：∵点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动， ∴； ∵P从点A开始沿边向终点B以的速度移动， ∴， ∵， ∴， （2）解：， ， ，， ， 整理得：， 解得：， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； ∴当五边形的面积等于104cm2时，此时的值为1． （3）解：， ∵， ∴， ∴当时，线段的长度最小，此时． 10．如图，在中，，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿的方向运动，且速度为，点从点开始沿的方向运动，且速度为，，两点同时出发，当运动到点时，两点停止运动，设运动的时间为秒． (1)________（用含的代数式表示）； (2)点在边上运动时．当是等腰三角形时，求出此时的值． (3)点在边上运动时，当是以或为底边的等腰三角形时，求出此时的值． (4)点在运动过程中，通过计算说明能否把的周长平分？ 【答案】(1) (2) (3)11，12 (4)可以 【分析】本题围绕三角形中的动点问题，结合等腰三角形性质与一元一次方程应用展开．需分情况讨论点Q的位置（段、段），利用线段长度关系、等腰三角形的边相等条件建立方程求解；对于周长平分问题，需分析各段路径下线段和的关系来判断是否存在满足条件的． 【详解】（1）点从向运动，速度为，运动时间为，则． 已知，由，可得． （2）点从向运动，速度为，， 故在上时，运动时间满足． 当是等腰三角形时，，则两腰为与 由，，令， 即， 解得． 验证：，符合在上的条件． （3）当是以为底边的等腰三角形时： 此时，腰为． 如图1，则． ∵， ∴． 又∵ 在中，， ∴． ∴． ∴． ． 已知点的速度为，故． 当是以为底边的等腰三角形时： 此时，腰为． 如图2，则． ． ∴． 综上所述，当t为11或12时，是以或为底边的等腰三角形． （4）周长为，若平分周长，则每部分为． 若在上，（）： ，，则， 令，得，但，不符合在上的条件． 若在上（）： ，． 周长被分成和， 即，与． 令，得（符合）； 验证：时，，，和为； ，，，和为，确实平分． 【点睛】本题核心是利用动点的速度与时间表示线段长度，结合等腰三角形的边相等性质建立方程，同时注意分类讨论点的位置（段、段）及等腰三角形的底边情况．周长平分问题需明确周长的组成与分割方式，通过方程求解并验证范围合理性． 11．如图，，，为矩形的四个顶点，，，动点，分别从点，同时出发，点以的速度向点移动，一直到达点为止，点以的速度向点移动，当点到达点时点随之停止运动，设运动时间为． (1)为多少时，四边形的面积为； (2)为多少时，点和点的距离为． (3)，同时出发，直接写出为何值时，以，，为顶点的三角形为等腰三角形． 【答案】(1)； (2)为或； (3)或或或． 【分析】（1）利用梯形的面积计算公式，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值； （2）过点作于点，则，利用勾股定理，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． （3）分、、三种情况讨论，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：，，动点，分别从点，同时出发，点以的速度向点移动，点以的速度向点移动，设运动时间为． ，，，， 四边形的面积为， ， 解得：， 当为5时，四边形的面积为； （2）解：如图1，，，，为矩形的四个顶点，过点作于点， ， ， 四边形是矩形， ，， ， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：，， 当为或时，点和点的距离为； （3）解：当时，过作，如图2， 四边形是矩形， ， ，， ，， 四边形是矩形， ， ， 解得：； 当时，过作于，如图3， 同理可证：四边形是矩形， ，，， ， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：或； 当时，如图4， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：或（不合题意，舍去）， 综上所述，或或或时，以，，为顶点的三角形为等腰三角形． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用、矩形的性质以及勾股定理，解题的关键是根据题意正确列出方程． 12．如图所示，中，，，．点P从点A开始沿边向B以速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，P、Q分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t秒． (1)几秒后，的长度等于？ (2)线段能否将分成面积的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由． 【答案】(1)或 (2)能， 【分析】本题考查了勾股定理，一元二次方程的应用； （1）根据题意得，，由勾股定理得，据此列出方程求解即可； （2）分类讨论：当时，当时，分别列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得 ，， ， ， 解得，， 故或后，的长度等于． （2）解：能； ， ； 当时， ， ， 整理得， 解得； 当时， ， ， 整理得， ， 此时方程无实数解， 故此种情况不存在； 综上所述：当时，线段能将分成面积的两部分． 13．如图，中，，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为，点N的速度为．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动． (1)点M、N运动几秒后，M、N两点重合？ (2)点M、N运动几秒后，可得到等边三角形？ (3)在点M、N运动过程中，能否得到以A、B、C其中一个点为顶点，以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时M、N运动的时间． 【答案】(1)12秒 (2)4秒 (3)能，4秒或8秒或16秒或秒 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质以及勾股定理，一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，熟练掌握等边三角形的性质以及勾股定理是解题的关键． （1）设点M、N运动t秒后，M、N两点重合，根据题意，列出方程，即可求解； （2）设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形，根据等边三角形的性质可得，列出方程，即可求解； （3）分两种情况，结合等边三角形的性质以及勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：设点M、N运动t秒后，M、N两点重合， 由题意得，， 解得：； （2）解：设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形， 如图1， 根据题意得：， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 解得：， ∴点M、N运动4秒后，可得到等边； （3）解：由（2）得，点M、N运动4秒后，可得到等边， 即是以为底边的等腰三角形， 当点M、N在边上运动时，可以得到以为底的等腰三角形， 当秒时，为以为底的等腰三角形， 由（1）知12秒时M、N两点重合，恰好在C处， 如图2，假设是等腰三角形， ∴， ， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 在和中， ∴ ∴， 设当点M、N在边上运动时，M、N运动的时间y秒时，是等腰三角形， ∴， 由题意得，， 解得：． 如图3，当时，过点B作于H， ∵， ∴，， 在中，， 即， 解得： （负值舍去）， 综上所述，以为底边的等腰三角形时，M、N运动的时间为4秒或8秒或16秒或． 14．如图，在四边形ABCD中，，动点、分别从A、B同时出发，点以每秒3个单位的速度沿着折线先由向运动，再由向运动，点以每秒1个单位的速度由向运动，当其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为秒． (1)两平行线与之间的距离是______． (2)当点P、Q与的某两个顶点围成一个平行四边形时，求的值． (3)以，为一组邻边构造平行四边形，若的面积为，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】此题主要考查了勾股定理，直角三角形的性质以及平行四边形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． （1）过点作于点，由勾股定理可得出答案； （2）分两种情况，由平行四边形的对边相等列方程解答即可； （3）分两种情况，利用平行四边形的面积列出的方程可得出答案． 【详解】（1）解：过点作于点， ∵， ， ∴， ∴， ， 故答案为：； （2）解：在中， ∵， ， ∴， ∴， ①当四边形为平行四边形时， ， ∴， ∴， ②当四边形为平行四边形时， ， ∴， ， 综上所述当点、与的某两个顶点围成一个平行四边形时，或； （3）解：①当在边上时，过点作于点， ∵，， ∴， ∴， ∴， ， 解得 (舍去)， ②当在边上时， ， 解得； 综上所述或时，平行四边形的面积为． 15．如图，在中，，，，点从点开始沿边运动，速度为．与此同时，点从点开始沿边运动，速度为．当点到达点时，点同时停止运动．连接，设运动时间为，的面积为． (1)用含的代数式表示：______cm，______cm； (2)当为何值时？ 【答案】(1)t； (2) 【分析】本题考查一元二次方程的应用、列代数式，理解题意，正确列方程是解答的关键． （1）根据题意以及路程、速度和时间的关系求解即可； （2）利用三角形的面积公式列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，，， ∴， 故答案为：t，； （2）解：∵， ， ， ， 或 ， ， ． 16．如图，在中，，，．现有动点从点出发，沿向点方向运动，动点从点出发，沿线段向点方向运动．如果点的速度是，点的速度是，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动的时间为，，求： (1)当为多少秒时，两点之间的距离是？ (2)用含的代数式表示的面积； (3)当为多少秒时，？ 【答案】(1)3秒或5秒 (2) (3)2秒或3秒 【分析】（1）若运动的时间为，则，利用勾股定理，即可求出的长； （2）若运动的时间为，则，利用三角形的面积公式，即可求出； （3）利用三角形的面积公式，结合，即可得出关于的一元二次方程，解之即可求出的值． 【详解】（1）解：若运动的时间为，则， ， ， 即， 解得， 答：当为3秒或5秒时，两点之间的距离是； （2）解：若运动的时间为，则， ， 的面积； （3）解：根据题意得： ， 解得， 答：当为2秒或3秒时，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式、代数式求值以及勾股定理，解题的关键是：（1）利用勾股定理求出的长；（2）根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 【类型3 几何图形道路问题】 17．某镇政府规划在新城区政府大楼前建设一块长a米，宽b米的长方形草坪，并计划在该草坪上修筑宽都为2米的两条互相垂直的人行道（如图）． (1)用含a，b的代数式表示两条人行道的总面积； (2)若已知，并且四块草坪的面积之和为2204平方米，试求原长方形的长与宽各为多少米？ 【答案】(1)平方米 (2)长为60米，宽为40米 【分析】（1）直接根据题意列代数式即可； （2）设，则，根据题意，得，然后解方程求得x值即可解答． 【详解】（1）解：∵两条人行横道的长分别为a米和b米，宽均为2米， ∴人行横道的面积为平方米； （2）解：∵， ∴设，则， 根据题意，得 解得或（舍去） ∴，， 答：原长方形的长为60米，宽为40米． 18．如图，一块长米、宽米的长方形户外草坪，规划了两横两纵等宽的石板小径（阴影部分），石板小径的总面积占草坪总面积的，求石板小径的宽度为多少米． 【答案】石板小径的宽度为1米 【分析】设石板小径的宽度为米，根据题意非阴影部分的面积可以看成是一个长为米，宽为米的长方形的面积，据此建立方程求解即可． 【详解】解：设石板小径的宽度为米， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 答：石板小径的宽度为1米． 19．如图，为深化劳动教育实践，某校计划将原长、宽的矩形劳动实践基地扩建为矩形，使其总面积达到．经规划测量，确定扩建时长与宽增加的长度之比为（即）． (1)求长和宽各增加了多少米？ (2)扩建后，为便于管理，准备在基地内修建一横一纵两条宽均为的十字形小路，剩余部分为试验园地，求试验园地的面积． 【答案】(1)长增加了，宽增加了 (2) 【分析】（1）设，则，根据扩建后总面积达到，列方程求解即可； （2）根据平移的性质将试验园地的面积变为矩形求解即可； 【详解】（1）解：设，由得， 扩建后矩形的长为，宽为， 根据总面积列方程：，整理得：， 解得：，（长度不能为负，舍去）， 因此，， 即长增加了，宽增加了； （2）解：由（1）得，扩建后矩形的长为，宽为， 将十字小路平移到矩形边缘，剩余试验园地为矩形，长和宽各减少小路宽度， 因此试验园地面积为：． 20．智慧农业是以物联网、大数据、人工智能为核心的新型农业形态，通过农业传感器和北斗导航系统、智能农机装备和智能机器人实现精准高效地作业．智慧农业领域某品牌的智能机器人今年1月份销售量为3万台，随着智慧农业的不断推广，销量不断增长，该品牌智能机器人的销售量逐月递增，3月份的销售量达到5.07万台． (1)求从1月份到3月份该品牌智能机器人销售量的月平均增长率 (2)为了降低成本和提高采摘效率，小明家的果园也引进了一台智能机器人帮助采摘某种水果．如图，为了方便智能机器人和工人采摘水果，计划在一块长、宽的矩形果园上修建三条道路，道路的宽度都相等，道路将果园分成面积均为的6个小矩形．求道路的宽度． 【答案】(1) (2)道路宽度为 【分析】（1）设从1月份到3月份该品牌智能机器人销售量的月平均增长率为，然后根据题意列方程求解即可； （2）设道路宽度为．然后根据题意列一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设从1月份到3月份该品牌智能机器人销售量的月平均增长率为， 则 解得（不合题意，舍去） 答：从1月份到3月份该品牌智能机器人销售量的月平均增长率为． （2）解：设道路宽度为． 依题意得， 解得（不合实际，舍去）． 答：道路宽度为． 21．如图是某小型停车场的平面示意图，从“入口”至“出口”均是车道，停车场的长为21米，宽为18米，停车场内车道宽度都相等，若停车位的占地面积为180平方米，求车道宽度． 【答案】车道宽度为6米 【分析】设车道宽度为x米，依题意列出一元二次方程，求出x的值，并判断是否符合题意即可． 【详解】解：如图 设车道宽度为x米，依题意，得 ， ， 解得（不符合题意，舍去）， 答：车道宽度为6米． 22．庐阳区城管部门推进“口袋公园”建设，提升居民生活幸福感．某口袋公园外围规划为长方形，长30米，宽18米，内部设计等宽步行道，剩余区域为绿化种植区．工作人员发现，步行道宽度直接影响绿化面积，若绿化种植区总占地面积为220平方米，求步行道的宽． 【答案】步行道的宽为8米 【分析】根据“绿化种植区总占地面积为220平方米”列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：根据题意得， 解得（舍去）， 答：步行道的宽为8米． 23．天津素称“月季之乡”．花虹园区在长为10米，宽为8米的矩形土地上修建同样宽度的两条道路（互相垂直），其余部分种植月季花球盆栽，并使种植花卉的总面积为63平方米，修建方案如图所示． (1)利用你所学的有关图形运动的知识，求道路的宽度； (2)某盆栽供应商的进货价为每盆30元，销售价为每盆60元，花节期间平均每天可以售出20盆．花节落幕后降价出售，经市场调查发现：如果每盆降价3元，那么平均每天就可多出售6盆．设每盆降价x元． ①降价后每盆的利润是__________元；每天卖出__________盆；（用含的代数式表示） ②供应商想要达到每天750元的盈利，同时让购买者得到实惠，求每盆应降价多少元？ 【答案】(1)道路宽为1米 (2)①；②每盆应降价15元 【分析】本题考查了与图形有关及销售利润相关的一元二次方程的应用，理解题意，根据等量关系列出方程是解题的关键． （1）设道路宽为米，根据种植花卉的总面积为63平方米，列出方程并求解即可； （2）①根据销售价减降价再减进价即可得利润；降价前卖出的盆数加上因降价而增加的销售量，即是现在每天卖出的盆数； ②根据：每盆的利润乘每天的销售量，结合①中的数据，列出方程并求解即可． 【详解】（1）解：设道路宽为米， 由题意，得：， 整理得：， 解得：； ∵当时，， ∴不符合题意， ∴； 答：道路宽为1米； （2）解：①降价后每盆的利润是元； 每天卖出盆； 故答案为：； ②由①得：， 整理得：， 解得：； 为让购买者得到实惠，应取； 答：为让购买者得到实惠，每盆应降价15元． 24．综合与实践 在国庆假期期间，小明返回家乡，协助爷爷在一块矩形的空地上规划并建造一个花园．以下是小明对花园规划设计的过程． 爷爷要求小明构思一种规划方案，小明结合九年级所学知识，设计了甲、乙两种方案（其中阴影部分为花园）． (1)爷爷考虑之后，决定从甲、乙两种方案中选择一种进行建造． ①若甲方案中花园周围小路的宽为，则花园的长可以表示为_____，宽可以表示为_____（用含有的代数式表示）； ②若乙方案中花园宽为，则花园区域的面积可以表示为_____（用含有的代数式表示）． (2)经过综合考虑，爷爷决定选择甲方案进行花园的建造，并且确保花园面积恰好占据矩形空地的一半，请计算花园周围小路的宽度是多少？ (3)为了保证花园的美观，且防止家中的家禽进入花园．爷爷决定在花园较长的一侧种植观赏竹，观赏竹种植区域的长为，另外三边用篱笆围起来（如图丙）． 若篱笆的总长度为，为方便打理花园，需要在花园较长的另一侧装一个宽的门．设垂直于观赏竹区域的篱笆长为，平行于观赏竹区域的篱笆长为． ①求关于的函数关系式； ②若篱笆围成的矩形面积为，求篱笆围成的区域的长和宽分别是多少？ 【答案】(1)①， ② (2)花园周围小路的宽度是； (3)① ②篱笆围成的区域的长和宽分别是和 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、一次函数的应用、矩形的性质，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． （1）①依据题意，由甲方案中花园周围小路的宽为，则花园的长可以表示为，宽可以表示为，即可得解； ②依据题意，由乙方案中花园宽为，则花园区域的面积为：，进而计算可以得解； （2）依据题意，设甲方案中花园周围小路宽为，空地面积为，又花园面积为空地的一半即，则，进而得解； （3）①依据题意得，，则； ②依据题意，由垂直于观赏竹区域的篱笆长为，则，求出后分类讨论计算可以得解． 【详解】（1）解：①甲方案中花园周围小路的宽为， 则花园的长可以表示为，宽可以表示为． 故答案为：，． ②由题意得：花园区域的面积可以为：． 故答案为：． （2）根据题意得：， 整理得：， 解得或（舍去）． 花园周围小路的宽度是． （3）①根据题意得：， ， 关于的函数关系式． ②由矩形的面积公式得：， 整理得：， 解得或． 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ，． 篱笆围成的区域的长和宽分别是和． 【类型4 日历问题】 25．如图，这是一张2026年1月的月历表．在此月历表上可以用一个正方形框任意圈出4个数（如2，3，9，10）． (1)若圈出的4个数中最小的数为x，则最大的数为________．（用含x的代数式表示） (2)在小组活动中，小丽通过计算，得到框出的4个数之和为45．小颖认为小丽一定算错了．小颖的说法正确吗？说明理由． (3)若圈出的4个数中最大的数与最小的数的乘积为105，求这4个数中最小的数． 【答案】(1) (2) 小颖的说法正确，理由如下： 设圈出的4个数中最小的数为m，则其他三个数分别为， ∵框出的4个数之和为45， ∴， 解得：， 根据题意得：m为整数， ∴不符合题意， ∴小丽一定算错了，小颖的说法正确． (3)7 【分析】（1）根据月历表的特点列式即可； （2）设圈出的4个数中最小的数为m，则其他三个数分别为，根据题意列出方程，解方程即可得到答案； （3）设圈出的4个数中最小的数为，则最大的数为，根据题意可得方程，解方程即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意得，圈出的4个数中最小的数为，则最大的数为； （2）略 （3）解：设圈出的4个数中最小的数为，则最大的数为， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得或（舍去）， ∴这4个数中最小的数为7． 26．2026年4月5日是我国的传统节日清明节，又称踏青节、行清节、三月节、祭祖节等，在每年4月4日至6日之间，是祭祀、祭祖和扫墓的节日．清明节源自上古时代的祖先信仰与春祭礼俗，兼具自然与人文两大内涵，既是自然节气点，也是传统节日．清明节与春节、端午节、中秋节并称为中国四大传统节日．在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示）．若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为153，求这个最小数．（请用方程知识解答） 【答案】最小数为9 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用． 先根据题中图表，找到最小数与最大数之间的关系，设四个数中最小数为x，则最大数为，再根据题意，建立方程并解这个一元二次方程，最后舍去负数，即可得到结果． 【详解】解：设四个数中最小数为x，则最大数为， 由题意得：， 整理得：， ∴， 即 解得：，（舍） 答：最小数为9． 27．小颖同学积极参加“垃圾分类”宣传，为防止遗忘，她把要参加的日期在月历表上涂黑．已知这个月她要参加8天，将要参加的日期涂黑后恰好得到如图中的一个“回”字型． (1)若涂黑的8个数中最小数与最大数的积为161，求这8个数字的和； (2)这8个数字的和能否是192？请简要说明理由． 【答案】(1)120 (2) 设最小的数为，则这个数的和为 化简得． 若和为192，则 解得． 此时最大的数为，但月历中最大日期为31，不符合实际， 所以这个数字的和不能是192． 【分析】本题考查了一元二次方程在月历日期问题中的应用，解题的关键是找出月历中“回”字型8个数的数量关系，通过设未知数建立方程求解． （1）设最小数为，则最大数为，根据最小数与最大数的积为161列一元二次方程，求解得最小数，进而确定8个数并求和． （2）设最小数为，表示出8个数的和为，令其等于192，求解，再根据月历最大日期判断是否符合实际． 【详解】（1）解：设最小的数为，则最大的数为． 根据题意，， 解得或（日期不能为负，舍去）． 所以这个数分别是、、、14、16、21、22、23． 它们的和为． （2）略 28．如图，这是2024年12月的月历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，设这四个数从小到大依次为a，b，c，d，请解答下列问题． (1)若用表示最小的数，则 ， ， （用含的式子表示）． (2)若虚线方框中的最大数与最小数的乘积与这四个数的和为656，求最小的数． 【答案】(1) (2)最小的数为20 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据等量关系列方程是解题的关键． （1）观察日历表即可推出； （2）根据最大数与最小数的乘积与这四个数的和为656，列出方程即可推理． 【详解】（1）解：观察图形可得， 故答案为：； （2）解：设最小的数为，则． 由题意可得，整理得， 解得（舍去）， 最小的数为20． 29．如图是2024年11月的月历表，用一个方框在表中圈出六个数（如图所示），若圈出的六个数中，最小的数与最大的数的乘积为112，求这个最大的数．（请用方程知识解答） 【答案】这个最大的数为16 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． 设这个最大的数为，则最小的数为，根据圈出的四个数中最小数与最大数的积为112列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：设这个最大的数为，则最小的数为， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：这个最大的数为16． 30．年月日是建党一百零三周年，在本月日历表上可以用一个方框圈出个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为，求这个最小数．（请用方程的知识解答） 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设圈出的四个数中最小数为，则最大的数为，根据圈出的四个数中最小数与最大数的积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可求解． 【详解】解：．设圈出的四个数中最小数为，则最大的数为， 根据题意得： ， ， ， ， ， (不合题意舍去)， 这个最小数是． 31．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图①是2024年9月份的日历，用如图所示的“Z”字型框架任意框住月历中的5个数（如图①中的阴影部分），如图②，将“Z”字型框位置B、D上的数相乘，位置A、E上的数相乘，再相减，例如：在图①中，，，不难发现，结果都等于15． 如图②，设日历中所示图形中位置C的数字为x． (1)图②框中其余四个数用含x的代数式可以表示为__________，__________，__________，__________． (2)用含x的式子表示发现的规律__________． (3)利用整式的运算对（2）中的规律加以证明． (4)如图②，在某月历中，“Z”字型框框住部分（阴影部分）5个位置上的数，若最小的数和最大的数的乘积为161，则中间C位置上的数为__________． 【答案】(1)，，， (2) (3) ； (4)15 【分析】本题考查列代数式，整数的乘法，一元二次方程的应用． （1）由日历可发现：位置B的数字比位置C的数字少7，位置A的数字比位置C的数字少8，位置D的数字比位置C的数字多7，位置E的数字比位置C的数字多8，据此即可解答； （2）根据题意列出式子即可； （3）运用平方差公式展开后，合并同类项即可得证； （4）由题意可得方程，求解后根据x的取值进行取舍即可解答． 【详解】（1）解：∵位置C的数字为x， ∴位置B的数字为， 位置A的数字为， 位置D的数字为， 位置E的数字为． 故答案为：，，， （2）解：规律为：； 故答案为： （3）略 （4）解：∵最小的数和最大的数的乘积为161， ∴， 解得， ∵x为正整数， ∴． 即中间C位置上的数为15． 故答案为：15 32．如图是某月的日历，小明说：他用一个平行四边形框，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是119，请求出最小数与最大数分别是多少． 【答案】最小数为7，最大数为17 【分析】设最小数为x，根据题意，得到最大数为，列出方程为，解方程即可．本题考查了一元二次方程的应用，根据日历中的数字规律，确定最大数与最小数是解题的关键． 【详解】解：设最小数为x，根据题意，得到最大数为， ∴， 解得（舍去）． 故最小数为7，最大数为17． 【类型3 方案问题】 33．学校文创社设计了一款特色笔记本，作为校园文化节的纪念品．最初以每本20元的成本价生产了一批．在试销阶段，第一个月定价为每本25元，售出120本，随后两个月对价格进行了上调，两次价格上调的百分率相同，最终第三个月定价为每本36元，此时每月售出100本． (1)这款笔记本每次（每月）的价格增长率为________； (2)文创社为了在第四个月扩大影响、清空库存，决定进行促销．学生通过市场调查发现：在第三个月销量的基础上，售价每降低1元，每月可多售出10本，请问：当降价多少时，可以使第四个月的利润达到1530元． (3)文创社现有两种销售方案： 方案A 方案B 按第（2）问中求出的售价进行销售． 在售价不低于成本的前提下，采取“每卖出一本就向校园公益基金捐赠2元”的方式销售，这一方式可以使每月销量在第（2）问的促销模型基础上再增加20本． 如果你是文创社社长，你会选择哪种方案？请从利润、清仓速度、社会效益等角度比较方案A和方案B，综合说明理由． 【答案】(1) (2)7 (3)B 【详解】（1）解：设每次价格增长率为r， 由题意得：， ， ， （舍去）， 答：增长率为； 故答案为：． （2）解：设降价x元，则售价为元，销量为本， 每本的利润为元， 由题意得：， 整理得：， 解得：或（舍去）， 答：应降价7元，才能使第四个月的利润达到1530元； （3）解：方案A售价（元），销量170本，利润（元）， 方案B设售价降低x元（），售价元，销量本，每本利润元，总利润， 设利润为元，则， 配方得：， 当时利润最大为1690元，此时售价35元，销量130本， 方案B最大利润1690元元，且捐赠（元）有社会效益， 方案A清仓速度较快（销量170本＞130本），但方案B利润更高且有益社会，综合选择方案B． 34．果农李明种植的草莓计划以每千克15元的单价对外批发销售，由于部分果农盲目扩大种植，造成该草莓滞销．李明为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克元的单价对外批发销售． (1)求李明平均每次下调的百分率； (2)小刘准备到李明处购买3吨该草莓，因数量多，李明决定再给予两种优惠方案以供其选择：方案一：打九折销售；方案二：不打折，每吨优惠现金400元．试问小刘选择哪种方案更优惠，请说明理由． 【答案】(1) (2) 解：小刘选择方案一购买更优惠， 理由：方案一所需费用为：（元）， 方案二所需费用为：（元）， ∵， ∴小刘选择方案一购买更优惠． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，有理数乘法的实际应用： （1）设平均每次下调的百分率为x，根据经过两次下调后，以每千克元的单价对外批发销售列出方程求解即可； （2）根据所给优惠方案分别求出两个方案的费用即可得到答案． 【详解】（1）解：设平均每次下调的百分率为x， 由题意，得， 解这个方程，得， ∵降价的百分率不可能大于1， ∴不符合题意， 符合题目要求的是， 答：平均每次下调的百分率是． （2）略 35．年4月日是第八个“中国航天日”，主题是“格物致知，叩问苍穹”．某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十六号”模型．已知该模型平均每天可售出个，每个盈利元．为了扩大销售、增加盈利，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，发现每个模型的售价每降低1元，平均每天可多售出2个． (1)若每个模型的售价降低4元，平均每天可售出________个模型； (2)在每个模型的利润不少于元的前提下，要使该模型平均每天的销售利润为元，每个模型的售价应降低多少元？ (3)该模型平均每天的销售利润能达到元吗？如果能，请写出降价方案；如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)降低元 (3) 该模型平均每天的销售利润不能达到元，理由如下： 假设该模型平均每天的销售利润能达到元，设每个模型的售价应降低y元，则每个模型的销售利润为元，平均每天可售出个模型， 根据题意得： 整理得：， ∵， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立，即该模型平均每天的销售利润不能达到元． 【分析】本题考查了营销问题(一元二次方程的应用)，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据“每个模型的售价每降低1元，平均每天可多售出2个”求解； （2）设每个模型的售价应降低x元，根据题意列出一元二次方程求解； （3）假设该模型平均每天的销售利润能达到元，设每个模型的售价应降低y元，则每个模型的销售利润为元，平均每天可售出个模型，根据题意列出一元二次方程求解． 【详解】（1）解：∵每个模型的售价每降低1元，平均每天可多售出2个， ∴每个模型的售价降低4元，平均每天可售出个， 故答案为：； （2）设每个模型的售价应降低x元， 根据题意得：， 解得：，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去． 答：每个模型的售价应降低元； （3）略． 36．请完成“问题解决”中的任务1和任务2． “广西桂林三日游”调研分析 背景 10月份报名参加“广西桂林三日游”的人数为1000人，到12月份报名的人数将达到1440人． 素材1 该旅行社提供的“广西桂林三日游”旅行活动的初步方案为20人组团，每人的团费为800元． 素材2 经调查发现，若每人的团费每降低10元，平均每个团的报名人数会增加1人，但每人的团费不能低于600元． 问题解决： (1)任务1：求10月份至12月份“广西桂林三日游”旅行活动报名人数的月平均增长率； (2)任务2：若该旅行社要使平均每个团的总团费为24000元，求降低团费后每人的团费． 【答案】(1)10月份至12月份报名人数的月平均增长率为； (2)降低团费后每人的团费为元. 【分析】（1）设月平均增长率为，10月人数为基础量1000人，连续增长两个月到12月1440人，根据平均增长率公式：列一元二次方程求解，舍去负增长率． （2）设每人团费降低元，则单人团费变为元；每降元多人，每组人数变为人．总团费=单人团费每组人数，列方程求解后，结合限制条件每人团费元筛选合理解． 【详解】（1）解：设10月份至12月份报名人数的月平均增长率为． 由题意得方程：， 两边同除以1000：， 解得或（增长率不能为负，舍去）， 月平均增长率为． （2）解：设每人团费降低元（为正整数）， 则降低后单人团费：，每组报名人数：． 由总团费元列方程： ， 解得：，． 根据限制条件每人团费不能低于600元检验： ①当时，单人团费元，符合要求； ②当时，单人团费元，，不符合要求，舍去． 降低团费后每人的团费为600元． 37．为了加强中小学学生的劳动教育，2024年计划将该区的土地作为社会实践基地，该基地准备种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本y（单位：元）与其种植面积x（单位：）的函数关系，其中；乙种蔬菜的种植成本为50元． (1)设2024年甲乙两种蔬菜总种植成本为w元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使w最小？ (2)学校计划今后每年在这土地上，均按（1）中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降．若甲种蔬菜种植成本平均每年下降，乙种蔬菜种植成本平均每年下降，当a为何值时，2026年的总种植成本为28920元？ 【答案】(1)当甲种蔬菜的种植面积为，乙种蔬菜的种植面积为时，w最小 (2)当a为20时，2026年的总种植成本为28920元 【分析】此题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是用待定系数法正确求出函数关系式，正确列出一元二次方程． （1）根据当时，，由二次函数的性质得当时，w有最小值，再根据土地总面积为解答即可． （2）根据2026年的总种植成本为28920元，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）当时， ∵， ∴抛物线开口向上． ∴当时，w有最小值，． ∴， ∴当甲种蔬菜的种植面积为，乙种蔬菜的种植面积为时，w最小． （2）由题意可知：甲、乙两种蔬菜总种植成本是42000元， 乙种蔬菜的种植成本是（元）， 甲种蔬菜的种植成本是（元）， ， 设，则， 解得：，（舍去）， ∴． ∴． 答：当a为20时，2026年的总种植成本为28920元． 38．自月日“闽超”开赛以来，福建省各地掀起观赛热潮，相关周边产品需求持续攀升．某文创公司推出闽超吉祥物纪念品“五福天团”，并同步开展线上主题打卡活动．现要对活动方案进行升级，需要对定价和打卡人数进行调研． 素材 月份，参与“闽超线上打卡”活动的人数有人，随着“闽超”热度不断提升，月份的报名人数达到人． 素材 闽超吉祥物纪念品“五福天团”深受球迷喜爱，在销售中发现：纪念品的进价为每件元． 素材 在统计销售数据后，发现当纪念品售价为每件元时，每月销售量达到件．若纪念品售价每降价元，销售量就会增加件． 请完成下面两个任务． (1)确定增长率：求从月份到月份“闽超线上打卡”活动报名人数的平均增长率． (2)拟定价格方案：求当纪念品降价多少元时，商场可以尽量减少库存并获利元． 【答案】(1) (2)每件纪念品降价8元时，可尽量减少库存且获利10800元 【分析】（1）设月平均增长率为，4月基数人，经过两个月增长到6月人，套用平均增长率公式：初始量增长率最终量，列一元二次方程求解，舍去负根． （2）单件利润原售价进价降价；总销量原销量降价增加的销量；总利润单件利润销量．列方程求出两个降价值，减少库存应使销量尽可能大，因此选更大的降价． 【详解】（1）解：设从4月到6月报名人数的月平均增长率为． 4月人数：人，经过、两个月增长，因此列方程： ， 两边同除以： ， ， ①若，得； ②若，得，增长率不能为负，舍去． 答：月平均增长率为． （2）解：设纪念品每件降价元． 单件利润：元； 月销售量：件； 总利润为元，列方程： ， 整理标准一元二次方程：， 解得：，． 要求尽量减少库存，即销量越大越好，降价越多销量越高： 降价2元：销量（件）； 降价8元：销量（件）， ，因此取． 答：每件纪念品降价8元时，可尽量减少库存且获利10800元． 39．自5月10日“苏超”开赛以来，江苏各市文旅不断推动观赛体验与文化体验紧密串联，有效带动了江苏文旅消费．某旅行社推出了“跟着苏超去旅行”活动，现要对活动方案进行升级，需要对定价和报名人数进行调研． “跟着苏超去旅行”的活动调研 素材1 6月份，报名参加“跟着苏超去旅行”活动的人数有1500人，随着“苏超”热度不断提升，8月份的报名达到2160人． 素材2 经过研讨，旅行社初步制定方案为：30人起组团；每人团费900元． 素材3 在统计游客的反馈后，发现每人团费每下降10元，平均每个团报名的人数会增加1人． 问题解决 任务1 确定增长率 求从6月份到8月份“跟着苏超去旅行”活动报名人数的平均增长率 任务2 拟定价格方案 若旅行社要使平均每个团的总团费最大，求下调后每人的团费以及总团费的最大值． 请完成“问题解决”中的任务1和任务2． 【答案】任务1：；任务2：下调后每人的团费为600元，总团费的最大值为36000元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程和二次函数关系式是解题的关键． 任务1：设从6月份到8月份活动报名人数的平均增长率为，利用8月份报名参加活动的人数月份报名参加活动的人数从6月份到8月份活动报名人数的平均增长率），可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； 任务2：设下调后每人的团费为元，总团费为w元，根据题意列出函数关系式，化为顶点式，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：任务1：设从6月份到8月份“跟着苏超去旅行”活动报名人数的平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：从6月份到8月份“跟着苏超去旅行”活动报名人数的平均增长率为； 任务2：设下调后每人的团费为元，总团费为w元， 根据题意得：， ∵， ∴当时，w最大值为36000， 答：下调后每人的团费为600元，总团费的最大值为36000元． 40．研究背景：某校数学兴趣小组到蔬菜基地了解某种有机蔬菜的销售情况，并利用所学的数学知识对基地的蔬菜销售提出合理化建议． 材料一：某种蔬菜的种植成本为每千克10元，经过市场调查发现，该蔬菜的日销售量y（千克）与销售单价x（元）是一次函数关系； 材料二：该种蔬菜销售单价为12元时，日销售量为1800千克；销售单价为15元时，日销售量为1500千克． 任务一：建立函数模型 （1）求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围； 任务二：探究销售情况 （2）市场监督管理部门规定，除去每日其他正常开支总计1000元外，该蔬菜销售单价不得超过每千克21元，那么该种蔬菜的销售能否获得日销售利润8600元？如果能，蔬菜的销售单价应定为多少元？如果不能，请说明理由． 任务三：设计销售方案 （3）在（2）的基础上，蔬菜的销售单价定为多少元才能使日销售利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】（1）；（2）当蔬菜的销售单价定为18元时，日销售利润为8600元；（3）该蔬菜的销售单价为元时，才能使日销售利润最大，最大日销售利润是元 【分析】本题主要考查一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，正确列出关系式，和一元二次方程是关键． （1）运用待定系数法求解析式即可； （2）根据总利润等于单件利润乘以销量，再减去其他开支，列出方程进行求解即可． （3）根据题意得到每千克的利润为元，，由此销售数量关系列式，根据完全平方公式的非负性即可求解． 【详解】解：（1）日销售量y（千克）与销售单价x（元）是一次函数关系， 设，销售单价为12元时，日销售量为1800千克，销售单价为15元时，日销售量为1500千克， ∴， 解得，， 根据题意，销售单价不应低于成本10元，且日销售量不应为负数，即， 解得， ∴； （2）能； 由题意，得：，， ∴， 解得：， ∵， ∴； ∴当蔬菜的销售单价定为18元时，日销售利润为8600元； （3）设总利润为，由题意，得： ， ∵， ∴当时，有最大值， ∴该蔬菜的销售单价为元时，才能使日销售利润最大，最大日销售利润是元． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 一元二次方程应用题分类训练02 （销售动点道路日历方案5类40道） 专题目录 【类型1 销售与利润】 1 【类型2 几何动点存在性问题】 3 【类型3 几何图形道路问题】 6 【类型4 日历问题】 9 【类型3 方案问题】 12 【类型1 销售与利润】 1．某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，为了适当增加销售，商店决定从第二周开始降价销售．根据市场调查，单价降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价．设单价降低元销售一周后，商店对剩余纪念品进行清仓处理，以每个4元的价格全部售出． (1)根据题意，填写如下表格： 售价（元个） 销售量（个） 第一周 10 200 第二周 第三周 4 (2)如果旅游纪念品共获利1250元，问：第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？ 2．某商店为支持第三届“逐梦天姥”越野挑战赛，以每套300元的进价购进一批护膝．已知3月份每套护膝售价为440元时，售出了60套．4月份该商店决定降价支持越野赛，经调查发现，该护膝每降价10元，每月销售量就增加2套． (1)当每套护膝售价定为420元时，能售出多少套？ (2)当每套护膝售价多少元时，4月份售卖护膝可获利6800元？ 3．某商场将进货单价为40元的商品按50元售出时能卖出500个．经过市场调查发现，若这种商品售价每提高1元，其销售量就会少10个． (1)当售价定为54元时，求该商品销售的个数； (2)商场为了保证经营该商品赚得8000元的利润而又尽量兼顾顾客的利益，售价应定为多少元？ 4．某花圃用花盆培育某种花苗，经试验发现，每盆花的盈利与每盆株数存在一定的关系：每盆植入株时，平均单株盈利元；以同样的栽培条件，若增加花苗株数，每盆平均单株盈利（元）与每盆的总株数（株）成如图所示的一次函数关系． (1)每盆种植株时，平均单株的盈利是多少元？ (2)若要求每盆花苗超过株，且每盆的盈利为元，则每盆应种植多少株？ 5．某科技公司推出的数学画图软件深受用户喜爱，上线第天的用户为万人，由于功能持续优化，用户数量稳步增长，到第天用户达到万人． (1)求该软件用户前三天的日平均增长率． (2)公司推出会员优享业务，当会员价为元/月时，平均每天有名用户开通会员；月会员价每提高元，每天开通会员的用户就减少名． ①若公司希望每天的会员优享业务收入达到元，求会员价应为多少元/月？ ②公司每天的会员优享业务收入能否达到元？请说明理由． 6．某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价，据测算，若每箱饮料每降价1元，每天可多售出20箱，针对这种饮料的销售情况，请解答以下问题： (1)当每箱饮料降价3元时，这种饮料每天销售获利多少元？此时能销售多少箱？ (2)在每箱饮料获利大于8元的情况下，要使每天销售饮料获利1400元，问每箱应降价多少元？ (3)每天销售饮料获利能达到1600元吗？若能，求出此时应降价多少元；若不能，说明理由． 7．某食品零售店为食品厂代销一种面包，未售出的面包可退回厂家，经统计销售情况发现，当这种面包单价定为7元时，每天卖出160个，在此基础上，这种面包单价每提高1元，该零售店每天就会少卖出20个，该零售店每个面包的成本是5元． (1)如果每天卖出面包100个，那么这种面包的单价定为多少？这天卖面包的利润是多少？ (2)如果每天销售这种面包获得的利润是480元，那么这种面包的单价是多少？ 8．根据以下销售情况，解决销售任务． 销售情况分析 总公司将一批衬衫由甲、乙两家分店共同销售，因地段不同，它们的销售情况如下： 店面 甲店 乙店 日销售情况 每天可售出20件，每件盈利40元． 每天可售出32件，每件盈利30元． 市场调查 经调查发现，每件衬衫每降价1元，甲、乙两家店一天均可多售出2件．现两店每件衬衫同时降价元． 任务解决 (1)任务1：降价后，甲店每天的销售量为 件（用含的代数式表示）； (2)当时，求甲店每天的盈利； (3)当每件衬衫降价多少元时，甲乙两店一天的盈利和为2244元． 【类型2 几何动点存在性问题】 9．如图，在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果、分别从、同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为秒． (1)填空： ， ．（用含的代数式表示） (2)当五边形的面积等于时，求此时的值． (3)是否存在的值，使线段的长度最小，若存在，请求出此时的值和最小值，若不存在，请说明理由． 10．如图，在中，，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿的方向运动，且速度为，点从点开始沿的方向运动，且速度为，，两点同时出发，当运动到点时，两点停止运动，设运动的时间为秒． (1)________（用含的代数式表示）； (2)点在边上运动时．当是等腰三角形时，求出此时的值． (3)点在边上运动时，当是以或为底边的等腰三角形时，求出此时的值． (4)点在运动过程中，通过计算说明能否把的周长平分？ 11．如图，，，为矩形的四个顶点，，，动点，分别从点，同时出发，点以的速度向点移动，一直到达点为止，点以的速度向点移动，当点到达点时点随之停止运动，设运动时间为． (1)为多少时，四边形的面积为； (2)为多少时，点和点的距离为． (3)，同时出发，直接写出为何值时，以，，为顶点的三角形为等腰三角形． 12．如图所示，中，，，．点P从点A开始沿边向B以速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，P、Q分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t秒． (1)几秒后，的长度等于？ (2)线段能否将分成面积的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由． 13．如图，中，，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为，点N的速度为．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动． (1)点M、N运动几秒后，M、N两点重合？ (2)点M、N运动几秒后，可得到等边三角形？ (3)在点M、N运动过程中，能否得到以A、B、C其中一个点为顶点，以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时M、N运动的时间． 14．如图，在四边形ABCD中，，动点、分别从A、B同时出发，点以每秒3个单位的速度沿着折线先由向运动，再由向运动，点以每秒1个单位的速度由向运动，当其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为秒． (1)两平行线与之间的距离是______． (2)当点P、Q与的某两个顶点围成一个平行四边形时，求的值． (3)以，为一组邻边构造平行四边形，若的面积为，求的值． 15．如图，在中，，，，点从点开始沿边运动，速度为．与此同时，点从点开始沿边运动，速度为．当点到达点时，点同时停止运动．连接，设运动时间为，的面积为． (1)用含的代数式表示：______cm，______cm； (2)当为何值时？ 16．如图，在中，，，．现有动点从点出发，沿向点方向运动，动点从点出发，沿线段向点方向运动．如果点的速度是，点的速度是，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动的时间为，，求： (1)当为多少秒时，两点之间的距离是？ (2)用含的代数式表示的面积； (3)当为多少秒时，？ 【类型3 几何图形道路问题】 17．某镇政府规划在新城区政府大楼前建设一块长a米，宽b米的长方形草坪，并计划在该草坪上修筑宽都为2米的两条互相垂直的人行道（如图）． (1)用含a，b的代数式表示两条人行道的总面积； (2)若已知，并且四块草坪的面积之和为2204平方米，试求原长方形的长与宽各为多少米？ 18．如图，一块长米、宽米的长方形户外草坪，规划了两横两纵等宽的石板小径（阴影部分），石板小径的总面积占草坪总面积的，求石板小径的宽度为多少米． 19．如图，为深化劳动教育实践，某校计划将原长、宽的矩形劳动实践基地扩建为矩形，使其总面积达到．经规划测量，确定扩建时长与宽增加的长度之比为（即）． (1)求长和宽各增加了多少米？ (2)扩建后，为便于管理，准备在基地内修建一横一纵两条宽均为的十字形小路，剩余部分为试验园地，求试验园地的面积． 20．智慧农业是以物联网、大数据、人工智能为核心的新型农业形态，通过农业传感器和北斗导航系统、智能农机装备和智能机器人实现精准高效地作业．智慧农业领域某品牌的智能机器人今年1月份销售量为3万台，随着智慧农业的不断推广，销量不断增长，该品牌智能机器人的销售量逐月递增，3月份的销售量达到5.07万台． (1)求从1月份到3月份该品牌智能机器人销售量的月平均增长率 (2)为了降低成本和提高采摘效率，小明家的果园也引进了一台智能机器人帮助采摘某种水果．如图，为了方便智能机器人和工人采摘水果，计划在一块长、宽的矩形果园上修建三条道路，道路的宽度都相等，道路将果园分成面积均为的6个小矩形．求道路的宽度． 21．如图是某小型停车场的平面示意图，从“入口”至“出口”均是车道，停车场的长为21米，宽为18米，停车场内车道宽度都相等，若停车位的占地面积为180平方米，求车道宽度． 22．庐阳区城管部门推进“口袋公园”建设，提升居民生活幸福感．某口袋公园外围规划为长方形，长30米，宽18米，内部设计等宽步行道，剩余区域为绿化种植区．工作人员发现，步行道宽度直接影响绿化面积，若绿化种植区总占地面积为220平方米，求步行道的宽． 23．天津素称“月季之乡”．花虹园区在长为10米，宽为8米的矩形土地上修建同样宽度的两条道路（互相垂直），其余部分种植月季花球盆栽，并使种植花卉的总面积为63平方米，修建方案如图所示． (1)利用你所学的有关图形运动的知识，求道路的宽度； (2)某盆栽供应商的进货价为每盆30元，销售价为每盆60元，花节期间平均每天可以售出20盆．花节落幕后降价出售，经市场调查发现：如果每盆降价3元，那么平均每天就可多出售6盆．设每盆降价x元． ①降价后每盆的利润是__________元；每天卖出__________盆；（用含的代数式表示） ②供应商想要达到每天750元的盈利，同时让购买者得到实惠，求每盆应降价多少元？ 24．综合与实践 在国庆假期期间，小明返回家乡，协助爷爷在一块矩形的空地上规划并建造一个花园．以下是小明对花园规划设计的过程． 爷爷要求小明构思一种规划方案，小明结合九年级所学知识，设计了甲、乙两种方案（其中阴影部分为花园）． (1)爷爷考虑之后，决定从甲、乙两种方案中选择一种进行建造． ①若甲方案中花园周围小路的宽为，则花园的长可以表示为_____，宽可以表示为_____（用含有的代数式表示）； ②若乙方案中花园宽为，则花园区域的面积可以表示为_____（用含有的代数式表示）． (2)经过综合考虑，爷爷决定选择甲方案进行花园的建造，并且确保花园面积恰好占据矩形空地的一半，请计算花园周围小路的宽度是多少？ (3)为了保证花园的美观，且防止家中的家禽进入花园．爷爷决定在花园较长的一侧种植观赏竹，观赏竹种植区域的长为，另外三边用篱笆围起来（如图丙）． 若篱笆的总长度为，为方便打理花园，需要在花园较长的另一侧装一个宽的门．设垂直于观赏竹区域的篱笆长为，平行于观赏竹区域的篱笆长为． ①求关于的函数关系式； ②若篱笆围成的矩形面积为，求篱笆围成的区域的长和宽分别是多少？ 【类型4 日历问题】 25．如图，这是一张2026年1月的月历表．在此月历表上可以用一个正方形框任意圈出4个数（如2，3，9，10）． (1)若圈出的4个数中最小的数为x，则最大的数为________．（用含x的代数式表示） (2)在小组活动中，小丽通过计算，得到框出的4个数之和为45．小颖认为小丽一定算错了．小颖的说法正确吗？说明理由． (3)若圈出的4个数中最大的数与最小的数的乘积为105，求这4个数中最小的数． 26．2026年4月5日是我国的传统节日清明节，又称踏青节、行清节、三月节、祭祖节等，在每年4月4日至6日之间，是祭祀、祭祖和扫墓的节日．清明节源自上古时代的祖先信仰与春祭礼俗，兼具自然与人文两大内涵，既是自然节气点，也是传统节日．清明节与春节、端午节、中秋节并称为中国四大传统节日．在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示）．若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为153，求这个最小数．（请用方程知识解答） 27．小颖同学积极参加“垃圾分类”宣传，为防止遗忘，她把要参加的日期在月历表上涂黑．已知这个月她要参加8天，将要参加的日期涂黑后恰好得到如图中的一个“回”字型． (1)若涂黑的8个数中最小数与最大数的积为161，求这8个数字的和； (2)这8个数字的和能否是192？请简要说明理由． 28．如图，这是2024年12月的月历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，设这四个数从小到大依次为a，b，c，d，请解答下列问题． (1)若用表示最小的数，则 ， ， （用含的式子表示）． (2)若虚线方框中的最大数与最小数的乘积与这四个数的和为656，求最小的数． 29．如图是2024年11月的月历表，用一个方框在表中圈出六个数（如图所示），若圈出的六个数中，最小的数与最大的数的乘积为112，求这个最大的数．（请用方程知识解答） 30．年月日是建党一百零三周年，在本月日历表上可以用一个方框圈出个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为，求这个最小数．（请用方程的知识解答） 31．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图①是2024年9月份的日历，用如图所示的“Z”字型框架任意框住月历中的5个数（如图①中的阴影部分），如图②，将“Z”字型框位置B、D上的数相乘，位置A、E上的数相乘，再相减，例如：在图①中，，，不难发现，结果都等于15． 如图②，设日历中所示图形中位置C的数字为x． (1)图②框中其余四个数用含x的代数式可以表示为__________，__________，__________，__________． (2)用含x的式子表示发现的规律__________． (3)利用整式的运算对（2）中的规律加以证明． (4)如图②，在某月历中，“Z”字型框框住部分（阴影部分）5个位置上的数，若最小的数和最大的数的乘积为161，则中间C位置上的数为__________． 32．如图是某月的日历，小明说：他用一个平行四边形框，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是119，请求出最小数与最大数分别是多少． 【类型3 方案问题】 33．学校文创社设计了一款特色笔记本，作为校园文化节的纪念品．最初以每本20元的成本价生产了一批．在试销阶段，第一个月定价为每本25元，售出120本，随后两个月对价格进行了上调，两次价格上调的百分率相同，最终第三个月定价为每本36元，此时每月售出100本． (1)这款笔记本每次（每月）的价格增长率为________； (2)文创社为了在第四个月扩大影响、清空库存，决定进行促销．学生通过市场调查发现：在第三个月销量的基础上，售价每降低1元，每月可多售出10本，请问：当降价多少时，可以使第四个月的利润达到1530元． (3)文创社现有两种销售方案： 方案A 方案B 按第（2）问中求出的售价进行销售． 在售价不低于成本的前提下，采取“每卖出一本就向校园公益基金捐赠2元”的方式销售，这一方式可以使每月销量在第（2）问的促销模型基础上再增加20本． 如果你是文创社社长，你会选择哪种方案？请从利润、清仓速度、社会效益等角度比较方案A和方案B，综合说明理由． 34．果农李明种植的草莓计划以每千克15元的单价对外批发销售，由于部分果农盲目扩大种植，造成该草莓滞销．李明为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克元的单价对外批发销售． (1)求李明平均每次下调的百分率； (2)小刘准备到李明处购买3吨该草莓，因数量多，李明决定再给予两种优惠方案以供其选择：方案一：打九折销售；方案二：不打折，每吨优惠现金400元．试问小刘选择哪种方案更优惠，请说明理由． 35．年4月日是第八个“中国航天日”，主题是“格物致知，叩问苍穹”．某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十六号”模型．已知该模型平均每天可售出个，每个盈利元．为了扩大销售、增加盈利，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，发现每个模型的售价每降低1元，平均每天可多售出2个． (1)若每个模型的售价降低4元，平均每天可售出________个模型； (2)在每个模型的利润不少于元的前提下，要使该模型平均每天的销售利润为元，每个模型的售价应降低多少元？ (3)该模型平均每天的销售利润能达到元吗？如果能，请写出降价方案；如果不能，请说明理由． 36．请完成“问题解决”中的任务1和任务2． “广西桂林三日游”调研分析 背景 10月份报名参加“广西桂林三日游”的人数为1000人，到12月份报名的人数将达到1440人． 素材1 该旅行社提供的“广西桂林三日游”旅行活动的初步方案为20人组团，每人的团费为800元． 素材2 经调查发现，若每人的团费每降低10元，平均每个团的报名人数会增加1人，但每人的团费不能低于600元． 问题解决： (1)任务1：求10月份至12月份“广西桂林三日游”旅行活动报名人数的月平均增长率； (2)任务2：若该旅行社要使平均每个团的总团费为24000元，求降低团费后每人的团费． 37．为了加强中小学学生的劳动教育，2024年计划将该区的土地作为社会实践基地，该基地准备种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本y（单位：元）与其种植面积x（单位：）的函数关系，其中；乙种蔬菜的种植成本为50元． (1)设2024年甲乙两种蔬菜总种植成本为w元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使w最小？ (2)学校计划今后每年在这土地上，均按（1）中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降．若甲种蔬菜种植成本平均每年下降，乙种蔬菜种植成本平均每年下降，当a为何值时，2026年的总种植成本为28920元？ 38．自月日“闽超”开赛以来，福建省各地掀起观赛热潮，相关周边产品需求持续攀升．某文创公司推出闽超吉祥物纪念品“五福天团”，并同步开展线上主题打卡活动．现要对活动方案进行升级，需要对定价和打卡人数进行调研． 素材 月份，参与“闽超线上打卡”活动的人数有人，随着“闽超”热度不断提升，月份的报名人数达到人． 素材 闽超吉祥物纪念品“五福天团”深受球迷喜爱，在销售中发现：纪念品的进价为每件元． 素材 在统计销售数据后，发现当纪念品售价为每件元时，每月销售量达到件．若纪念品售价每降价元，销售量就会增加件． 请完成下面两个任务． (1)确定增长率：求从月份到月份“闽超线上打卡”活动报名人数的平均增长率． (2)拟定价格方案：求当纪念品降价多少元时，商场可以尽量减少库存并获利元． 39．自5月10日“苏超”开赛以来，江苏各市文旅不断推动观赛体验与文化体验紧密串联，有效带动了江苏文旅消费．某旅行社推出了“跟着苏超去旅行”活动，现要对活动方案进行升级，需要对定价和报名人数进行调研． “跟着苏超去旅行”的活动调研 素材1 6月份，报名参加“跟着苏超去旅行”活动的人数有1500人，随着“苏超”热度不断提升，8月份的报名达到2160人． 素材2 经过研讨，旅行社初步制定方案为：30人起组团；每人团费900元． 素材3 在统计游客的反馈后，发现每人团费每下降10元，平均每个团报名的人数会增加1人． 问题解决 任务1 确定增长率 求从6月份到8月份“跟着苏超去旅行”活动报名人数的平均增长率 任务2 拟定价格方案 若旅行社要使平均每个团的总团费最大，求下调后每人的团费以及总团费的最大值． 请完成“问题解决”中的任务1和任务2． 40．研究背景：某校数学兴趣小组到蔬菜基地了解某种有机蔬菜的销售情况，并利用所学的数学知识对基地的蔬菜销售提出合理化建议． 材料一：某种蔬菜的种植成本为每千克10元，经过市场调查发现，该蔬菜的日销售量y（千克）与销售单价x（元）是一次函数关系； 材料二：该种蔬菜销售单价为12元时，日销售量为1800千克；销售单价为15元时，日销售量为1500千克． 任务一：建立函数模型 （1）求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围； 任务二：探究销售情况 （2）市场监督管理部门规定，除去每日其他正常开支总计1000元外，该蔬菜销售单价不得超过每千克21元，那么该种蔬菜的销售能否获得日销售利润8600元？如果能，蔬菜的销售单价应定为多少元？如果不能，请说明理由． 任务三：设计销售方案 （3）在（2）的基础上，蔬菜的销售单价定为多少元才能使日销售利润最大？最大利润为多少元？ 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $