北京市顺义牛栏山第一中学2026-2027学年高三上学期9月月考数学试卷

2026-2027牛山一中高三数学月考2026.9.3 数学试卷 一、选择题(共10小题,每小题4分,共40分在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项) 1如果集合A={x∈M-1≤x<3),B={-2,-1,01,2,3},那么AnB=() A.{-1,01,2,3} B.{-1,0,1,2 C.{01,2} D.{01,2,3} 2.已知命题p:x∈R,cosx≤1,则() A.p:3xo∈R,coSxo21 B.p:Vx∈R,cos21 C.p:Vx∈R,cosx>1 D.p:3x0∈R,cosx0>1 3.设p=3,q=5,r=log,3,则 A.q<p<r B p<q<r C.r<q<p D.r<p<q 4.下列函数中,是偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减的是() A.f倒=日 B.f(x)=-log2x c.ro- D.f(x)=lcosx 5.二项式定理,又称牛顿二项式定理,由艾萨度克牛顿于1664年~1665年间提出,据考证, 我国至迟在11世纪,北宋数学家贾完就已经知道了二项式系数法则.在女+ 的二项式展 开式中,x3的系数为() A.10 B 2 c D 58 6.已知无穷等比数列{a}的公比为9,则“a(g-l)<0”是“{a,}单调递减”的() A.充分不必要条件 B,必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 试卷第1页(共4页) 7.中华人民共和国道路交通安全法判定酒驾的标准为:驾驶员血液中酒精含量大于或等于 0.2mg/mL,但小于0.8mg/mL;判定醉驾的标准为:驾驶员血液中酒精含量大于或等于 0.8mg/mL,某驾驶员饮酒后血液中酒精含量为2.4mg/mL,若停止喝酒后,血液中酒精含量以 每小时20%的速度减少,则该驾驶员至少需经过()小时才能合法驾驶(酒精含量需小于 0.2mg/mL),参考数据:lg2≈0.301,lg30.477. A.10 B.11 C.12 D.13 8.在等差数列{a}中,a+3a,+a=15,则3a,-4的值为() A.3 B:6 C.9 D.12 9.已知函数f()= [2*+m,x<m x2+2x,x2m 给出下列四个结论 ①当m=0时,f()在R上单调递增;②当ms时,f(:存在最小值; ∫(句的零点个数为(侧), 则函数g侧的值域为,2:@当m≥2时,对任意eR,23兰fk)+f() 其中正确结论的个数() A.3 B.2 C.1 D.0 10.斐波那契数列又称为黄金分割数列,在现代物理、化学等领域都有应用.已知斐波那契 数列{an}满足a=a2=1,an=a+an-2(n23,neN,则下列结论中错误的是() A.存在meN,使得an,am1,amt2成等差数列 B.存在常数t,使得对任意n∈N ,都有a,o2,a4成等差数列 C.存在meN,使得an,am,am+2成等比数列 D.存在正整数,2,,m,且i<3<…<m,使得a,+a2+…+an=2026 二、填空题(共5小题,每小题5分,共25分) 1.商数/心)2一+G的定义拔是 12.已知f)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2-4x,则不等式f(x)>x的解集为 试卷第2页(共4页) 13.设函数f(x)= 3+1,x≤0 U1og2x>0 则f(U()= 若方程f(x)=k有两个不相等的 实数根,则实数k的取值范围为」 14.设矩形ABCD(其中AB>BC)的周长为24,如图所示,把它沿 对角线AC对折后,AB交DC于点P.设AB=x,求 4DP的最大面 积为 15.已知f(x)是定义在R上的可导函数.若函数F(x)=(x)满足F(x)>0对x∈R恒成立, 给出下面四个结论: ①f①)+f(-1)>0: ②f(x)>0对xeR成立; ⑧f(x)可能是奇函数; ④f(x)一定没有极值点. 其中,所有正确结论的序号是 三、解答题(共6小题,共85分解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程) 16.(本题14分)已知等差数列{a,}的前n项和Sn满足8=-3,S,=-21。 (1)求{a,}的通项公式: (2)bn=-an+1,求数列 1 的前n项和T 17(体题14分)已知函数x∈2,+o ()当a时,求函数)的最小值; (2)若函数f()在区间[1,e上的最大值为6,求a的值. 18.(本题14分)已知函数f()=2(m+1)x2+4mr+2m-1. (1)若函数f(x)为偶函数,求m的值; (2)求函数f(,在区间(0,)内只有一个零点,求实数m的取值范围: (3)当m>0时,设函数g(x)满足①Vx∈[1,3),g(x)=f(x)-2m2,②g(x+2)=g()+1, x∈R,求g(x)在区间[5,7)上的值域 试卷第3(软而) 19.(本题14分)已知函数f(x)=x2(x>0),g(x)=anx(a>0). (1)若f(x)>g(x)恒成立,求实数a的取值范围: (2)当a=1时,过f(x)上一点(L,1)作g(x)的切线,判断:可以作出多少条切线,并说明理 由. (3)实数m使得3n1+)-n(1-]>3+f(x]对xe(0,1)恒成立,求m的取值范围.(只需 直接写出结论) 20.(本题14分)已知椭圆区:芳+荒=1(a>6>0)的一个顶点为A0,离心率为V月 2 (1)求椭圆E的方程; (2)过点P(2,0)的直线与椭圆E交于B,C两点,过点B,C分别作直线1:x=t的垂线(点 B,C在直线I的两侧).垂足分别为M,N,记 BMP, MNP, CWP的面积分别为S,S2, 鸟,试间:是吞存在常数使得,点,号总成等比数列?若存在,求出:的值,若不存 在,请说明理由。 21.(本题15分)已知数列{a,}为有穷数列,且a,eN ,若数列{a,}满足如下两个性质,则称数 列{a,}为m的k增数列:①4+a2+a+…+a,=m:②对于1≤i≤jsn,使得a,<a,的正整数对(6,) 有k个. (1)写出所有4的1增数列; (2)当n=5时,若存在m的6增数列,求m的最小值; (3)若存在100的k增数列,求k的最大值 试卷第4页(共4页) 2026-2027牛山一中高三数学月考2026.9.3 数学试卷 一、选择题 题号 1 2 3 4 6 7 8 9 10 答案 c D C C B B C B D 二、填空 传 12(-5,0)U(5,+o) 13、①2:( (0,U2,o) 14、108-722 15、①② 三、解答题(共6小题,共85分解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程) 16.解:(1)设公差为d,则S,=3a+3d=-3,S,=7a,+21d=-21, 03 g∫a=0 所以 d=-1' 所以an=a+(n-)d=-n+1, aa所型过网非》 所以x-北-引追》非引+日 + 32n+3 +2n+n+2420n+im+2 17.解:(1)当a时xx+3x∈2,+o任取1s<, 则nr/)-(*(信动》aag型 2s1<x2,∴x1-x2<0,xx2>4,∴.2x1x2-l>0,xx0,即n) ∴)在[2,+四)上单调递增,∴爪)的最小值为2)号 或如下: x22, f1京20 高三数学答案第1页(共7页) 进而x)在2,+∞)上单调递增,x)的最小值为2)号 (2)法-:当a<0时,x,2均在(0,+o)单调递增,所以f()在(0,+o)单调递增, 当a=0时,f(x)在(0,+o)单调递增, 当>0时,f)=1-是,xe(0,回,f)<0,f)单调透减: xe(Va,+o),∫(x)>0,f(x)单调递增. 综上,函数f(x)在区间[l,c]上的最大值为max{f(I)、f(e)} 当/=6时,a=2,f@)=e+3+2>6,不符合题意 当∫(e)=6时,a=3e-e2,f(①)=1+3+3e-e2=4+3e-e2<6,符合题意 所以a=3c-e2 (2)法=:f'(x)=2a x2 r1≤x≤e,.1≤x2≤e2 (1)若a≤1时,f'(x)>0在(1,e)恒成立 f(x)在[1,e]上递增 fx(x)=f(e)=e+3+a=6, 得a=e(3-e)符合a≤1, a=c(3-e): (2)若a≥e2时,f(x)<0在(1,e)恒成立 f(x)在[1,e]上递减 fmax(x)=f(1)=4+a=6, 得a=2,不符合a2e2: (3)若1(a<e2时,令f(x)=0,得x=√a 列表如下 x(1,√a)√a(a,c) f'(x) 0 f(x) y 极小值刀 fmx(x)=maxff (I),f (e))=max(4+a,e+3+a) 有以两种情况: 1<a<e2 4+02e+3+ 、无解: e 4+a=6 1a<e2 e+3+日24+0,无解: e+3+a=6 e 综上,a的值为e(3-e) 18.解:(1)依题有xeR,f(x)+∫(-x)=0 2(m+1)x2+4mx+2m-1=2(m+10(-x)2+4m(-x)+2m-1, 得,m=0 (2)①若m=-1时,谄数xeR,f)=-4x-3,零点-3e0,D: ②若m+-1时, (i)当 =(4m)2-8(m+1(2m-1)=0,即m=1, 此时f的=42+4x+1=2x+,零点@,D; (目)当 ≠0,即m1时,函数)在区间)内只有一个零点,有以下可能: 回f0f0<0即(2m-1)8m+10,所以,-g<m<分 f0)=0即m=2时,此时/四=3x+2x,另-个零点号0,D: (@/0)=0即m=-言时,此时/闭=子父-分子,另-个零点马0D 综上,实数m的取值范围11)】 (8'2) (3)当xe[1,3),8(x)=f(-2mx2=2x2+4mx+2m-1; 由已知g(x)=f(x)-2mx2=2x2+4mx+2m-1,x∈[,3) Vxe[5,7),则x-4∈[1,3) 8(x)=g(x-4)+2 =2(x-2)2+4m(x-2)+2m-1+2 =2x2+(4m-16)x+33-14m 对称轴x=4-m<4 高三数学答案第3页(共7页) 的数g(x)在[5.7)单调递增,g(56m+3:8T厅l4m+19 g(x)在区间[5,7)上的值域为[6m+3,14m+19), 19.解:(1)令h(x)=f(x)-g(x)-x2-anx(x>0) 所以N()=2x-0-2x2-2 x 问=24=0:部得x=层 当x变化时,㎡(x),h(x)的变化情况如下表: a ) 0 h() 减 极小值增 所以在(0,+四)的最小值为列 +月0.得0<a<2 所以当0<a<2c时,h(x)>0恒成立,即f(x)>g(x)恒成立 (2)可作出2条切线. 理血如下:当a=1时,g(x)=hx 设过点(L,1)的直线1与g(x)=nx相切干点P(x,) 则R%,)=h-即1-n名二 即元-司 整理得x。lnx。-2。+1-0 令m(x)=xnx-2x+1,则m(x)在(0,+o)上的零点个数与切点P的个数一一对应. m(x)=lnx-l,令m(x)=nx-1=0解得x=e. 当x变化时,m'(x),m(x)的变化情况如下表: 高三数学咨案第4页(共7页) (o,e) e (e,+o) m'(x) 0 m(x) 减 极小位 多 所以m(x)在(0,c)上单调递减,在(e,+o)上单调递增. 且)时2+1=专+1>0 m(e)=exlne-2c+1=-e+1<0 m(e2)=e2xne2-2e2+1=1>0 所以m(匀在(仁,利ee)上各有一个零点,即xhx-2x+1=0有丙个不同的解 所以过点(1,1)可作出y=nx的2条切线。 (3)m<=2. 20.解(1)根据已知可得)=1,9=5, ”2=2,a2=b2+c2, 所以b=1,c=1,a2=62+c2=2, 所以鞘圆B的方程为亡十y=1。 2 (2)由已知得,BC的斜率存在,且B,C在x轴的同侧, 设直线BC的方程为y=k(x-2),B(x,乃),C(x2,2),不妨设 <为, 则y2>0,x<1<x2: [y=k(x-2) 2+y2=1 x 得(1+2k2)x2-8k2x+8k2-2=0, 8k2 8k2-2 所以 =80-2k2)>0,+=1+2欢4名1+2k 高三数怜代5: 为8=0-0训x8,-支2-0 -%k8=2-01 所以S=-00-x训%上-0-M% =6-Xg-xX4-2X-2) =2[%+)-为-]名-2+)+4到 -器品 )8k2-216k2 0+-24u-+2]. 12k2 8-r0-w-62-06 言-[+-4] 16 1+2k2 40+27[-2k-2y+-2], 12k2 要使,,S总成等比数列,则应有-+2=-2解1=, 所烈存在=1,使得,,S总政等比激列 21.解:(1)由题意得a1+a2+…+an=4, 且对于1s1<js4,使得a<a,的正整数对化,)有1个, 由于1+2+1=4或1+3=4, 故所有4的1增数列有数列1,2,1和数列1,3. (2)当n-5时,存在m的6增数列, 即4+a+%+a,+a,=m,且对于1si<js5,使得a<a,的正整数对()有6个, 所以数列(a)的各项中必有不同的项,所以m≥6且m∈N. 若m=6,满足要求的数列{a,}中有四项为1,一项为2, 所以k≤4,不符合题意,所以m>6. 若m=7,满足要求的数列{a,}中有三项为1,两项为2, 此时数列为111,2.2,满足要求的正整数对,)分别为(1,4),(2,4),(3,4),(1,5),(2,5),(3,), 高三数学答姿笼6贞(共7页) 符合m的6增数列, 所以当n=5时,若存在m的6增数列,m的最小值为7. (3)若数列{a,)中的每一项都相等,则k=0, 若k≠0,所以数列(a}中存在大于1的项, 若首项a,1,将a,拆分成a个1后k变大, 所以此时k不是最大值,所以a,=1, 当i=2,3,…,n时,若4>1,交换a,44,的顺序后k变为k+1, 所以此时k不是最大值,所以a,≤a, 若a41-a,e{0,1},所以a41之0+2, 所以将a1改为41-1,并在数列首位前添加一项1,所以k的值变大, 所以此时A不是最大值,所以4-马∈{0,1 若数列{a)中存在相邻的两项4=2,4≥3,设此时{a}中有x项为2, 将4,改为2,并在数列首位前添加a,-2个1后,k的值至少变为k+1, 所以此时k不是最大值, 所以数列{a}的各项只能为1或2,所以数列(a}为1,1,,1、2,2,,2的形式. 设其中有x项为1,有y项为2, 因为存在100的k增数列,所以x+2y=100. 所以k=xy=(100-2y)y=-2y2+100y=-2(y-25)2+1250, 所以,当且仅当x=50,y=25时,k取最大值为1250. 三数学答案第7页(共7页)