精品解析：北京市顺义区第一中学2025-2026学年高三上学期12月月考数学试题

2025北京顺义一中高三12月月考 数 学 一、单选题（本大题共10小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数，，则对应的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 在的展开式中，常数项为（ ） A. 6 B. C. 24 D. 5. 已知为角终边上一点，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 中国古代数学著作《九章算术》中记载的“刍甍”(如图）是一种五面体，底面为矩形，侧棱平面，若有“刍甍”形状的几何体，且几何体数据如下：，且各侧面与底面ABCD所成角均为，则该“刍甍”的体积为（ ） A. B. 8 C. D. 8. 长度为4的线段的两个端点分别在轴及轴上运动，则线段的中点到直线距离的最大值为（ ） A. B. 3 C. 4 D. 6 9. 在中，，，为所在平面内的动点，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，给出下列四个结论： ①，使得为偶函数； ②，使得存在最小值； ③，在上单调递减； ④，使得有三个零点； 其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共5小题，共25分） 11. 函数的定义域为______． 12. 抛物线的焦点F到其准线的距离为_________;抛物线上一点M，且，则M点的横坐标为_____________. 13. 已知函数且，则__________，当时，曲线与直线恰有一个公共点，写出一个满足条件的值________. 14. 已知等差数列与等比数列的首项均为－3，且，，则数列的通项公式为_____________，数列的最大值为____________. 15. 在平面内，到两个定点和的距离之积为常数的点的轨迹是一条优美的曲线，设点P在轨迹曲线C上，有以下结论： ①曲线C关于原点对称； ②当时，P点的横坐标不超过； ③的面积可以等于； ④点P到原点距离． 其中，所有正确结论的序号是 ____． 三、解答题（本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，底面，且，E是的中点，平面与线段交于点F. （1）求证：； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 17. 在中，. （1）求； （2）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积． 条件①：的周长为； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 18. 某品牌汽车计划推出两款新型车，纯电动（EV)和插混电动版(PHEV)，为了解某市将来市场情况，在该市潜在消费群体中抽取200人进行购买意愿调查，调查数据按收入水平分组如下表（单位：人） 车型 低收入群体 （收入<20万元/年） 中收入群体 （收入20万元-50万元/年） 高收入群体（收入>50万元/年） 愿意 不愿意 愿意 不愿意 愿意 不愿意 EV 50 20 40 40 30 20 PHEV 25 45 40 40 35 15 假设所有潜在消费者的购买意愿都是相互独立，用频率估计概率. （1）在该市汽车潜在消费者中随机抽取1人，估计其愿意购买纯电动（EV)的概率p； （2）从该市潜在消费者的中收入群体中随机抽取2人，在高收入群体中随机抽取1人，记X为3人中愿意购买纯电动（EV)汽车的人数，求X的分布列和数学期望； （3）若该市C社区中汽车潜在消费者低收入群体、中收入群体、高收入群体的人数之比为1：4：2，从该社区随机抽取1人，其愿意购买纯电动(EV)汽车的概率设为,试比较p和的大小. 19. 已知椭圆的上，下顶点分别为，且短轴长为2，离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线与轴交于点，点为椭圆上不同于顶点的一点，且直线与直线交于点，AM与直线交于点，判断是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 20. 已知函数． （1）求在处的切线方程； （2）设，证明：当时，； （3）若恒成立，求实数的值． 21. 项数为的数列满足如下两个性质，则称为一个满足“绝对值关联”的阶数列； ①（其中）； ②. （1）判断数列是否为一个满足“绝对值关联”的阶数列？是否为一个满足“绝对值关联”的阶数列？说明理由； （2）若数列为一个满足“绝对值关联”的阶数列，证明：的最小值为； （3）若数列为一个满足“绝对值关联”的阶数列，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $6学科网命组卷网 2025北京顺义一中高三12月月考 数 学 一、单选题（本大题共10小题，共40分在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项) 1.已知集合A={2,-1,01,2,3}, 集合B={xx-1>0},则A∩B=（) A.{x1<x<2 B.{> c.{2,3} D.1,2,3} 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集的知识求得正确答案. 【详解】依题意， B={x|x>1} AnB={2,3} 所以 故选：C 2.在复平面内，复数子=1-i,3=2+i,则名名对应的点的坐标是（) A.(3,-2) B.（-1,0) c(1,-3) D.(3-) 【答案】D 【解析】 【分析】先通过复数乘法法则计算· 2，再根据复数与复平面内点的对应关系确定坐标： 【详解】名=1-i2=2+i zz2=(1-i)(2+i)=2+i-2i-（-1)=2+i-2i+1=3-i 在复平面内，复数a+bi (a,b) 3,-1) 对应的点的坐标为 ,因3-1对应的点的坐标是 故选：D. 第1页/共30页 6学科网 命组卷网 3.若a<b<0,则下列不等式成立的是() A.ab<b2 B.a b c日<方 D.d2<b2 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质逐项判断 a<b<0ab>b2 【详解】对于A,由 ，得 ,A错误； 1>-1>0 对于C,由a<b<0,得-a>-b>0,ba,C正确： -1>-1>0 a、b 对于B,由-a>-b>0,ba,因此ba,B错误： 对于D,由a<h<0,得a>-b>0,a>,D错误 故选：C 2)4 4.在x 的展开式中，常数项为() A.6 B.6 C.24 D24 【答案】C 【解析】 2 【分析】先写出 的展开式的通项，并整理，令x的指数为零，求出对应参数，代回通项，即可求 得常数项 2 【详解】 的展折式的通项为=C{)=(-2℃ 第2页/共30页 学科网 命组卷网 令4-2k=0,得k=2 14 所以在一 的展开式中，常数项为(-2)2℃=(-2)2℃=24 故选：C 1 5.己知P(m, ,为角终边上一点，“m=2是”咖Q 3 2”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数及充分、必要性的定义判断条件间的推出关系，即可得 √5 【详解】当1时， P·则 1 2, 充分性成立， m=- 2+( 2 2’2 2 2 3 2 V3 当 3时，则 2,可得 ,1,必要性不成立， sina= m= 2 m+(3 2 1 所以m= 2”是sina= 3 2”的充分不必要条件。 故选：A 6.已知双曲线 a2-y2=1 √5 离心率为2，则双曲线C的渐近线方程为() 1 A.y=+x B.y=±2x cy=±2x D.y=tv2x 【答案】C 【解析】 第3页/共30页 6学科网 命组卷网 【分折】根据双曲线方程及离心率得。=4， ，进而写出其渐近线方程 a2+15 11 【详解】由题设a24,可得a2=4,故a2=4, y= 所以双曲线的渐近线为 2 故选：C 7.中国古代数学著作《九章算术》中记载的“刍甍'（如图）是一种五面体，底面ABCD为矩形，侧棱 EF//ABCD AB=4,AD=2,EF=2 平面 ， 若有“刍甍”形状的几何体，且几何体数据如下： 且各侧 面与底面ABCD所成角均为4，则该“刍甍”的体积为() A.3 B.8 10 32 C.3 D.3 【答案】C 【解析】 【分析】过F作FG⊥平面ABCD交平面ABCD于G,过G作MN⊥AB交AB于N,交CD于M, 过G作GT⊥BC交BC于T,连接FT,根据题中条件可以得到∠FTG为侧面FBC与底面ABCD所成 第4页/共30页 6学科网 命组卷网 ∠FTGπ 的角，由 得到TG=FG,同理可得NG=FG,则有MG=FG=WNG=GT=1,过E作平面 ELH'平面FN,交MB于L,交CD于”， 平面 则五面体ABCDE 可分制为直棱柱MN一E亚和两个体积相同的四棱锥 -MCBN,E-DHLA ,分 别求出体积即可得解。 【详解】过F作FG⊥平面ABCD交平面ABCD于G,过G作MN⊥AB交AB于N, 交CD于M,过G作GT⊥BC交BC于T,连接FT, .FG⊥ABCD BCC ABCD 平面 平面 ∴.FG⊥BC :G7 LBC FGNGT-=G,FG.,GTc平面FG7. :BCL平面FG7,PTC平面FGT, 平面 ∴.BC⊥FT ∴.∠FTG FBC 为侧面 与底面ABCD所成的角， 元 各侧面与底面ABCD所成角均为4， ·∠FTG=π 4, ∴.TG=FG :fFGL平面MBCD.ABc平面MBCD, 平面 第5页/共30页 6学科网列组卷网 .FG⊥AB :AM⊥AB.FGOMN=-G,FG,MNC平面PMN .AB⊥FMN FNC FMN 平面 平面 .AB⊥FN ∴.∠FNM ABFE 为侧面 与底面ABCD所成的角， π ·各侧面与底面ABCD所成角均为4， ∠FWM=T 4, ∴.NG=FG MG=FG ,同理 .∴.MG=FG=NG=GT AD=2 AD=MN .∴.MN=2 ∴.MG=FG=NG=GT=1 过E作平面ELH1I平面FMN,交AB于L,交CD于H, ABCDEF FMN-EL和两个体积相同的四棱锥 F-MCBN,E-DHLA 则五面体 可分割为直棱 :EF=2,侧棱 EF/ABCD 平面 ∴.MH=EF=2. S.FMN ×2x1=1 -xANxFG-2 第6页/共30页 6学科网6组卷网 ∴.'rN-BHL=Srww·MH=1×2=2 .Vr-ww-3SwcowFG-xBCxGTxFG-x2xlxl-2 1 3 VFMN-M+2VF-MCBN =2+2x 210 ∴.该五面体的体积为 33, 10 ∴.该“刍甍”的体积为3. 故选：C 8长度为4的线段1B 的两个端点分别在轴及'轴上运动，则线段AB的中点到直线 3x-4y+20=0 距 离的最大值为() A.1 B.3 C.4 D.6 【答案】D 【解析】 【分析】由恩意可得，线段B的中点的轨迹为圆，因此可将求线段MB的中点到直线 x-4y+20=0 距 离的最大值转化为求圆上的点到直线距离的最大值，转化为圆心到直线的距离加半径，即可得解 【详解】设A(a,0),B(0,b),则AB=V+B=4,即a+B=16. a X= 2 记线段 的中点为点，设点的坐标为 则 6 AB C (x,y) 2 所以4+4y=16,即X+少=4 第7页/共30页 6学科网命组卷网 所以点C的轨迹为以原点O(0,0)为圆心，半径r=2的圆 20 d= =4 点。到直线3x-4y+20=0的距离为V32+(4 3x-4y+20=0 所以点到直线 的距离的最大值为+r=4+2=6 故选：D. 9.在△ABC中，AC=4B=2,∠A=120,D为△MBC所在平面内的动点，且ACMD=2,则 BD+MD的最小值为〈) A.25 B.25 c1+V5 D.V10 【答案】A 【解析】 【分析】由余弦定理，可得BC=25,根据数量积公式，可得ADc0s4C,AD)=L,根据数量积的几 何意义，可得AD在AC方向上的投影长度为1，设AC的中点为B,连接DB,DA,DC,DB,可得 DA-DC, 分析可得当B、D、C三点共线时， BD+AD=BD+DC有最小值，且为BC,即可 得答案 【详解】因为AC=AB=2.∠A=120 所6c=4C心+40-24c-AB-cas4=4+4-2x2×2x为=2 所以BC=2V3 因为AcAD-ACcos((4C,AD)=2 ADcos(AC,AD)=2. 所以ADcos(4C,AD)=1,即D在AC方向上的投影长度为1， 第8页/共30页 命学科网 命组卷网 设AC的中点为E,则AE=CE=1,连接DE,DA,DC,DB, 所以DE⊥AC,所以DA=DC 则BD+AD=BD+DC≥BC=23 当B、D、C三点共线时取等号， B 故选：A 10.已知函数f(x)=血-c+1,给出下列四个结论： Ok<1,使得 f(x) 为偶函数： ②k>1,使得 f(x) 存在最小值： gk>1,f(四在0，+w） 上单调递减： @张>0 使得 有三个零点： 其中正确的结论有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】B 【解析】 【分析】利用赋值法，结合奇偶性的定义可判断①；当k>1时，分x≥1和0<x≤1两种情况讨论可得 f()的单调性可判断②3：函数的零点个数即为函数'=血冈与函数y=:x-1的交点个数可判断④. 【详解】对于0，当k=0时，f因=血+1，又f(-=血x+1=|血x+1=f) 第9页/共30页 6学科网命组卷网 所以f是偶西数，故3<1使 f(x) 为偶函数，故①正确： 对于②③，当k>1时， 若x>0,f)=l血-+1 当x≥1时.可得hx≥0，所以闭=hr-众1，则了-长 2.x又>1，则了0四k<0 所以函数f(y)在，+o）上单调递减。 当0<x≤1时，nx≤0，所以f(x)=-lnx-c+l,则 =-1-k<0 所以函数f(田在(0，]上单调递减。 综上所述：函数f()在(0，+切)上单调递减。 又当x21时，f(x)sf)=n1-k+1<0 又→0，f)→-”，所以f0不有在最小值，故②错误，③正确， 对于④。西数国=血-+1的零点即为方程血-c+1=0的根， 即方程h=c-l的根，即函数y=血冈与函数y=x-1的交点， 画出函数y=血与y=c-1的图像，如图所示： =k-1 y=Inx 第10页/共30页 6学科网命组卷网 由函数图像可知y=c-1(k>0)和y=血至多有两个交点， 所以) 至多有两个零点，故④错误 所以，正确命题的个数为2个 故选：B. 二、填空题（本大题共5小题，共25分） )+8的定文为 【答案】 (0,10U(1,+o∞) 【解析】 【分析】根据解析式得到关于自变量的不等式组，其解为函数的定义域 x-1≠0 【详解】由题设有x>0,故x∈(0,1U(1,+oo), 故答案为： (0,1)U(1,+o) 12.抛物线 =4x的焦点P到其准线的距离为 抛物线上一点M,且M上7，则M点的横坐 标为 【答案】 ①.2②.6 【解析】 【分析】根据抛物线方程即可确定其焦准距，可得第一空答案：利用抛物线的焦半径公式可求得M点的横 坐标 【详解】抛物线少=4红可知其生形狂头D=2 即其焦点F到准线的距离为2，准线方程为x=-1: 设M点横坐标为x,则由lM上7，得￥-（)=7，x=6 即M点的横坐标为6， 第11页/共30页 6学科网列组卷网 故答案为：2；6 13已知f数()-sn2x+pj+cas2o<受H0-2则p= 当t∈ 6’3时， 曲线=与直线=m拾有一个公共点，写出一个满足条件的m值 1 1 ≤m< 【答案】 ①.6 ②.1（答案不唯一，写出“2 2或m=1”范围内的任意一个值即可) 【解析】 【分1代入0-。解方程可得空1的粉案，令1=2x+ ,作出y=sin,1 [π5π 6’6的图象， 数形结合可得空2答案 f(0)=2 1 sinp+1=2,即 1 1 sin= 【详解】由 得 2,又阿 2,解得 6 1 此时 f(x)=sin 2x- -sin 2x--cos 2x+cos 2x 6 2 2 3 6 作出y=sin,1e π5π 6’6的图象， y=sint y=m 5π 6 6 由慰意得：曲线y=sin41e π5π -66 与直线y=m恰有一个公共点时， 第12页/供30页 6学科网 命组卷网 y=sint,t∈ π5π 1 1 即曲线 6’6 与直线y=m恰有一个交点，故2 ≤m< 2或m=1: π ≤m< 1 故答案为： 6:1(答案不唯一，写出“2 2或m=1”范围内的任意一个值即可) 14.已知等差数列{a}与等比数列b,}的首项均为-3，且4=1,4，=8弘，则数列{a,}的通项公式为 数列{a,b.}的最大值为 【答案】 ①.4，=2n-5 ②.9 【解析】 【分析】空1由题意可求出公差d=2,从而可求解：空2：先求出公比4三一2及么，-二3 2厂，从而求出 a.6='3(2n-5) 2-1 从面瑞定支列aA}中项的正负.然E设=aA=20-到a≥)，月 21 作差法得出数列C}的单调性，从而可得数列a,b}的最大值 【详解】空①：设等差数列a}的公差为d,等比数列，}的公比为9，由4=-3，凸=1，可得公差 d=4-4=2 3-1 所以0，=-3+(n-)×2=2n-5 空②：因4=3=8b:可得6，=8，又因h=-3,所以4号 68,则得9=- 2 2 第13页/供30页 命学科网组卷网 则44=-1'32-5 2-1 一，显然第一项为正，第二项为负， 2之3时，奇数项都是负数，偶数项都是正数，并设C三a,b,=)(n≥3 则1=30m-3)302a-)_30-2刘 2分 2-1 2n ，所以当n≥4时，Cn+1-Cn<0,所以数列Cn}从C4往 后递减， 又因为44=9,44=-3 8, 所以最大项为a6,则数a,b}的最大值为9， 故答案为：a,=2n-59 15.在平面内，到两个定点1-a0)和Ba,0(a>0 的距离之积为常数“的点的轨迹是一条优美的曲线， 设点P在轨迹曲线C上，有以下结论： ①曲线C关于原点对称： ②当a=l时，P点的横坐标不超过V2 ③△PAB的面积可以等于4： ④点P到原点距离OP≤V2a 其中，所有正确结论的序号是 【答案】①②④ 【解析】 【分析】设动点坐标，由愿意列出曲线方程将工)关于原点对称的点名，-少)代入方程，判断@：由曲 第14页/供30页 6学科网命组卷网 线方程化简得到广=V0+4-x-心，由y≥0，建立不等式即可解得P点的横坐标的范围，判 断@，令2=ad2+42代入广=Va+4ar--d后利用配方法求得y的取值范围，即可求得△PAB 面积的取值范围，判断③，由曲线方程建立不等式求得+y的范围，判断④ 【详解】设点P(x,y),由题意得APBP=V(a-x)2+y2V(a+x)2+y2=a2, .(x+y+a2-4ax=a,(r+y2）=2d2(x2-y2） 当点P(←x-)时，（(-x+(y=22(-x-(←y）,轨迹方程成立， ∴曲线C关于原点对称，①正确： (x+y+a)-4dx-d,y=Va+Adx-x-d. 当a=1时，y=1+4r-x2-1≥0，则V1+42≥x2+1>0, x-2x≤0，即(r-2)≤0，x2≥0，：≤2，即2≤x≤V2,②正确： r=+4--,1=t探≥.测- 当且仅当1=2a,即-3女 4时，y2取最大值为4， 2,∴③错误； (x2+y2=2a2(x2-y2)s2d2x≤2d(x+y）,即(x+y2）x+y-2a2）s0, +y≥0,4x2+y2≤2d2 第15页/供30页 6学科网命组卷网 :oP=+y≤V2a=V2a,④正确 故答案为：①②④ 三、解答题（本大题共6小题，共85分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16,如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥底面ABCD,且PD=AD=4,E是 PC 的中点，平面1BE PD 线段交于点F (1)求证：AB∥FE: (2)若CF-2V ,求直线BE与平面BCF所成角的正弦值 【答案】(1)证明： 在矩形ABCD中，ABIIDC, 又ABd平面DCP,DCC平面DCP, 所以AB∥平面DCP, 又因为ABC平面ABE,且平面ABEO平面DCP=FE, 所以AB∥FE V30 (2)30 【解析】 第16页/共30页 命学科网命组卷网 【分析】(1)由线面平行的判定与性质定理即可证明结论： (2)建立空间直角坐标系，由题意求出线段CD的长度，确定相关点坐标，求解平面的法向量，利用空 间角的向量求法求解即可。 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由(1)可知FEIDC, 又因为E是PC的中点，所以F是PD的中点， 因为PDLY面MBCD,MD,DCC平面MBCD PD⊥AD,PD⊥DC. 所以 因为CF=25,DF=2,即CD2+DF2=25,放CD=4 又在矩形ABCD中，AD⊥CD」 DA,DC,DP 所以 两两垂直 DA,DC,DP ,y,2 D-xyz 如图以D为坐标原点，以 所在直线为 轴建立空间直角坐标系 B B(4,4,0),C(0,4,0),P(0,0,4),E(0,2,2),F(0,0,2) 则 所以BE=(4,-2,2),BF=(4,4,2),BC=(40,0) 第17页/共30页 学科网 命组卷网 BCF i=(x,y,Z). 设平面 的一个法向量为 BF.n=0 -4x-4y+2z=0 由 BC.n=0' 得 -4x=0 令y=1每i=(0,12) ,得 设直线BE与平面BCF所成角为O, BE· sin=cos BE,n V30 则 BE网 2√6×V530, V30 故直线BE与平面BCF所成角的正弦值为30· bsin 4=asin(-B) 17.在△ABC中， (1)求∠B: (2)若a=4v3 再从条件①、条件②、条件®这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC 在且唯 确定，求 △ABC 的面积 条件①.AAB 的周长为8+4V3 4 cos A= 条件②： 5 条件③：b=6 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个 解答计分. 【答案】(1)B= 6 第18页/共30页 学科网组卷网 (2) 选择条件O:△MBC的面积S=4V3 选择条件②：△MBC的面积S=8+6V5 选择条件③：△ABC不唯一确定. 【解析】 【分析】(1)根据正弦定理，结合两角和的余弦公式，可求角B的三角函数值，进而求角B (2)若选①，可用余弦定理求三角形的边长，再求三角形面积： 若选②，可用正弦定理求边b,再利用两角和的正弦求$nC,利用三角形的面积公式求面积即可： 若选③，利用正弦定理判断满足条件的三角形不唯一，所以选③不满足题意. 【小问1详解】 bsinA=asin(径-B) 在△ABC中， 3 由正弦定理，可得sin Asin B=sinA CosB、I。 sin B 2 整理得3 sin BsinA=V3 sin AcosB 因为Ac(0,血A0:所以3为咖B=5osB,即mB= 3， 因为B∈(0，)，所以B= 6 【小问2详解】 选择条件①：因为△MBC的周长为8+43 a=4W5,则b+c=8. 由余弦定理，得4+c2-2 ac cosB= 第19页/共30页 命学科网命组卷网 所以a+c2-V3ac=b,即48+c2-12c=B, 解得b=c=4,所以aABC的面积S=2 esin R=45 4 CosA= 选择条件②：因为 5,A∈(0，π)， 所以sinA=V-cos2A=3 ,因为a=4v3, 6 由正弦定理sin B sind,可得bsl0 a 3, 又B= 6’A+B+C=π' 所以sinC=sin(A+B)周=-sin Acos+cos AsinB=4+3v5 10, S=1 所以△ABC的面积S=2absi血C=8+6V3 选择条件③：因为a=4V3 由正弦定理sin B sin,可得snA-V3 b a 3, 因为b<a,所以A不唯一， 因为△ABC存在且唯一确定，故条件③不成立. 18.某品牌汽车计划推出两款新型车，纯电动(EV)和插混电动版(PHEV),为了解某市将来市场情况，在 该市潜在消费群体中抽取200人进行购买意愿调查，调查数据按收入水平分组如下表（单位：人） 中收入群体 低收入群体 高收入群体（收入>50 车型 (收入20万元-50万元 (收入<20万元/年) 万元/年) /年) 第20页/共30页 6学科网命组卷网 愿意 不愿意 愿意 不愿意 愿意 不愿意 EV 50 20 40 40 30 20 PHEV 25 45 40 40 35 15 假设所有潜在消费者的购买意愿都是相互独立，用频率估计概率. (1)在该市汽车潜在消费者中随机抽取1人，估计其愿意购买纯电动(EV)的概率P: (2)从该市潜在消费者的中收入群体中随机抽取2人，在高收入群体中随机抽取1人，记X为3人中愿意 购买纯电动(EV)汽车的人数，求X的分布列和数学期望； (3)若该市C社区中汽车潜在消费者低收入群体、中收入群体、高收入群体的人数之比为1：4：2，从该 社区随机抽取1人，其愿意购买纯电动V汽车的概率设为P4,试比较P和P4的大小 3 【答案】(1) 5 (2)分布列： X 0 1 2 3 p 0 3 20 2-5 20 8 5 (3)Pa<P 【解析】 【分析】(1)利用频率来估计概率即可： (2)由于是从该市全体中来抽取，即从总体中来抽取，故用频率估计概率，再结合独立事件同时发生用 乘法公式和分类加法原理来求解： (3)利用全概率公式来进行求解， 【小问1详解】 1203 由表可知200名调查者中愿意购买纯电动人数为120人，频率为2005，用频率估计概率，从顾客中随 第21页/共30页 6学科网6组卷网 3 机抽取1人，估计该名顾客愿意购买纯电动版的概率估计为5； 【小问2详解】 401 用频率估计概率，从全市中收入群体中随机抽1人，愿意购买纯电动版的概率估计40+402，从全市 303 高收入群体中随机抽取1人，愿意购买纯电动版的概率估计30+205， 由题意可知X可能取值为0,1,2,3， x0--引xc--引-x小-0-引e-非x-列品分布列如下： X 0 1 2 3 1 7 2 3 10 20 20 E(X)=0x0+1×7+2x2+3x3-8 2 10 20 205 【小问3详解】 505 低收入者愿意购买纯电动(EV)的概率为50+207； 40 1 中收入者愿意购买纯电动(EV)的概率为40+402： 303 高收入者愿意购买纯电动(EV)的概率为30+205； 1.5,41,2、31373 利用全概率公式可得：P7×7十7×2+号×5245亏 X 所以Pp 第22页/供30页 6学科网命组卷网 x- 3 19已知椭圆B:。+=1(a>b>0)的上，下顾点分别为A,B,且短轴长为2，离心率为2 (1)求椭圆E的标准方程： (2)设直线y=-2与y轴交于点卫，点M为椭圆E上不同于顶点的一点，且直线BM与直线y=-2交于 点P,4M与直线'=-2 交于点W,判断是否存在点M,使得∠PMN=∠QMW 若存在，求出点M的 坐标；若不存在，说明理由. x2 【答案】(1)4+y=1 2yM5,M5, 【解析】 √5 【分析】(1)根据椭圆E的短轴长为2，求得b=1,再由离心率为2，得到C= 2“,结合 c2=a2-b2 求得a=2 即可求得椭圆E的标准方程 (2)设椭圆B上不同于顶点的 M,),得到云=4-0-6)，再由直线BM的方程，求得 P(七 八+2习。假设存在点M,使得∠PN三∠DN,得到p=,列出方得，求海⅓三 2 进而求得点M的坐标，得到答案 【小问1详解】 x2 y2 解：由椭圆B:立+京=引的短轴长为2，可得2b=2,解得b=1, E: 3c5 又由椭圆E的离心率为2，即。2，所以C= 2a, 第23页/共30页 6学科网列组卷网 V3 因为c2=d-2,可得（受=d-1,解得a=2 所以椭圆E的标准方程为4+少=1 【小问2详解】 解：由直线少= 2与》轴的交 为Q0,-2）,且椭圆F的上下顶点为 A(0,1),B(0,-1) 设椭圆E上不同于项点的点 M(xo,o)(x+0,y。≠±) 年+6-l,即5=40-%， 可得4 飞=为-(=⅓+1 …x-1 由直线BM的斜率为 -0。,则直线BM的方程为x·x %+1 -…x-1=-2 P(-Xo 令y=-2,可得x 解得+1，所以P八2刃 k=为-1-为-1 又由直线4M的斜率为。-0x)，则直线4M的方程为ys名 -…x+1 %-1 x-1=-2 令y=-2,可得x 2，解得1，历以收3龙 %72) 假设存在点M,使得∠PMN=∠OMN,则APIM0,即=k0, k=名1=0+D,o=+名 因为 -。-0。 %+1 =品对，前阴6=.无=-1=3，气5， 3+)_,+2 可得x 第24页/共30页 6学科网命组卷网 即M点的坐标为 3女5宁 所以存在点 (5,宁安M5-宁，发样PN=∠Qw皮立 OB y=-2 20.已知函数f()=2+n(x+) (1)求东在0，f0) 在 处的切线方程： (2)设8()=e-cosx,证明：当x>0时，8(x)>0, (3)若(e+acosx)f(x)≥0 成立，求实数a的值. 【答案】(1)y=x (2) 证明：由函数8(=e-cosx,可得8(y)=e+sinx 当x>0时，可得e>l,-1≤sinx≤1，所以8'()>0，g(在0，+0)上单调递增， 所以8(x)>g(0)=e°-os0=0 所以当x>0时，8(x)>0 (3)-1 【解析】 【公】)根据，求村了代四-2x+计.将f0=1了0)=0.结合号数的儿有在义.用 第25页/供30页 6学科网命组卷网 可求得切线方程； (2)根据题意，求得8'()=©+six,当x>0时，得到8'(>0，得出8（✉）在0，+o)上单调递增。 结合8()>8(0)，即可得证： (3)由x>0时.f()>0,-1<x<0时，f()<0,设8()=e+cosx,转化为当x>0时， 8(,≥0，当1<x<0时，8()≤0，根据3(0)=0，求得a=-1,分x>0和-1<x<0,两种情 况讨论，结合函数的单调性和最值，作出证明，即可求解 【小问1详解】 架自6数/创++D.g因=2x+中. 则f(0)=山f0)=0,即切线的斜率为=1，切点坐标为0.0)， 所以f(:)在0，∫0)》处的切线方程为y= 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解函激/心)=+x+D,可得其定义该为(1网，且了)=2“》 x+1 当x>-1时，()>0，所儿因在（-l,+w)上单调递增， 当x>0时，f()>0:当-1<x<0时，f(<0, 设h(x)=e+sx,要使得(e+acosx)j()≥0恒成立，即h()f()≥0恒成立， 当x>0时，h()≥0，当-1<x<0时，h()≤0 所以h0)=0,即e+acos0=0,解得a=-1, 第26页/共30页 6学科网命组卷网 下面证明：当a=-1时，h()f()≥0恒成立， 由h()=e-cosx,可得h()=e+sinx, 当x>0时，h()>0,h(x在0，+o)上单调递增，h)>h(0)=0: 当-1<x<0时，设()=()=c+sinx,可得p()=e+cosx 因为e>0,0sx>0,可得'()>0，所以h(x)在(1,0)单调递增， 1)'+sin(-1)e'+sin 又由 所以存在唯一名∈1,0)，使得，)=0， 所以h()在（山）上单调递减，在，0)上单调递增， 因%4-)-日co(-<} <。20且40)=0， 所以当x∈(-l,0)时，h(≤0恒成立， 综上可得，当a=-1时，h()小f()≥0，即实数“的值为1 21.项数为m(m≥2)的数列a,}清足如下两个性质，则称a,}为一个满足“绝对值无关联"的m阶数列： n2aam12a=at%+a,. ②as元(=l2,,m） 222 2 1,1 (1)判断数列3’3’3山是否为一个满足“绝对值3关联”的5阶数列？是否为一个满足“绝对值1关 联”的5阶数列？说明理由： 第27页/供30页 6学科网6组卷网 5 (2)若数列{a,}为一个满足“绝对值入关联”的6阶数列，证明：几的最小值为6； (3)若数列a,}为一个满足绝对值关联"的2k+1伥∈N)阶数列，求元的最小值 2 【答案】(1)不是一个满足“绝对值3关联”的5阶数列，是一个满足“绝对值1关联”的5阶数列， 5 (2)6 (3)1 【解析】 【分析】(1)根据绝对值九关联”的m阶数列的定义判断即可： (2)根据“绝对值关联”的6阶数列得 立a-空5.再利用415A则南65轻时： 学发m定u26=a,2+用：里2 最后分类讨论即可 【小问1详解】 y 不是一个满足“绝对值3关联”的5阶数列， 因为a=a小>号 号-号子11是个满足“绝对恒1关医”的5卧数别， 因为2a-2=4-0=4nla=la4<1,a,=a-1满足两个性质 【小问2详解】 第28页/共30页 6学科网6组卷网 因为数列，}为一个满足“绝对值无关联”的6阶数列， 所2a-2-5,知2a-2+5 又a1所2as6队，同时2+525 i=l 所以6≥5解得 6 555555 又数列6’6’6’6’6’6是一个满足“绝对值6关联”的6阶数列， 所以九的最小值为6. 【小问3详解】 数列a,为一个满足“绝对值关联”的2k+1(k∈N)阶数列， 66e2k,且艺空-2 不妨设4,4,4，≥0,42,4<0，其中1≤j<2+1, 记立=x三a=少，不纺获x之y(香制明-4代香a即可)， 2k+ i=itl 艺a学到=+列-e-》=2改，k k=y≤(2k+1-j)2k≤x≤j况 因为 ,k.n≥ kk 所以2产2+1可且2≥，即元不小于2k+1可和7中的最大者. 第29页/共30页 6学科网命组卷网 当j=k或j=k+1时，2k+1-j和j中的最大者均为1，所以2≥1， k>1,k ->1 当广<k或j>k+1时，j或者2k+1-j,所以2>1. 综上之1，当数列a,前k项为正，后k+1项为负时取等号， kk k 此时数列a,}可为：1山，1，k十k+符合恩意。 所以九的最小值为1. 6 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是理解数列新定义得 a=2+5. i-1 i-l 再代入计算即可. 第30页/共30页