精品解析：广东省中山市桂山中学2024-2025学年高三上学期第二次统测数学试题

2024年中山市桂山中学高三年级上第二次统测试题 一、单选题 1. 已知集合， ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合，再根据集合间的运算即可求解. 【详解】解：， ， ， 故. 故选：C. 2. 已知命题，总有，则为（ ） A. ，使得 B. ，使得 C. ，总有 D. ，总有 【答案】B 【解析】 【分析】直接写出命题的否定即可. 【详解】因为，总有，则为，使得 故选:B 3. 掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚向上的点数为奇数”，“第二枚向上的点数为3的倍数”，“向上的点数之和为8”，则（ ） A. 与互斥 B. 与对立 C. 与相互独立 D. 与相互独立 【答案】C 【解析】 【分析】利用互斥事件，对立事件，相互独立事件的性质依次判断即可. 【详解】选项：当第一枚向上的点数为3，第二枚向上的点数为3，∴与同时发生，∴与不互斥，∴选项错误； 选项：当第一枚向上的点数为5，第二枚向上的点数为3，此时向上的点数之和为8，则与同时发生，∴与不对立，∴选项错误； 选项：该实验的样本空间有36个元素，事件， ，， 事件，， 事件, 则, ,, ∴，∴与相互独立，∴选项正确； 选项：事件，事件, 则，,, ∴,∴与不是相互独立，∴选项错误； 故选:. 4. 已知扇形的周长为12cm，圆心角为4rad，则此扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设扇形的半径为，列方程求出的值，再计算扇形的面积. 【详解】设扇形的半径为，则弧长为，周长为，解得：， 则此扇形的面积为：， 故选：D 5. 为了得到函数的图象，只需要把函数图象（ ） A. 先将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位 B. 先将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位 C. 先向左平移个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） D. 先向右平移个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） 【答案】B 【解析】 【分析】利用平移变换和周期变换的规则来判断. 【详解】为了得到函数的图象，只需要把函数图象 先向右平移个单位，再将横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），CD错； 也可以先将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，A错误，B正确. 故选：B. 6. 已知，则方程实数根的个数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】由方程先求出或或，再解方程即可． 【详解】解：①当时， ， 解得，， 或， 或， 故或； ②若，则， 或， 或， 若，则或， 则或或； 若，则或， 则（舍去）或或， 综上所述，方程实数根的个数是7， 故选：C． 7. 已知随机变量，且，则的最小值为（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性求得，利用基本不等式求得正确答案. 【详解】根据正态分布的知识得，则， ， 当且仅当，即时取等. 故选：D 8. 若不等式恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，依题意可得恒成立，求出函数的导函数，分、两种情况讨论，说明函数的单调性，求出，即可得到，从而得到，再利用导数求出的最小值，即可得解. 【详解】令，则恒成立， 又， 当时，恒成立，所以在上单调递增，且时，不符合题意； 当时，令，解得，令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以， 所以， 令，， 则，所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以，即的取值范围是. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题关键是推导出，从而得到. 二、多选题 9. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 的图象关于直线对称 D. 在上的值域为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据图象求出函数的解析式，结合三角函数的性质，逐次判断各选项即可得到结论． 【详解】由函数的部分图象可知：， 又因为，即结合函数的单调性可得 ,故A错误； 即所以, 故B正确； 所以． 对于选项C：当时，可得， 所以的图象关于直线对称， 故C正确； 对于选项D： 当时，， 所以，即，故D错误； 故选：BC． 10. 已知定义在上的函数满足：对任意x，，恒成立，且，则（ ） A. 函数的图象过点 B. 函数的图象关于原点对称 C. 的图象关于点对称 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据抽象函数的关系，令可得，从而可判断A；用代替y，根据可得， 从而可判断B；用代替x，代替，y，得，由，，故，用2x代替x，0代替y，代替x，0代替y，得表达式结合为偶函数，即可判断C，D. 【详解】对于A，令，则，因为，所以，故A正确； 对于B，用代替y，得， 又，整理得，所以为偶函数，且，故B不正确； 对于C，用代替x，代替y，得． 又，所以，即， 进一步可得． 又，，故， 所以，由此规律可得 ． 用2x代替x，0代替y，得①． 代替x，0代替y，得②， 由①+②得． 又为偶函数，所以， 所以函数的图象关于点对称，故C正确； 对于D，由对C选项的分析知，，故D正确， 故选：ACD． 【点睛】关键点点睛：本题涉及由抽象函数关系求函数值，函数的奇偶性，对称性等，根据给定的函数关系，在对应区间上赋值，再不断变换求解即可. 11. 若甲组样本数据，，…，（数据各不相同）的平均数为2，方差为4，乙组样本数据，，…，的平均数为4，则下列说法正确的是（ ） A. a的值为-2 B. 乙组样本数据的方差为36 C. 两组样本数据的样本中位数一定相同 D. 两组样本数据的样本极差不同 【答案】ABD 【解析】 【分析】结合平均数、方差、中位数、极差的概念以及平均数的和差倍分性质，及一组数据同时乘一个数，同时加一个数对方差的影响，逐项分析即可求出结果. 【详解】由题意可知：，故，故A正确； 乙组样本数据方差为，故B正确； 设甲组样本数据的中位数为，则乙组样本数据的中位数为，所以两组样本数据的样本中位数不一定相同，故C错误； 甲组数据的极差为，则甲组数据的极差为，所以两组样本数据的样本极差不同，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题 12. 在展开式中，的系数为12，则实数a等于______． 【答案】2 【解析】 【分析】求出二项展开式的通项，令的指数等于4，求得，再根据展开式中的系数为12，即可得出答案. 【详解】解：的展开式的通项为， 令，则， 则在展开式中，的系数为， 所以. 故答案为：2. 13. 已知，则的值为______ 【答案】 【解析】 【分析】利用两角和差正切公式可求得，利用二倍角公式将所求式子构造为关于正余弦的齐次式，则配凑分母，分子分母同时除以可构造出关于的式子，代入求得结果. 【详解】，解得： 本题正确结果： 【点睛】本题考查关于正余弦的齐次式的求解问题，涉及到两角和差正切公式的应用、同角三角函数关系的应用，属于常考题型. 14. 已知函数和的图象相邻的两个交点为A，B，若，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】作出函数图象，结合三角形的等价条件进行转化，求出三角形的底和高，结合三角函数的相交性质进行求解即可. 【详解】作出两个函数的图象如图，则由对称性设，且， 即为等腰三角形，，且， 取AC的中点M，连接BM， 则，， 由，得， 得，得，得， 则， 即A点纵坐标为1，，， 因为，所以，解得， 即，解得，所以的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知函数． （1）求的最小正周期和的单调递减区间； （2）当时，求函数的值域及取得最小值时x的值． 【答案】（1）； （2）当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值.值域为． 【解析】 【分析】（1）利用二倍角降幂公式、辅助角公式可得出，利用周期公式可计算出函数的最小正周期，解方程可得出函数的对称中心坐标；解不等式，可得出函数的单调递减区间； （2）由，计算出的取值范围，利用正弦函数的性质可得出该函数的最小值以及对应的的值，从而得值域. 【小问1详解】 ， 所以，函数的最小正周期为. 解不等式， 解得. 因此，函数的单调递减区间为； 【小问2详解】 当时，， 当时，即当时，函数取得最大值，最大值为， 当时，即当时，函数取得最小值，最小值为， 所以函数的值域为． 16. 已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. （1）求角A的大小； （2）若，求△ABC的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理对等式进行化简，进而可以求出角； （2）根据余弦定理求出相应的边长，再利用三角形的面积公式求面积. 【小问1详解】 因为， 所以， 因为 所以， 因为， 所以， 所以 因为, 所以. 【小问2详解】 在中，，且， 所以，① 又因为， 将其与①联立，解得， 所以， 所以， 于是， 即为等边三角形. 所以的面积为. 17. 随着互联网发展，网络已成为人们日常学习、工作和生活不可或缺的部分，互联网在带给人们生活便捷与高效工作的同时，网络犯罪也日益增多，为了防范网络犯罪与网络诈骗，学校举办“网络安全宣传倡议”活动.某学校从全体学生中随机抽取了400人对“网络安全宣传倡议”的了解情况进行问卷调查，统计结果如下表所示： 男 女 合计 了解 150 240 不了解 90 合计 （1）根据所提供的数据，完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为对“网络安全宣传倡议”的了解情况与性别有关？ （2）对了解“网络安全宣传倡议”的人按性别用比例分配的分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记为抽取的3人中女生的人数，求的分布列和数学期望. 参考公式：，其中. 参考数据： 0.10 0.05 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 【答案】（1）列联表为： 男 女 合计 了解 150 90 240 不了解 70 90 160 合计 220 180 400 有关 （2）的分布列为： 【解析】 【分析】（1）完成列联表，利用公式求解，即可得出结论. （2）利用超几何分布求解对应概率，得出分布列，即可得出结果. 【小问1详解】 根据题意，得到列联表为： 男 女 合计 了解 150 90 240 不了解 70 90 160 合计 220 180 400 零假设为：对“网络安全宣传倡议”的了解情况与性别无关联. 根据列联表中数据，可以求得： ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为对“网络安全宣传倡议”的了解情况与性别有关. 【小问2详解】 从男生中抽取：（人）， 从女生中抽取：（人）. 的所有可能取值为，，，， ， ， 的分布列为： 所以. 18. 某学校有，两家餐厅，王同学开学第1天（9月1日）午餐时去餐厅用餐的概率是.如果第1天去餐厅，那么第2天继续去餐厅的概率为；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为，如此往复. （1）计算王同学第2天去餐厅用餐的概率. （2）记王同学第天去餐厅用餐概率为，求； （3）求九月（30天）王同学去餐厅用餐的概率大于去餐厅用餐概率的天数. 【答案】（1） （2） （3）1天 【解析】 【分析】（1）设表示第1天去餐厅，表示第2天去餐厅，利用全概率公式计算可得； （2）设表示第天去餐厅用餐，则，由全概率公式可得，即可得到，从而求出； （3）依题意只需，从而得到，再结合指数函数的性质计算可得. 【小问1详解】 设表示第1天去餐厅，表示第2天去餐厅，则表示第1天去餐厅， 根据题意得，，，，， 所以. 【小问2详解】 设表示第天去餐厅用餐，则，， 根据题意得，，， 由全概率公式得，， 即， 整理得，，又， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 【小问3详解】 由题意，只需，即， 则，即， 显然必为奇数，为偶数时不成立， 当时，考虑的解， 当时，显然成立，当时，，不成立， 由单调递减得，时，也不成立， 综上，该同学只有1天去餐厅用餐的概率大于去餐厅用餐概率. 19. 已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）若在上恒成立，求实数的取值范围； （3）帕德近似（Pade approximation）是数学中常用的一种将三角函数､指数函数､对数函数等“超越函数”在一定范围内用“有理函数”近似表示的方法，比如在附近，可以用近似表示. （i）当且时，试比较与的大小； （ii）当时，求证：. 【答案】（1）减区间为，无增区间 （2） （3） （i）当时，，当时，. （ii）当时，原不等式即. 由于当时，，所以， 当时，也成立. 所以对任意的恒成立. 在中取，则有，也即， 所以（a） 记函数， 由于，所以只需考虑的符号， 易知在上单调递减，在上单调递增，. 所以（b） 由（a）（b）得， 故. 【解析】 【分析】（1）求导，判断导函数的符号，可得函数的单调区间. （2）采用分离常数的方法得（），设，求在上的最小值即可. （3）（i）构造函数，利用函数的单调性及，比较与的大小；（ii）利用（i）的结论，进行证明. 【小问1详解】 当时，，则. 所以的减区间为，无增区间. 【小问2详解】 因为在上恒成立， 所以，所以（） 设，则 再设，则， 则在上恒成立，所以在单调递增， 所以， 所以在上恒成立，所以在单调递增， 所以. 又在上恒成立，所以. 【小问3详解】 （i）记，则， 所以在上单调递增，而， 于是，当时，，当时，. （ii）略 【点睛】方法点睛：求参数的取值范围问题，一般思路有： （1）分离参数，把参数分离出来，问题转化为不含参数的函数的值域问题，通过求函数的值域求解参数的取值范围. （2）直接求函数的值域，此时可能要根据参数的值进行分类讨论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年中山市桂山中学高三年级上第二次统测试题 一、单选题 1. 已知集合， ，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，总有，则为（ ） A. ，使得 B. ，使得 C. ，总有 D. ，总有 3. 掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚向上的点数为奇数”，“第二枚向上的点数为3的倍数”，“向上的点数之和为8”，则（ ） A. 与互斥 B. 与对立 C. 与相互独立 D. 与相互独立 4. 已知扇形的周长为12cm，圆心角为4rad，则此扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 为了得到函数的图象，只需要把函数图象（ ） A. 先将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位 B. 先将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位 C. 先向左平移个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） D. 先向右平移个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） 6. 已知，则方程实数根的个数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 7. 已知随机变量，且，则的最小值为（ ） A. 5 B. C. D. 8. 若不等式恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 的图象关于直线对称 D. 在上的值域为 10. 已知定义在上的函数满足：对任意x，，恒成立，且，则（ ） A. 函数的图象过点 B. 函数的图象关于原点对称 C. 的图象关于点对称 D. 11. 若甲组样本数据，，…，（数据各不相同）的平均数为2，方差为4，乙组样本数据，，…，的平均数为4，则下列说法正确的是（ ） A. a的值为-2 B. 乙组样本数据的方差为36 C. 两组样本数据的样本中位数一定相同 D. 两组样本数据的样本极差不同 三、填空题 12. 在展开式中，的系数为12，则实数a等于______． 13. 已知，则的值为______ 14. 已知函数和的图象相邻的两个交点为A，B，若，则的取值范围为__________. 四、解答题 15. 已知函数． （1）求的最小正周期和的单调递减区间； （2）当时，求函数的值域及取得最小值时x的值． 16. 已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. （1）求角A的大小； （2）若，求△ABC的面积. 17. 随着互联网发展，网络已成为人们日常学习、工作和生活不可或缺的部分，互联网在带给人们生活便捷与高效工作的同时，网络犯罪也日益增多，为了防范网络犯罪与网络诈骗，学校举办“网络安全宣传倡议”活动.某学校从全体学生中随机抽取了400人对“网络安全宣传倡议”的了解情况进行问卷调查，统计结果如下表所示： 男 女 合计 了解 150 240 不了解 90 合计 （1）根据所提供的数据，完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为对“网络安全宣传倡议”的了解情况与性别有关？ （2）对了解“网络安全宣传倡议”的人按性别用比例分配的分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记为抽取的3人中女生的人数，求的分布列和数学期望. 参考公式：，其中. 参考数据： 0.10 0.05 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 18. 某学校有，两家餐厅，王同学开学第1天（9月1日）午餐时去餐厅用餐的概率是.如果第1天去餐厅，那么第2天继续去餐厅的概率为；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为，如此往复. （1）计算王同学第2天去餐厅用餐的概率. （2）记王同学第天去餐厅用餐概率为，求； （3）求九月（30天）王同学去餐厅用餐的概率大于去餐厅用餐概率的天数. 19. 已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）若在上恒成立，求实数的取值范围； （3）帕德近似（Pade approximation）是数学中常用的一种将三角函数､指数函数､对数函数等“超越函数”在一定范围内用“有理函数”近似表示的方法，比如在附近，可以用近似表示. （i）当且时，试比较与的大小； （ii）当时，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $