精品解析：甘肃平凉市庄浪县紫荆中学2026-2027学年第一学期第一次月考高一数学试卷

紫荆中学2026-2027学年第一学期第一次月考试仓 高一数学 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 设集合，，则=（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 满足集合的集合的个数是（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 4. 已知实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 5. 已知集合，，（ ） A. B. C. D. 6. 关于的一元二次方程的两个实数根的平方和为4，则实数 的值为（ ） A. 4 B. -10 C. 2 D. -10或2 7. 周长为的直角三角形面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 1 8. 集合，，将集合A，B分别用如图中的两个圆表示，则圆中阴影部分表示的集合中元素个数恰好为4的是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分. 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 命题“，”的否定是“，” C. 若，则 D. 若，，且，则的最小值为9 10. 已知是的充分不必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，下列命题正确的是（ ） A. 是的充要条件 B. 是的充分不必要条件 C. 是的必要不充分条件 D. 是的充分不必要条件 11. 对于集合，，我们把集合且，叫作集合和的差集，记作，例如：，，则有，，下列解答正确的是（　　） A. 已知，，则 B. 已知或，，则或 C. 如果，那么 D. 已知全集、集合、集合关系如上图中所示，则. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则的最小值为______. 13. 若，，则m的取值范围为__________． 14. 已知；，若是的充分条件，则的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集 （1）求； （2）求； （3）求． 16. （1）已知，，求，的取值范围； （2）已知，，求的取值范围. 17. （1）已知，求的最大值 （2）已知，求的最大值 18. 设集合 （1）若，求实数的取值范围； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 19. 某农户计划在一片空地上修建一个田字形的菜园如图所示，要求每个矩形用地的面积为且需用篱笆围住，菜园间留有一个十字形过道，纵向部分路宽为，横向部分路宽为. （1）当矩形用地的长和宽分别为多少时，所用篱笆最短？此时该菜园的总面积为多少？ （2）为节省土地，使菜园的总面积最小，此时矩形用地的长和宽分别为多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 紫荆中学2026-2027学年第一学期第一次月考试仓 高一数学 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 设集合，，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的定义即可求解. 【详解】，，则=, 故选：B 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定可得否定命题. 【详解】命题“”的否定是“”. 故答案为：B. 3. 满足集合的集合的个数是（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据子集的定义确定必须包含元素1、2，剩余元素仅能从中选取，然后利用列举法即可求解. 【详解】由集合子集的定义可得：因为，所以且； 因为，所以的可能情况有： ， 故满足条件的的个数为8. 4. 已知实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】若，则满足，但此时，故“”不是“”的充分条件； 若，此时成立，故“”是“”的必要条件. 综上，“”是“”的必要不充分条件. 5. 已知集合，，（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简集合Q，根据集合的交集运算即可. 【详解】,, , 故选：A 6. 关于的一元二次方程的两个实数根的平方和为4，则实数 的值为（ ） A. 4 B. -10 C. 2 D. -10或2 【答案】C 【解析】 【分析】 用韦达定理得出根与系数的关系，然后计算可得． 【详解】方程有实根，则，解得 或， 设方程的两根为，则， ， ∴，解得 （舍去）． 故选：C． 【点睛】易错点睛：本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题中利用韦达定理得，然后利用 去化简求值，这里有一个前提条件：方程有实解，因此有个隐含条件：由此求出参数的范围，只有在这个范围内的参数值才是所求解． 7. 周长为的直角三角形面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【详解】设直角三角形的两直角边长分别为，， 则. 所以， 当且仅当时取等号. 所以 ， 所以，三角形的面积（当且仅当时取等号）. 8. 集合，，将集合A，B分别用如图中的两个圆表示，则圆中阴影部分表示的集合中元素个数恰好为4的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】记，然后分析每个选项对应的集合的运算并求解出结果进行判断即可. 【详解】因为，，所以， 记， 对于A选项，其表示，不满足； 对于B选项，其表示，不满足； 对于C选项，其表示，满足； 对于D选项，其表示，不满足； 故选：C. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分. 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 命题“，”的否定是“，” C. 若，则 D. 若，，且，则的最小值为9 【答案】AD 【解析】 【分析】对 A 作差判号，对 B 按"改量词、否结论、条件不动"的规则检验否定，对 C 取 举反例，对 D 用乘"1"的代换配合基本不等式求最小值并验证等号可取. 【详解】A项，由 知 、 同号，， 当 时，分子 、分母 ，该差小于 ，即 ，A正确； B项，全称命题"，"的否定只需把量词改为存在、结论改为否定， 条件 保持不变，应为"，"，B错误； C项，当 时，，不等式不成立，C错误； D项，由 得 ， 此时 ，即 ，结合 得 、， 等号可以取到，故最小值为 ，D正确. 10. 已知是的充分不必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，下列命题正确的是（ ） A. 是的充要条件 B. 是的充分不必要条件 C. 是的必要不充分条件 D. 是的充分不必要条件 【答案】AB 【解析】 【分析】 根据条件弄清楚之间的关系，然后逐一判断即可. 【详解】由已知有 所以且，故A正确，C不正确 ，B正确，且，D不正确 故选：AB 【点睛】本题主要考查的是充分条件、必要条件的判断，属于基础题. 11. 对于集合，，我们把集合且，叫作集合和的差集，记作，例如：，，则有，，下列解答正确的是（　　） A. 已知，，则 B. 已知或，，则或 C. 如果，那么 D. 已知全集、集合、集合关系如上图中所示，则. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据所给定义一一判断即可. 【详解】对于A：因为，，所以，故A错误； 对于B：因为或，，所以或，故B正确； 对于C：若，则中的元素都是中的元素，所以，故C正确； 对于D：即为由的补集与集合的交集，即，故D正确； 故选：BCD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则的最小值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】通过换元将原式转化为符合基本不等式使用条件的结构，再利用基本不等式求解最小值. 【详解】令，由得，且. 将代入原式化简：  . 根据基本不等式：对任意正实数，有，当且仅当时等号成立. 令，，则， 当且仅当即（，负根舍去）时等号成立. 此时，满足题设条件，因此，即所求最小值为. 13. 若，，则m的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得出，又，由不等式的可加性得出答案. 【详解】由，则， 又，， 所以， 综上，. 故答案为： 14. 已知；，若是的充分条件，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】先化简，根据题意可推出，列不等式计算即可. 【详解】由得，，即. 是的充分条件，故可推出， 故且，即. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集 （1）求； （2）求； （3）求． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出集合，再根据交集的定义求解即可； （2）先求出集合，再根据补集的定义求解即可； （3）先求出集合，再根据并集的定义求解即可. 【小问1详解】 因为， 所以； 【小问2详解】 由（1）知，， 所以； 【小问3详解】 由（1）知，， 所以. 16. （1）已知，，求，的取值范围； （2）已知，，求的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）（2）根据不等式的性质即可求解. 【详解】（1）由可得，， 故， 即， （2）由于，， 故. 17. （1）已知，求的最大值 （2）已知，求的最大值 【答案】（1）-2；（2）. 【解析】 【分析】（1）提负号，使用均值不等式． （2）原式可化为，即构造和为定值，使用均值不等式． 【详解】（1）因为，所以， 当且仅当，，即时等号成立. 所以， 所以，函数的最大值为. （2）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 所以，的最大值为. 18. 设集合 （1）若，求实数的取值范围； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合的包含关系结合分类讨论即可求解， （2）根据充分不必要条件转化为以 ，即可根据包含关系求解． 【小问1详解】 由题意知， 当，得； 当，得． 综上所述：实数的取值范围为． 【小问2详解】 由得， 由是的充分不必要条件，所以， 即且等号不同时成立，得实数的取值范围为． 19. 某农户计划在一片空地上修建一个田字形的菜园如图所示，要求每个矩形用地的面积为且需用篱笆围住，菜园间留有一个十字形过道，纵向部分路宽为，横向部分路宽为. （1）当矩形用地的长和宽分别为多少时，所用篱笆最短？此时该菜园的总面积为多少？ （2）为节省土地，使菜园的总面积最小，此时矩形用地的长和宽分别为多少？ 【答案】（1）长和宽均为时，所用篱笆最短，总面积为. （2） 【解析】 【分析】（1）设矩形用地平行于横向过道的一边长度为，用表示出篱笆长度后结合基本不等式求解即可得； （2）设矩形用地平行于横向过道的一边长度为，用表示出菜园的总面积后结合基本不等式求解即可得. 【小问1详解】 设矩形用地平行于横向过道的一边长度为， 则所需篱笆的长度为，又， 当且仅当时，等号成立，所以当矩形用地的长和宽均为时，所用篱笆最短， 此时该菜园的总面积为； 【小问2详解】 设矩形用地平行于横向过道的一边长度为，菜园的总面积为， 则， 当且仅当即时，等号成立， 此时另一边为， 即矩形的长和宽分别为时，菜园的总面积最小. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $