第23章解直角三角形单元质量检测卷2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

第23章解直角三角形单元质量检测卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1．计算 结果是（     ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值及零指数幂的运算，需逐一计算各部分后合并同类项即可． 【详解】解： ， 故选：C． 2．已知为锐角，且，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据特殊角三角函数值得出，求解得到，验证为锐角，得到结果． 【详解】解：∵已知为锐角，， ∴， ∴． 3．如图，在中，于点，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先在中利用勾股定理求出，再根据同角的余角相等得出，得出即可求解． 【详解】解：在中， ∵， ， ， ， ， ． 4．如图，在中，，，则的值为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于，用等腰三角形三线合一的性质求出的长，再根据锐角三角函数的定义即可求解． 【详解】解：如图，过点作于， ， ， 在中， ． 5．如图，在中，是的中线，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由是的中线得，在中利用勾股定理得，最后在中求的正切值即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．一架无人机从起飞点处起飞，身高1.7米的小亮站在离起飞点水平距离8米的处．当无人机飞行到点时，小亮测得此时的仰角为，无人机此时的高度为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】过点作，由题意易得四边形是矩形，则有米，米，然后根据三角函数可进行求解． 【详解】解：过点作，如图所示： 由题意可知：米，米，，， ∴四边形是矩形， ∴米，米， ∴， ∴米． 7．如图，已知点，，在同一直线的水平地面上，在点处测得建筑物的顶端的仰角为，在点处测得建筑物的顶端的仰角为，若，则建筑物的高度为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，得，，在中可求出． 【详解】解：设， 在中，， ， ， 在中，， 解得． 8．如图，正六边形中，点是的中点，连接，，则的长为（     ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】先得出，再求出，结合勾股定理列式计算，，即可作答． 【详解】解：如图，连接，过点F作， ∵六边形是正六边形， ∴， ∵是的中点， ∴， 在正六边形中， ∵， ∴， ∴，，， ∴， 在中， ． 9．如图，在正方形中，交于点G，点H为的中点，连接，则的长为（     ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【答案】C 【分析】利用正方形性质证明，推出，根据三角形外角性质得到，利用直角三角形斜边中线定理求解． 【详解】解：四边形是正方形，， ，， ， ， 在中，由勾股定理得， 在和中，， ， ， ， ， ， 即是直角三角形， 点为的中点， ． 10．如图，在中，，，，为边的中点，为上一点，为的中点，若，则的长为（     ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，由勾股定理求出，根据直角三角形的性质和三角形中位线定理得到，则，由平行线的性质得到，则，求出，即可得到． 【详解】解：连接， 在中，，，， ∴， ∵为边的中点，为上一点，为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 二、填空题（每题3分，共18分） 11．如图，在中，，是边上的中线，若，，则的长是_______________． 【答案】 【分析】利用直角三角形斜边中线定理求出斜边长度，再利用勾股定理进行求解． 【详解】解：∵在中，是斜边上的中线，且， ∴， 由勾股定理得． 12．如图是一架儿童滑梯截面示意图，过道与地面平行，扶梯的坡比为，滑梯的坡比为，若扶梯长为米，则滑梯的长度为_____米． 【答案】4 【分析】根据题意得，，，，，因此，，通过解直角三角形求出，即可． 【详解】解∶由题意得：，，，，， ∴， ∴在中，（米）， ∴米， ∴在中，（米）． 答：滑梯的长度为4米． 13．在中，若（其中，为锐角），则的形状是______． 【答案】钝角三角形或等腰三角形 【分析】此题主要考查了非负数的性质以及特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．由非负数的性质求出 和 的值，再根据三角函数值确定角 和 的度数，结合三角形内角和定理判断形状． 【详解】解：∵， ∴， ， ∴，， ，为锐角， ∴，， ∴的度数是， 所以 是钝角三角形或等腰三角形， 故答案为：钝角三角形或等腰三角形． 14．如图，三角形纸片中，，，，折叠纸片，使点C和点A重合，折痕与，交于点D和点E，则折痕的长为__________． 【答案】 【分析】先根据等腰三角形的性质，三角形内角和，得到；根据折叠的性质，可以得到，继而得到，利用直角三角形的性质，解答即可． 【详解】解：，， ； 由折叠纸片，使点C和点A重合，折痕与，交于点D和点E， ， ，； ， ， ∵， ， ， ， ， ， ， ． 15．如图，在中，，点在边上，若，，，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了锐角三角函数，勾股定理，根据正切的定义可得，即得，进而根据勾股定理得，再根据正弦的定义解答即可求解，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：，，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 16．如图，中，，是边上一点，将沿翻折得到，使线段、相交于点，若，，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，作出合适的辅助线构造直角三角形是解题的关键．过点作交于点，根据锐角三角函数的定义设，，结合勾股定理求出，，根据折叠的性质得出，设，结合勾股定理列出方程，即可求解． 【详解】解：过点作交于点，如图： 在中，，，， 故设，， 则， 解得（负值舍去）， 故，， 根据题意可得， 故设， 则，， 在中，， 即， 解得， 即． 故答案为：． 三、解答题（每题9分，共72分） 17．计算 (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 18．在如图的房屋人字梁架中，斜梁米，立柱垂直于横梁于点，且顶角，求立柱的长． 【答案】4米 【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理得出，最后根据含角的直角三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵垂直于点， ∴， ∴ （米）． 19．如图，在中，，D是边的中点，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：且， 四边形是平行四边形， 在中，，D是边的中点， ， ， 四边形是菱形； (2) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再利用直角三角形的性质以及中点的定义可得，从而证明结论； （2）由直角三角形的性质以及勾股定理可得，易得，再根据菱形的性质可得，易得，再证明四边形是平行四边形，最后根据平行四边形的性质即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：在中，， ， ， ∴， ∵D是边的中点， ， ， 四边形是菱形， ，即， 又， ， ∵， ∴四边形是平行四边形， ． 20．如图所示，在中，为边上的一点，，，，，求： (1)的余弦值； (2)边的长． 【答案】(1)的余弦值为 (2)边的长为 【分析】此题考查勾股定理，三角函数， （1）过点作，由勾股定理得，求出即可求出的余弦值； （2）由勾股定理求出，在中，利用特殊角的正弦值求出边的长． 【详解】（1）解：过点作，垂足为． 在、中， ，， ． ， ． ，即． ． ． 所以，的余弦值为． （2）解：由（1）知，， 在中，． 在中， ，． 答：边的长为． 21．如图，在中，，过点作边上的高线，． (1)求的长； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，根据余弦的定义求出的长度，然后根据勾股定理求解即可； （2）先求出的长度，然后在中，根据勾股定理求解即可. 【详解】（1）解：为边上的高线， ， ，， ， ； （2）解：，， ， ，， ． 22．如图，在中，点是的中点，，且，． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可； （2）延长交的延长线于点，连接，先证出，再得出，进而可得，然后利用勾股定理求出的长，根据正切的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵点是的中点， ∴在中，． （2）解：如图，延长交的延长线于点，连接， ∵点是的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形，，， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴在中，， ∴， 又∵， ∴（等腰三角形的三线合一）， ∴在中，， ∴． 23．位于嘉峪关市的悬壁长城，始建于明嘉靖十八年（1539年），因城墙沿陡峭山脊倒挂延伸，形成“长城倒挂，铁臂悬空”的奇观而得名．如图1，某数学兴趣小组计划测量悬壁长城最高处烽火台距离地面的高度．测量方案如图2，小组成员先在水平地面点处测得，然后沿方向往前走到达点处，测得，（测角仪高度），图中各点都在同一竖直平面内．，，三点共线，，，，．求最高处烽火台距离地面的高度（结果精确到）．参考数据：，，，，，． 【答案】 【分析】设，，证明四边形、四边形为矩形，根据、列方程求解即可． 【详解】解：设，，由题意知， ∵，，， ∴， 又∵， 即且， ∴四边形为平行四边形， ∵，即， ∴四边形为矩形， 同理可得四边形、四边形也为矩形， ∴，，， ∴， ， ∴， 解得， ∴， ∴． 24．如图，四边形是某机器狗试验场边沿，其中位于正东方向，位于的正北方向，位于的北偏东方向，且位于的西北方向，位于的西南方向． (1)求的长；（结果保留根号） (2)测试人员在机器狗中输入试验场地图，测试机器狗自动识别路径的能力．若机器狗从到用时少说明机器狗识别路径的能力较强，则机器狗走、中哪条线路说明机器狗识别路径的能力较强？请说明理由．（机器狗走两条线路的速度相同） 【答案】(1)米 (2)走说明机器狗识别路径的能力较强．理由： 米 由题意：在西北方向，在西南方向， ∴，， ∴，．是等腰直角三角形， 设， 由勾股定理： ， ∴， 解得， ∴线路长度：米， 线路长度：米， ∵， ∴速度相同时，走用时更短． 故走说明机器狗识别路径的能力较强． 【分析】（1）先根据方位角确定的内角，因为在正东，在正北，所以，又已知在北偏东，可得到中其余角度，结合已知的长度，用三角函数或直角三角形边角关系计算的长． （2）先根据在西北方向、在西南方向，判断的形状，结合第（1）问求出的长度，计算的长度．再计算的长度，因为速度相同，所以比较两条路径的总长度，长度更小的路径用时更短，对应机器狗识别能力更强． 【详解】（1）解：D在正北，在正东， ∴，； ∵在北偏东， ∴，且米． 在中，由三角函数定义： ， 代入得： ． 答：的长为米． （2）略． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $第23章解直角三角形单元质量检测卷 一、单选题（每题3分，共30分) 1.计算1+tan60+V2sin45°-2cos30°+r° 结果是() A.2 B V2 C.1 D.3 2.已知α为锐角，且 os(a-20°)=2 ,则a等于() A.45° B.55 C.60° D.65 3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1,BC=3,CD⊥AB于点D,则sin∠ACD的值为() D 1 3W10 √10 A.3 B.10 C.10 D.10 4.如图，在△ABC中，AB=AC=5,BC=8,则cosB的值为() A 3 A.5 e D. 5.如图，在△MBC中，B=90,CD是△MB 的中线，若CD=13,AB=10 则an1=（) B A.5 B.12 c.i D.6 试卷第1页（共3页） 6.一架无人机从起飞点A处起飞，身高1.7米的小亮站在离起飞点A水平距离8米的B处.当无人机飞 行到C点时，小亮测得此时的仰角为55°，无人机此时的高度AC为() B A.（1.7+8sin55)米 B.(1.7+8os5°)米 tan55°)米 D.(1.7+8tan55）米 7.如图，已知点B,D,C在同一直线的水平地面上，在点C处测得建筑物AB的顶端A的仰角为0， 在点D处测得建筑物AB的顶端A的仰角为P,若CD=a,则建筑物AB的高度为() B D C l a·tana.tanβ a.tana.tanB A.tana-tanβ B.tanB-tana C.tana-tanβ D.tanβ-tana 8.如图，正六边形ABCDEF中，点P是ED的中点，连接AP,AB=2,则AP的长为() A.4 B.2V5 C.vi3 D.35 9.如图，在正方形ABCD中，AB=4,CE=DF=,DE,AF交于点G,点H为AE的中点，连接GH, 则GH的长为() 试卷第2页（共3页） F C G H B A.1.5 B.2 C.2.5 D.3 10.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3,BC=4,D为边AC的中点，E为BD上一点，F为CE 的中点，若DE⊥DF,则DF的长为() E A.1 c. 6 D.s 二、填空题（每题3分，共18分） 11.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，B0是边AC上的中线，若BC=3,B0=2,则AB的长是 12.如图是一架儿童滑梯截面示意图，过道BC与地面AD平行，扶梯AB的坡比为1：1，滑梯CD的坡比 为： ,若扶梯4长为25米，则滑梯CD的长度为米 D 试卷第3页（共3页） 14.如图，三角形纸片ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，BC=30,折叠纸片，使点C和点A重合，折 痕与AC,BC交于点D和点E,则折痕DE的长为 B l5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在BC边上，若AC=5,BD=7,tan∠ADC=1,则sinB的 值为 -B D 16、如图，A1BC中，amC-手， =3,D是边BC上一点，将△ACD沿AD翻折得到AAED,使线段AE、BC 相交于点F,若CF=10,EF=4,则AC= 三、解答题（每题9分，共72分) 17.计算 ()）an260°-4sin45°c0s450 (2)cos30°.cos60°-sin30°.tan45° 18.在如图的房屋人字梁架中，斜梁AB=AC=8米，立柱AD垂直于横梁BC于点D,且顶角 ∠BAC=120°，求立柱AD的长. 试卷第4页（共3页） D 19.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=9O°，D是边AB的中点，BE∥CD且BE=CD D (I)求证：四边形BECD是菱形： (2)若∠A=30°，BC=4,求DE的长. 20.如图所示，在A4BC中，D为BC边上的一点，BD=4,D=6,4B=2D,∠C=60,求： (1)∠ADB的余弦值： (2)边AC的长. 21.如图，在ABC中，AB=5,过点B作AC边上的高线BD,Qas∠DB1-号 B (I)求AD的长： (2)若AC=5,求BC的长， 22.如图，在ABCD中，点E是AB的中点，AF⊥BC,且AF=FC=3,BF=1. 试卷第5页（共3页） (I)求EF的长： (2)求tan∠ADE的值. 23.位于嘉峪关市的悬壁长城，始建于明嘉靖十八年(1539年)，因城墙沿陡峭山脊倒挂延伸，形成 “长城倒挂，铁臂悬空”的奇观而得名.如图1，某数学兴趣小组计划测量悬壁长城最高处烽火台距离地 面的高度AB,测量方案如图2，小组成员先在水平地面点C处测得∠AEG=20°，然后沿CB方向往前走 200m ∠AFG=35.9°CE=DF=BG=1.5m 到达点处，测得 (测角仪高度)，图中各点都在同一竖直 平面内.A,G,B三点共线，AB⊥BC,CE⊥BC,DF⊥BC,EG=CB.求最高处烽火台距离地面 的高度AB(结果精确到0.lm).参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36， sin35.9≈0.59，cos35.9°≈0.81.tan35.9°≈0.72 F G D B 图1 图2 24.如图，四边形MBC 是某机器狗试验场边沿，其中B位于A正东方向 1003米处，D位于B的正北方 向，D位于A的北偏东30°方向，且位于C的西北方向，B位于C的西南方向. 北 西东 南 D 45o 309 459 (I)求AD的长；（结果保留根号） 试卷第6页（共3页） (2)测试人员在机器狗中输入试验场地图，测试机器狗自动识别路径的能力.若机器狗从B到D用时少说 明机器狗识别路径的能力较强，则机器狗走B→A→D、B→C→D中哪条线路说明机器狗识别路径的 能力较强？请说明理由，（机器狗走两条线路的速度相同） 试卷第7页（共3页）