专题07 位似图形（专项训练）数学新教材华东师大版九年级上册

专题07 位似图形 常考题型·精准突破 题型1 位似图形相关概念辨析（重） 题型2 位似图形的识别（高频） 题型3 判断位似中心 题型4 求两个位似图形的相似比（高频） 题型5 画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形（重） 题型6 相似三角形的综合问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1位似图形相关概念辨析 1．如图，图形甲与图形乙是位似图形，是位似中心，位似比为，点，的对应点分别为点，．若，则的长为（     ） A．6 B．9 C．10 D．25 【答案】B 【分析】根据位似图形的性质，位似图形的对应线段的比等于位似比，据此列出比例式计算即可 【详解】解：∵图形甲与图形乙是位似图形，位似比为， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．如图，以的顶点A为位似中心，作的位似图形．若，则______． 【答案】 【分析】根据位似图形的性质可知位似图形一定是相似图形，再根据相似三角形的对应角相等即可求解． 【详解】解：以的顶点为位似中心，作的位似图形． ． ． ． ． 3．如图，与位似，位似中心为点O，若，的面积为8，则的面积为（   ） A．12 B．16 C．18 D．20 【答案】C 【分析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的判定和性质． 根据位似图形的性质得到，相似比为，再根据相似三角形的性质作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵与位似， ∴，相似比为， ∴， ∵的面积为8， ∴． 故选：C． 4．如图，以点为位似中心，把放大为原图形的倍得到，以下说法中错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A、由位似图形可知， ， ，故选项A正确，不符合题目要求； B、由位似图形可知，故选项B正确，不符合题目要求； C、由位似图形可知，相似比为， ， 、、三点共线， ，故选项C错误，符合题目要求； D、由位似图形可知，相似比为， ，故选项D正确，不符合题目要求． 5．如图，与是位似图形，是位似中心，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，相似三角形的性质与判定，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．根据位似图形的性质可得，则可证明，得到，据此可得答案． 【详解】解：∵与是位似图形，是位似中心， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． ◆题型2位似图形的识别 6．下列是相似图形但不是位似图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似图形与位似图形的定义，关键在于明确位似图形是特殊的相似图形，需额外满足“对应顶点的连线交于同一点，且对应边互相平行或共线”的条件． 【详解】解：根据相似图形与位似图形的定义：相似图形指形状相同的图形；位似图形是特殊的相似图形，需同时满足“对应顶点的连线交于同一点”和“对应边互相平行或共线”． 选项A、B、C的图形均为位似图形(同时是相似图形)； 选项D的图形是相似图形，但对应顶点连线未交于同一点，不是位似图形． 故选：D． 7．下列各组的两个图形中，不是位似的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了位似图形的概念，熟练掌握位似图形的概念是解题的关键． 根据位似图形的概念判断即可． 【详解】解：如果两个相似多边形，它们的对应顶点所在的直线相交于一点，那么这两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心．按照定义可判断选项A、C、D的图形都是位似图形，均不符合题意． 故选：B． 8．下列选项中属于位似图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了位似图形的定义，对应边互相平行（或共线）且每对对应顶点所在的直线都经过同一点的两个相似多边形叫做位似图形． 根据位似图形的定义判断即可． 【详解】解：A、不属于位似图形，故本选项不符合题意； B、属于位似图形，故本选项符合题意； C、不属于位似图形，故本选项不符合题意； D、不属于位似图形，故本选项不符合题意； 故选：B 9．如图，在正方形网格中，以点为位似中心，的位似图形可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是位似变换，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形．根据位似变换的概念判断即可． 【详解】解：∵由网格知，， ∴与是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行， ∴与是位似图形， 故选：C． 10．下列每个选项的两个图形中，不是位似图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了位似变换，掌握位似的两图形必须是相似形且对应点的连线都经过同一点、对应边平行或共线是解题的关键． 根据位似图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：选项A、B、D中两个图形中是位似图形；选项C中两个图形中不是位似图形． 故选：C． ◆题型3判断位似中心 11．如图，已知与位似，点A，E，B，D在同一直线上，则其位似中心在（     ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 【答案】B 【分析】根据位似图形的性质，位似中心是对应顶点连线的交点. 观察图形可知两个三角形位于直线异侧，属于反向位似，确定对应点后即可判断位似中心的位置． 【详解】解：∵与 位似， ∴对应顶点的连线相交于一点，该点即为位似中心， 由图可知，与分别位于直线的两侧，属于反向位似， ∴点与点是对应点，点与点是对应点，点与点是对应点， ∵反向位似图形的位似中心位于对应点之间， ∴位似中心在线段上，且在线段上， ∵点在同一直线上，且顺序为， ∴位似中心在线段上． 12．如图，在正方形网格图中，与是位似图形，且和的顶点均在格点上，则位似中心是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】本题考查了位似变换，根据位似变换的定义，找到对应顶点连线的交点即为位似中心，由此即可得解，熟练掌握位似变换的定义是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接、，交点即为位似中心， ， 由图形可得位似中心是点， 故选：D． 13．如图，在网格中，若和位似，则位似中心应为点______． 【答案】 【分析】本题主要考查了找位似图形的位似中心，利用位似图形的性质得出位似中心即可，解题的关键是熟练掌握位似图形的性质，对应点连线的交点为位似中心． 【详解】解：如图，和位似，则位似中心应为点， ， 故答案为：． 14．在如图所示的的方格中，是格点，线段是由线段位似放大得到的，则它们的位似中心可以是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题考查位似中心的定义，解题关键是理解“位似中心是对应顶点连线的交点”，通过找到对应顶点并分析其连线的交点来确定答案．需找到线段与线段对应顶点（如A与C、B与D）连线的交点，该交点即为位似中心． 【详解】解：位似中心是位似图形中对应顶点连线的交点， 观察方格图中各点位置，连接A与C、B与D，发现这两条线段的交点为点， 因此位似中心是点． 故选：B． 15．如图，与是位似图形，则位似中心为（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查了位似中心，根据位似中心的性质，通过连接，，，三者的连线交点就是位似中心． 【详解】解：与是位似图形， 和是对应点，和是对应点，和是对应点， 连接，，， 可得三者的连线交于点， 则就是位似中心． 故选：A． ◆题型4求两个位似图形的相似比 16．如图，与是位似图形，位似中心为点O，且，则与的周长比为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先得到，然后证明，得到，进而求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∵与是位似图形，位似中心为点O， ∴ ∴ ∴ ∴与的周长比为． 17．如图，方格纸中每个小方格的边长均为1，若与位似，位似中心为点O，则与的周长比为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意知，，， ∵与位似，位似中心为点O， ∴与的位似比为， ∴与的周长比为． 18．如图是视力表中的一部分，图中左上角的“E”与右下角的“E”是位似图形，位似中心为点O，已知，，则的长为________． 【答案】9 【分析】本题考查位似变换，相似三角形的性质，解题关键是掌握位似变换的性质．先求出相似比，再进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由图可知，，，三点在同一条直线上， ∴． 19．如图，与位似，点是它们的位似中心，若的面积为8，，则的面积为（   ） A．12 B．18 C．9 D．16 【答案】B 【分析】根据位似图形的面积比等于位似比的平方求出的面积即可． 【详解】解：， 与的位似比是， ， ， ， ， ． 20．如图，四边形与四边形位似，其位似中心为点O，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求出，根据位似图形的概念得到，进而得出，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵， ， ∵四边形与四边形位似，其位似中心为点， ， ， ， ． ◆题型5画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 21．在边长为1的正方形的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）．（要求使用无刻度的直尺画图） (1)以点为位似中心，在网格区域内将放大2倍得到； (2)在（1）的条件下，与的周长之比为_________； (3)在线段上画一个点，使，并说明理由． 【答案】(1)如图，即为所求 (2) (3)如图，点即为所求，理由如下： 取格点E、F，连接，交于点M， ∵， ∴， ∴， ∴点即为所求． 【分析】（1）将、分别延长一倍得到、，再连接即可； （2）根据题意得与的相似比为，再根据周长比等于相似比即可得解； （3）如图，取格点E、F，利用网格构造相似三角形，根据相似三角形的对应边成比例求解． 【详解】（1）解：略 （2）解：∵将放大2倍得到， ∴与的相似比为， ∴与的周长之比为； （3）解：略 22．如图，在由边长为1个单位的小正方形组成的网格中，点A，B，C，O均为格点，请利用无刻度的直尺作图． (1)以点O为位似中心，将在网格中放大为原来的2倍，得到，请画出； (2)作出线段AC上的点D，使 ． 【答案】(1)如图，即为所求， (2)如图，点D即为所求， 【分析】（1）因为位似中心为O，位似比为2，所以分别连接，分别延长到格点，使，再将顺次连接得到． （2）在图中取格点F和H，连，交于点D，点D即为所求； 【详解】（1）略 （2）作图，略； 理由：连， 由网格可知，， ∴， ∴， 则点D即为所求． 23．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的三个顶点和点都是格点． (1)将先向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度得到，请画出； (2)以为位似中心，在网格图中作，使得与的相似比为； (3)利用网格图，过点向画垂线． 【答案】(1)如图，为所求； (2)如图，为所求； (3)如图，垂线为所求． 【分析】（1）将点A向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点，再将点B，C向右平移4个单位长度，向上平移3个单位长度得到点，然后依次连接，则即为所求； （2）连接并延长至，使得，同理可得，然后依次连接，则即为所求； （3）取点E，F，可得，，，，可得，即可得，再由，可得，即，则，所以即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 24．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的三个顶点和点O都是格点． (1)将先向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度得到，请你画出． (2)以O为位似中心，作，使与的相似比为2． (3)用无刻度直尺过点向画垂线段． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)作图见解析 【分析】（1）将点A向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点，再将点B，C向右平移3个单位长度，向上平移3个单位长度得到点，然后依次连接，则即为所求； （2）连接并延长至,使得，同理可得，然后依次连接，则即为所求； （3）取点E，F，G，可得，可得，即可得，再由，可得，即，则，所以即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，则即为所求； （2）解：如图所示，则即为所求； （3）解：如图所示，取点E，连接，交于点D，则即为所求． 25．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)在轴上找一点，使得的长度最小； (2)以原点为位似中心在第三象限画出，使它与的相似比为2． 【答案】(1)见详解 (2)见解析 【分析】（1）利用轴对称性质，作点A关于x轴的对称点，连接对称点与C，与x轴交点即为所求P点． （2）位似变换中，位似中心为原点，相似比为2，则各顶点坐标乘以（第三象限为负）． 【详解】（1）解：作点A关于x轴的对称点A′(0,-3)，连接A′C，与x轴交于点P，则点P即为所求． （2）解：∵ 位似中心为原点O，相似比为2，且在第三象限， ，即， ，即， ，即， 在网格中描出三点，顺次连接即可得． ◆题型6相似三角形的综合问题 26．如图，点，在半径为的上，点在内，，，则长最小值为_________． 【答案】 【分析】证明，作的外接圆，圆心为，作的直径，连接、、、，与交于点，则，证明点在线段的垂直平分线上，点在线段的垂直平分线上，即垂直平分线段，垂足为，根据垂径定理可知，为的中点，当、、三点共线时，有最小值，的最小值为的值，即可求解． 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，圆内接四边形的性质，锐角三角函数的概念，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，三角形的中位线，解答本题的关键是掌握利用圆内接四边形的性质证明角相等的思路与方法． 【详解】解：当点落在上点处时，点落在点处，连接、，如图： ，的半径为， 是的直径， ， ， ， 在中，， ，即， ， ， ， ，即， ， 又， ， ， 作的外接圆，圆心为，作的直径，连接、、、，与交于点，则， 四边形内接于，四边形内接于， ，， 又， ， ， 在中，，， ， ， ，， ，， 点在线段的垂直平分线上，点在线段的垂直平分线上，即垂直平分线段，垂足为， 根据垂径定理可知，为的中点，` 又为的中点，为的中点， 是的中位线，是的中位线， ，， ， ， 当、、三点共线时，有最小值，的最小值为的值， ， 的最小值为． 故答案为：． 27．如图，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，使点恰好落到线段上的点处，连接，连接交于点． (1)求证：平分； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：∵矩形绕点逆时针旋转得到矩形， ∴， ∴． ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴平分． (2)． 【分析】（1）要证明平分，需利用矩形旋转的性质得到边相等，进而得到角相等，再结合平行线的性质推导角的关系． （2）要求的长，可通过作垂线构造直角三角形，利用相似三角形的性质求出线段、的长度，再用勾股定理计算． 【详解】（1）略 （2）解：过点作于， ∵， ∴，． ∵四边形、四边形都是矩形， ∴，，． 由旋转可知， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． 在中，， ∴，， ∴． 在中，． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、旋转的性质、角平分线的判定、相似三角形的判定与性质以及勾股定理，熟练掌握这些性质和定理是解题的关键． 28．如图，在等边中，，分别为，边的中点．为所在平面内一动点（点不在的三边上），且满足，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，，．    (1)点在直线的右侧时，求的度数； (2)点在直线的右侧时，用等式表示，，的数量关系并证明； (3)将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，连接，直接写出的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据等边与，得出，再由定点定长得出隐圆，通过圆周角定理与圆心角性质即可求解； （2）通过在上取点M，构造，结合得出，在中解三角形，即可得出； （3）此问涉及比值最值，难度较大，通过将转换为，通过在平面内取点I，构造出，从而找出点I轨迹为直线，则只需求最小值即可得出答案． 【详解】（1）解：，证明如下， 法一：如图，连接，，   点E为中点，为等边三角形， ，， ， ， 线段绕点E顺时针旋转得到线段， 为等边三角形，， 在与中， ， ， ， ， ； 法二：如图，取中点H，连接，   为等边三角形，为中点， ， 为等边三角形， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ，点D为中点， ， 点在以点H为圆心，长为半径的圆上， ． （2）解：，理由如下， 如图，在上取点M，连接，使得，设交于点K，   为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 点为中点， ，， ，为等边三角形， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点为线段中点， ， ， ， ， ，， ， ， 为等边三角形， ， 在与中， ， ， ． （3）解：最小值为，证明如下， 法一：如图，在平面内取点I，连接、使得且，连接、、，延长交于点P，    由题意得， ， ， ， ， ， ， ， ， D、E、H为中点， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， 点I在线段垂直平分线上， 为中点， ， 为线段的垂直平分线， ，， ， ，， ， 故的最小值为． 法二：如图，以长为半径作，延长交于点J，延长交于点K，连接、，   D、E、H为中点， ，， ， ， 由题意得， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故最小值为． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，圆周角定理等知识点，掌握旋转相似的构造与隐圆的转换找出轨迹是解题的关键． 29．如图①，已知线段，，线段绕点在直线上方旋转，连接，以为边在上方作，且． (1)若，以为边在上方作，且，，连接，用等式表示线段与的数量关系是____________． (2)如图②，在（1）的条件下，若，，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）证明，根据相似三角形的性质得出，，进而证明，根据相似三角形的性质即可求解； （2）延长交于点，在Rt 中，由直角三角形的性质求得，，进而求得的长，根据（1）的结论，得出，在Rt中，勾股定理求得，进而根据，即可求出答案． 【详解】（1）在中，，， 在中，，， ，，，， ，， ， ， ， 故答案为：． （2）在中，，，， ，． 延长交于点，如图所示． ， ， ， ， ，． 由（1）可得， ， ． 在中，． ，， ，， ，即， ， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握解直角三角形及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 30．如图，在菱形中，，，点在的上方，的外接圆半径为，为的中点，若平分五边形，则的长度是___________． 【答案】 【分析】如图，连接，，作 于点，可得四边形和四边形都是平行四边形，推出，在中，可得，然后可证，即可求出，根据直角三角形共边建立方程，求解即可. 【详解】解：如图，连接，，作 于点， ∵为的中点，若平分五边形， ∴与交于点，且平分， ∴，； ∴四边形和四边形都是平行四边形， ∵四边形是菱形，，， ∴ ， ∵为中点， ∴， 在中， ， ∴，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，则， ∵，， 在中， ∴，设， ∴， 在与中， ∴，则， 解得：（负值舍去）， ∴ ， ∴ ， 故答案为：. 【点睛】本题考查了圆的综合应用，菱形的性质，勾股定理，角的直角三角形，相似三角形判定和性质，解题关键是能作出合适的辅助线，并综合运用相关知识点解题，难度较大. 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．作图要求：如图，以为位似中心，作的位似，使与的位似比为．下面是小明和小亮的作法，则下列说法正确的是（     ） 小明的作法 小亮的作法 A．只有小明正确 B．只有小亮正确 C．小明和小亮合到一起才正确 D．小明和小亮都不正确 【答案】C 【详解】解：位似图形的对应边成比例，对应点的连线经过位似中心，对应线段互相平行，小明和小亮的图都符合位似的要求，但位似图形可以在位似中心的同侧，也可以在两侧，因此只有小明和小亮合到一起才正确． 2．如图，五边形与五边形是位似图形，为位似中心．若，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据位似图形的性质得到，，，且三点共线，三点共线，证明推出，同理可证明，得到，据此逐一判断即可． 【详解】解：∵五边形与五边形是位似图形， ∴，，，且三点共线，三点共线， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可证明， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四个选项中，A、B、C选项错误，不符合题意，只有D选项中的结论错误，符合题意． 3．如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法不正确的是（     ） A． B．点A，O，三点在同一条直线上 C． D． 【答案】C 【分析】根据位似的性质对各选项进行判断后即可解答．本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．位似的性质：两个图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行（或共线）． 【详解】解：∵以点O为位似中心，把的各边长放大为原来的2倍得到， ∴，，，点A，O，三点在同一条直线上． ∴， 综上，只有选项C错误，符合题意． 4．如图，三角板（）在手电筒（点）发出的光源的照射下形成了投影，三角板与其投影的三角形（）是位似图形，若，则三角板的面积与其投影的三角形的面积比是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据位似图形的性质可知，位似比等于对应点到位似中心的距离之比，相似三角形的面积比等于相似比的平方，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵三角板与其投影的三角形是位似图形， ∴，且相似比为， ∴三角板的面积与其投影的三角形的面积比是． 5．将某个图形上各点的横、纵坐标都乘，所得图形与原图形相比（    ） A．完全没有变化 B．对应线段的长度扩大为原来的 2 倍 C．对应线段的长度缩小为原来的 D．关于纵轴成轴对称 【答案】C 【分析】本题考查平面直角坐标系中图形的缩放变换，根据横纵坐标同乘正数的变换性质判断图形变化即可，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵将图形上各点的横、纵坐标都乘，是对原图形进行以原点为位似中心，位似比为的位似变换， ∴所得图形与原图形相似，且对应线段的长度缩小为原来的， 故选：C． 6．如图，在平面直角坐标系中，与是以为位似中心的位似图形，若，，，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查位似变换，根据位似图形的概念得到，根据点、的坐标求出相似比，再根据位似变换的性质解答即可．解题的关键是掌握：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么原图形上的点对应的位似图形上的点的坐标为或． 【详解】解：∵与是以为位似中心的位似图形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴与的相似比为， ∵点的坐标为， ∴点的坐标是． 故选：B． 7．如图，这是物理学中的小孔成像，是物体，遮挡板上的小孔抽象成点，透过小孔在光屏上成的像是倒立放大的实像，和成位似图形，位似中心为点，遮挡板和光屏的水平距离为，，此时，像的长为，为了使像的长度变成的倍，在物体和屏幕位置不变的情况下，可以将遮挡板（　　） A．水平向右移动 B．水平向左移动 C．水平向右移动 D．水平向左移动 【答案】B 【分析】本题考查了位似图形，相似三角形的性质，过点作于点，延长交于点，由位似图形的性质可得，进而可得，即得，再根据相似三角形的性质可得，得到，再求出遮挡板水平移动后的长，进行比较即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：过点作于点，延长交于点， ∵和成位似图形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴分别为和对应边上的高， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵像的长度变成的倍， ∴， 设， ∵物体和屏幕位置不变， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴可以将遮挡板水平向左移动， 故选：． 二、填空题 8．如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将放大后得到，点，都在格点上．若，则的长为________． 【答案】 【分析】根据位似图形的性质，位似图形一定是相似图形，且对应边的比等于位似比，通过观察网格图确定与的长度求出位似比，利用相似三角形对应边成比例即可求解． 【详解】解：由图可知，，， 以原点为位似中心，将放大后得到， ， ， ， ． 9．如图，与位似，位似中心是点，若，则与的周长比是______． 【答案】 【分析】根据位似图形的概念得到，，求得相似比，再根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】解： 与位似， ，， ， ， 与的周长比为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了位似图形的概念，相似三角形的性质，掌握位似图形是相似图形，位似图形的对应边平行是解题的关键． 10．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△FED关于原点O位似，若，△AOB的面积为4，则△FOE的面积为___________. 【答案】1 【分析】根据位似图形的定义可确定，再根据相似三角形的判定定理和性质即可求出△OEF的面积． 【详解】解：∵△ABC与△DEF关于原点O位似，OB＝2OE， ∴． ∵∠AOB=∠FOE， ∴． ∴△AOB和△FOE的相似比是2． ∴△AOB面积和△FOE面积的比值是4． ∵△AOB的面积是4． ∴△FOE的面积是1． 故答案为：1 【点睛】本题考查位似图形的定义，相似三角形的性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 11．一个数学游戏规则是：如图，在以同一点为位似中心的三个位似三角形的顶点处填入9个不同的数，使每个三角形的三个顶点与同一直线上的三个顶点的三个数之和均相等，则______． 【答案】1 【分析】此题考查了二元一次方程组和零指数幂等知识，根据题意得到关于x，y的方程组，求出，根据零指数幂即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，， 解得，， ∴． 三、解答题 12．如图，与位似，的延长线与的延长线交于点，点和点在线段上． (1)与的位似中心为点________． (2)若与的相似比为，，求的长． (3)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）位似图形的位似中心是对应点连线的交点，由图中可知交点为，因此位似中心为点． （2）根据与的相似比为，可以得到对应边成比例，即可求解的长． （3）根据相似三角形对应角相等可得到的值，再根据三角形外角的性质求得的度数． 【详解】（1）略． （2）解：与的相似比为， ． ， ． （3）解：与位似，， ． ， ． 13．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1．建立平面直角坐标系后，的顶点的坐标为（保留画图痕迹，不写画法）． (1)把绕点顺时针旋转后得到，画出，并写出点的坐标． (2)以点为位似中心，把放大，使放大前后对应边长的比为，在所给网格中画出放大后的，并写出点的坐标． 【答案】(1)点的坐标为． (2)点的坐标为． 【分析】本题考查了旋转作图及图形位似的知识，解答此类题目的关键是寻找对应点，要求掌握旋转三要素、位似的特点． （1）根据旋转变换的定义，将三角形的三个顶点分别顺时针旋转后得到对应点，顺次连接即可得； （2）根据位似变换的定义得出点的对应点，顺次连接即可得． 【详解】（1）解：如图： ∴点的坐标为． （2）解：如图： ∴点的坐标为． 14．已知△ABC三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于y轴对称的； (2)以点O为位似中心，将放大为原来的2倍，得到，请在网格中画出； (3)的面积为______． 【答案】(1) 如图所示： (2) 如图所示： (3)14． 【分析】本题主要考查了轴对称变换，位似变换和割补法求面积，解决此题的关键是熟练掌握画位似图形的步骤； （1）根据轴对称的性质，先画出特殊点的对称点，进而画出图形即可； （2）根据位似图形的性质得到对应点的位置，进而画出图形即可； （3）把三角形补成一个矩形，先求出矩形的面积减去三个直角三角形的面积，即可得到答案； 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如下图可知： 的面积为 故答案为：14． 15．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中有和格点（网格线的交点）O． (1)以点O为位似中心，在网格内将放大为原来的2倍，得到，画出放大后的； (2)将绕点O顺时针旋转，得到，请你画出，并直接写出边在旋转过程中扫过的面积． 【答案】(1)如图所示．    (2)如图所示．扫过的面积为 【分析】（1）先确定位似中心为，因为位似比为2，所以分别连接、、并延长，使对应线段长度变为原来的2倍，得到对应顶点、、，顺次连接即可； （2）根据旋转的性质，确定旋转中心、旋转方向为顺时针、旋转角为，分别作出、、三点旋转后的对应点、、，顺次连接得到，因为扫过的面积是圆心角为，半径分别为、的两个扇形的面积差，所以先计算、的长度，再用扇形面积公式计算面积差． 【详解】（1）分别连接， 延长到使，延长到使，延长到使， 顺次连接，所以即为所求作的图形； （2）分别将点绕点顺时针旋转得到对应点，顺次连接得到即为所求作的图形； 根据勾股定理，结合网格可得：，， 线段旋转过程中扫过的图形是圆心角为的圆环，面积为大扇形面积减小扇形面积： ． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 专题07位似图形 内容概览 目常考题型精准突破 题型1位似图形相关概念辨析（重) 题型2位似图形的识别（高频） 题型3判断位似中心 题型4求两个位似图形的相似比（高频） 题型5画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形（重） 题型6相似三角形的综合问题（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1位似图形相关概念辨析 1.如图，图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，位似比为5：3，点 若AB=15,则AB的长为()， B 甲 乙 A.6 B.9 C.10 2.如图，以△ABC的顶点A为位似中心，作△ABC的位似图形△ADE 3.如图，△ABC与△ABC位似，位似中心为点O,若OC:CC=2:1, 1/15 上好每一堂课 A,B的对应点分别为点A,B. D.25 若∠C=35°，则∠E= △ABC的面积为8，则 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 △ABC的面积为() C B A.12 B.16 C.18 D.20 4.如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△ABC,以下说法中错误的是() A.AB‖AB B.△BOC~△BOC 0A-1 C.AA 2 C△ABC=1 D.CaNsc 2 0A2 5.如图，△ABC与△DEF是位似图形，O是位似中心，若OD专，AB=2am,则DE的长为() D A.1cm B.2cm C.3cm D.4cm ◆题型2位似图形的识别 6.下列是相似图形但不是位似图形的是() B.B 7.下列各组的两个图形中，不是位似的为() 2/15 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8.下列选项中属于位似图形的是() A B D 9.如图，在正方形网格中，以点O为位似中心，△ABC的位似图形可以是() G B A.△DEF B.△DHF C.△GEH D.△GDH 10.下列每个选项的两个图形中，不是位似图形的是() B ◆题型3判断位似中心 11.如图，已知△ABC与△DEF位似，点A,E,B,D在同一直线上，则其位似中心在() 3/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A.线段AE上 B.线段EB上 C.线段BD上 D.线段EF上 12.如图，在正方形网格图中，△ABC与△ABC是位似图形，且△ABC和△ABC的顶点均在格点 上，则位似中心是() A.点R B.点P c.点Q D.点O 13.如图，在8×8网格中，若△ABC和△ABC位似，则位似中心应为点 R B 14.在如图所示的4×5的方格中，A,B,C,D是格点，线段AB是由线段CD位似放大得到的，则它们的位 似中心可以是() B A.点P1 B.点P2 C.点P3 D.点P4 15.如图，△ABC与△ABC是位似图形，则位似中心为() 4/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.点D B.点E C.点F D.点G ◆题型4求两个位似图形的相似比 l6.如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似中心为点O,且OA:AD=1:2,则△ABC与△DEF的周 长比为() A.1:2 B.2:1 C.13 D.3:1 17.如图，方格纸中每个小方格的边长均为1，若△AOB与△COD位似，位似中心为点O,则△AOB与 △COD的周长比为() B A.1:2 B.13 C.1:4 D.1:9 18.如图是视力表中的一部分，图中左上角的“E与右下角的“E是位似图形，位似中心为点O,已知 AB_ CD 2 ,0C=3.6cm, 则AC的长为 cm. 424目g叫E42 4.40冒4.25 4.5m居uP官C5.5 19.如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，若△ABC的面积为8，OA:OD=2:3,则 △DEF的面积为() 5/15 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.12 B.18 C.9 D.16 AE 3 20.如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O,且 G=() E，则 5 A. B. 8 C.g D.7 ◆题型5画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 21.在边长为1的正方形的网格中，△ABC的顶点均为格点（网格线的交点）·（要求使用无刻度的直尺 画图) (1)以A点为位似中心，在网格区域内将△ABC放大2倍得到△ABC1: (2)在(1)的条件下，△ABC与△ABC1的周长之比为 BM 1 (③)在线段AB上画一个点M,使AM3,并说明理由. 22.如图，在由边长为1个单位的小正方形组成的网格中，点A,B,C,O均为格点，请利用无刻度的直 尺作图. 6/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)以点O为位似中心，将△ABC在网格中放大为原来的2倍，得到△A,BC1,请画出△A1BC1: (2)作出线段AC上的点D,使AD:CD=1:2, 23.如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点和点O都是格点. (1)将△ABC先向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度得到△AB,C1,请画出△A1BC1: (2)以O为位似中心，在网格图中作△A2B2C2,使得△A2B2C2与△ABC的相似比为2：1： (3)利用网格图，过点C1向A2C2画垂线C1D 24.如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点和点O都是格点. B (1)将△ABC先向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度得到△A1B1C1,请你画出△A1B,C1. (2)以O为位似中心，作△A2B2C2,使△A2B2C2与△ABC的相似比为2. 7/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)用无刻度直尺过点C1向A2C2画垂线段C1D 25.如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点坐标分别为A0,3,B2,0,C3,4. (I)在x轴上找一点P,使得AP+CP的长度最小： (2)以原点O为位似中心在第三象限画出△A,B,C1,使它与△ABC的相似比为2. ◆题型6相似三角形的综合问题 BC_3 26.如图，点A,C在半径为1的⊙0上，点B在⊙0内，∠C-90,C=子，则0B长最小值为 27.如图，将矩形ABCD绕点B逆时针旋转得到矩形GBEF,使点C恰好落到线段AD上的点E处，连接 CE,连接CG交BE于点H. D B (I)求证：CE平分∠BED: (2)若BC=2AB=4,求CG的长， 28.如图，在等边△ABC中，D,E分别为BC,AC边的中点.F为△ABC所在平面内一动点（点F不在 △ABC的三边上)，且满足∠BFC=90°，连接EF,将线段EF绕点E顺时针旋转60°得到线段EG,连接 8/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AG,DE,DG,FG. A G G D C B D 备用图 (1)点F在直线AB的右侧时，求∠DGE的度数； (2)点F在直线AB的右侧时，用等式表示AG,EF,CF的数量关系并证明： AM (B)将△BDG沿BG所在直线翻折至△ABC所在平面内，得到△BMG,连接AM,直接写出EF的最小 值 29.如图①，已知线段AB,AC,线段AC绕点A在直线AB上方旋转，连接BC,以BC为边在BC上方作 Rt△BDC,且∠DBC=30°. D 0 E 图① 图② (1)若∠BDC=90°，以AB为边在AB上方作Rt△BAE,且∠AEB=90°，∠EBA=30°，连接DE,用 等式表示线段AC与DE的数量关系是 (2)如图②，在(1)的条件下，若DE⊥AB,AB=4,AC=2,求BC的长. 30.如图，在菱形ABCD中，∠C=120°，AB=12,点E在AD的上方，△ADE的外接圆半径为43， F为BC的中点，若EF平分五边形ABCDE,则EF的长度是 B 9/15 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综合攻坚知能拔高 一、单选题 1.作图要求：如图，以O为位似中心，作△ABC的位似△ABC,使△ABC与△ABC的位似比为 2:1.下面是小明和小亮的作法，则下列说法正确的是() 0 B B B B OA OB 0C_2 OA_OB_OC_2 OA 0B0C1 OA OB 0C1 小明的作法 小亮的作法 A.只有小明正确 B.只有小亮正确 C.小明和小亮合到一起才正确 D.小明和小亮都不正确 2.如图，五边形ABCDE与五边形ABCDE是位似图形，O为位似中心.若AA=2AO,则下列结论 错误的是() E D A.∠ABC=∠ABC B.BC‖BC C.DD=2DO D.BC=2BC 3.如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△ABC,以下说法不正确的是 () 10/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.AB:A B=1:2 B.点A,O,A三点在同一条直线上 C.S△ABc:SAABCT-1:2 D.BC‖BC 4.如图，三角板（△ABC)在手电筒（点O)发出的光源的照射下形成了投影，三角板与其投影的三角 形（△ABC)是位似图形，若OC:CC=4:5,则三角板的面积与其投影的三角形的面积比是(）· A.4:5 B.4:9 c.16:25 D.16:81 5.将某个图形上各点的横、纵坐标都乘2 所得图形与原图形相比() A.完全没有变化 B.对应线段的长度扩大为原来的2倍 C.对应线段的长度缩小为原来的2 D.关于纵轴成轴对称 6.如图，在平面直角坐标系中，△OAB与△OCD是以O为位似中心的位似图形，若A-2,1,B-1,0, D2,0,则点C的坐标是() A.2,-3 B.4-2 C.3,-2 D.4,-3) 7.如图，这是物理学中的小孔成像，AB是物体，遮挡板MN上的小孔抽象成点O,AB透过小孔在光屏 PQ上成的像是倒立放大的实像CD,△ABO和△DCO成位似图形，位似中心为点O,遮挡板MN和光屏 11/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 PQ的水平距离为8cm,AB=6,此时，像CD的长为12，为了使像CD的长度变成AB的3倍，在物体AB 和屏幕PQ位置不变的情况下，可以将遮挡板MN() P M D Q A.水平向右移动1cm B.水平向左移动1cm C.水平向右移动1.5cm D.水平向左移动1.5cm 二、填空题 8.如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OAB,点A,A都在格 点上.若AB=4 ,则AB的长为 B A0衣 9.如图，△ABC与△A1B,C1位似，位似中心是点O,若OA:OA1=1:2,则△ABC与△A1B,C1的周 长比是 C A B B A 10.如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△FED关于原点O位似，若OB=2OE,△AOB的面积为4， 则△FOE的面积为 12/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11.一个数学游戏规则是：如图，在以同一点为位似中心的三个位似三角形的项点处填入9个不同的数， 使每个三角形的三个顶点与同一直线上的三个顶点的三个数之和均相等，则y=, 三、解答题 12.如图，△ABC与△DEF位似，EB的延长线与FC的延长线交于点O,点A和点D在线段OE上. (I)△ABC与△DEF的位似中心为点 ②)若△ABC与△DEF的相似比为)，AC=3,求DF的长. (3)若∠0=20°，∠E=40°，求∠BCF的度数， 13.如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1.建立平面直角坐标系后，△ABC的顶 点C的坐标为0,1（保留画图痕迹，不写画法）· 13115 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 VA (1)把△ABC绕点C顺时针旋转90°后得到△A1B1C1,画出△A1B1C1,并写出点A1的坐标， (2)以点O为位似中心，把△ABC放大，使放大前后对应边长的比为1：2，在所给网格中画出放大后的 △A2B2C2,并写出点A2的坐标. 14.己知△ABC三个顶点的坐标分别为A-1,-1,B-4,-2,C0,-3. (1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1,C1: (2)以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2B2C2,请在网格中画出△A2B2C2: (3)△A2B2C2的面积为一· 15.如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中有△ABC和格点（网格线的交点）O. (I)以点O为位似中心，在网格内将△ABC放大为原来的2倍，得到△ABC,画出放大后的△ABC; 14/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)将△ABC绕点O顺时针旋转90°，得到△A1BC1,请你画出△A1B,C1,并直接写出边AB在旋转过 程中扫过的面积。 15/15的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题07位似图形 内容概览 目常考题型精准突破 题型1位似图形相关概念辨析（重） 题型2位似图形的识别（高频） 题型3判断位似中心 题型4求两个位似图形的相似比（高频） 题型5画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形（重） 题型6相似三角形的综合问题（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1位似图形相关概念辨析 1.B 2.35 3.C 4.C 5.c ◆题型2位似图形的识别 6.D 7.B 8.B 9.C 10.c ◆题型3判断位似中心 11.B 1/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 12.D 13.P 14.B 15.A ◆题型4求两个位似图形的相似比 16.C 17.B 18.9 19.B 20.B ◆题型5画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 21.(①)如图，△AB,C1即为所求 (2)1:2 (3)如图，点M即为所求，理由如下： B F B A 取格点E、F,连接EF,交AB于点M, .BF AE, ∴.△BFM一△AEM, BM BF1 AM AE 3' .点M即为所求. 22.(1)如图，△A1BC1即为所求， 217 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B (2)如图，点D即为所求， B H 23.(1)如图，△A1B1C1为所求： B A B 3/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)如图，△A2B2C2为所求： B B, B (3)如图，垂线C1D为所求， D A 24.(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)作图见解析 25.(1)见详解 (2)见解析 ◆题型6相似三角形的综合问题 y 26. 27.(1) 证明：，矩形ABCD绕点B逆时针旋转得到矩形GBEF, ∴.BC=BE, .∠BEC=∠BCE ,四边形ABCD是矩形， ..AD BC .∠DEC=∠BCE. ∴.∠BEC=∠DEC, 417 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴CE平分∠BED (22V7. 28.(1)30° ()CF=3EF+AG 明 29.①AC=23DE 3 (22V7 30.15+3V5 综合攻坚知能拔高 1.C 2.D 3.C 4.D 5.C 6.B 7.B 8.4 9.12 10.1 11.1 12.(1)0 (2)6 (3)60 517 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A C(C》 At 2,3 13.(1) 的 的坐标为 B (C A2 4,-6 C B2 (2) 点 的坐标为 14.(1) 如图所示： OA B B (2) 如图所示： 617 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 93 (3)14. 15.(1)△ABC如图所示 B B π (2)△A1BC1如图所示.扫过的面积为4 717