第23章 解直角三角形 追梦综合演练卷-【追梦之旅 · 初中同步铺路卷】2026-2027学年九年级全一册数学单元检测卷（华东师大版·新教材 河南专版）

铺路卷 河南专版·HS· 九年级数学上 ”为期中、期末铺路+为中考、未来铺路 第23章追梦综合演练卷 测试时间：100分钟 测试分数：120分 得分： 选择题（每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3,AB=5,则sinA的值为( 嘉 3 4 A. 腳 5 6.5 3 C.4 D.3 n 妆 2当4为锐角，且} 2时，∠A的范围是( 蜘 H A.0°<∠A<30° B.30°<∠A<60° C.60°<∠A<90° D.30°<∠A<45° 3.已知A是锐角，且满足3tanA-√3=0，则∠A的大小为( A.30° B.45° C.60° D.无法确定 T 辐 4.已知∠A是锐角，且anM=了，则sinA的值是( 2w13 A. B.313 D.无法计算 13 13 c号 5.如果sin2a+-cos230°=1，那么锐角a的度数是( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 6.在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=26°，BC=5.若用科学计算器 爵 求边AC的长，则下列按键顺序正确的是( A.5÷tan26三 B.⑤日sin26三 虫 C.5×cos26三 D.5x tan 26= 7.如图，由六个边长为1的小正方形组成的网格图中，△ABC的各 个顶点都在格点上，则sin∠BAC的值是( 1 A.2 C.5 D 2 第7题图 第9题图 第10题图 8.传统文化情境·作揖礼中国自古就是礼仪之邦，班会课开展“礼 仪待人，学作揖礼”活动，平辈行礼，上半身前弯15°，晚辈行礼， 上半身前弯45°.班主任和小贤示范遇见师长行作揖礼.小贤面 向班主任行了一个45的作揖礼，班主任面向小贤回了一个15 的作揖礼.已知小贤身高150cm,上半身高70cm(把臀部到头 顶的距离视为上半身)，小贤行礼时头距离地面的高度约 为() A.(70+35√2)cm B.(80+35√2)cm C.(70+353)cm D.(80+35√3)cm 9.如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D沿BC自B向C运 动（点D与点B、C不重合），作BE⊥AD于点E,CF⊥AD于点 F,则BE+CF的值() A.不变 B.增大 C.减小 D.先变大再变小 10.文化情境·数学文化第14届国际数学教育大会(ICME-14)会 标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”，如图所 示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（△ABE,△BCF, △CDG,△DAH)和一个小正方形EFGH拼成的大正方形 ABCD.若EF:AH=1:3,则cos∠ABE=( A 8肾 c 4 D.5 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB于点D,BD=1, 则线段AD的长度为 B 第11题图 第12题图 第13题图 12.如图，在△ABC中，∠BAC=15°，AC=BC=10,AD⊥BC交BC延 长线于点D,则AD的长为 13.社会发展情境·大坝如图，大坝的横截面为梯形ABCD,迎水坡 BC的坡角为，坡度(tana)约为12：7，坝面宽AB=10m,坝高 AD约为180m,则坝底CD的长约为 14.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AB=3,BC=2,tanA= 青则c0- B 第14题图 第15题图 15.数学思想·数形结合构建几何图形解决代数问题是“数形结 合”思想的重要方法，在计算tanl5°时，如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB,使BD=AB,连结AD,使得∠D =15,所以tanl5°=AC=1= 2-√3 =2-√3，类比 CD2+V3(2+3)(2-3) 这种方法，计算tan22.5°= 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16.（10分)计算： (1),2(2cos450-sin60)+V24 4 (2)sin30- 2c0s4504 3 tan230 THE ROAD TO 17.(9分)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是 a、b、c. (1)已知c=25,b=15,求a; (2)已知a=√6，∠A=60°，求b、c. 18.（9分)如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，AD⊥AC交 BC于点D,求证：CD=2AD. 。13. 19.生活情境·自动扶梯(9分)某商场为了方便消费者购物，准备 将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯.如图所示， 已知原阶梯式扶梯AB长为10m,坡角∠ABD=30°；改造后斜 坡式自动扶梯的坡角∠ACB=9°，请计算改造后的斜坡AC的 长度.（结果精确到0.01，参考数据：sin9°≈0.156，cos9°≈ 0.988,tan9°≈0.158) C 5,cosC=2 20.(9分)如图，AD是△ABC的中线，anB= ,AC= ●A √2.求：REAM (1)BC的长； (2)∠ADC的正弦值. D 21.(9分)请阅读下面材料，并根据提供的解题思路求解问题： 如图1，在边长为1的正方形网格中，连结格点D,N和E,C, DN和EC相交于点P,求cos∠CPN的值 【解题思路】 要求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出） 一个直角三角形.观察发现问题中∠CPW不在直角三角形中， 我们可以利用网格画平行线等方法解获此类问题，比如连接格 。14 点M,N,可发现MN∥EC,则∠DNM=∠CPN,连接DM,那么 ∠CPW就变换到Rt△DMN中，进而求出答案， 【解决问题】 (1)根据上述方法，请求图1中cos∠CPN的值； (2)如图2，在边长为1的正方形网格中，AW与CM相交于点 P,求sin∠CPN的值. D M 图1 图2 22.（10分)赤道式日晷是中国古代经典计时仪器，如图1，晷盘与 赤道平行、晷针垂直盘面，针体倾角恰合当地纬度，精准利用日 影测时，尽显古人天文智慧与高超造物技艺.小彤想要了解某 景区中一座日晷的北极端晷针长度和晷针针尖离地面的高度， 她进行了如下的实地测量： 【数据采集】如图2，测得晷针AB与水平线的夹角是27.3°， ∠ABD=∠ADC=∠BCD=90°，CD=1.8米 【数据应用】晷针AB,晷盘盘面侧面所在直线BD,以及晷针针 尖A到晷盘中心B的水平距离CD,均在同一平面内. 请根据上述数据，解决下列问题： (1)求该晷针北极端AB的长度；（结果精确到0.1） (2)求晷针的针尖A到地面的垂直高度AD.(结果精确到0.1) (参考数据sin27.3°≈0.46，c0s27.3°≈0.89，tan27.3°≈0.52， sin62.7°≈0.89，cos62.7°≈0.46，tan62.7°≈1.94) 图1 图2 23.（10分)为推进“数字乡村”建设，某村计划在山坡上修建灌溉 水库，需测算山坡高度以确定水库容量.在技术人员指导下，利 用无人机、测角仪等设备开展测量活动， 活动主题 测算山坡的高度（助力灌溉水库建设） 测量工具 无人机、秒表、测角仪、计算器等 易错 分析 AM是山脚的水平线，山的高BD垂直于水平线 模 AM于点D,其示意图如下： B 型 抽 象 活 动 测 过 脚 绘 ①在山脚A处测出山顶B的仰角∠BAM=45° 程 过 山坡AC的坡角∠CAM=20°；②用无人机测得从 程 ,点A沿着山坡AC前进100m到达C处：③在C 与 处测出山顶B的仰角∠BCN=50°.注：图中所有 数 ,点均在同一平面内.（参考数据：sin20°≈0.3， 据 cos20°≈0.9，tan20°≈0.4，sin50°≈0.8，cos50 信 ≈0.6，tan50°≈1.2) 息 请根据上面提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）： (1)求坡面AC的水平距离AH和垂直距离CH; (2)求山的高BD. 做题 心得 熎(3)原式=2(x2+2x+1)-2+7=2(x+1)2+5..·(x+1)2≥ 0,.2(x+1)2≥0，.2(x+1)2+5≥5，.当x=-1时，多 项式2x2+4x+7有最小值，最小值为5. (9分) 22.解：(1)设前三季度生产量的平均增长率为x,依题意 得：200(1+x)2=288, (2分) 解得x,=0.2=20%,x2=-2.2(不符合题意，舍去).答： 前三季度生产量的平均增长率为20%. (4分) (2)设应该再增加m条生产线，依题意得：(m+1)(600 -20m)=2600.整理得m2-29m+100=0,解得m1=4,m2 =25,又：在增加产能同时又要节省投人成本，.m=4. 答：应该再增加4条生产线. (10分) 23.(1)是 (2分) (2)证明：.∠APC=∠BAP+∠B,∠APC=∠APD+ ∠CPD,.∠BAP+∠B=∠APD+∠CPD. (4分) ∠B=∠APD,.∠BAP=∠CPD.∠B=∠C,∴ △ABP∽△PCD: (6分) 答案 BD BP (3)解：与(2)同理可证△BDP∽△CPE,. ∠B=∠C=∠DPE=45°，AC=12,∠BAC=90°，·.BC= 122, (8分) 点P是边BC的中点，.BP=CP=62,:CE=9,. BD_62 629 BD=8,AB=AC=12,AD=AB-BD=4, AE=AC-CE=3,在Rt△ADE中，DE=√JAD2+AE=5. (10分) 第23章追梦综合演练卷 答案12345678910 速查AB AAA DDBCC 1.A2.B3.A 4.A【解析】在Rt△ABC中，∠C=90°，设AC=3x,则BC= 2x 2x,.AB=√(3x)2+(2x)7=√3x..sinA= √/13x 23故选A 13 5.A6.D 7.D【解析】由勾股定理得：4B2=22+2=8,BC2=12+12= 2,AC2=32+12=10,.AB2+BC2=AC2,.△ABC是直角三 角形，∠ABC=90°，sin LBAC-BC-2-5 CI05故选D. 8.B9.C10.C11.312.513.115m 14.6 【解析】延长AD和BC交于点E.在直角△ABE 中，tan4=BE4 AB=34B=3BE=4EC=BE-BC=4-2 =2,AE=√/BE2+AB2=5.,'∠DEC=∠BEA,∠CDE= L4=0△EacE品铝号号 .CD=6 5 15.√2-1【解析】在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC,延长 CB到D,使BD=AB,连结AD.在Rt△ABC中..·AC= BC,∴.∠ABC=45°，AB=√2AC.BD=AB,.∠D= ∠BAD.LABC=∠D+LBAD=45°，∴.∠D=22.5°.在 Rt△4CD中，anD=tan2.5°=AC-1-/2-1. CD1+2 16解：(1)原式=2x(2x2月+6 22)+ (2分) 2 (5分) 追梦之旅铺路卷·九年 ②原我日号号时停 (7分) =111x11 223x3=9 (10分) 17.解：(1)根据勾股定理可得：a=√252-152=20；（4分) (2)在Rt△ABC中，∠A=60°，.∠B=30°，∴.c=2b, (6分) u08--5,6=2,则=22 (9分) 18.证明：在△ABC中，·AB=AC,∠BAC=120°，∴.∠B= ∠C=30°. (3分) 又.AD⊥AC,∴.∠DAC=90° (6分) ∴.CD=2AD (9分) 19解：在△ABD中，∠ABD=30,AB=10m,AD=24B =5(m). (4分) 在Rt△ACD中，∠ACD=9,in9°= AC,.AC=_ 5 ngo 5 0.156 ≈32.05(m).故改造后的斜坡AC的长度为 32.05米 (9分) 20解：()作M⊥BG于点H在R△ACH中，心coC-2] ,AC=2,CH=1,AH=√AC2-C=1.在 R△1BH中，：nB=号m=5.BC=m4C =6; (5分) (2)BD=CD,.CD=3.在Rt△ADH中，DH=3-1=2, AD-AP+D-5,sin L.ADH-AH_5 (9分) AD 5 21.解：(1)：MN∥EC.∴.∠DNM=∠CPW,DN=√32+1下= √10，MW=√+1=√2，在Rt△DMW中，cos∠CPN= cos∠DWM=N=V2_V5 DN 10 5 (4分) (2)如图，取格点G.连接AG,GW..AG=GW=√1+2 =5,AW=√2+32=√10..AG+GW2=AN2,.△AGW 是直角三角形. (6分) tan∠CMK=tan∠GAK=2,∴ ∠CMK=∠GAK..AG∥CM.· ∠CPN=∠GAN.在Rt△AGN中，sin ∠CPV=sinLGAN GW5√2 AN√/O 2 (9分) 22.解：(1)过点B作BE⊥AD于点E,∴.∠BEA=∠BED= 90°，又：∠ADC=∠BCD=90°，∴.四边形BCDE为矩 形，BE=CD=1.8米，.AB= cos LABE2.0(米)； BE (4分) (2)由(1)得∠BEA=∠BED=90°，且∠ABD=∠ADC= 90°，.∠ADB=∠ABE=27.3°，.AD= AB in∠ADB≈44 (米). (10分) 23.解：(1)在Rt△ACH中，AC=100,∴.AH=100×cos20°≈ 100×0.9=90(m),.CH=100×sin20°≈100×0.3=30 (m); (4分) 级·HS·数学第7页 (2)设CW交BD于E点，由题意可得：DE=CH=30m, CE=HD..'BE=CE·tan50°=1.2DH(m),∴.BD=BE+ DE=(1.2DH+30)m, (7分) .·∠BAM=45°，BD⊥AM,.BD=AD,即90+DH=1.2DH +30,.DH=300m,∴.BD=1.2×300+30=390(m). (10分) 第24章追梦综合演练卷 答案12345678910 速查D C ACB D C BBC 1.D2.C 3.A【解析】设抢答、随机选择一人作答、小组作答、老师 指定一人作答4种互动工具分别为A、B、C、D,列表可 得， A B CD A (A,A)(A,B)（A,C)(A,D) B(B,A)(B,B)(B,C)(B,D) C (C,A)(C,B)(C,C)(C,D) D (D,A)(D,B)(D,C)(D,D) 根据表格可得，共有16种情况，其中老师两次选到同一 互动工具的有4种情况，故老师两次选到同一互动工具 的概率=4故选A 16=4 4.C5.B 6.D 【方法点拔】判断游戏是否公平，就是判断游戏双方获胜 的概率是否相等.若相等，则游戏是公平的，否则，游戏不 公平 7.C 8.B【解析】画树状图如下： ΛΛ公 N 由树状图可知共有12种等可能结果，其中点P(x,y)落 在直线y=-x+1上的有(-2,3)、(-1,2)、(2，-1)、(3， -2),所以点P落在直线y=x+1上的概率是，，故 选B 9.B 10.C【解析】把开关K1、K2、K3分别记为1、2、3，画树状图 开始 如下： 23 共有6种等可能的结果，其中能使灯泡发光的结果有4 种，即(K1,K3),(K,K2),(K,K),(K2,K1),能使灯 泡发光的概率为4=2 63故选C. 11.2 12.5【解析】设袋子中白球有n个，根据题意，得八= 4+n 20%,解得n=1,经检验n=1是分式方程的解，4+1=5 (个). 2 【解析】分别用A、B、C表示“惊蛰”、“白露”、“霜 降”，画树状图如下： 开始 AB C A B C A B C 共有9种等可能性的结果，其中两次抽取的卡片正面 追梦之旅铺路卷·九年 相同的有3种，·.两次抽取的卡片正面相同的概率为 3 16解)片 (3分) (2)画树状图如下： (7分) 小希 B C 八 小佳A B C D A BC D A B C D A B C D 共有16种等可能的结果，其中她们两人购买不同特 产的有12种结果，∴.她们两人购买不同特产的概率为 123 164 (10分) 17.解：(1)四瓶溶液中有两瓶呈碱性，.P(滴入其中结果 大 21 变红)=42 (3分) (2)设盐酸、硝酸钾溶液、氢氧化钠溶液、氢氧化钙溶液 案 分别为A,B,C,D.列表如下： (6分) B 0 叹 (A,B) (A,C) （A,D) （B,A) (B,C) (B,D) C (C,A) (C,B) (C,D) D (D,A) (D,B)(D,C) 由列表可知，共有12种等可能的情况，其中2瓶溶液1 瓶变红、1瓶不变色的有8种，所以P(2瓶溶液中1瓶 变红、1瓶不变色)=；=2 (9分) 123 18.解：(1)2 (3分) (2):与数字3和4分别作为三条线段的长度构成等 腰三角形的有3、4这2种可能结果，.P(构成等腰三 角形)号 (9分) 19.解：(1)画树状图： 开始 (3分) 第一次 第二次6 共有6种等可能的结果，点P所有可能的坐标为 (-1,0),(-1,1),(0,-1),(0,1),(1,-1),(1,0); (5分) (2)点P(x,y)在一次函数y=-x图象上的结果有2种， ·点P(x,y)在一次函数y=-x图象上的概率=2= 6 子 (9分) 20.解：(1)P(小明参加机器人实践课程)=4 (3分) (2)根据题意列表如下： (7分) 机器人 而塑 摄影 电烙画 机器人机器人，机器人 机器人，面塑机器人，摄影机器人，电烙画 面塑 面塑，机器人 面塑，面塑 面塑，摄影面塑，电烙画 摄影 摄影，机器人 摄影，面塑 摄影，摄影摄影，电烙画 电烙画电烙画，机器人 电烙画，面塑电烙画，摄影电烙画，电烙画 共有16种等可能的结果，其中他们参加相同实践课程 41 的有4种，则P(他们参加相同实践课程)= 164 (9分) 21.解：(1)0.58116 (每空1分，共2分) 级·HS·数学第8页