第21章 一元二次方程单元测试卷一（基础版） 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

**基本信息** 本卷为初中数学一元二次方程基础单元卷，满分150分，覆盖定义、解法、根的判别式与系数关系及实际应用，适配单元复习，通过社会热点情境（如“情绪马”销售、智慧农业）培养数学眼光与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|一元二次方程定义、根的概念、判别式|基础概念辨析，如第1题考查定义，第6题结合二次项系数限制| |填空题|6/18|根与系数关系、配方、实际问题建模|第12题增长率模型，第15题解法选择，体现应用意识| |解答题|10/102|四种解法应用、错误分析、综合应用题|第20题农业道路设计（几何面积）、24题销售利润（经济问题），突出真实情境下的数学思维与表达|

一元二次方程单元测试卷（基础） 满分150 出题人：杨老师 一、单选题（每题3分，共30分） 1．下列关于的方程一定是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为（     ） A．2 B．1或 C．1 D． 3．若关于x的一元二次方程的一个根是，则（     ） A．2029 B．2023 C． D．2025 4．若是关于的一元二次方程的一个实数根，则代数式的值是（   ） A．2026 B．2027 C．2028 D．2029 5．如果关于x的方程可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 6．若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（   ） A．且 B．且 C． D． 7．在用求根公式求一元二次方程的根时，琪琪正确代入了、、得到，则她求解的一元二次方程是（     ） A． B． C． D． 8．一元二次方程化成一般形式后二次项的系数为，一次项的系数为，则的值为(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 9．若，是一元二次方程的两个根，则的值是（     ） A． B．11 C．1 D． 10．已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（     ） A． B． 且 C． 且 D． 二、填空题（每题3分，共18分） 11．已知方程的两根为，，则________，________． 12．某水泥厂一月份总产量为1000吨，三月份总产量为1640吨，若平均每月的增长率为，则可列方程为__________． 13．填空： （1）________； （2）________； （3）________； （4）________． 14．已知α，β是一元二次方程的两个实数根，则的值为____． 15．解下列方程：①；②；③；④．用较简便的方法依次是______；______；______；______． 16．若，则的值为___________． 三、解答题 17．解方程：（每题4分，共8分） (1)（配方法） (2)（公式法）． 18．解方程：（每题4分，共16分） (1)（直接开平方法） (2)（配方法） (3) （公式法） (4)（因式分解法） 19．（8分）嘉嘉解一元二次方程的过程如图所示： 解方程 解：  ……………第一步 或  ……………第二步 ，  …………………第三步 (1)嘉嘉的解法从第________步开始出现错误，她采用的方法为________；（填写“公式法”、“配方法”、“因式分解法”） (2)请用正确的方法解方程． 20. （9分）新型科技广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进1台智能机器人采摘某种水果．如图，为了方便智能机器人和工人采摘水果，计划在一块长、宽的矩形果园上修建三条道路，道路的宽度都相等，道路将果园分成面积均为的个小矩形，求道路的宽度． 21．（10分）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，请解答下列问题： (1)求的取值范围； (2)若方程的两个实数根之积为，求的值． 22．（10分）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若、是方程的两根，且，求的值． 23． （10分）已知关于x的方程．求证：无论m为何值，方程总有实数根． 24．（10分）年是中国农历马年，一款“笑笑马”玩偶因缝制失误，意外变成嘴角下撇的“哭哭马”，凭借“反差感”迅速走红，两款玩偶组成“情绪”刷屏社交平台．某商店紧抓商机，以每套元的进价购入“哭哭马+笑笑马”组合套装，以每套元的价格出售．经统计，年月份的销售量为套，年月份的销售量为套． (1)求该组合套装月份到月份销售量的月平均增长率． (2)从年月份起，商店打算采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该组合套装每套每降价元，月销售量就会在月份销售量的基础上增加套．当该组合套装的售价为多少元时，月销售利润为元？ 25．（12分）已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围． (2)当时，求的值． 26．（13分）已知关于x的方程． (1)求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若，是方程的两根． ①当时，求m的值； ②直接写出代数式的最小值． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D A B D B A A D A 1．D 【分析】只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，注意二次项系数不为0的隐含条件，结合方程类型与未知数个数逐一判断． 【详解】解：A、当时，该方程不含二次项，不是一元二次方程，所以该方程不一定是一元二次方程； B、方程含有，两个未知数，所以该方程不是一元二次方程； C、方程分母含未知数，不是整式方程，所以该方程不是一元二次方程； D、方程只含一个未知数，的最高次数为2，是整式方程，且二次项系数不为0，是一元二次方程． 2．D 【详解】解：由题意得：，且， 解得：． 3．A 【分析】把代入一元二次方程中，得到，再把代入，即可． 【详解】解：将代入，得， ， ． 4．B 【分析】根据题意是一元二次方程的一个实数根，可得，再将转化为，整体代入求值即可． 【详解】解： 是一元二次方程的一个实数根， ， 即原式． 5．D 【分析】根据非负数的性质，建立不等式，求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程可以用直接开平方法求解，， ∴， 解得． 6．B 【分析】一元二次方程要求二次项系数不为0，方程有实数根要求根的判别式大于等于0，列不等式即可求解. 【详解】解：∵原方程是关于的一元二次方程 ∴二次项系数， ∵方程有实数根， ∴根的判别式， 化简得，解得； 综上，的取值范围是且. 7．A 【详解】解：∵一元二次方程求根公式为，且代入后得， ∴，解得， ，解得， 对比根号内的项，得 ， 将代入，得， ∴原方程为． 8．A 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再根据题意给出的一次项系数列方程求解即可． 【详解】解： 展开右侧得 移项合并同类项得 由题意，该方程一次项系数为，可得 解得． 9．D 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到，，整体代入代数式进行计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根，，，， ∴，， ∴． 10．A 【分析】当时，原方程是一元一次方程，方程有解，符合题意；当时，根据一元二次方程有实数根以及二次根式有意义的条件列出关于k的不等式组求解即可． 【详解】解：当，即时，原方程为， 解得，符合题意； 当，即时， ∵关于x的方程有实数根， ∴， 解得， ∴且， 综上，． 11． 4 【分析】对于一元二次方程，若两根为，，根据根与系数的关系可得 ，． 【详解】解：∵方程为， ∴，，， ∴，． 12． 【分析】根据平均每月增长率表示出三月份的产量，结合给出的三月份总产量列出方程即可． 【详解】解：∵一月份总产量为吨，平均每月的增长率为， ∴二月份的产量为吨， ∴三月份的产量为吨， ∵已知三月份总产量为吨， ∴可列方程为． 13． 1 1 【详解】解：（1） （2） （3） （4） 14． 【分析】利用一元二次方程根的定义降次，再结合根与系数的关系代入计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴． ∵由根与系数的关系可得，， ∴ ， ， ． 15． 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法 【分析】根据每个一元二次方程的结构特点，判断最简便的求解方法即可． 【详解】解：①， 移项化简可得，直接开平方即可得到方程的解，因此最简便的方法是直接开平方法； ②， 移项化简可得，一次项系数为偶数，配方过程计算简便，因此最简便的方法是配方法； ③，无法直接开平方，也不易进行因式分解和配方，因此最简便的方法是公式法； ④，移项后可以提取公因式可得，因式分解计算即可，因此最简便的方法是因式分解法． 16．5或 【分析】将看作整体，换元后转化为一元二次方程求解即可． 【详解】解：设，则原方程可化为， 展开整理得，即，因式分解得， 解得或， 因此的值为或． 17．．(1)， (2)， 【详解】（1）解：整理得， 配方得，即， ∴或， 解得，； （2）解：， ，，， ， ∴， 解得，． 18．(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：， ， ∴， 解得； （2）解：， ， ， ∴， ∴， 解得； （3）解：， ∵， ∴， ∴， 解得； （4）解：， ， ， 整理得，即或， 解得． 19．(1)一；因式分解法 (2)解：∵， ∴， ∴，即， ∴，即， ∴或， 解得：，． 【分析】（1）对照第一步展开后的二次三项式与原方程左边不一致，即可判断出错误发生在第一步；根据 “化为两个一次因式乘积等于零” 的形式即可确定所用方法为因式分解法； （2）将原方程转化为，然后利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：∵，与原方程左边不相等， ∴嘉嘉的解法从第一步开始出现错误； 又∵嘉嘉将原方程转化为“两个一次因式的乘积等于零” 的形式， ∴嘉嘉所用方法为因式分解法； （2） 略． 20. 道路宽度为1m 【分析】设道路宽度为，则6个小矩形的合并在一起的长为，宽为，结合6个小矩形的面积之和为列出方程，求解即可． 【详解】解：设道路宽度为，依题意得 ， 解得，（不合实际，舍去）． 答：道路宽度为． （3） 21．(1) (2)的值为或 【分析】（1）根据判别式与根的个数的关系，列不等式，求解即可； （2）根据根与系数的关系可得两根之积，结合题干列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 整理，得， 解得； （2）解：设方程的两根为、， 由根与系数的关系可得， 根据题意可得， 整理，得， 解得或，均符合， ∴的值为或． 22．(1)证明：在一元二次方程中，，，， ∴根的判别式， ∵无论取何实数，， ∴，即， ∴ 方程总有两个不相等的实数根． (2) 【分析】（1）计算方程的根的判别式，证明其恒大于0即可得证； （2）利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积的表达式，代入已知等式求解的值． 【详解】（1）略； （2）解：∵、是方程的两根， ∴由根与系数的关系得：，， 将上述两式代入得：， 整理得：， 解得． 23．证明：当时，方程为， 此时方程有解，解为； 当时，， 此时方程有实数根． 综上所述，不论m为何值时，方程总有实数根． 【分析】分两种情况：当时或当时，分别进行证明即可． 【详解】略 24．(1) (2)当该组合套装的售价为元时，月销售利润为元 【分析】（1）增长率模型：初始量最终量； （2）根据“单件利润销售量总利润”，表示出降价后每件的利润与当月销量，列出一元二次方程，求出符合实际意义的售价． 【详解】（1）解：设该组合套装月份到月份销售量的月平均增长率为． 根据题意，得， 解得不合题意，舍去 答：该组合套装月份到月份销售量的月平均增长率为． （2）设该组合套装的售价为元，则月销售量为套． 根据题意，得， 解得不合题意，舍去 答：当该组合套装的售价为元时，月销售利润为元． 25．(1) (2) 【分析】（1）根据判别式求解即可； （2）利用根与系数的关系可用m表示出已知等式，可求得m的值． 【详解】（1）解：原方程有两个实数根， ，即． 解得． （2）解：且， 即． ， ． 26．(1)将，整理得 ， ∴， 无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根 (2)①；②0 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式解答即可； （2）①把代入方程，即可求解；②利用一元二次方程根与系数的关系可得，，再代入，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：①把代入方程，得， ． ②将，整理得 ∵，是方程的两根， ，， ∴， 所以代数式的最小值为0 1 学科网（北京）股份有限公司 $