精品解析：四川成都市树德中学2027届高三上学期开学考试数学试题

树德中学高2024级高三上开学考试数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设，则下列语句是“”的充分条件的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】对于A，举反例，当时，但是，不符合题意； 对于B，举反例，当时，但是，不符合题意； 对于C，由指数函数的性质可得，时，则有，满足题意； 对于D，举反例，当时，但是，不符合题意. 2. 已知复数，则其共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以在复平面内对应的点为． 3. 已知圆，若直线上存在唯一点P，使得过点P作圆C的两条切线相互垂直，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据题目条件得到，从而得到方程，求出答案 【详解】圆，圆心，圆的半径． 若直线上存在唯一点，使得过点作圆的两条切线相互垂直， 由几何关系可知，此时，即， 即，解得或（舍）． 4. 若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设，则， 因为在区间上单调递增，且为减函数， 由复合函数单调性知在上单调递减， 则有解得， 故的取值范围是， 故选：B． 5. 已知数列（非常数列）前项和为，为等差数列，，，且，，成等比数列，则的值为（ ） A. B. 80 C. 81 D. 90 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得数列的首项为，设其公差为，由，，成等比数列和数列（非常数列），求得，从而得，再将代入求解即可. 【详解】因为为等差数列，， 所以数列的首项为，设其公差为， 则， 所以， 所以，，， 又因为，，成等比数列， 所以， 即， 解得或， 当时，， 当时，， 所以，为常数数列，不满足题意，故舍去; 当时，， 当时，， 所以，不是常数数列，满足题意， 所以， 所以， 所以. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角恒等变换化简得出的值，再利用二倍角的余弦公式化简可得出的值. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 7. 如图所示，玩具计数算盘的三档上各有7个算珠，现将每档算珠分为左右两部分，左侧的每个算珠表示数2，右侧的每个算珠表示数1(允许一侧无珠)，记上、中、下三档的数字和分别为，若成等差数列，则不同的分珠计数法共有（ ） A. 20种 B. 32种 C. 54种 D. 72种 【答案】B 【解析】 【分析】先确定a，b，c的范围，再按照公差分类计算即可. 【详解】根据题意，a，b，c的取值范围都是7～14中的8个整数， 故公差d的范围是到3的整数. ①当公差时，从8个整数中选择一个共有8种； ②当公差时，b不取7和14，有(种)； ③当公差时，b不取7，8，13，14，有(种)； ④当公差时，b只能取10或11，有(种). 综上，共有(种). 8. 在三角形中，点在边上，满足平分，并且，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】如图所示, 在中，由余弦定理得， ， 因为平分，所以， 所以， 则， 在中，由余弦定理得， ， 则， 因为，所以， 设，， 在中，由正弦定理得， ，即， 整理得， 在中，由余弦定理得， ， 整理得，解得，， 当，即时，点为中点， ，不成立， 所以. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数满足，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 在区间上单调递减 D. 在区间上有两个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】A.利用周期的公式求解；B.利用对称轴的公式求解；C.利用单调递增区间判断；D.转化为方程求解根的个数. 【详解】已知，满足， 即，所以函数图象关于点中心对称，因此时，， 结合，取，得. A.，故周期 ，A正确； B.由，得，，当，， 所以是的图象的一条对称轴，B正确； C. 由，则，又在上单调递增，即在上单调递增，C错误； D.由， 得，令，得， 则，，所以， ，所以在区间上有两个零点，D正确. 10. 已知分别是双曲线的左、右焦点，是左支上一点，且在轴上方，过作角平分线的垂线，垂足为 是坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则直线的斜率为 B. 若，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据垂直关系以及角平分线可得，即可求解斜率，判断A，根据数量积的几何意义即可根据长度求解B，根据三角形全等，以及三角形的中位线即可求解DC. 【详解】由题意得，不妨设在第二象限， 当时，则，则， 故，， 故，由于是的角平分线，所以， 进而可得，故斜率为，故A正确， 由于，所以，故B正确， 延长交于点，连接， 由于是的角平分线，，所以， 故是的中点，， 由双曲线定义可得， 又是的中点，，故C正确，D错误. 11. 已知函数，为的导数，则（ ） A. 任意实数，一定存在极大值和极小值 B. 存在实数，使得在区间上单调递增 C. 任意实数，曲线一定存在与直线平行的切线 D. 存在实数，使得函数有唯一零点 【答案】AD 【解析】 【分析】求，其为指数函数乘二次函数的形式，因为指数函数恒正，所以导函数的符号由二次函数决定.选项A：判断导函数对应的二次方程的判别式符号，由此可判断的极值存在情况；选项B：将问题转化为二次函数在区间上恒非负的问题，求解参数的存在性；选项C：将问题转化为该方程是否对任意都有实根，判断对应方程的解的存在性；选项D：等价于导函数等于，将问题转化为对应方程是否存在使得仅有一个实根，结合二次函数的性质分析解的个数. 【详解】对求导得： ， ，其判别式， 因此恒有两个不同实根，的符号由决定. 选项A：因为恒成立，总有两个不同零点，不妨设， 当时，，，递增； 当时，，，递减； 当时，，，递增. 因此一定存在极大值和极小值，A正确. 选项B： ，故， 即且函数连续，故存在使得， 即不可能在区间上单调递增，B错误. 选项C：设切点为， 当曲线切线与重合时，，可得是一组解， 当时，， 设，则， 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 又，且，所以只有唯一解0， 所以当时，曲线仅在处的切线斜率为1，且与直线重合，C错误. 选项D：， 因，即恒为的零点. 若令，则，其零点为，， 当或时不可能等于0， 若满足有唯一零点，即有唯一解. 因且， 而均为上的增函数，故为上的增函数， 故当时，令，则在单调递减； 当时，单调递增， 所以当时，在内有唯一的最小值， 结合的单调性可得有唯一解， 因此只有唯一零点，故存在这样的，D正确. 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，，若，则______． 【答案】0 【解析】 【分析】根据平面向量的坐标运算即可求解． 【详解】因为向量，， 所以， 又，则，解得． 13. 在棱长均为2的正三棱锥中，点是的中点，点是侧面上的一个动点，当平面时，动点的轨迹的长度是______． 【答案】1 【解析】 【详解】如图所示，取的中点，取的中点，连接，，， 点，点分别为，的中点， 又平面，平面， 平面， 同理点，点分别为，的中点， 又平面，平面， 平面， 又，平面，平面， 平面平面， 又点是侧面上的一个动点， 且平面，平面平面， 点在平面上的轨迹为线段， 又点，点分别为，的中点，， 所以动点的轨迹的长度为1. 14. 甲、乙、丙三人玩“剪刀、石头、布”的游戏．游戏规则为：剪刀赢布，布赢石头，石头赢剪刀．每一局游戏甲、乙、丙同时出“剪刀、石头、布”中的一种手势，且相互独立．在一局游戏中某人赢1个人得2分，赢2个人得5分，其他情况得0分．设一局游戏后3人总得分为，则随机变量的数学期望的值为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】考虑所有可能的取值，然后计算出每种取值对应的概率，进而由分布列求得期望． 【详解】当三人手势完全相同时，三人均得0分，此时，， 当三人手势均不相同时，三人均得2分，此时，， 当两人手势相同，第三人不同时，有以下两种情况： 若手势相同的两人赢第三人，则手势相同的两人各得2分，第三人得0分，此时，， 若手势相同的两人输第三人，则第三人得5分，手势相同的两人得0分，此时，． 因此的分布列为 0 4 5 6 故． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为科学评估施肥对某品种农作物发育情况和产量的影响，某研学小组对劳动实践基地中随机抽取的200株该品种农作物进行了观察，并进行数据分析． （1）将所抽取的农作物按是否施肥分为两类，并将其分为“发育正常”和“发育不正常”两类，整理得到下表： 施肥 不施肥 合计 发育正常 70 30 发育不正常 40 合计 200 请补全以上表格，判断能否有99.9%的把握认为“是否施肥”与“该品种农作物是否发育正常”有关，并说明理由． （2）对施肥的农作物进行观察，发现施肥超过某标准量后，产量反而会迅速下降．从施肥的该品种农作物中随机抽取10株，记录它们的过量施肥量（g）与产量（g），数据如下表： 农作物编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 过量施肥量（g） 0 0.5 1 1 1.5 2 2 2 2.5 2.5 产量（g） 100 85 85 85 80 75 75 70 70 75 经计算，，，，，求关于的线性回归方程． 附：， 0．050 0．010 0．001 3．841 6．635 10．828 对于一组数据，，……，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为： ，． 【答案】（1） 施肥 不施肥 合计 发育正常 70 30 100 发育不正常 40 60 100 合计 110 90 200 能有的把握认为“是否施肥”与“该品种农作物是否发育正常”有关． （2）． 【解析】 【分析】（1）补全列表，再计算与临界值比较判断即可； （2）先根据公式计算，再应用样本中心点计算，最后得出回归直线. 【小问1详解】 补全列联表如下： 施肥 不施肥 合计 发育正常 70 30 100 发育不正常 40 60 100 合计 110 90 200 所以 所以有99．9%的把握认为“是否施肥”与“该品种农作物是否发育正常”有关． 【小问2详解】 已知，，， 所以，， 则， 所以关于的线性回归方程是． 16. 在中，角所对的边分别为，且满足． （1）求证：； （2）若，平分且交于点，且，求的周长． 【答案】（1）证明：因为， 由正弦定理得，即， 得，所以，即 （2） 【解析】 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 因为，，所以的面积为， 又因为平分且交于点，所以，又， 所以， 所以，即，，因为，根据余弦定理得 ，故，所以周长. 17. 已知抛物线，过点作斜率为的直线与抛物线相交于，两点． （1）若，求抛物线的方程； （2）求的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）把直线方程与抛物线方程联立方程组，利用弦长公式求出的值，可得抛物线方程； （2）结合韦达定理表示出，通过换元法和基本不等式求最大值. 【小问1详解】 由题意设直线方程为：，设，， 联立消去可得，， 由韦达定理，，则， 由题意得，化简得． 解得或（舍），故抛物线方程为. 【小问2详解】 ， 令，故， 由，当且仅当，即时等号成立， 故当，取得最大值． 18. 已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的射影是与的交点，已知，是等边三角形． （1）求证：平面平面 （2）求点到平面的距离； （3）若点是线段上的动点（包括端点），设直线与平面所成的角为，求的取值范围． 【答案】（1）∵点在底面上的射影是与的交点， ∴平面， ∵平面，∴， ∵四边形为菱形，∴， ∵， 平面，∴平面， ∵平面， ∴平面平面 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题可得平面，故，根据菱形的性质可得，再根据线面垂直的判定定理与性质定理即可证明； （2）根据题干数据结合即可求解； （3）由线面平行的判定定理可得平面，可得到平面的距离即为到平面的距离，过作垂线平面交于点，可得，由，可得结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意可得、与都是边长为2的等边三角形， ，， ，， ， 设点到平面的距离为， 由得， 即，解得， 故点到平面的距离为. 【小问3详解】 设直线与平面所成的角为， ，平面，平面， 平面， 到平面的距离即为到平面的距离. 过作垂线平面交于点，则， 此时， 由（2）易知，， ， 则的边上的高为， ，而， ，的取值范围为. 19. 设函数． （1）当时，讨论在上的极值点情况． （2）当时，在上恒成立，求的取值范围． （3）若，在上存在零点，求的取值范围． 【答案】（1）在区间内存在一个极小值点和一个极大值点 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用分类讨论思想，结合导数的正负，可判断函数单调性，从而可确定极值点的个数； （2）利用分类讨论思想，结合导数的正负，判断单调性，来证明不等式是否成立即可； （3）利用分离参变量法，构造函数求导研究最值，从而可确定参数范围. 【小问1详解】 当时，，则， ①当时， 由指数函数在上单调递增，余弦函数在上单调递减， 可知在单调递增， 又，， 所以存在，使得， 当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增； ②当时，由，，则， 所以在单调递增， ③当时，设， 则 由指数函数在上单调递增，正弦函数在上单调递减， 所以在单调递增， 又，， 所以存在使得， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 又，，， 所以必存在，使得， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 综上所述，当，单调递增，当，单调递减， 当，单调递增， 所以在区间内存在一个极小值点和一个极大值点． 【小问2详解】 当时，，由在上恒成立， 可得在上恒成立， 令，则， 若时，则在上恒成立，则在上单调递增， 所以，符合题意； 若时，令，则在上恒成立， 所以在上单调递增，，当时，， 则，使得， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 所以，不合题意； 综上所述，实数的取值范围是． 【小问3详解】 由，，令，得， 设，，则， 令，解得，， 当时，， 所以在上单调递减， 当，时，， 所以在，上单调递增， 当，时，取得极小值， 即当，，，…时，取得极小值， 又，， 所以，即， 当，时，取得极大值， 即当，，，…时，取得极大值， 又，， 所以，即 即当时，， 所以，又， 即时，在上存在零点， 故实数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 树德中学高2024级高三上开学考试数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设，则下列语句是“”的充分条件的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则其共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知圆，若直线上存在唯一点P，使得过点P作圆C的两条切线相互垂直，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 4. 若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知数列（非常数列）前项和为，为等差数列，，，且，，成等比数列，则的值为（ ） A. B. 80 C. 81 D. 90 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，玩具计数算盘的三档上各有7个算珠，现将每档算珠分为左右两部分，左侧的每个算珠表示数2，右侧的每个算珠表示数1(允许一侧无珠)，记上、中、下三档的数字和分别为，若成等差数列，则不同的分珠计数法共有（ ） A. 20种 B. 32种 C. 54种 D. 72种 8. 在三角形中，点在边上，满足平分，并且，，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数满足，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 在区间上单调递减 D. 在区间上有两个零点 10. 已知分别是双曲线的左、右焦点，是左支上一点，且在轴上方，过作角平分线的垂线，垂足为 是坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则直线的斜率为 B. 若，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 11. 已知函数，为的导数，则（ ） A. 任意实数，一定存在极大值和极小值 B. 存在实数，使得在区间上单调递增 C. 任意实数，曲线一定存在与直线平行的切线 D. 存在实数，使得函数有唯一零点 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，，若，则______． 13. 在棱长均为2的正三棱锥中，点是的中点，点是侧面上的一个动点，当平面时，动点的轨迹的长度是______． 14. 甲、乙、丙三人玩“剪刀、石头、布”的游戏．游戏规则为：剪刀赢布，布赢石头，石头赢剪刀．每一局游戏甲、乙、丙同时出“剪刀、石头、布”中的一种手势，且相互独立．在一局游戏中某人赢1个人得2分，赢2个人得5分，其他情况得0分．设一局游戏后3人总得分为，则随机变量的数学期望的值为_____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为科学评估施肥对某品种农作物发育情况和产量的影响，某研学小组对劳动实践基地中随机抽取的200株该品种农作物进行了观察，并进行数据分析． （1）将所抽取的农作物按是否施肥分为两类，并将其分为“发育正常”和“发育不正常”两类，整理得到下表： 施肥 不施肥 合计 发育正常 70 30 发育不正常 40 合计 200 请补全以上表格，判断能否有99.9%的把握认为“是否施肥”与“该品种农作物是否发育正常”有关，并说明理由． （2）对施肥的农作物进行观察，发现施肥超过某标准量后，产量反而会迅速下降．从施肥的该品种农作物中随机抽取10株，记录它们的过量施肥量（g）与产量（g），数据如下表： 农作物编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 过量施肥量（g） 0 0.5 1 1 1.5 2 2 2 2.5 2.5 产量（g） 100 85 85 85 80 75 75 70 70 75 经计算，，，，，求关于的线性回归方程． 附：， 0．050 0．010 0．001 3．841 6．635 10．828 对于一组数据，，……，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为： ，． 16. 在中，角所对的边分别为，且满足． （1）求证：； （2）若，平分且交于点，且，求的周长． 17. 已知抛物线，过点作斜率为的直线与抛物线相交于，两点． （1）若，求抛物线的方程； （2）求的最大值． 18. 已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的射影是与的交点，已知，是等边三角形． （1）求证：平面平面 （2）求点到平面的距离； （3）若点是线段上的动点（包括端点），设直线与平面所成的角为，求的取值范围． 19. 设函数． （1）当时，讨论在上的极值点情况． （2）当时，在上恒成立，求的取值范围． （3）若，在上存在零点，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $