精品解析：四川雅安市2026届高三上学期零诊考试数学试题

雅安市高2023级高三“零诊”考试 数学试题 本试卷满分150分，答题时间120分钟 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名，考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确． 2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸，试题卷上答题无效． 3．考试结束后，将答题卡收回． 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1. 已知复数满足，则复数的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求解出，然后即可求得的虚部. 【详解】因为，所以复数的虚部为． 故选：D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合交集的定义，求解两个集合取值范围的公共部分即可得到结果. 【详解】已知集合，，则，故B正确. 3. 不等式的解集是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用分式不等式与整式不等式的等价关系，直接求解即可. 【详解】由题可得，即，等价于， 所以不等式解集为或. 4. “函数为增函数”是“函数为指数函数”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】为指数函数，故，此时函数为增函数，必要性成立； 若为增函数，只需，不妨设，此时不为指数函数，充分性不成立， 故“函数为增函数”是“函数为指数函数”的必要不充分条件. 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性，分别将三个数与0、1比较大小即可得解. 【详解】因为指数函数在上单调递减，，所以，即； 因为指数函数在上单调递增，，所以，即； 因为对数函数在上单调递增，，所以，即. 综上可得. 6. 记，，分别是的内角A，B，C的对边，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以， 从而，又因为，所以，从而，故选A. 7. 某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过6万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过6万元时，若超过多出的部分为A万元，则多出的部分按万元进行奖励．已知业务员小雨获得了2.9万元的奖金，那么他的销售利润是（ ） A. 13万元 B. 15万元 C. 18万元 D. 20万元 【答案】C 【解析】 【分析】先判断利润是否超过6万元，列出总奖金的等量关系，再根据对数的运算性质求出，即可求出销售利润. 【详解】由题可知，当销售利润为6万元时，奖金为万元，又小雨获得了2.9万元的奖金，大于0.9万元， 则利润超过6万元，超出的部分为A万元，所以，即， 所以，解得，因此，销售利润为万元. 8. 已知函数，若在上有且仅有2条对称轴，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出的对称轴方程，由条件分析出整数的取值，再列出关于的不等式，求解即可. 【详解】因为正弦函数的对称轴方程为， 所以令，可解得的对称轴方程为. 因为，即，可解得. 要使在区间上有且仅有2条对称轴，则符合条件的整数只能为， 因此需满足，解得， 故的取值范围是. 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）在每小题给出的四个选项中，有多个符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在梯形中，，，E，F分别是，的中点，设，，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用向量的线性运算法则、共线向量的性质以及向量数量积的运算，逐一判断各选项即可. 【详解】选项A：因为且，所以， 所以，故A正确; 选项B：，故B错误; 选项C：与方向相反，故，所以，C正确; 选项D：因为是中点，所以；因为是中点，所以， 所以，D错误. 10. 已知，，，，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】先根据角的范围求得，，再结合恒等变换公式依次讨论各选项即可. 【详解】已知，故，， 因为，所以； 又，故， 因为，所以， 所以. 选项A：，正确; 选项B：由，又因为， 所以，整理得，即，正确; 选项C：由，解得（为锐角，取正）， 代入，解得，错误; 选项D：将等式两边同除以，等价于， 代入，，左边，右边，等式成立，正确. 11. 已知定义在R上的偶函数满足：对任意的，都有，则下列结论中正确的是（ ） A. 的图象关于点对称 B. 是以为周期的周期函数 C. 的图象关于直线对称 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，根据对称中心的充要条件即可判断；B选项，结合偶函数与，推得，即可得出周期；C选项，由以及偶函数，推出，即可判断对称轴；D选项，先通过取值判断一个周期的和，而，即可求解. 【详解】对于A：函数图象关于点对称的充要条件是， 由，即，所以的图象关于点对称，故A正确； 对于B、C：因为，把换成，得，即， 又因为是偶函数，将上式中的换成， 所以，所以，所以的图象关于直线对称， 再将换成，所以，所以是以4为周期的周期函数，故B错误、C正确； 对于D：将代入，得，即； 将代入，得； 将代入，得，即， 所以， 故一个周期的和为， 而从到共2027项，， 所以，故D正确. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）将答案填在答题卡相应的横线上． 12. 已知向量与的方向相同，且，，则的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【详解】∵ 向量与方向相同， ∴ 存在正实数，满足， 又， 由数乘向量的模长性质可得，所以，解得， 因此. 13. 函数（且）的图象恒过定点A，且A在幂函数的图象上，则k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先得到，进而由幂函数定义得到，代入求解 【详解】中，令得，此时， 所以，又A在幂函数上， 所以，解得，所以， 故，解得. 14. 已知，，，若存在，使得，则m的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】将问题转化为存在，使得，构造函数，结合导函数研究其最小值. 【详解】因为存在，使得， 即存在，使得， 所以存在，使得， 令，则， 则， 令，则， 则在上单调递增， 因为，， 所以存在使得， 则当时，单调递减；当时，单调递增； 则， 因为，所以m的最小值为 四、解答题（本大题共5小题，共77分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知a，b，c分别是的内角A，B，C的对边，且． （1）求B； （2）若，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理得到，利用三角形内角和结合两角和的正弦公式，通过整理得到，由得到，通过计算得到，由得到. （2）利用三角形的面积公式求出，利用余弦定理通过计算得到，利用基本不等式得到，从而得到面积的最大值. 【小问1详解】 因为，所以， 因为，所以， 则， 即， 解得， 因为，所以， 所以转化为，解得， 因为，所以. 【小问2详解】 因为，， 所以， 因为， 代入得到， 因为，所以转化为， 即，解得， 当且仅当时取等号， 则. 16. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若，求证：． 【答案】（1） （2）要证明当时，，可以将其转化为证明恒成立， 构造新函数，则， 令，即，解得，， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； ， ， ， 因此，在的整个定义域内，的最小值为（在处取得）， 所以，对于任意，都有恒成立，即， 也就是成立. 【解析】 【分析】（1）先求出函数在给定点的纵坐标，再求出导函数并计算该点处的导数值，最后利用点斜式写出切线方程即可； （2）通过构造新函数，将不等式证明转化为证明函数值的非负性，通过求导分析新函数的单调性与极值，进而确定其在指定区间上的最小值即可证明. 【小问1详解】 已知函数，则. 将代入函数解析式，得， 所以切点坐标为， 切线斜率， 根据直线的点斜式方程 ，可得切线方程，即. 【小问2详解】 略. 17. 已知函数． （1）求的最小正周期和对称中心； （2）将的图象先向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度后，得到函数的图象，求在区间上的所有零点之和． 【答案】（1）最小正周期为，对称中心为，； （2）零点之和为 【解析】 【分析】（1）利用最小正周期公式求解；令函数值为，解出为对称中心点的横坐标，纵坐标为，从而得到对称中心点. （2）利用平移求出，令，求出在的值，将这些的值求和得解. 【小问1详解】 因为，所以， 令，即，解得， 即，则的对称中心为； 【小问2详解】 因为向左平移个单位， 得到， 再向下平移个单位，得到， 令，即，解得， 即 或， 解得或， 当时，因为，所以， 解得 ， 因为，所以，共30个值， 则零点和为. 当时， 因为，所以， 因为，所以，共30个值， 则零点和， 则在区间上的所有零点之和为. 18. 已知，． （1）若，求的值； （2）记，在锐角中，点E是线段上一点，且，F是线段上一点，且，角B的平分线交于D，且的面积为． （ⅰ）求B及的长； （ⅱ）求的取值范围． 【答案】（1） （2）（i），（ii） 【解析】 【分析】先算出，利用三角恒等变换（二倍角公式、辅助角公式）把表达式整理成的形式，解出的值.观察目标角和的倍数关系，利用二倍角公式、诱导公式，整体代换求出. （i）先用三角形面积公式写出面积表达式，求出，得到，进而得到角B.在中已知两边，和夹角B，直接用余弦定理计算的长. （ii）的表达式在（1）中已求出，把代入，是锐角三角形，三个内角都小于，结合已经求出的角B，列出不等式组，算出角A的取值范围.由A的范围，得到里面的范围，结合正弦函数单调性，求出的值域. 【小问1详解】 ， 即. 由有 ，令， ，. . , 所以. 【小问2详解】 （i）平分，设，，则 ，与同高，面积比等于底之比， ，. . ， 又， .是锐角三角形，所以 由余弦定理求： . （ii），是锐角三角形，，所以有： 解得，所以， . 在单调递增. ，， 所以，. 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若恒成立，求的值； （3）若，函数有两个零点、，求证：． 【答案】（1）时在单调递增；时在单调递减，在单调递增. （2） （3）当时，有两个零点、， 由可得，即， 零点、满足， 两式相减，两式相加得，即， 要证，即证，即证，即证， 设，由可得， 令，则，可得，则， 所以，，则. 所以即证，即证，其中， 因为，则，即证，其中， 构造函数，其中，则， 所以函数在上单调递增， 当时，，即，故原不等式得证. 【解析】 【分析】（1）求导，分时两种情况进行分类讨论，分析导数的符号变化，即可得出函数的增区间和减区间； （2）先化简不等式得，令，将所求不等式变形为，构造函数，可知对任意的恒成立，则，则函数在处取得极小值，则，求出的值，再结合函数的最值与导数的关系验证即可； （3）化简函数的解析式得，根据零点定义得出，将两式分别相加和相减变形得出，，设，令，将所证不等式变形为，其中，构造函数，其中，结合导数法证明即可. 【小问1详解】 函数的定义域为，求导得. 当时，对任意的，，此时函数在上单调递增； 当时，由可得，由可得， 此时函数在上单调递减，在上单调递增. 综上所述，当时在单调递增； 当时在单调递减，在单调递增. 【小问2详解】 因为，由得， 整理为，即， 令，则不等式为. 因为函数在上单调递增， 当时，；当时，，故， 设，则对任意的恒成立，所以， 所以函数在处取得极小值， 求导得，则，解得，此时，则， 由可得，由可得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，符合题意. 综上所述，. 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 雅安市高2023级高三“零诊”考试 数学试题 本试卷满分150分，答题时间120分钟 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名，考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确． 2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸，试题卷上答题无效． 3．考试结束后，将答题卡收回． 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1. 已知复数满足，则复数的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 不等式的解集是（ ） A. B. C. 或 D. 4. “函数为增函数”是“函数为指数函数”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 记，，分别是的内角A，B，C的对边，若，，则（ ） A. B. C. D. 7. 某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过6万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过6万元时，若超过多出的部分为A万元，则多出的部分按万元进行奖励．已知业务员小雨获得了2.9万元的奖金，那么他的销售利润是（ ） A. 13万元 B. 15万元 C. 18万元 D. 20万元 8. 已知函数，若在上有且仅有2条对称轴，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）在每小题给出的四个选项中，有多个符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在梯形中，，，E，F分别是，的中点，设，，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，，，，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知定义在R上的偶函数满足：对任意的，都有，则下列结论中正确的是（ ） A. 的图象关于点对称 B. 是以为周期的周期函数 C. 的图象关于直线对称 D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）将答案填在答题卡相应的横线上． 12. 已知向量与的方向相同，且，，则的坐标为_______． 13. 函数（且）的图象恒过定点A，且A在幂函数的图象上，则k的值为______． 14. 已知，，，若存在，使得，则m的最小值为_______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知a，b，c分别是的内角A，B，C的对边，且． （1）求B； （2）若，求面积的最大值． 16. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若，求证：． 17. 已知函数． （1）求的最小正周期和对称中心； （2）将的图象先向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度后，得到函数的图象，求在区间上的所有零点之和． 18. 已知，． （1）若，求的值； （2）记，在锐角中，点E是线段上一点，且，F是线段上一点，且，角B的平分线交于D，且的面积为． （ⅰ）求B及的长； （ⅱ）求的取值范围． 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若恒成立，求的值； （3）若，函数有两个零点、，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $