17.1 用提公因式法分解因式 第1课时 用提公因式法分解简单的因式 教案 2026-2027学年人教版数学八年级上册

该教案聚焦用提公因式法分解因式，涵盖因式分解概念、公因式确定及分解步骤。通过跳水比赛打分情境引出pa+pb+pc=p(a+b+c)，类比整数素因数分解，衔接整式乘法与因式分解的互逆关系，搭建学习支架。 此教案以核心素养为核心，情境导入和探究发现培养推理能力，“定系数-定字母-定指数”模型发展模型观念，例1强调“余项为1”提升运算能力。讲练结合助学生掌握方法，对学生提升数学思维，对教师提供系统教学指导，提高课堂效率。

17.1 用提公因式法分解因式 第1课时 用提公因式法分解简单的因式 课题 17.1 用提公因式法分解因式 第1课时 用提公因式法分解简单的因式 课型 新授课 课时 1课时（45分钟） 教材版本 人教版八年级上册 第十七章 因式分解 教学方法 情境导入、探究发现、讲练结合 教学用具 多媒体课件 教材分析 本节课是因式分解的起始课，主要学习因式分解的概念和用提公因式法分解因式。因式分解是整式乘法的逆运算，是后续学习公式法分解因式、分式运算、解二次方程等知识的基础。本节课从实际问题（跳水比赛打分）引入，让学生体会因式分解产生的必要性，通过类比整数的素因数分解帮助学生理解因式分解的意义，重点学习公因式的概念和提公因式法分解因式的基本步骤。 学情分析 学生已学过整式的乘法运算，对整式的乘法法则有一定的掌握，这为学习因式分解（整式乘法的逆运算）提供了知识基础。但学生首次接触因式分解的概念，容易将因式分解与整式乘法混淆，需通过对比辨析帮助学生明确两者的关系和区别。在确定公因式时，部分学生可能在"定系数""定字母""定指数"三个环节中遗漏，尤其是当某一项与公因式相同时，容易漏掉余项1。教学中需通过具体的例题和练习，引导学生逐步掌握提公因式法的步骤。 教学重点：理解因式分解的概念，掌握公因式的概念及确定公因式的方法（定系数、定字母、定指数）。掌握用提公因式法分解因式的基本步骤，能将多项式分解为公因式与另一个因式的乘积形式。 理解因式分解的概念，掌握公因式的概念及确定公因式的方法（定系数、定字母、定指数）。掌握用提公因式法分解因式的基本步骤，能将多项式分解为公因式与另一个因式的乘积形式。 教学难点：正确确定多项式中各项的公因式，尤其是系数为分数或公因式含有负号的情形。在提公因式后，正确写出各项的余项，特别是当某一项与公因式相同时，括号内应写1而非0。 正确确定多项式中各项的公因式，尤其是系数为分数或公因式含有负号的情形。在提公因式后，正确写出各项的余项，特别是当某一项与公因式相同时，括号内应写1而非0。 一、核心素养目标 1. 运算能力 理解因式分解的概念，知道因式分解与整式乘法是互逆的变形。掌握公因式的概念，能用"定系数、定字母、定指数"的方法确定多项式中各项的公因式。掌握用提公因式法分解因式的基本步骤，能正确将多项式分解为公因式与另一个因式的乘积形式。 2. 推理能力 经历"问题情境→类比引入→概念形成→法则归纳→应用巩固"的探究过程。从跳水比赛打分问题出发，引出 pa+pb+pc=p(a+b+c) 的形式，体会因式分解与整式乘法的互逆关系。通过类比整数素因数分解，理解因式分解的意义。在寻找公因式和提公因式的过程中，培养观察、归纳和推理能力。 3. 模型观念 建立"提公因式法分解因式"的运算模型。通过"定系数→定字母→定指数"确定公因式，再提取公因式将多项式化为两个因式乘积的形式，体会这一标准化的分解步骤。理解公因式是各项系数的最大公因数与各项相同字母的最低次幂的乘积。 4. 应用意识 能利用因式分解进行简便计算，如将通过提取公因式转化为。体会因式分解在简化运算中的实际应用价值。 二、教学重难点 教学重点 1. 理解因式分解的概念，明确因式分解与整式乘法的关系与区别。 2. 掌握公因式的概念及确定公因式的方法：定系数、定字母、定指数。 3. 掌握用提公因式法分解因式的基本步骤，能正确分解因式。 教学难点 1. 正确确定多项式中各项的公因式，尤其是含有多项公因式时的选择。 2. 提公因式后正确写出各项的余项，防止遗漏（如当某一项与公因式相同时，余项为1）。 3. 区分因式分解与整式乘法的变形方向，避免将m(a+b+c)=ma+mb+mc误认为因式分解。 三、教学过程 环节一：情境导入（5分钟） 【教师活动】（展示课件——跳水比赛打分规则）某单人跳水选手完成了一个难度系数为p的动作，如果有7名裁判进行评分，按照评分规则，去掉两个最高分和两个最低分后，会剩下3个分数a、b、c，选手的得分可以怎样计算？ 【学生活动】可以用pa+pb+pc来计算，也可以合并为p(a+b+c)。 【教师活动】很好！我们可以发现： pa+pb+pc = p(a+b+c) 【教师活动】左边是一个多项式，右边是两个整式的乘积。这种将一个多项式化为几个整式的乘积的形式的变形，就是我们今天要学习的——因式分解。 【知识点】因式分解 把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，这种变形叫作因式分解。 例如：pa+pb+pc = p(a+b+c) 【设计意图】通过跳水比赛打分的实际情境引入，让学生感受到因式分解来源于实际问题的需要，激发学习兴趣。同时自然引出因式分解的基本形式，为后续学习做好铺垫。 【过渡语】在小学我们学过整数的素因数分解。类似地，在代数中我们也需要将多项式分解成几个因式乘积的形式。下面我们先来回顾一下整数的素因数分解。 环节二：探究新知（18分钟） 一、因式分解的概念 【教师活动】（展示课件）在小学，我们学过整数的素因数分解。请同学们完成以下填空。 12 = ____；6 = ____；8 = ____；30 = ____。 【学生活动】 【教师活动】（展示课件）类似地，有时也需要将整式分解成几个因式乘积的形式。请把下列多项式写成整式的乘积的形式： (1) +x = ____； (2) -1 = ____； (3) +2x+1 = ____。 【学生活动】(1) +x=x(x+1)。(2) -1=(x+1)(x-1)。(3) +2x+1=。 【教师活动】（展示课件）下面请同学们观察，下列整式乘法与因式分解之间有什么关系？ (1) m(a+b+c)=ma+mb+mc，ma+mb+mc=m(a+b+c)； 【学生活动】左边是整式乘法，右边是因式分解，它们是互逆的变形。 【知识点】因式分解与整式乘法的关系 因式分解与整式乘法是方向相反的互逆变形。 整式乘法：m(a+b+c) = ma+mb+mc（积→和） 因式分解：ma+mb+mc = m(a+b+c)（和→积） 【设计意图】通过类比整数素因数分解引入因式分解，降低学生的认知难度。通过对比整式乘法和因式分解，帮助学生明确两者的互逆关系，避免方向混淆。 【过渡语】既然因式分解和整式乘法是互逆的变形，那么如何判断一个变形是不是因式分解呢？下面我们通过例题来辨析。 判断因式分解练习 【教师活动】（展示课件）在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有哪些？ ① am+bm+c = m(a+b)+c ⑥ 2x+4y+6z = 2(x+2y+3z) 【学生活动】③和⑥是因式分解。①和⑤的右边仍含有加法，不是乘积的形式。②左边是单项式不是多项式。④是整式乘法，不是因式分解。 【答案】③ ⑥ 【易错提示】判断因式分解的要点1. 左边必须是多项式（含加减运算）；2. 右边必须是几个整式的乘积形式；3. 变形过程是恒等变形，且方向是"和→积"。4. 整式乘法（积→和）不是因式分解。 【设计意图】通过正误辨析，让学生明确因式分解的三个关键特征，加深对概念的理解，避免与整式乘法混淆。 【过渡语】在因式分解中，我们首先要找出多项式中各项的公因式。那么什么是公因式呢？下面我们来学习公因式的概念。 二、公因式 【教师活动】（展示课件）观察下列多项式，它们有什么共同特点？ pa+pb+pc 【学生活动】pa+pb+pc中各项都含有p，+x中各项都含有x。 【教师活动】（展示课件）它们的各项都有一个公共的因式（p或x），我们把它叫作这个多项式各项的公因式。 【知识点】公因式多项式中各项都含有的公共的因式，叫作这个多项式各项的公因式。例如：pa+pb+pc 的公因式是 p；+x 的公因式是 x。 【教师活动】（展示课件）找出下列多项式的公因式。 【学生活动】①的公因式是3。②的公因式是a。③的公因式是。④的公因式是m。⑤的公因式是。 【设计意图】通过具体例子让学生观察和归纳公因式的特征，为后续学习确定公因式的方法打下基础。 【过渡语】同学们已经认识了公因式。那么，如何利用公因式将多项式分解因式呢？这就是提公因式法。 三、提公因式法 【教师活动】（展示课件）试一试，将它们写成几个因式的乘积。 pa+pb+pc = ____ +x = ____ 【学生活动】pa+pb+pc=p(a+b+c)，+x=x(x+1)。 【教师活动】（展示课件）怎么得到的？(pa+pb+pc)÷p=a+b+c，(+x)÷x=x+1。一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法。 【知识点】提公因式法 如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来， 将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式， 这种分解因式的方法叫作提公因式法。 例如：pa+pb+pc = p(a+b+c) 【设计意图】从具体的例子出发，引导学生自主发现提公因式法的本质——用各项除以公因式得到余项，然后写成乘积形式。 【过渡语】同学们已经理解了提公因式法的含义。下面我们通过例题来学习如何用提公因式法分解因式。 例1（教材例题） 【教师活动】（展示课件——例1）分解因式。 【教师活动】第(1)题的公因式是m，第(2)题的公因式是x。注意第(2)题提出x后，第三项x的余项是1，不能漏掉。 【学生活动】(1) + = m(+)。(2) +x = x(+1)。 【解答】解：(1) + = m(+) 【解答】解：(2) +x = x(+1) 【易错提示】提公因式后余项为1第(2)题中，第三项x与公因式x相同，提出x后余项为1，不能写成0或漏掉！即：+x = x(+1)，而非x()。 【设计意图】例1是提公因式法的基本应用。第(2)题特意选取了有一项与公因式相同的情况，帮助学生建立"余项为1"的意识，避免常见错误。 【过渡语】运用提公因式法时，如何确定各项的公因式呢？下面我们总结确定公因式的方法。 确定公因式的方法 【教师活动】（展示课件）以+为例，如何确定公因式？ 【教师活动】确定公因式的方法：①定系数——各项系数的最大公因数；②定字母——各项的相同字母；③定指数——相同字母的最低次幂。 【知识点】确定公因式的方法①定系数：取各项系数的最大公因数；②定字母：取各项都含有的相同字母；③定指数：取相同字母的最低次幂。例如：+中，系数2和6的最大公因数是2，相同字母x的最低次幂是，所以公因式为。 【设计意图】通过"定系数、定字母、定指数"三个步骤，将确定公因式的方法系统化、程序化，便于学生记忆和操作。 【解题策略】确定公因式的口诀定公因式分三步：一看系数求最大，二看字母找相同，三看指数取最低。三步走完乘积出，提公因式不糊涂。 【过渡语】同学们已经掌握了确定公因式的方法和提公因式法的步骤。下面我们通过练习来巩固。 巩固练习 【教师活动】（展示课件）把下列各式分解因式。 【学生活动】(1) -2mn=2m(2m-n)。(2) -6axy+3a=3a(-2xy+1)。 【解答】解：(1) -2mn = 2m(2m-n) 【解答】解：(2) -6axy+3a = 3a(-2xy+1) 【设计意图】两道巩固练习分别对应两项和三项的提公因式法，第(2)题中第三项3a与公因式相同，再次强化"余项为1"的要点。 环节三：课堂练习（17分钟） 练习1（选择题） 【教师活动】（展示课件）下列整式中，没有公因式的是（ ）。 A. ab 与 b 【学生活动】B没有公因式。A有公因式b，C有公因式a-b（因为=），D有公因式x。a+b中出现加号，不能提取公因式。 【答案】B 练习2（教材P125练习 第1题） 【教师活动】（展示课件）下列由左边到右边的式子变形，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？ 【学生活动】(1)不是因式分解，是整式的乘法。(2)是因式分解，左边是多项式，右边是两个整式的乘积。(3)不是因式分解，右边仍为多项式的和的形式，没有分解成两个因数的积。 【答案】(1)不是——是整式乘法；(2)是——因式分解；(3)不是——仍为多项式的和的形式 练习3（教材P125练习 第2题） 【教师活动】（展示课件）分解因式。 【学生活动】(1) ax-ay=a(x-y)。(2) -2a=a(a-2)。(3) +ab=a(a+b)。(4) +yz=y(x-y+z)。 【解答】解：(1) ax-ay = a(x-y) 【解答】(2) -2a = a(a-2) 【解答】(3) +ab = a(a+b) 【解答】(4) +yz = y(x-y+z) 练习4（教材P125练习 第3题） 【教师活动】（展示课件）利用分解因式计算。 【学生活动】(1) 1. 【学生活动】 【学生活动】(3) ++=++=++= 【解答】解：(1) 1. 【解答】 【解答】解：(3) ++ = ++ = (5+4+1) = = 810 【方法点拨】因式分解用于简便计算当算式中出现相同的因式时，可提取公因式简化计算。第(3)题关键： = = ，将各项化为相同底数的幂，再提取公因式。 【设计意图】练习2巩固因式分解概念的判断，练习3巩固提公因式法的基本操作，练习4展示因式分解在简便运算中的应用，体现了"学以致用"的教学理念。 环节四：课堂小结（5分钟） 【过渡语】通过本节课的学习，同学们对因式分解的概念和提公因式法有了系统的认识。下面我们一起来回顾本节课的核心内容。 【教师活动】请一位同学用提公因式法分解因式有哪些步骤？ 【学生活动】第一步，确定公因式（定系数、定字母、定指数）；第二步，确定各项的余项（某一项和公因式相同时余项是1）；第三步，提取公因式（把多项式化为两个因式的乘积）。 【教师活动】总结得很好！老师再强调几点：第一，因式分解与整式乘法是互逆的变形，注意区分。第二，提公因式时，如果某一项就是公因式本身，提出后该项的余项是1，不能漏掉。第三，因式分解不仅是一种运算技能，还可以用于简便计算，如练习4中的快速计算。 【知识点】课堂小结：用提公因式法分解因式 一、因式分解的概念 把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，叫作因式分解。 因式分解与整式乘法是互逆的变形。 二、公因式 多项式中各项都含有的公共的因式，叫作公因式。 确定公因式的方法：定系数、定字母、定指数。 三、提公因式法分解因式的步骤 第一步：确定公因式； 第二步：确定各项的余项（某项与公因式相同时余项为1）； 第三步：提取公因式，写成乘积形式。 四、板书设计 17.1 用提公因式法分解因式 第1课时 一、因式分解的概念 把一个多项式化为几个整式的乘积的形式。 例：pa+pb+pc = p(a+b+c) 因式分解与整式乘法是互逆变形。 二、公因式 各项都含有的公共的因式。 确定方法：①定系数 ②定字母 ③定指数 例：+ 的公因式为 三、提公因式法分解因式的步骤 第一步：确定公因式； 第二步：确定各项余项（注意余项为1的情形）； 第三步：写成乘积形式。 五、教学反思 本节课是因式分解的起始课，从跳水比赛打分的实际问题引入，让学生感受到因式分解来源于实际需要，激发了学习兴趣。通过类比小学学过的整数素因数分解，降低了学生理解因式分解概念的难度。教学中注重因式分解与整式乘法的对比辨析，帮助学生明确两者的互逆关系，避免在变形方向上混淆。 确定公因式是提公因式法的关键环节。教学中通过"定系数、定字母、定指数"三个步骤，将确定公因式的方法系统化，便于学生记忆和操作。例1的第(2)题特意选取了"有一项与公因式相同"的情况，帮助学生建立"余项为1"的意识，避免常见错误。巩固练习中再次强化了这一要点。 练习4通过简便计算展示了因式分解的应用价值，让学生体会到因式分解不仅是代数变形的基本技能，还能简化运算。第(3)题需要先将化为，再提取公因式，对学生的观察能力和转化能力有一定要求，教学中可适当引导。整体来看，本节课为后续学习公式法分解因式打下了良好的基础。 学科网（北京）股份有限公司 $