九年级数学上册模拟月质量检测卷（25—26章） 2026-2027学年人教版九年级数学上册

九年级数学上册模拟月考卷（25—26章） 2026-2027学年人教版适用 考试时间：100 分钟　　　满分：120 分 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知 a、b 是方程 x² − 6x + 4 = 0 的两个实数根，且 a > b，则 − 的值为（　　） A．　　B．2 C．　　D．4 2．某企业 2023 年产值 200 万元，2024、2025 两年产值年平均增长率相同，2025 年产值达到 338 万元，则平均每年的增长率为（　　） A．25%　　B．30% C．32%　　D．35% 3．已知关于 x 的一元二次方程 x² − 2x + 3k = 0 有两个不相等的实数根，且一根小于 1，另一根大于 1，则 k 的取值范围是（　　） A．k < 　　B．k > C．k < 1　　D．k > 4．已知二次函数 y = −x² + 4x + m 的顶点在第一象限，且它的图象与 y 轴的交点在 x 轴的下方，则 m 的取值范围是（　　） A．−4 < m < 0　　B．m > −4 C．m < 0　　D．m < −4 5．将抛物线 y = x² − 2x + 3 先关于原点对称，再向上平移 4 个单位长度，所得新抛物线的顶点坐标是（　　） A．(−1，2)　　B．(1，2) C．(−1，−2)　　D．(−1，6) 6．若抛物线 y = x² − (m + 2)x + 2m 与 x 轴的两个交点间的距离为 5，则 m 的值为（　　） A．7 或 −3　　B．7 C．−3　　D．3 或 −7 7．二次函数 y = x² − 2x − 3 在 −2 ≤ x ≤ 0 上的最大值与最小值的差为（　　） A．6　　B．7 C．8　　D．9 8．若抛物线 y = 2x² − 4x + c 与 x 轴没有交点，则不等式 2x² − 4x + c > 0 的解集是（　　） A．全体实数　　B．无解 C．x > 2　　D．x < 2 9．某超市购进一种商品，进价 30 元每件，售价 40 元每件时每天可售出 120 件。经调查：售价每提高 1 元，每天少售 6 件。要使每天的销售利润最大，售价应定为（　　） A．43 元　　B．45 元 C．47 元　　D．50 元 10．已知关于 x 的方程 x² − (k + 2)x + 2k = 0 的两个实数根分别为 x₁、x₂，且 |x₁ − x₂| = 2，则 k 的值为（　　） A．2 + 2　　B．2 − 2 C．2 ± 2　　D．不存在 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分．把答案填在题中横线上） 11．对于任意实数 a、b，定义新运算“⊗”：a ⊗ b = a² − b²。若 (2x) ⊗ x = 3，则 x = ________。 12．若抛物线 y = −x² + 2mx − m² + 3m − 4 的顶点在第三象限，则 m 的取值范围是 ________。 13．若抛物线 y = x² − 2x + m 与直线 y = x + 1 有两个交点，则 m 的取值范围是 ________。 14．已知抛物线 y = ax² + bx + c 经过 (−1，0)、(3，0)、(0，−3) 三点，P 是该抛物线上的一点，且点 P 到 x 轴的距离为 6，则满足条件的点 P 有 ________ 个。 15．若抛物线 y = x² − 2x + 3 与直线 y = kx + 1 有两个交点，则 k 的取值范围是 ________。 三、解答题（本大题共 9 小题，共 75 分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16．（本题 12 分）解下列方程： （1）x(x + 3) = x + 3；　　　　　　　　　　　（2）3x² − 5x − 1 = 0； （3）2x² − 4x − 3 = 0（用配方法）；　　　　（4）4(x − 1)² = 9。 17．（本题 6 分）已知 a 是方程 x² − x − 1 = 0 的一个根，求代数式 a³ − 2a + 2026 的值。 18．（本题 8 分）已知抛物线 y = ax² + bx + c 的顶点为 (1，−4)，且经过点 (−1，0)。 （1）求该抛物线的表达式； （2）求该抛物线与 y 轴的交点 C 的坐标及它与 x 轴的另一个交点坐标； （3）若将该抛物线向上平移 3 个单位长度，求平移后抛物线与直线 y = 3 的交点坐标。 19．（本题 8 分）某中学九年级（3）班毕业前，每位同学都要向其他每位同学赠送一张自制的纪念卡片，全班共送出纪念卡片 2450 张。 （1）求该班的人数； （2）若该班同学两两之间相互握手一次，共握手多少次？ 20．（本题 8 分）一小球从地面竖直向上抛出，小球离地面的高度 h（m）与抛出后的时间 t（s）之间满足关系式 h = −5t² + 20t（不计空气阻力，h 表示小球离地面的高度）。 （1）小球经过多少秒达到最大高度？最大高度是多少？ （2）小球经过多少秒落回地面？ （3）小球离地面的高度不低于 15 m 的时间范围是多少？ 21．（本题 8 分）如图，抛物线 y = x² − 4x + 3 与直线 y = x − 1 交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧）。 （1）求 A、B 两点的坐标； （2）求该抛物线的顶点 C 的坐标，并求 △ABC 的面积； （3）根据图象，直接写出不等式 x² − 4x + 3 < x − 1 的解集。 22．（本题 8 分）某商店销售一种商品，进价为 60 元每件，售价为 100 元每件时，每天可售出 100 件。经调查：售价每降低 1 元，每天多售出 5 件；售价每提高 1 元，每天少售出 1 件（售价不低于进价）。设售价降低 x 元时每天的利润为 W₁ 元，售价提高 x 元时每天的利润为 W₂ 元。 （1）求 W₁ 与 x 的函数关系式及 x 的取值范围； （2）求 W₂ 与 x 的函数关系式及 x 的取值范围； （3）商店应怎样定价，才能使每天的利润最大？最大利润是多少元？ 23．（本题 8 分）已知抛物线 y = x² − 2x + m − 3（m 为常数）与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C。 （1）求 m 的取值范围； （2）若 AB = 4，求 m 的值； （3）若 ∠ACB = 90°，求 m 的值。 24．（本题 9 分）如图，抛物线 y = −x² + 4x + 5 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，顶点为 D。 （1）求点 D 的坐标； （2）求直线 BC 的表达式及 △ABC 的面积； （3）设 P 为直线 BC 上方的抛物线上的一动点，过点 P 作 PE ∥ y 轴交直线 BC 于点 E，求线段 PE 的最大值，并求此时点 P 的坐标； （4）点 M 在抛物线的对称轴上，当 △MBC 为直角三角形时，求所有满足条件的点 M 的坐标。 参考答案与解析 （人教版2024 · 第二十五章 一元二次方程　第二十六章 二次函数） 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B A A A A C A B C 【解析】 1．A　a + b = 6，ab = 4。∵ a > b，a、b > 0， ∴ ( − )² = a + b − 2 = 6 − 2 × 2 = 2， ∴ − = （ − > 0）。 2．B　设平均年增长率为 x，则 200(1 + x)² = 338，(1 + x)² = 1.69， 1 + x = 1.3，x = 0.3 = 30%。 3．A　设两根为 x₁、x₂，由一根小于 1、另一根大于 1，得 (x₁ − 1)(x₂ − 1) < 0， 即 x₁x₂ − (x₁ + x₂) + 1 < 0，3k − 2 + 1 < 0，k < ； 又 Δ = 4 − 12k > 0，k < 。综合得 k < 。 4．A　y = −x² + 4x + m = −(x − 2)² + m + 4，顶点 (2，m + 4)。 顶点在第一象限，m + 4 > 0，m > −4；与 y 轴交点 (0，m) 在 x 轴下方，m < 0。 综合得 −4 < m < 0。 5．A　y = x² − 2x + 3 = (x − 1)² + 2，顶点 (1，2)； 关于原点对称后顶点为 (−1，−2)；再向上平移 4 个单位，顶点为 (−1，2)。 6．A　y = x² − (m + 2)x + 2m = (x − m)(x − 2)， ∴ 与 x 轴的两个交点为 (m，0)、(2，0)，|m − 2| = 5， ∴ m = 7 或 m = −3。 7．C　y = (x − 1)² − 4，对称轴 x = 1 不在 −2~0 内， ∴ 最大值为 f(−2) = 4 + 4 − 3 = 5，最小值为 f(0) = −3，差为 8。 8．A　Δ = 16 − 8c < 0，c > 2；抛物线开口向上且与 x 轴无交点， ∴ 对一切实数 x 恒有 2x² − 4x + c > 0，解集为全体实数。 9．B　设提价 x 元，利润 W = (10 + x)(120 − 6x) = −6x² + 60x + 1200， 对称轴 x = 5 ∴ 售价定为 40 + 5 = 45 元时利润最大。 10．C　x₁ + x₂ = k + 2，x₁x₂ = 2k， (x₁ − x₂)² = (k + 2)² − 8k = k² − 4k + 4 = (k − 2)²， |x₁ − x₂| = |k − 2| = 2，k = 2 ± 2； 此时 Δ = (k + 2)² − 8k = (k − 2)² ≥ 0，符合题意。 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 11．±1　(2x) ⊗ x = (2x)² − x² = 4x² − x² = 3x² = 3，x² = 1，x = ±1。 12．m < 0　y = −(x − m)² + 3m − 4，顶点 (m，3m − 4)。 顶点在第三象限：m < 0 且 3m − 4 < 0，即 m < 0 且 m < ，综合得 m < 0。 13．m < 　令 x² − 2x + m = x + 1，得 x² − 3x + m − 1 = 0， Δ = 9 − 4(m − 1) = 13 − 4m > 0，m < 。 14．2　y = a(x + 1)(x − 3)，代入 (0，−3) 得 a = 1，y = x² − 2x − 3。 点 P 到 x 轴距离为 6，即 |y| = 6。 y = 6：x² − 2x − 9 = 0，Δ = 4 + 36 = 40 > 0，有两解； y = −6：x² − 2x + 3 = 0，Δ = 4 − 12 < 0，无解。 ∴ 满足条件的点 P 有 2 个。 15．k < −2 − 2 或 k > −2 + 2　令 x² − 2x + 3 = kx + 1， 得 x² − (k + 2)x + 2 = 0，Δ = (k + 2)² − 8 > 0， k + 2 > 2 或 k + 2 < −2， 即 k > −2 + 2 或 k < −2 − 2。 三、解答题（共 75 分） 16．解下列方程： （1）移项得 x(x + 3) − (x + 3) = 0， 提取公因式 (x + 3)，得 (x + 3)(x − 1) = 0， ∴ x₁ = −3，x₂ = 1。 （2）Δ = (−5)² − 4 × 3 × (−1) = 25 + 12 = 37， x = = ， ∴ x₁ = ，x₂ = 。 （3）移项得 2x² − 4x = 3，x² − 2x = ， (x − 1)² = + 1 = ， x − 1 = ±， ∴ x₁ = 1 + ，x₂ = 1 − 。 （4）两边开平方：2(x − 1) = ±3， 当 2(x − 1) = 3 时，x = ； 当 2(x − 1) = −3 时，x = 。 ∴ x₁ = ，x₂ = 。 17． ∵ a 是方程 x² − x − 1 = 0 的根， ∴ a² − a − 1 = 0，即 a² = a + 1。 ∴ a³ = a·a² = a(a + 1) = a² + a = (a + 1) + a = 2a + 1。 ∴ a³ − 2a + 2026 = (2a + 1) − 2a + 2026 = 2027。 答：代数式 a³ − 2a + 2026 的值为 2027。 18．（1）设抛物线的表达式为 y = a(x − 1)² − 4， 代入 (−1，0) 得 0 = a·(−2)² − 4 = 4a − 4，a = 1， ∴ y = (x − 1)² − 4 = x² − 2x − 3。 （2）令 x = 0，得 y = −3，C(0，−3)； 令 y = 0，得 x² − 2x − 3 = 0，(x − 3)(x + 1) = 0， ∴ 与 x 轴的另一个交点为 (3，0)。 （3）向上平移 3 个单位后：y = x² − 2x − 3 + 3 = x² − 2x。 与 y = 3 联立：x² − 2x = 3，x² − 2x − 3 = 0， (x − 3)(x + 1) = 0，x = 3 或 x = −1， ∴ 交点坐标为 (3，3) 和 (−1，3)。 19．（1）设该班有 n 人，则每人向其他 (n − 1) 人各送一张， 共送出 n(n − 1) 张，由题意 n(n − 1) = 2450， n² − n − 2450 = 0， (n − 50)(n + 49) = 0， n = 50 或 n = −49（舍去）。 答：该班有 50 人。 （2）两两握手一次，共握手 50 × 49 ÷ 2 = 1225 次。 答：共握手 1225 次。 20．（1）h = −5t² + 20t = −5(t − 2)² + 20， ∴ 当 t = 2 时，h 最大，最大值为 20。 答：小球经过 2 s 达到最大高度，最大高度为 20 m。 （2）令 h = 0，得 −5t² + 20t = 0， −5t(t − 4) = 0，t = 0 或 t = 4， 答：小球经过 4 s 落回地面。 （3）由题意 −5t² + 20t ≥ 15， 即 t² − 4t + 3 ≤ 0，(t − 1)(t − 3) ≤ 0， ∴ 1 ≤ t ≤ 3。 答：小球离地面高度不低于 15 m 的时间范围为 1 s ≤ t ≤ 3 s。 21．（1）由 y = x² − 4x + 3 与 y = x − 1 联立， x² − 4x + 3 = x − 1，x² − 5x + 4 = 0， (x − 1)(x − 4) = 0，x = 1 或 x = 4， ∴ A(1，0)、B(4，3)。 （2）y = x² − 4x + 3 = (x − 2)² − 1，顶点 C(2，−1)。 直线 AB：y = x − 1，即 x − y − 1 = 0。 点 C 到 AB 的距离 d = = = ， AB = = 3， ∴ S△ABC = × 3 × = 3。 答：△ABC 的面积为 3。 （3）由图象，抛物线在直线下方的部分对应 1 < x < 4， ∴ 不等式 x² − 4x + 3 < x − 1 的解集为 1 < x < 4。 22．（1）降价 x 元时每件利润为 (40 − x) 元，每天售出 (100 + 5x) 件， ∴ W₁ = (40 − x)(100 + 5x) = −5x² + 100x + 4000（0 ≤ x ≤ 40）。 （2）提价 x 元时每件利润为 (40 + x) 元，每天售出 (100 − x) 件， ∴ W₂ = (40 + x)(100 − x) = −x² + 60x + 4000（0 ≤ x ≤ 100）。 （3）W₁ = −5(x − 10)² + 4500，当 x = 10 时 W₁ 最大为 4500； W₂ = −(x − 30)² + 4900，当 x = 30 时 W₂ 最大为 4900。 ∵ 4900 > 4500， ∴ 应提价 30 元，售价定为 100 + 30 = 130 元，最大利润为 4900 元。 答：售价定为 130 元时每天利润最大，最大利润为 4900 元。 23．（1）抛物线与 x 轴有两个交点，则 Δ = 4 − 4(m − 3) = 16 − 4m > 0， ∴ m < 4。 （2）设两交点横坐标为 x₁、x₂，则 x₁ + x₂ = 2，x₁x₂ = m − 3。 AB = |x₁ − x₂| = 4， ∴ (x₁ − x₂)² = (x₁ + x₂)² − 4x₁x₂ = 4 − 4(m − 3) = 16， 即 16 − 4m = 16，m = 0。 答：m 的值为 0。 （3）C(0，m − 3)。由 ∠ACB = 90°，得 AC² + BC² = AB²。 设 A(x₁，0)、B(x₂，0)，则 AC² = x₁² + (m − 3)²，BC² = x₂² + (m − 3)²，AB² = (x₂ − x₁)²， ∴ x₁² + x₂² + 2(m − 3)² = (x₂ − x₁)² = x₁² + x₂² − 2x₁x₂， 即 2(m − 3)² = −2x₁x₂，(m − 3)² = −(m − 3)， (m − 3)(m − 3 + 1) = 0， ∴ m = 3 或 m = 2。 当 m = 3 时，y = x² − 2x，与 y 轴交于 (0，0)，此时 C 与原点重合，△ACB 退化，舍去； 当 m = 2 时，y = x² − 2x − 1，C(0，−1)，A(1 −，0)、B(1 + ，0)， AC² = (1 − )² + 1，BC² = (1 + )² + 1，AB² = 8， AC² + BC² = 2 × 3 + 2 = 8 = AB²，符合题意。 答：m 的值为 2。 24．（1）y = −x² + 4x + 5 = −(x − 2)² + 9， ∴ 顶点 D 的坐标为 (2，9)。 （2）令 y = 0，得 −x² + 4x + 5 = 0，x² − 4x − 5 = 0， (x − 5)(x + 1) = 0，x = 5 或 x = −1， ∴ A(−1，0)、B(5，0)；令 x = 0 得 y = 5，C(0，5)。 设直线 BC 为 y = kx + b，把 B(5，0)、C(0，5) 代入， { 5k + b = 0， { b = 5， 解得 k = −1，b = 5，即 y = −x + 5。 S△ABC = × 6 × 5 = 15。 答：直线 BC 的表达式为 y = −x + 5，△ABC 的面积为 15。 （3）设 P(x，−x² + 4x + 5)（0 < x < 5），则 E(x，−x + 5)， PE = (−x² + 4x + 5) − (−x + 5) = −x² + 5x = −(x − )² + 。 ∴ 当 x = 时，PE 最大，最大值为 。 此时 y = −()² + 4 × () + 5 = + 10 + 5 = ， ∴ P(，)。 答：PE 的最大值为 ，此时点 P 的坐标为 (，)。 （4）设 M(2，m)。B(5，0)、C(0，5)， BC² = 5² + 5² = 50，MB² = (5 − 2)² + m² = 9 + m²， MC² = 2² + (m − 5)² = m² − 10m + 29。 分三种情况： ① 直角在点 M：MB² + MC² = BC²， (9 + m²) + (m² − 10m + 29) = 50， 2m² − 10m − 12 = 0，m² − 5m − 6 = 0， (m − 6)(m + 1) = 0，m = 6 或 m = −1，得 M₁(2，6)、M₂(2，−1)； ② 直角在点 B：MB² + BC² = MC²， (9 + m²) + 50 = m² − 10m + 29， 59 = 29 − 10m，m = −3，得 M₃(2，−3)； ③ 直角在点 C：MC² + BC² = MB²， (m² − 10m + 29) + 50 = 9 + m²， −10m + 79 = 9，m = 7，得 M₄(2，7)。 检验：四点均不与 B、C 重合，三角形均非退化，全部符合题意。 答：满足条件的点 M 共有 4 个：(2，6)、(2，−1)、(2，−3)、(2，7)。 学科网（北京）股份有限公司 $