第一次月质量测试卷 2026-2027学年九年级数学上册（第25-26章含解析）

2026—2027学年第一学期九年级数学第一次月考测试卷 （第二十五章　一元二次方程　第二十六章　二次函数） （满分：150分　考试时间：120分钟） 友情提示：1.所有答案都必须填写在答题卡上或试卷相应位置；2.不许使用计算器；3.解方程要写出必要的运算步骤。 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 方程 x²－2x＝0 的根是（　　） A. x＝2　　B. x＝0 或 x＝2　　C. x＝0　　D. x＝0 或 x＝－2 2. 用配方法解方程 x²＋4x－1＝0，配方后的结果是（　　） A. (x＋2)²＝1　　B. (x－2)²＝1　　C. (x－2)²＝5　　D. (x＋2)²＝5 3. 一元二次方程 x²－x＋1＝0 的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根　　B. 有两个相等的实数根　　C. 没有实数根　　D. 不能确定 4. 若函数 y＝(m－1)xm²＋1 是关于 x 的二次函数，则 m 的值为（　　） A. 1　　B. ±1　　C. 2　　D. －1 5. 抛物线 y＝2(x－1)²＋3 的顶点坐标是（　　） A. (－1，3)　　B. (1，－3)　　C. (－1，－3)　　D. (1，3) 6. 将抛物线 y＝x² 向左平移 2 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度，得到的抛物线的解析式是（　　） A. y＝(x＋2)²－1　　B. y＝(x－2)²＋1　　C. y＝(x－2)²－1　　D. y＝(x＋2)²＋1 7. 抛物线 y＝3x²－6x＋2 的对称轴是（　　） A. 直线 x＝2　　B. 直线 x＝－2　　C. 直线 x＝－1　　D. 直线 x＝1 8. 人工智能应用加速普及。某 AI 应用上线后用户数持续增长：3月底用户为 100 万人，到 5月底达到 144 万人。设月平均增长率为 x，则可列方程（　　） A. 100(1＋2x)＝144　　B. 100(1＋x)²＝144　　C. 100(1＋x²)＝144　　D. 144(1－x)²＝100 9. 抛物线 y＝x²－2x－3 与 x 轴交点的横坐标是（　　） A. 1 和 －3　　B. －3 和 1　　C. －1 和 3　　D. 3 和 1 10. 已知二次函数 y＝x²－4x＋3，点 A(－1，y₁)、B(2，y₂)、C(3，y₃) 在该函数图象上，则 y₁、y₂、y₃ 的大小关系是（　　） A. y₁＜y₂＜y₃　　B. y₂＜y₃＜y₁　　C. y₃＜y₂＜y₁　　D. y₂＜y₁＜y₃ 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。请将答案填在题中横线上。 11. 若关于 x 的方程 x²＋mx－2＝0 的一个根是 1，则 m＝ 。 12. 抛物线 y＝x²－6x＋5 的顶点坐标是 。 13. 抛物线 y＝(x－2)²＋1 与 y 轴的交点坐标是 。 14. 国产 AI 眼镜市场快速升温。某品牌 AI 眼镜一季度销售 50 万副，经过连续两个季度增长，三季度达到 72 万副。设季度平均增长率为 x，则 x＝ （用百分数表示）。 15. 某地开展河道整治，建起一座抛物线形拱桥。正常水位时，水面宽 4 m，拱顶离水面 2 m（如图，以拱顶与水面正对的点为原点、水面所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系）。若水位上升 1 m，此时水面的宽度为 m。 16. 已知二次函数 y＝x²－2x－3，当 0≤x≤3 时，y 的取值范围是 。 三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.（8分）解下列方程： （1）x²－6x＋9＝0；　　　 （2）3x²－2x－1＝0。 18.（8分）用配方法解方程：x²＋6x－7＝0。 19.（8分）已知二次函数 y＝x²－2x－1。 （1）将该函数的解析式化为顶点式，并写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）当 x 取何值时，y 随 x 的增大而减小？ 20.（8分）已知关于 x 的方程 mx²＋2x＋1＝0。 （1）若该方程有两个相等的实数根，求 m 的值； （2）在（1）的条件下，求该方程的根。 21.（10分）已知抛物线 C：y＝x²－4x＋1。 （1）将 C 的解析式化为顶点式，并写出 C 的对称轴和顶点坐标； （2）说明抛物线 C 由抛物线 y＝x² 经过怎样的平移得到。 22.（10分）某市推进“公园城市”建设，在文化广场设置了组合喷泉。如图，一枚喷泉喷头位于地面 O 处，水柱喷出后离地面的高度 y（m）与水柱离喷头的水平距离 x（m）满足 y＝－x²＋4x。 （1）求水柱的最大高度； （2）若喷泉水池的边界到喷头 O 的水平距离不得小于水柱落地处到 O 的水平距离，则水池边界到喷头 O 的水平距离至少应为多少米？ 23.（10分）文旅消费持续升温，某景区商店销售一款“国潮文创冰箱贴”，进价为 40 元/件。市场调查发现：当售价为 60 元/件时，平均每天可售出 200 件；售价每降低 1 元，平均每天可多售出 20 件。设售价降低 x 元。 （1）用含 x 的代数式表示降价后平均每天的销售利润 W； （2）当售价降低多少元时，平均每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 24.（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝x²＋bx＋c 与 x 轴交于 A(－3，0)、B(1，0) 两点，与 y 轴交于点 C。 （1）求该抛物线的解析式； （2）求该抛物线的顶点坐标； （3）求 △ABC 的面积。 25.（12分）随着新能源汽车的普及，物流运输更加绿色低碳。某园区新建一条单向通行的抛物线形隧道，其横截面如图所示：隧道口最高处离地面 4 m，底面宽 8 m。以底面宽度的中点 O 为原点、地面所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系。 （1）求该抛物线的解析式； （2）一辆宽 2.4 m、高 3.7 m 的新能源货车沿隧道中线行驶，它能否安全通过该隧道？请通过计算说明理由； （3）为保证行车安全，货车顶部与隧道顶部至少要保持 0.3 m 的空隙，则这辆宽 2.4 m 的货车最高能装多高（货物顶部离地面的最大高度）？ 参考答案与解析 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. B 提公因式得 x(x－2)＝0，所以 x＝0 或 x＝2，故选 B。注意不能两边随意除以 x（会丢掉 x＝0 这个根）。 2. D 移项得 x²＋4x＝1，两边加 2² 得 x²＋4x＋4＝5，即 (x＋2)²＝5，故选 D。 3. C Δ＝b²－4ac＝(－1)²－4×1×1＝1－4＝－3＜0，所以方程没有实数根，故选 C。 4. D 二次函数要求最高次数为 2 且二次项系数不为 0：m²＋1＝2 得 m＝±1，又 m－1≠0 得 m≠1，所以 m＝－1，故选 D。 5. D y＝a(x－h)²＋k 的顶点为 (h，k)，所以顶点为 (1，3)，故选 D（注意横坐标符号与括号内相反）。 6. A 左、右平移改变 x（左加右减），上、下平移改变常数项（上加下减），得 y＝(x＋2)²－1，故选 A。 7. D 对称轴为直线 x＝－＝－＝1，故选 D。 8. B 两个月连续增长，基数 100，终值 144，列方程 100(1＋x)²＝144，故选 B（A 误用单利，C 混淆增长率意义）。 9. C 解方程 x²－2x－3＝0，分解得 (x－3)(x＋1)＝0，所以 x₁＝－1，x₂＝3；抛物线与 x 轴交点的横坐标就是相应方程的根，故选 C。 10. B 对称轴为直线 x＝2，开口向上。B(2，y₂) 距对称轴 0，C(3，y₃) 距对称轴 1，A(－1，y₁) 距对称轴 3，开口向上时离对称轴越远函数值越大，所以 y₂＜y₃＜y₁，故选 B。 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 1 解析：把 x＝1 代入：1＋m－2＝0，解得 m＝1 12. (3，－4) 解析：y＝x²－6x＋5＝(x－3)²－4 13. (0，5) 解析：令 x＝0，y＝(0－2)²＋1＝5 14. 20% 解析：50(1＋x)²＝72，即 (1＋x)²＝1.44，1＋x＝±1.2，x＝0.2＝20%，负值舍去 15. 2 解析：设解析式 y＝ax²＋2，由点 (2，0) 得 a＝－， 即 y＝－＋2；水位上升 1 m 即 y＝1， 解 －＋2＝1 得 x＝±，水面宽 2 m 16. －4≤y≤0 解析：y＝(x－1)²－4，顶点 (1，－4) 在区间内取最小值； x＝0 时 y＝－3，x＝3 时 y＝0，最大值为 0 三、解答题（共86分） 17.（8分） 解：（1）x²－6x＋9＝0，即 (x－3)²＝0， 所以 x₁＝x₂＝3（有两个相等的实数根）。……4分 （2）3x²－2x－1＝0，因式分解得 (3x＋1)(x－1)＝0， 所以 3x＋1＝0 或 x－1＝0，即 x₁＝－，x₂＝1。……8分 18.（8分） 解：移项，得 x²＋6x＝7。 配方，得 x²＋6x＋9＝16，即 (x＋3)²＝16。 直接开平方，得 x＋3＝±4。 所以 x₁＝1，x₂＝－7。……8分 19.（8分） 解：（1）y＝x²－2x－1＝(x－1)²－2。 开口向上，对称轴为直线 x＝1，顶点坐标为 (1，－2)。……4分 （2）因为 a＝1＞0，图象开口向上，在对称轴左侧 y 随 x 的增大而减小， 所以当 x＜1 时，y 随 x 的增大而减小。……8分 20.（8分） 解：（1）由题意得 Δ＝2²－4×m×1＝0，即 4－4m＝0， 解得 m＝1（此时 m＝1≠0，方程仍为一元二次方程）。……4分 （2）当 m＝1 时，方程为 x²＋2x＋1＝0，即 (x＋1)²＝0， 所以 x₁＝x₂＝－1。……8分 21.（10分） 解：（1）y＝x²－4x＋1＝x²－4x＋4－3＝(x－2)²－3。 对称轴为直线 x＝2，顶点坐标为 (2，－3)。……5分 （2）抛物线 y＝x² 的顶点为 (0，0)，抛物线 C 的顶点为 (2，－3)， 所以 C 由 y＝x² 向右平移 2 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度得到。……10分 22.（10分） 解：（1）y＝－x²＋4x＝－(x－2)²＋4。 因为 a＝－1＜0，抛物线开口向下，顶点为 (2，4)， 所以水柱的最大高度为 4 m（此时水柱离喷头的水平距离为 2 m）。……5分 （2）令 y＝0，得 －x²＋4x＝0，即 x(－x＋4)＝0， 解得 x₁＝0（喷头处，舍去），x₂＝4。 答：水池边界到喷头 O 的水平距离至少应为 4 m。……10分 23.（10分） 解：（1）降价 x 元后，每件利润为 (60－x－40)＝(20－x) 元，每天销量为 (200＋20x) 件， 所以 W＝(20－x)(200＋20x)＝－20x²＋200x＋4000（0≤x＜20）。……4分 （2）W＝－20x²＋200x＋4000＝－20(x－5)²＋4500。 因为 a＝－20＜0，所以当 x＝5 时，W 取最大值 4500。 答：当售价降低 5 元（即售价为 55 元/件）时，平均每天的销售利润最大，最大利润为 4500 元。……10分 24.（12分） 解：（1）把 A(－3，0)、B(1，0) 代入 y＝x²＋bx＋c，得 9－3b＋c＝0，1＋b＋c＝0。 解得 b＝2，c＝－3。 所以该抛物线的解析式为 y＝x²＋2x－3（也可由交点式 y＝(x＋3)(x－1) 展开）。……4分 （2）y＝x²＋2x－3＝(x＋1)²－4， 所以顶点坐标为 (－1，－4)。……8分 （3）令 x＝0，得 y＝－3，所以 C(0，－3)，OC＝3。 AB＝1－(－3)＝4。 S△ABC＝·AB·OC＝×4×3＝6。……12分 25.（12分） 解：（1）由题意，抛物线的顶点为 (0，4)，可设 y＝ax²＋4。 由底面宽 8 m，知点 (4，0) 在抛物线上，代入得 16a＋4＝0，解得 a＝－。 所以该抛物线的解析式为 y＝－＋4（自变量 x 的范围为 －4≤x≤4）。……4分 （2）货车沿中线行驶，其左右边缘到中线的距离为＝1.2（m）。 当 x＝1.2 时，y＝－＋4＝－0.36＋4＝3.64（m）。 因为 3.64＜3.7，货车顶部边缘处超出隧道高度， 所以该货车不能安全通过该隧道。……8分 （3）设货车最高能装 h m。由（2）知宽 2.4 m 的货车顶部边缘处隧道高 3.64 m， 要留 0.3 m 空隙，则 h＝3.64－0.3＝3.34（m）。 答：这辆货车最高能装 3.34 m（货物顶部离地面的最大高度）。……12分 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $