27.1 反比例函数的概念 主干题型巩固2026-2027学年人教版九年级数学上册

27.1 反比例函数的概念 主干题型巩固2026-2027学年 人教版九年级数学上册 一、单选题 1．下列成反比例关系的是（　　） A．圆的面积一定，它的半径与圆周率 B．平行四边形的面积一定，它的底与高 C．同学的年龄一定，他们的身高与体重 D．三角形的高不变，它的底和面积 2．下列各点中，在函数图象上的点是（     ） A． B． C． D． 3．下列函数中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 4．若是反比例函数，则k的值为（   ） A． B．或 C．或 D． 5．一名司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以的平均速度用了到达目的地．当他按原路匀速返回时，汽车的速度v（单位：）与时间t（单位：）之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 6．在探究“反比例函数的图象与性质”时，小明先将直角边长为5个单位长度的等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，使其两条直角边，分别落在x轴负半轴、y轴正半轴上（如图所示），然后将三角板向右平移a个单位长度，再向下平移a个单位长度后，小明发现A、B两点恰好都落在函数的图象上，则a的值为（    ） A．5 B． C． D．以上都不对 7．问题背景：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．以下结论： ①是“不动点函数”，且只有一个不动点； ②是“不动点函数”，且有两个不动点； ③为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点； ④若为“不动点函数”，则． 其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 8．农村的手压水井是“前自来水时代”较为普遍的汲水工具．已知手压水井的阻力和阻力臂分别是和，则动力（单位：）与动力臂（单位：）之间的函数表达式是______． 9．已知是同一个反比例函数图像上的两个点，则的值为___________． 10．下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，是的反比例函数的有 ________ ．（填序号） 11．从五个点、、、、中任取一点，在双曲线上的概率是_____． 三、解答题 12．计算 若长方形的两邻边长度分别为、，面积保持不变，下表给出了与的一些值求长方形的面积． (1)长方形的面积是多少？ (2)与之间是什么关系？用式子表示与之间的关系． (3)根据关系式完成上表． 13．已知一个反比例函数为，求的值． 14．写出下列问题中y与x之间的函数关系式，并判断是否为反比例函数． (1)三角形的面积为，其底边长为，该边上的高为． (2)圆锥的体积为，它的高为，底面面积为． 15．如图，平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上，轴于点，于点，为中点，连接．    (1)填空：______， ______； (2)求长． 16．在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是其横坐标的倍，我们称这个点为“双倍点”，例如就是“双倍点”．若二次函数图象的顶点为“双倍点”，则我们称这个二次函数为“双倍二次函数”，例如二次函数就是“双倍二次函数”． (1)求直线上的“双倍点”的坐标； (2)反比例函数图象上否存在“双倍点”？如存在，求出其坐标；如不存在，说明理由； (3)已知二次函数（，是常数）是“双倍二次函数”，且函数图象与轴的交点是“双倍点”，求二次函数的解析式； (4)若“双倍二次函数”（，是常数）的图象过除顶点外的另一个“双倍点”，并当时，函数最小值为，求的值． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 B A B D A B A 1．【答案】B 【知识点】用反比例函数描述数量关系 【分析】此题考查反比例的定义：两种相关联的量的乘积为定值时，它们成反比例关系，逐一分析各选项中的两个量是否满足该条件 【详解】解：A. 圆的面积公式为，当面积一定时，是常数，也随之固定，二者无变化关系，不成反比例； B. 平行四边形的面积公式为，当面积一定时，底与高的乘积为定值，符合反比例定义； C. 年龄一定时，身高与体重无必然的乘积或比值关系，不成比例； D. 三角形面积公式为，当高不变时，面积与底的比值为（定值），二者成正比例； 故选：B 2．【答案】A 【知识点】求反比例函数值 【分析】反比例函数图象上任意一点的坐标都满足函数解析式，将各选项点的横坐标代入解析式，计算对应的y值，和点的纵坐标对比即可得出结论． 【详解】解：对于函数 A、当时，， 点在函数的图象上，此选项符合题意； B、当时，， 点不在函数的图象上，此选项不符合题意； C、当时，， 点不在函数的图象上，此选项不符合题意； D、当时，， 点不在函数的图象上，此选项不符合题意． 3．【答案】B 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】根据反比例函数的定义，反比例函数的一般形式为（为常数，且），只需根据定义逐一判断选项即可． 【详解】解：是正比例函数， 不符合反比例函数定义， 故A不合题意． 符合（）的形式， 是反比例函数， 故B符合题意． 的分母是，不是单独的， 不符合反比例函数定义， 故C不合题意． 是二次函数， 不符合反比例函数定义， 故D不合题意． 4．【答案】D 【知识点】根据反比例函数的定义求参数 【分析】本题考查反比例函数定义．由反比例函数的定义可得，自变量的系数不能为，次数为，据此列出方程求出的值． 【详解】解： 根据反比例函数的定义可得：， 解得：， 故选；D． 5．【答案】A 【知识点】用反比例函数描述数量关系 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，掌握路程、速度、时间的数量关系是解题的关键． 根据去程的速度和时间求出路程，返回时根据路程不变，速度与时间成反比例关系列函数关系式即可． 【详解】解：∵ 去程速度 ，时间 ， ∴ 路程 ， 返回时，路程不变，且匀速返回， ∴ ， ∴ ， 即函数关系式为 ． 故选：A． 6．【答案】B 【知识点】求反比例函数值、由平移方式确定点的坐标、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了反比例函数，坐标的平移，解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据题意先得出点A和点B的坐标，再得出平移后点A和点B对应点的坐标，然后根据平移后两点恰好都落在函数的图象上，列出方程求解即可． 【详解】解：根据题意可知，， ∴，， 设平移后点A、B的对应点分别为、， ∵将三角板向右平移a个单位长度，再向下平移a个单位长度， ∴，， ∵平移后的A、B两点恰好都落在函数的图象上， ∴把点代入， 得，即， 解得或（不合题意，舍去）， 故选：B． 7．【答案】A 【知识点】由反比例函数值求自变量、求一次函数自变量或函数值、已知二次函数的函数值求自变量的值、函数的概念 【分析】本题主要考查了函数的定义，求一次函数值，求反比例函数值，二次函数与一元二次方程， 根据“不动点函数”的定义，对每个结论通过解方程判断是否存在不动点，验证结论正确性后统计正确个数． 【详解】解：①∵令，则，化简得，矛盾，无实数解， ∴该函数不是“不动点函数”，①错误； ②∵令，则，两边乘得 又∵实数范围内 ∴方程无实数解，该函数没有不动点，②错误； ③∵令，则，整理得 解得或， ∴点是该函数的不动点，③正确； ④∵若是“不动点函数”，则， 整理得， 方程有实数解需判别式， 即，解得， 而结论中的范围不完整，④错误． 综上，正确的结论只有1个． 故选：A． 8．【答案】 【知识点】用反比例函数描述数量关系 【分析】本题考查了列函数表达式．根据“阻力阻力臂动力动力臂”即可得到函数表达式． 【详解】解：∵阻力阻力臂动力动力臂，阻力和阻力臂分别是和， ∴， 即． 故答案为：． 9．【答案】 【知识点】根据反比例函数的定义求参数 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征， 根据反比例函数图象上点的坐标特征，横纵坐标之积相等，列出方程求解． 【详解】解：∵点和点在同一个反比例函数图象上， ∴， 解得． 故答案为：． 10．【答案】②④⑥ 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义，即形如（为常数，），或可转化为（）、（）形式的函数为反比例函数，逐一分析各函数即可． 【详解】解：①是一次函数，不是反比例函数， ②可变形为，符合反比例函数的定义，是反比例函数， ③中自变量的次数为，不符合反比例函数定义，不是反比例函数， ④可变形为，符合反比例函数的定义，是反比例函数， ⑤是二次函数，不是反比例函数， ⑥可变形为，符合反比例函数的定义，是反比例函数， ⑦是正比例函数，不是反比例函数， 综上所述，反比例函数有②④⑥． 故答案为：②④⑥． 11．【答案】 【知识点】根据概率公式计算概率、由反比例函数值求自变量 【分析】本题主要考查概率公式的知识，解答本题关键是掌握概率=所求情况数与总情况数之比，首先找出在双曲线上点的个数，然后根据概率公式求出答案． 【详解】解：∵五个点、、、、中，在双曲线上的点有，一共1个， ∴五点任取一点，在双曲线上的概率是， 故答案为：． 12．【答案】(1) (2)反比例关系， (3) 如表所示 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数、由反比例函数值求自变量、用反比例函数描述数量关系 【分析】本题考查求反比例函数解析式、求函数的自变量或函数值， （1）根据表格中，利用长方形面积公式进行计算即可求解； （2）根据长方形面积公式列出函数关系式，即可求解； （3）利用函数解析式求自变量或函数值即可． 【详解】（1）解： 长方形的面积为4 （2）x与y是反比例关系，可得 （3）略 13．【答案】 【知识点】根据反比例函数的定义求参数 【分析】由反比例函数为，可得且，从而可得答案． 【详解】解：∵反比例函数为， ∴且， 解得：． 【点睛】本题考查的是反比例函数的定义，熟记反比例函数的表示形式是解本题的关键． 14．【答案】(1)，是反比例函数 (2)，是反比例函数 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数、求反比例函数解析式 【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据题意先对每一问题列出函数关系式，再根据反比例函数的定义，判断变量间是否为反比例函数关系． 【详解】（1）解：根据题意，得，， ∴， ∴y与x是反比例函数． （2）解：由题意，得， ∴， ∴y与x是反比例函数． 15．【答案】(1)， (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、由反比例函数值求自变量、求反比例函数值、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】（1）将、的坐标代入反比例函数解析式，即可求解； （2）可求，，由勾股定理求，即可求解． 【详解】（1）解：点，在反比例函数的图象上， ， 解得：， 故答案：，． （2）解：由（1）得：， 轴，， ， ，， ， ． 【点睛】本题考查了求反比例函数图象上点的坐标，勾股定理，直角三角形的性质，掌握性质和求法是解题的关键． 16．【答案】(1) (2)不存在“双倍点”，理由见解析 (3)或 (4)的值为或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=a（x-h）²+k的图象和性质、y=ax²+bx+c的最值、求反比例函数值 【分析】（1）根据“双倍点”的定义设直线上的“双倍点”的坐标，可得，解方程求出的值即可； （2）设在反比例函数图象上，把代入可得，根据平方的非负数性质得出得出该方程无实数解，可得不存在“双倍点”； （3）根据二次函数解析式得出与轴的交点坐标是，根据“双倍点”的定义得出，根据“双倍二次函数”的定义得出顶点坐标为，根据“双倍点”的定义求出或，即可得出答案； （4）根据“双倍二次函数”的得出及“双倍点”的定义求出二次函数解析式为，分，，三种情况，利用二次函数的性质分别求解即可得答案． 【详解】（1）解：设直线上的“双倍点”的坐标， ∴， 解得：， ∴， ∴直线上的“双倍点”的坐标． （2）解：不存在“双倍点”，理由如下： 设在反比例函数图象上， ∴ ∴，此方程无实数解， ∴在反比例函数图象上不存在“双倍点”． （3）解：∵二次函数解析式为， ∴当时，， ∴函数的图象与轴的交点坐标是， ∵函数的图象与轴的交点是“双倍点”， ∴， ∴， ∴顶点坐标为， ∵该二次函数是“双倍二次函数”， ∴， 解得：或， ∴二次函数的解析式为或． （4）解：设“双倍二次函数”， ∵为“双倍点”， ∴， ∴， 解得：或， 当时，顶点为，不合题意，舍去； ∴时，这个“双倍二次函数”为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，在对称轴左侧，随的增大而减小， ∴当时，函数有最小值，即， 解得：或（舍去）； 当时，时，函数的最小值为，不存在满足条件的t值； 当时，即时，在对称轴右侧，随的增大而增大， ∴当时，函数有最小值，即， 解得：或（舍去）， 综上所述，的值为或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $