甘肃省甘谷第一中学2026-2027学年第一学期高一第一次月考数学试题

甘谷一中2026-2027学年第一学期高一级第一次月考试题 数学 本试卷满分150分 考试时间120分钟 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知全集，，，则（ ） A． B． C． D． 2．“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知集合，，若，则实数的取值集合为（ ） A． B． C． D． 4．在平面内，下列是“四边形是平行四边形”的必要条件的是（ ） A．四边形是矩形 B．四边形的对角线互相平分 C．四边形四条边相等 D．四边形的对角线垂直 5．已知集合，若，则（ ） A．-1 B．-3或1 C．3 D．-3 6．若命题“，使得”为假命题，则实数的取值范围（ ） A．或 B． C． D． 7．2022年7月1日，迎来了香港回归祖国25周年，为了迎接这一历史性时刻，某商店购进一批香港回归25周年纪念章，每枚的最低售价为15元，若每枚按最低售价销售，每天能卖出45枚，每枚售价每提高1元，日销售量将减少3枚，为了使这批纪念章每天获得600元以上的销售收入，则这批纪念章的销售单价（单位：元）的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．下列不等式中正确的是（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知实数，则下列不等式成立的是（ ） A． B． C． D． 10．已知关于的不等式的解集为，则下列说法中正确的有（ ） A． B． C． D． 11．设，，，则（ ） A．最小值为 B．最小值为 C．最小值为 D．最大值为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知集合，，若，则实数的取值范围是_______． 13．设全集，集合，集合，则如图阴影部分表示的集合为_________． 14．已知实数，满足关系：，．则的取值范围是_________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）若，，，求证：． 16．（本小题满分15分）已知集合，且． （1）求，； （2）若集合和集合没有公共元素，求实数的取值范围． 17．（本小题满分15分）如图为某建筑物地下部分平面设计图，该结构是大小相同的左右两个矩形框架，这框架面积之和为，现地上部分要建在矩形上，已知两框架与矩形四周空白处的宽度为10 m，两框架之间的中缝空白的宽度为5 m． （1）设矩形框架宽度为，求此建筑物占地面积的表达式（不用写出的取值范围） （2）怎样确定矩形框架的高与宽的尺寸（单位：m），使此建筑物占地面积最小，最小值是多少（单位：）？ 18．（本小题满分17分）已知集合，集合 （1）若，求实数m的取值范围 （2）若，，p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 19．（本小题满分17分）已知，是关于的方程的两个实数根： （1）若，求的值； （2）若，，，，求的最小值； （3）若，是两个不相等的正数，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 甘谷一中2026-2027学年第一学期高一第一次月考 数学试题参考答案 一、选择题（每题5分，共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D C B D A B C 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．AC 10．ABC 11．ABD 三、填空题（每题5分，共20分） 12． 13． 14． 四、解答题： 15．（本小题满分13分） 证明：因为，所以，又因为， 所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得， 3分 所以， 5分 所以， 7分 因为，， 所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得． 9分 又，所以，所以 11分 由不等式的同号可乘性可得． 13分 16．（本小题满分15分） 【详解】（1）因为集合且，， 则，． 9分 （2）集合， 由题意可得，得，解得， 因此，实数的取值范围是． 15分 17．（本小题满分15分） 【详解】（1）框架面积之和为，则每个矩形框架面积为，矩形框架宽度为，则长度为， 故建筑物宽为，长为， 则 8分 （2）， 13分 当且仅当，等号成立，此时长， 故当矩形框架的长为120 m，宽为75 m时，此建筑物占地面积最小，为． 15分 18．（本小题满分17分） 【详解】（1）①若，此时，即，此时，满足题意； 4分 ②若，此时，即，若，则满足或， 又因为，得．综上，实数的取值范围为． 10分 （2）是的充分不必要条件，是的真子集， 则，解得． 17分 19．（本小题满分15分） 【详解】（1）由，可得， 因为，， 所以， 解得或（舍去），故的值为． 6分 （2）当时，，所以， 因为，，所以， 当且仅当，即，时等号成立，所以的最小值为3． 11分 （3）因为，是两个不相等的正数，所以 解得，所以或， 所以实数的取值范围是或． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $