精品解析：甘肃天水市武山县第一高级中学2025-2026学年度第二学期高一第一次月考数学试卷

甘肃天水市武山县第一高级中学2025-2026学年度第二学期高一第一次月考数学试卷 考试时间：120分钟 一、单选题（每小题5分，共40 分） 1. 若的最小正周期为，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦型函数的最小正周期公式，结合特殊角的正弦函数值进行求解即可. 【详解】因为的最小正周期为， 所以，即， 所以. 故选：A 2. 为了得到函数的图象，只需要把函数图象（ ） A. 先将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位 B. 先将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位 C. 先向左平移个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） D. 先向右平移个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） 【答案】B 【解析】 【分析】利用平移变换和周期变换的规则来判断. 【详解】为了得到函数的图象，只需要把函数图象 先向右平移个单位，再将横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），CD错； 也可以先将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，A错误，B正确. 故选：B. 3. 已知向量，，，则（ ） A. A，B，C三点共线 B. A，B，D三点共线 C. A，C，D三点共线 D. B，C，D三点共线 【答案】B 【解析】 【分析】利用平面向量共线定理逐项判断即可. 【详解】对于A选项，因为，，故、不一定共线，A错误； 对于B选项，， 故、、三点共线，B正确； 对于C选项，因为，， 所以、不一定共线，C错误； 对于D选项，因为，，则、不一定共线，D错误. 故选：B. 4. 已知的三边满足，则（ ） A. 一定是锐角三角形 B. 一定是直角三角形 C. 一定是钝角三角形 D. 可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】可设，，，再借助余弦定理计算出即可得解. 【详解】由的三边，，满足， 可设，，（）， 则， 所以角是钝角，故是钝角三角形． 故选：C． 5. 在中，若的面积，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由面积公式求出，再由余弦定理求出，代入求解. 【详解】由，得， 又由余弦定理， 所以， 所以， 故选：D. 6. 在中，内角的对边分别为，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理判断三角形解的情况. 【详解】A选项，三角形的三个角确定，一条边确定，则三角形只有一个解，故A错； B选项，，所以三角形无解，故B错； C选项，，所以三角形有两个解，故C正确； D选项，，所以,三角形只有一个解，故D错. 故选：C. 7. 已知的三边长分别为，则的外接圆的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设最大边的对角为,利用余弦定理求出,进而求出，再利用正弦定理就可以求出外接圆半径,所以外接圆的面积为. 【详解】记长为4的边的对角为,则由余弦定理可以知道, 所以, 设的外接圆半径为,则由正弦定理,得,所以, 所以外接圆的面积为. 故选：A. 8. 在中，内角的对边分别为，若，则的面积为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【详解】由余弦定理得，则， 故的面积为. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 已知向量，，下列说法正确的是（    ） A. B. C. 与向量平行的单位向量仅有 D. 向量与向量的夹角为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，计算数量积是否为零，即可得；对B，借助模长公式计算即可得；对C，与向量平行的单位向量有、；对D，夹角公式计算即可得. 【详解】对于A，，，所以，故A正确； 对于B，，所以，故B正确； 对于C，，则有、， 即与向量平行的单位向量有、，故C错误； 对于D，，所以向量与向量的夹角为，故D正确． 故选：ABD 10. 已知函数（其中）的部分图象如图所示.则下列结论正确的是（ ） A. 函数的图象关于直线对称 B. 函数的图象关于点对称 C. 函数在区间上单调递增 D. 与图象的所有交点的横坐标之和为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据图像求出函数解析式，再逐个选项判断即可. 【详解】由题意，，， 所以，又， 可得，又， 所以，所以. 因为， 所以不是函数的对称轴，A错； ， 所以是对称中心，B正确； 时，， 所以在上单调递增，C正确； ，， 所以或， 即或， 又， 所以，它们的和为，D正确. 故选：BCD 11. 已知内角的对边分别为，为的重心，，则（ ） A. B. C. 的面积的最大值为 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用重心性质及向量线性运算得，即可判断A，此式平方后结合基本不等式，向量的数量积的定义可求得的最大值，直接判断B，再结合三角形面积公式、余弦定理判断CD． 【详解】 对于A，是的重心，延长交于点，则是中点， ，A错误； 对于B，由，得，所以 ， 又，即 所以，所以，当且仅当时等号成立，B正确； 对于C，，当且仅当时等号成立， ，，C正确； 对于D，由，得 ， 所以 ，，当且仅当时等号成立，所以的最小值是，D正确. 故选：BCD. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知，则________． 【答案】##0.3 【解析】 【分析】将原式凑配为关于正余弦的齐二次分式来求解. 【详解】. 13. 已知在方向上的投影数量是，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】利用向量数量积的几何意义计算. 【详解】由已知，， 则． 故答案为：2 14. 在中，角所对的边分别为，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理将角化边，将用表示出来，用余弦定理，即可求得 【详解】因为，故可得； 因为，故可得； 将代入中，得，解得, 由余弦定理可得. 又因为，故可得. 故答案为：. 四、解答题 15. 在平面直角坐标系中，角的终边经过点． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角函数的定义计算求解； （2）先利用诱导公式化简所求式，再代入计算求解． 【小问1详解】 已知角的终边经过点，根据三角函数的定义： ， ． 【小问2详解】 ． 16. 已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且. （1）求角C及边c的值； （2）求的最大值. 【答案】（1）， （2）4 【解析】 【小问1详解】 由， 根据余弦定理，得， 因为，则. 由，得， 根据正弦定理，得，则. 【小问2详解】 由（1）知，， 则，即， 当且仅当时等号成立， 则的最大值为4. 17. 已知函数． （1）求的最小正周期及在区间内的单调递增区间； （2）当时，求的最大值及最小值，并求出相应的的取值． 【答案】（1）最小正周期为； （2）时，最大值为；时，最小值为. 【解析】 【分析】（1）利用正弦型函数最小正周期的计算公式，求得函数的最小正周期，根据，结合正弦函数的单调性，进而求得的单调递增区间； （2）根据，求得，结合正弦函数的性质可求答案. 【小问1详解】 由函数，可得函数的最小正周期为， 由，可得， 令，可得；令，可得， 所以函数的单调递增区间为. 【小问2详解】 由，可得， 当时，即时，函数取得最小值，最小值为； 当时，即时，函数取得最大值，最大值为， 所以函数在上的最大值为，最小值为. 18. 已知向量满足，，且与的夹角为． （1）若，求实数的值； （2）求与的夹角的余弦值． 【答案】（1）． （2） 【解析】 【分析】（1）根据两个向量垂直，则它们的数量积为0，并利用向量数量积公式计算. （2）先计算，再计算，最后根据向量夹角的余弦公式求解. 【小问1详解】 由题意可得， 因为，所以， 即， 解得． 【小问2详解】 设与的夹角为，由（1）可知，， 由题意可得， 由，得， 所以． 19. 如图所示，已知梯形ABCD中，，，E为线段BC的中点，且线段BD与AE的交点为F，设，． （1）用，表示； （2）求的值； （3）若，点G在线段CD上运动，设，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用向量运算结合基本定理可得答案； （2）设出两线段的关系，利用基本定理可得答案； （3）利用基底得出的关系，结合对勾函数的性质可得范围. 【小问1详解】 因为，，所以， , 因为E为线段BC的中点，所以，. 【小问2详解】 设，则，， ， 又共线，所以存在一个实数，使得， ，两式相除可得，即. 【小问3详解】 设,；,， ， 因为，所以，可得， 解得，所以， 由对勾函数的性质可得时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 甘肃天水市武山县第一高级中学2025-2026学年度第二学期高一第一次月考数学试卷 考试时间：120分钟 一、单选题（每小题5分，共40 分） 1. 若的最小正周期为，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 2. 为了得到函数的图象，只需要把函数图象（ ） A. 先将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位 B. 先将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位 C. 先向左平移个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） D. 先向右平移个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） 3. 已知向量，，，则（ ） A. A，B，C三点共线 B. A，B，D三点共线 C. A，C，D三点共线 D. B，C，D三点共线 4. 已知的三边满足，则（ ） A. 一定是锐角三角形 B. 一定是直角三角形 C. 一定是钝角三角形 D. 可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 5. 在中，若的面积，则（ ） A. B. C. D. 6. 在中，内角的对边分别为，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知的三边长分别为，则的外接圆的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，内角的对边分别为，若，则的面积为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 已知向量，，下列说法正确的是（    ） A. B. C. 与向量平行的单位向量仅有 D. 向量与向量的夹角为 10. 已知函数（其中）的部分图象如图所示.则下列结论正确的是（ ） A. 函数的图象关于直线对称 B. 函数的图象关于点对称 C. 函数在区间上单调递增 D. 与图象的所有交点的横坐标之和为 11. 已知内角的对边分别为，为的重心，，则（ ） A. B. C. 的面积的最大值为 D. 的最小值为 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知，则________． 13. 已知在方向上的投影数量是，则______． 14. 在中，角所对的边分别为，若，则__________. 四、解答题 15. 在平面直角坐标系中，角的终边经过点． （1）求的值； （2）求的值． 16. 已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且. （1）求角C及边c的值； （2）求的最大值. 17. 已知函数． （1）求的最小正周期及在区间内的单调递增区间； （2）当时，求的最大值及最小值，并求出相应的的取值． 18. 已知向量满足，，且与的夹角为． （1）若，求实数的值； （2）求与的夹角的余弦值． 19. 如图所示，已知梯形ABCD中，，，E为线段BC的中点，且线段BD与AE的交点为F，设，． （1）用，表示； （2）求的值； （3）若，点G在线段CD上运动，设，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $