精品解析：上海市复旦大学附属复兴中学2026-2027学年高三上学期9月练习数学试卷

上海市复旦大学附属复兴中学2026-2027学年高三上学期9月练习数学试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1―6题每题4分，第7―12题每题5分） 1. 若集合，，则______. 2. 曲线在点处的切线方程为______． 3. 函数的单调递增区间为__________. 4. 已知A，B，C是△ABC的三个内角，，，则______. 5. 若，则____________. 6. 已知、都是锐角，，，则__________． 7. 已知，向量在向量上的投影向量为，则______． 8. 函数在区间上的对称轴方程是______． 9. 已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，记的面积为S.若，则_________. 10. 设向量满足，，，则的最大值为________. 11. 已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围为________． 12. 已知非零向量与满足，且，点D是的边上的动点，则的最小值为________． 二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13―14题每题4分，第15―16题每题5分） 13. 在中，已知，则角（ ） A. B. C. D. 14. 已知复数为虚数单位，)，则“”是“为实数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 已知点在线段上（不含端点），是直线外一点，且，则的最小值是（   ） A. B. C. D. 16. 已知函数与直线在上有且仅有个交点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 三、解答题（本大题共有78分，第17～19题每题14分，第20、21题每题18分） 17. 已知函数． （1）写出函数在内的严格增区间； （2）在中角所对的边分别是，若，，且，求的周长． 18. 如图，在三棱柱 中，平面，, 为 的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值； 19. 在中，内角，，的对边分别为，，.已知向量，，且. （1）求角的大小； （2）若，且的面积为，求的周长； （3）在（2）的条件下，若点为的中点，求中线的长度. 20. 已知圆，关于直线对称的点在圆上，直线与线段交于点． （1）求点的轨迹方程； （2）探究直线与点轨迹的关系； （3）记的面积为，的面积为，当时，求此时直线的方程． 21. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由. （3）若在存在极值，求a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市复旦大学附属复兴中学2026-2027学年高三上学期9月练习数学试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1―6题每题4分，第7―12题每题5分） 1. 若集合，，则______. 【答案】 【解析】 【详解】由题意得， ， 画数轴如图： ∴. 2. 曲线在点处的切线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据导数的几何意义，求出直线的斜率，再利用点斜式方程求出切线方程． 【详解】曲线，，切线的斜率为， 又当时，，切线过点， 曲线在处的切线方程是：，即. 3. 函数的单调递增区间为__________. 【答案】 【解析】 【详解】函数的定义域为， 对函数求导得， 令，解得， 所以的单调递增区间为. 4. 已知A，B，C是△ABC的三个内角，，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】使用同角三角函数的基本关系及两角和的正弦公式求解. 【详解】由，，可知为钝角，为锐角， 所以，， 则. 5. 若，则____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意利用降幂公式结合诱导公式运算求解. 【详解】由题意可得：. 故答案为：. 6. 已知、都是锐角，，，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，，则， 且，，则，， 所以. 7. 已知，向量在向量上的投影向量为，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】首先利用，得到.利用向量在向量上的投影向量公式得到，最后即可求解的值为3. 【详解】因为，所以. 由向量在向量上的投影向量公式得， 所以，. 8. 函数在区间上的对称轴方程是______． 【答案】 【解析】 【分析】先用三角函数恒等变换把函数表达式变形为型三角函数，再用整体代入法求对称轴 【详解】由二倍角公式可得， ， 令，解得，其中， 因为，所以，解得，所以， 因此对称轴方程为 9. 已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，记的面积为S.若，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形面积公式结合余弦定理化简即可求解. 【详解】，， 且， ，则. 又，. 10. 设向量满足，，，则的最大值为________. 【答案】 【解析】 【分析】设，作，则，求得，得到点的轨迹，即可得到答案. 【详解】如图所示，设，作，则， 因为向量满足，， 可得，即. 又因为，可得， 所以点在以为圆心，以为半径的圆上， 所以当三点共线时，取得最大值，最大值为. 11. 已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用辅助角公式化简，再结合正弦函数的单调性可得出关于的不等式求解. 【详解】， 若，则且，得， 因为在区间上单调递增，所以，得， 故的取值范围为 12. 已知非零向量与满足，且，点D是的边上的动点，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先确定，取的中点，连接，以为坐标原点，建立直角坐标系，通过向量数量积的坐标表示即可求解. 【详解】因为分别表示与方向上的单位向量， 所以向量所在直线与的平分线重合， 又，即与垂直， 由三线合一可知，，如图，取的中点，连接，则， 又， 其中， 所以，，故， 以为坐标原点，建立直角坐标系 ，， 设， ， 当时 的最小值为，故的最小值为. 二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13―14题每题4分，第15―16题每题5分） 13. 在中，已知，则角（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意化简，再根据余弦定理化简得到，再求解即可. 【详解】． 由余弦定理，故， 解得. 因为，故． 14. 已知复数为虚数单位，)，则“”是“为实数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由复数乘方运算和实数概念，利用充要条件的概念即可判断 【详解】因为复数为虚数单位，)， 所以，所以为实数. 15. 已知点在线段上（不含端点），是直线外一点，且，则的最小值是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由点在线段上的位置关系得到系数约束，变形后利用基本不等式求最小值． 【详解】因点在线段上（不含端点），，得， 则， 因此 ， 当且仅当，即，且时，等号成立， 即当时，取得最小值为. 16. 已知函数与直线在上有且仅有个交点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先应用二倍角公式化简，再应用余弦函数性质列式计算求解. 【详解】， 令得，解得， 要使时有且仅有3个交点，即可取0、1、2，时对应超出区间， 因此，解得， 三、解答题（本大题共有78分，第17～19题每题14分，第20、21题每题18分） 17. 已知函数． （1）写出函数在内的严格增区间； （2）在中角所对的边分别是，若，，且，求的周长． 【答案】（1）和 （2） 【解析】 【分析】（1）先利用二倍角和辅助角公式化简函数，再根据正弦函数的性质确定单调增区间；（2）根据已知条件求出角，再结合向量的数量积和余弦定理求出边，得到的周长． 【小问1详解】 ， 令， 可得， ，令，得， 令，得， 函数在内的严格增区间为和. 【小问2详解】 因为，， 因为，， 所以，， ，， 又，， 的周长为. 18. 如图，在三棱柱 中，平面，, 为 的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值； 【答案】（1）证明：在三棱柱中，平面ABC，，则直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 令，得， ， 设平面的法向量为，则，取，得， 显然，因此，平面，而平面， 所以平面. （2）． 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用空间位置关系的向量证明推理得证. （2）由（1）的信息，利用面面角的向量法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由平面，得平面的一个法向量为， 由（1）知平面的一个法向量为，则， 由图知二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为. 19. 在中，内角，，的对边分别为，，.已知向量，，且. （1）求角的大小； （2）若，且的面积为，求的周长； （3）在（2）的条件下，若点为的中点，求中线的长度. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）使用正弦定理边化角求解； （2）使用三角形面积公式和余弦定理求解； （3）使用向量法求解. 【小问1详解】 由，得， ， 由于，所以， 化简得， 又，； 【小问2详解】 由三角形面积公式：， 代入，，得. 由余弦定理：， 代入，，得， ，. 的周长为； 【小问3详解】 点为的中点，根据向量中点公式得 ， 由（2）问可知，，代入得： . 20. 已知圆，关于直线对称的点在圆上，直线与线段交于点． （1）求点的轨迹方程； （2）探究直线与点轨迹的关系； （3）记的面积为，的面积为，当时，求此时直线的方程． 【答案】（1） （2）直线与点轨迹相切 （3）当，时，； 当，时，． 【解析】 【分析】（1）根据对称性，结合椭圆的定义求解即可； （2）设，中点为，直线与椭圆联立方程组，结合，求得，，进而可得点坐标，求出直线方程，直线与椭圆联立方程，根据，判断可得关系； （3）设，则，由可得，建立方程组，求得点坐标，结合（2）计算求解. 【小问1详解】 因为圆心为，半径，，在中垂线上，所以， 在半径上，所以， 即点到两定点，的距离和为定值， 所以的轨迹是以，为焦点的椭圆， 其中，，所以，，， 故轨迹方程为． 【小问2详解】 设，中点为，由对称性，不妨设， 而在射线上且，则， 可得，而， 化简得， 且， 得到，，所以，． 所以， 联立，得，即， 经检验，故直线与点轨迹相切，此时． 【小问3详解】 设，则， 因为与有相同的高，所以，解得， 所以，即点满足， 解得，，当，时，； 当，时，． 21. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由. （3）若在存在极值，求a的取值范围. 【答案】（1）； （2） 令， 函数的定义域满足，即函数的定义域为， 定义域关于直线对称，由题意可得， 由对称性可知， 取可得， 即，则，解得， 经检验满足题意，故. 即存在满足题意. （3）. 【解析】 【分析】(1)由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求解切线方程即可； (2)首先求得函数的定义域，由函数的定义域可确定实数的值，进一步结合函数的对称性利用特殊值法可得关于实数的方程，解方程可得实数的值，最后检验所得的是否正确即可； (3)原问题等价于导函数有变号的零点，据此构造新函数，然后对函数求导，利用切线放缩研究导函数的性质，分类讨论，和三中情况即可求得实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，， 则， 据此可得， 函数在处的切线方程为， 即. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由函数的解析式可得， 由在区间存在极值点，则在区间上存在变号零点; 令， 则， 令， 在区间存在极值点，等价于在区间上存在变号零点， 当时，，在区间上单调递减， 此时，在区间上无零点，不合题意; 当，时，由于，所以在区间上单调递增， 所以，在区间上单调递增，， 所以在区间上无零点，不符合题意； 当时，由可得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故的最小值为， 令，则， 函数在定义域内单调递增，， 据此可得恒成立， 则， 由一次函数与对数函数的性质可得，当时， ， 且注意到， 根据零点存在性定理可知:在区间上存在唯一零点. 当时，，单调减， 当时，，单调递增， 所以. 令，则， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， 所以 ， 所以函数在区间上存在变号零点，符合题意. 综合上面可知:实数得取值范围是. 【点睛】(1)求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元. (2)根据函数的极值(点)求参数的两个要领：①列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解;②验证:求解后验证根的合理性.本题中第二问利用对称性求参数值之后也需要进行验证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $