精品解析：四川省南充高级中学初中部2026-2027学年九年级上学期第一次阶段自测数学试卷

南充高中初2024级第五学期第一次月考 数学试卷 （考试时间：120分钟满分：150分） 一、选择题（每题4分，共40分） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 在用求根公式求一元二次方程的根时，琪琪正确代入了、、得到，则她求解的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，平分，交于点F，平分交于点E，，，则长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 用配方法将二次三项式变形，结果是（ ） A. B. C. D. 5. 年青山村种水稻平均每公顷产，和年水稻平均每公顷产量和为，设水稻每公顷产量的年平均增长率为，则下列所列的方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 一次函数与（，是常数且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 已知关于的一元二次方程的两个实数根为，，且满足，则的值为（ ）． A. B. C. 或 D. 或 8. 如图，已知射线分别与二次函数，的图象交于点，，且，则下列有关，的关系，判断正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 若，且，，则=（ ） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，函数（）的图象是直线，点，在直线上，且满足，则下列四个推断正确的有（ ） ①点在直线上； ②若直线与直线及轴不能围成一个三角形区域，则； ③若，则； ④若直线与轴、轴的正半轴所围成的三角形的面积为，则的最小值等于4． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题 11. 若函数是关于的二次函数，则的值为_____． 12. 若点、是函数上的两点，若且，则________．（填“”、“”或“”） 13. 一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都赛两场），若共要比赛90场，则共有___________支队参加比赛． 14. 数据2，2，3，3，5的离差平方和是________． 15. 古希腊在研究黄金分割时得到方程，已知m，n是方程的两个根，则代数式________． 16. 如图，四边形是正方形，四边形是菱形，四边形是矩形，其中点E在边上，在边上，点G是菱形对角线的交点，若，则______． 三、解答题 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 如图，四边形是平行四边形，，且分别交对角线于点M，N，连接．求证：； 19. 如图，某建筑工程队在一堵墙边上用23米长的铁栏围成一个面积为84平方米的长方形仓库，已知可利用的墙长是13米，铁栅栏只围三边，且在边上要造一个1米宽的门，在边上要造一个2米宽的运输通道．求所围成长方形的两条邻边的长． 20. 某中学进行知识竞赛．从七、八年级各随机抽取了名学生的竞赛成绩进行整理（满分10分，得分均为整数），所抽取的七、八年级学生成绩如下： 七年级：，，，，，，，，，，， 八年级：，，，，，，，，，，， 小嘉分析数据后列出统计表并画出箱线图． 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 和 八年级 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________；________； （2）八年级成绩箱线图的下四分位是________； （3）该校八年级共人参加知识竞赛，估计八年级参加竞赛成绩优秀的学生人数为多少人？ 21. 若，且与成正比例，与成正比例，当时，；当时，； （1）求y与x的函数关系式； （2）时，函数的值为多少？ 22. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：对于任何实数k，方程总有两个不相等的实数根； （2）设的两个实数根分别为、，若，求k的值． 23. 某花卉基地引进并种植了一种新型绿植，已知该绿植每棵的售价为30元时，年销售量为8万棵． （1）基地营销人员经过市场调查分析发现，价格每提高2元，销售量将相应减少万棵，设每棵定价提高到元，每年的销售总收入为万元． ①求y关于t的函数关系式； ②要使提价后每年销售的总收入为300万元，求的值． （2）该基地为提高年销售量，决定对绿植进行改良培育．设改良培育后的价格为元（），该基地投入万元作为培育费用．问该绿植的年销售量至少达到多少万棵时，才能使年销售收入不低于改良前的年销售收入与培育费用之和？ 24. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线交轴正半轴于点，交轴于点，且． （1）如图1，求直线的解析式； （2）如图2，点在轴负半轴上，连接，过点作的垂线交于点，该垂线交轴于点，设点的横坐标为，的面积为，求与的函数关系式； （3）如图3，在（2）的条件下，连接交于点，点在上，连接、，使，，过点作交轴于点，在上取一点，使，连接，求点的坐标． 25. 如图，在矩形中，点为直线上一动点，连接，作等腰直角三角形，使，，连接． （1）如图1，连接．若，，，求的面积； （2）如图2，若点为线段的中点，试探究线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图3，若，．请思考是否存在最小值，若存在，请直接写出的最小值，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南充高中初2024级第五学期第一次月考 数学试卷 （考试时间：120分钟满分：150分） 一、选择题（每题4分，共40分） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二次根式的性质化简，二次根式的加减乘除的运算法则逐项计算，即可作答． 【详解】解：∵，∴A错误； ∵，∴B错误； ∵，∴C错误； ∵，∴D正确． 2. 在用求根公式求一元二次方程的根时，琪琪正确代入了、、得到，则她求解的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵一元二次方程求根公式为，且代入后得， ∴，解得， ，解得， 对比根号内的项，得 ， 将代入，得， ∴原方程为． 3. 如图，在中，平分，交于点F，平分交于点E，，，则长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质、角平分线证明，，即可解答； 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴． 4. 用配方法将二次三项式变形，结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：． 5. 年青山村种水稻平均每公顷产，和年水稻平均每公顷产量和为，设水稻每公顷产量的年平均增长率为，则下列所列的方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】两年的产量和是，分别表示、年的每公顷产量后相加列方程即可． 【详解】解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为． 年平均每公顷产量为， 年平均每公顷产量为, 由题意得 ． 6. 一次函数与（，是常数且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数图象与系数的关系，由其中一条直线的图象确定、的符号，再判断另一条直线的图象位置，验证符号是否自洽，即可得到正确结果． 【详解】解：、如图所示： 假设①的表达式为，则，， ， 对于一次函数，图象下降，且与轴负半轴相交，图②能表示一次函数图象，该选项符合题意； 、如图所示： 假设①的表达式为，则，， ， 对于一次函数，图象上升，且与轴负半轴相交，图②不能表示一次函数图象，该选项不符合题意； 、如图所示： 假设①的表达式为，则，， ， 对于一次函数，图象与轴负半轴相交，图②不能表示一次函数图象，该选项不符合题意； 、如图所示： 假设①的表达式为，则，， ， 对于一次函数，图象与轴正半轴相交，图②不能表示一次函数图象，该选项不符合题意； 故选：． 7. 已知关于的一元二次方程的两个实数根为，，且满足，则的值为（ ）． A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】先根据两根之积得到关于的方程，求解后再利用判别式验证，舍去无实根的情况，得到最终结果． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，， ∴由根与系数的关系得， 又∵， ∴，整理得：，解得：或， ∵方程有两个实数根， ∴判别式， ， 当时，，此时方程无实数根，舍去； 当时，，符合题意， ∴的值为． 8. 如图，已知射线分别与二次函数，的图象交于点，，且，则下列有关，的关系，判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别过点，向轴作垂线，垂足分别为，，则．设直线的解析式，求出、两点的横坐标，再利用证得三角形相似，结合的线段比例关系建立与的等式，最终推导出二者的数量关系． 【详解】解：如图，分别过点，向轴作垂线，垂足分别为，，则． 设直线的解析式，点，的横坐标分别为，. ∵点在和上， ∴，解得， 同理，． ∵， ∴， ∴， 即，化简得． 故选：D． 9. 若，且，，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将第二个方程变形为关于的一元二次方程，与第一个方程形式一致，结合根与系数的关系求解，即可解答． 【详解】解：∵时，，与题设矛盾， ∴， 将两边除以， 整理得， ∵，且， 即， ∴，是方程的两个不等实根， ∴，即． 10. 在平面直角坐标系中，函数（）的图象是直线，点，在直线上，且满足，则下列四个推断正确的有（ ） ①点在直线上； ②若直线与直线及轴不能围成一个三角形区域，则； ③若，则； ④若直线与轴、轴的正半轴所围成的三角形的面积为，则的最小值等于4． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】先确定直线恒过定点，再结合一次函数性质、代数式变形、三角形面积公式逐一判断各推断． 【详解】解：①将代入，得， ∴点在直线上，①正确； ②直线与及轴不能围成三角形，分两种情况： 若直线与平行，则； 若直线过与轴的交点， 将代入解析式得， 解得， ∴或，②错误； ③∵在直线上， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，即式子符号与一致， 又∵，， ∴， ∵， ∴，，即， 又， ∴， ∵，且， ∴， ∴，③正确； ④当时，， ∴直线与轴正半轴交点为， 当时， 解得， ∴直线与轴正半轴交点为， 根据题意得，， 解得， 三角形面积， 令，则，，， ∴， ∵， ∴，即， ∵，两边同除以得，当且仅当时取等号， ∴，即的最小值为，④正确． 综上，正确的推断有①③④，共3个． 二、填空题 11. 若函数是关于的二次函数，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义，需满足的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此进行求解即可. 【详解】解：是关于的二次函数， ，且， . 12. 若点、是函数上的两点，若且，则________．（填“”、“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】先确定抛物线的开口方向和对称轴，再根据已知条件判断点A和点B到对称轴的距离大小，根据二次函数的性质比较和的大小． 【详解】解：对于二次函数， ， 抛物线开口向上，对称轴为轴（即直线），开口向上的抛物线上，点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大，点到轴的距离为横坐标的绝对值，因此比较与的大小， ，， ， 当时，，可得，即； 当时，，可得，即， 综上可得，即点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离，又抛物线开口向上，故． 13. 一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都赛两场），若共要比赛90场，则共有___________支队参加比赛． 【答案】10 【解析】 【分析】设共有支队参加比赛，根据双循环赛制的场次关系列出一元二次方程，舍去不符合实际的负根即可得到结果． 【详解】解：设共有支队参加比赛， ∵双循环赛制每两队之间赛两场，总比赛场次为， 根据题意列出方程， ， 整理得， 解方程得或， ∵参赛队伍的数量为正整数， ∴舍去不符合题意的， ∴共有10支队参加比赛． 14. 数据2，2，3，3，5的离差平方和是________． 【答案】6 【解析】 【分析】先计算这组数据的平均数，再根据离差平方和的定义，计算每个数据与平均数的差的平方之和，即可得到结果． 【详解】解：这组数据为，，，，， 这组数据的平均数为， 离差平方和为：． 15. 古希腊在研究黄金分割时得到方程，已知m，n是方程的两个根，则代数式________． 【答案】4 【解析】 【分析】利用方程根的定义对所求代数式降次，再结合根与系数的关系计算结果． 【详解】解：是方程的根， ，即， ，是方程的两个根， 根据根与系数的关系可得， 原式． 16. 如图，四边形是正方形，四边形是菱形，四边形是矩形，其中点E在边上，在边上，点G是菱形对角线的交点，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的性质可得，，进而得出四边形是矩形，则，，根据勾股定理求出，再根据，求出的值，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 则， 根据勾股定理可得：， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 三、解答题 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）方程无法直接因式分解，可采用一元二次方程公式法求解； （2）方程，先变形，移项后提取公因式，使用因式分解法求解，不能直接两边同除含未知数的因式，避免丢失根． 【小问1详解】 解：， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ∴或， ∴，． 18. 如图，四边形是平行四边形，，且分别交对角线于点M，N，连接．求证：； 【答案】证明：连接，交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴； 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定以及性质，全等三角形的判定以及性质，平行线的性质，连接，交于点，证明，推出四边形为平行四边形，得到，即可得证； 【详解】略 19. 如图，某建筑工程队在一堵墙边上用23米长的铁栏围成一个面积为84平方米的长方形仓库，已知可利用的墙长是13米，铁栅栏只围三边，且在边上要造一个1米宽的门，在边上要造一个2米宽的运输通道．求所围成长方形的两条邻边的长． 【答案】垂直于墙的一边长为米，平行于墙的一边长为米． 【解析】 【分析】设垂直于墙的一边长为米，平行于墙的一边长为米，则，再结合长方形仓库的面积列一元二次方程求解即可． 【详解】解：设垂直于墙的一边长为米，平行于墙的一边长为米， 边需要铁栏米，边需要铁栏米，边需要铁栏米， 铁栏总长为米， ， ， 长方形仓库面积为84平方米， ，即， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 即垂直于墙的一边长为米，平行于墙的一边长为米． 20. 某中学进行知识竞赛．从七、八年级各随机抽取了名学生的竞赛成绩进行整理（满分10分，得分均为整数），所抽取的七、八年级学生成绩如下： 七年级：，，，，，，，，，，， 八年级：，，，，，，，，，，， 小嘉分析数据后列出统计表并画出箱线图． 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 和 八年级 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________；________； （2）八年级成绩箱线图的下四分位是________； （3）该校八年级共人参加知识竞赛，估计八年级参加竞赛成绩优秀的学生人数为多少人？ 【答案】（1）6.5，4.5，7 （2）5.5 （3）80人 【解析】 【分析】（1）将七年级12个得分数据从小到大依次排列，找出第6个和第7个得分数据，相加除以2，即可求出七年级中位数的值，再根据方差公式，即可求出七年级方差的值．观察八年级得分数据，出现最多的数字即为八年级众数的值． （2）解法一：将八年级12个得分数据从小到大依次排列，可知中位数在第6个和第7个得分数据之间，找出前6个得分数据，再求出前6个数据的中位数，即为八年级成绩箱线图的下四分位数．解法二：用样本数据乘以算出下四分位数的位置，其数值为第3个数据与第4个数据的平均数，求解即可得出答案． （3）算出八年级12名学生中成绩在8分及以上的学生人数占比，再乘以240，即可得出八年级参加竞赛成绩优秀的学生人数． 【小问1详解】 解：七年级的中位数：， 方差：； 八年级的众数为：； 故答案为：6.5，4.5，7． 【小问2详解】 解：解法一：八年级学生成绩数据中位数是7，选取中位数前的6个得分数据：，，，，，，再求出前6个数据的中位数，即为下四分位数， 所以下四分位数； 解法二：样本一共选取了12名八年级学生的成绩： ，，，，，，，，，，，， 由可知，下四分位数的值为第3个数据与第4个数据的平均数， 所以， 故答案为：5.5． 【小问3详解】 解：（人）， 所以估计八年级参加竞赛成绩优秀的学生人数为80人． 21. 若，且与成正比例，与成正比例，当时，；当时，； （1）求y与x的函数关系式； （2）时，函数的值为多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正比例的定义设，，得到关于的含参数的解析式，再利用已知的两组,的值列方程组求出参数，用待定系数法得到函数关系式； （2）代入计算得到对应的函数值． 【小问1详解】 解：∵与成正比例，与成正比例， ∴设，， ∵， ∴， 将和分别代入上式， 得， 解得， ∴与的函数关系式为； 【小问2详解】 将代入，得． 22. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：对于任何实数k，方程总有两个不相等的实数根； （2）设的两个实数根分别为、，若，求k的值． 【答案】（1）证明：将原方程整理为一般形式，得， ∴根的判别式， ∵， ∴， 即， ∴对于任何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2） 【解析】 【分析】（1）将原方程化为一元二次方程的一般形式，计算根的判别式，结合绝对值的非负性证明判别式恒大于0； （2）利用根与系数的关系，将变形为含两根和与两根积的形式，代入已知条件求解，进而得到的值． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：由（1）得方程的一般形式为， ∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∵，且， ∴， 解得， ∴． 23. 某花卉基地引进并种植了一种新型绿植，已知该绿植每棵的售价为30元时，年销售量为8万棵． （1）基地营销人员经过市场调查分析发现，价格每提高2元，销售量将相应减少万棵，设每棵定价提高到元，每年的销售总收入为万元． ①求y关于t的函数关系式； ②要使提价后每年销售的总收入为300万元，求的值． （2）该基地为提高年销售量，决定对绿植进行改良培育．设改良培育后的价格为元（），该基地投入万元作为培育费用．问该绿植的年销售量至少达到多少万棵时，才能使年销售收入不低于改良前的年销售收入与培育费用之和？ 【答案】（1）①；② （2）年销售量a至少应达到万棵时，才能使销售收入不低于培育前的年收入与培育费用之和 【解析】 【分析】（1）①根据题意列出关系式即可； ②根据总收入列一元二次方程计算； （2）根据题意列出不等式，结合换元法、二次函数的性质解题． 【小问1详解】 解：①由题意得，销售量为（万棵）， ∴每年的销售总收入； ②由题意得， 整理得， 解得， ， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：由题意，需满足成立， 即成立， 令， 设，则， ∵， ∴， 即时，有最大值， ∴， 即年销售量a至少应达到万棵时，才能使销售收入不低于培育前的年收入与培育费用之和． 24. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线交轴正半轴于点，交轴于点，且． （1）如图1，求直线的解析式； （2）如图2，点在轴负半轴上，连接，过点作的垂线交于点，该垂线交轴于点，设点的横坐标为，的面积为，求与的函数关系式； （3）如图3，在（2）的条件下，连接交于点，点在上，连接、，使，，过点作交轴于点，在上取一点，使，连接，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）如图，已知直线，则,因为，即可得到点的坐标,代入表达式中，即可求出直线的解析式． （2）先证明，得到，已知点的横坐标为，则，再用含的式子表示的面积，即可求出与的函数关系式． （3）设，可证得，再证，得到，过点作轴于点，得到，，设，根据，可得，过点作于点，可求得，在中，最终可得，，，，，解得，得到，，求得的解析式为，进一步得到的解析式为，求出点坐标，连接，过点作，过点作，过点作，交延长线于点，交轴于点，用面积法解、，可求，，，，根据，得到，，再证明四边形是矩形，即可求出点的坐标． 【小问1详解】 解：∵直线交轴正半轴于点，交轴于点， ∴当时，， ， ． ， ， ． 把点坐标代入直线中，， ， 直线的解析式为． 【小问2详解】 解：在平面直角坐标系中， ， ， ， ， ． ，， ， ． 点的横坐标为， ， ， ， ． 【小问3详解】 解：设， ， ， ，， ， ， ． 由（2）知，， ， ， ， ， ， ， ， ． 过点作轴于点，如图， ， ， ． ， ， ，， ， 设，． 过点作于点， ， ， ． 在中， ， ， ， ∴，． 可得，，，， ， ， ，， ，， 的解析式为． ， ， ∴把代入可得的解析式为， ． 连接，过点作于点T，过点作于点K，过点作，交延长线于点，交轴于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴ ∴，， ． 25. 如图，在矩形中，点为直线上一动点，连接，作等腰直角三角形，使，，连接． （1）如图1，连接．若，，，求的面积； （2）如图2，若点为线段的中点，试探究线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图3，若，．请思考是否存在最小值，若存在，请直接写出的最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）解：； 证明：如图2，过点作的延长线于点，作于点， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵点为线段的中点， ∴， ∴． ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴； （3）解：存在最小值；最小值为；理由如下： 如图3，在的延长线上截取，连接，在上截取，连接， ∵，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴ ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点轨迹在如图4与夹角为的直线上，作点关于直线的对称点，延长交直线于点，连接，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴当取最小值时，，，三点共线，最小值为， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴在中，． 【解析】 【分析】（1）利用含角直角三角形的性质设，则，即可利用勾股定理解出各边的长，过点作于点，证明，得到，即可求出的长，再由三角形面积公式运算即可； （2）过点作的延长线于点，作于点，证明， 得到，，证明四边形是矩形，得到，，即可证出为等腰直角三角形，再利用勾股定理建立关系即可； （3） 在的延长线上截取，连接，在上截取，连接，证明可得到，即可推出点轨迹在如图4与夹角为的直线上，作点关于直线的对称点，延长交直线于点，连接，由，可得到当取最小值时，，，三点共线，最小值为，利用勾股定理运算求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴在中，设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴，， ∴， 过点作于点，如图所示： ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $