2026-2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册期中检测卷（上海专用)

2026-2027学年九年级第一学期数学期中检测卷 （上海专用）（原卷版） （建议用时：100分钟，满分150分） 学生注意： 1．本试卷含三个大题，共24题；没有特殊说明，几何题均视为在同一个平面内研究问题． 2．答题时，务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 测试范围：沪教版（五四制）九年级上册第一章，第二章 一、选择题（本大题共5题，每题4分，满分20分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】 1．若是关于的二次函数，则的值为(　　) A． B． C．或 D．或 2．下列两个图形中，一定相似的是（　　） A．两个矩形 B．两个等腰直角三角形 C．两个菱形 D．有一条边长是6厘米的两个等腰三角形 3．下列函数中一定是二次函数的是（　　） A．y＝2x2+ B．y＝ax2+bx+c C．y＝3x﹣1 D．y＝2x（x﹣2）+1 4．如图，、相交于点O，点E、F分别在、上，且，如果，那么下列结论中正确的是（    ）    A． B． C． D． 5．定义：若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数为一次函数的轴点函数．函数（c为常数，）的图象与x轴交于点M，其轴点函数与x轴的另一交点为．若，则的值为（ ） A． B．5或 C． D．或3 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 6．在中，，分别反向延长到D、E，若，则当_____时，． 7．二次函数的一般式为______． 8．如果，那么代数式的值是______． 9．已知线段，如果是、的比例中项，那么线段等于__________． 10．如图，P为边上一点，E、F分别为的中点，若的面积为3，那么的面积__________． 11．如图，左侧是一把撑开的雨伞，右侧是其直截面示意图，伞面的轮廓可以看作是一条抛物线，在图示的坐标系中，其表达式为，点、在抛物线上，且关于轴对称，若顶点到的距离是1.08分米，那么、两点之间的距离是_________分米．    12．将抛物线沿直线方向平移个单位后的解析式为___________． 13．如图，已知开口向上的抛物线与轴交于点，对称轴为直线，其中结论正确的序号为________ ①； ②函数的最小值为； ③若关于的方程无实数根，则； ④代数式 14．已知：如图，△ABC的中线AE与BD交于点G，DF∥AE交BC于F，那么＝_____． 15．将一张平行四边形纸片，以它的一边为边长剪去一个菱形，在余下的平行四边形中，再以它的一边为边长剪去一个菱形．若剪去两个菱形后余下的平行四边形与原平行四边形相似，则平行四边形的相邻两边与的比值是______． 16．对于三个数a、b、c，用表示这三个数中最小的数，例如， ，那么的最大值为______． 17．如图，正方形内接于正方形，即点E、F、G、H分别在正方形的四边上．请画出点A、B、C、D分别关于、、、的对称点P、Q、R、S，如果四边形的面积恰好是正方形面积的一半，那么的值是_____． 三、填空题（本大题共7题，第17-19题每题8分，第20-23题每题12分，第24题14分，满分86分） 18．在直角坐标系中，设函数（，是常数，）． (1)已知函数的图象经过点和，求函数的表达式． (2)若函数图象的顶点在函数的图象上，求证：． 19．如图，已知：点、分别在的边上，．求证：． 20．（1）已知二次函数图象的顶点坐标为，且经过点，求这个二次函数的表达式． （2）已知二次函数的图象经过点、和，求这个二次函数的表达式． 21．在中，点，分别在边，上，与交于，且，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 22．已知：如图，中，，点是边上一点，过点作交延长线于点． (1)求证：； (2)求证：． 23．在平面直角坐标系中，抛物线的开口向下，与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)如图，若，且； ① 求抛物线的表达式； ② 抛物线上有一点D，使得，求点D的坐标； (2)若，点O是线段的中点． 直线交抛物线与E、F（点E在点F的左侧），交y轴与点M． 设、的重心分别为、，当与相似时，求的值． 24．某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： (1)问题发现：如图1，在等边中，点P是边上任意一点，连接AP，以为边作等边，连接，与的数量关系是 ； (2)变式探究：如图2，在等腰中，，点P是边上任意一点，以为腰作等腰，使，，连接，判断和的数量关系，并说明理由； (3)解决问题：如图3，在正方形中，点P是边上一点，以为边作正方形，Q是正方形的中心，连接．若正方形的边长为5，，求正方形的边长． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级第一学期数学期中检测卷 （上海专用）（解析版） 1．C 【难度】0.85 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】根据 是不为的常数是二次函数，可得答案． 【详解】解：若是关于的二次函数，则且．， 解得：或． 故选：C． 2．B 【难度】0.85 【知识点】相似多边形 【分析】本题考查了相似多边形，如果两个多边形对应角相等，对应边成比例，这两个多边形是相似多边形，在判定两个多边形是否相似时，一定要对应角相等、对应边成比例同时成立，缺一不可． 【详解】解：A选项：两个矩形的对应角相等，对应边不一定成比例， 两个矩形不一定相似，故A选项不符合题意； B选项：两个等腰直角三角形的对应角相等，对应边成比例， 两个等腰直角三角形一定相似，故B选项符合题意； C选项：两个菱形的对应边一定成比例，对应角不一定相等， 两个菱形不一定相似，故C选项不符合题意； D选项：有一条边长是6厘米的两个等腰三角形，这两个三角形的对应角不一定相等， 这两个三角形不一定相似，故D选项不符合题意． 故选：B． 3．D 【难度】0.65 【知识点】二次函数的识别 【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数进行分析． 【详解】解：A、含有分式，不是二次函数，故此选项错误； B、当a＝0时，y＝ax2＋bx＋c不是二次函数，故此选项错误； C、是一次函数，故此选项错误； D、y＝2x（x﹣2）+1=2x2-4x+1是二次函数，故此选项正确； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数定义，判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，解题关键是注意二次项系数不为0． 4．B 【难度】0.65 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值、相似三角形的判定与性质综合 【分析】利用平行线分线段成比例与相似三角形的判定与性质逐一分析各选项即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，而， ∴，故A不符合题意； ∵，而， ∴，故B符合题意； ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，故C不符合题意； ∴，故D不符合题意； 故选B 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，熟记相关定理与性质是解本题的关键． 5．D 【难度】0.4 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题主要考查了二次函数与轴交点问题、一次函数与轴交点问题，读懂轴点函数的定义是解题的关键．根据题意，用表示出点、的坐标，代入，解出即可得到答案． 【详解】解：函数（为常数，）的图象与轴交于点 其轴点函数与轴的两个交点为、 或 解得：或 故选：D． 6．/ 【难度】0.85 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行得到比例式是解决本题的关键．由可以得到，然后代入数据即可求出，故时，． 【详解】解：如图： ∵当 ∴时， ∴， ∴， ∴当时，， 故答案为：． 7． 【难度】0.85 【知识点】根据二次函数的定义求参数、运用完全平方公式进行运算 【分析】二次函数的一般形式为，据此即可获得答案． 【详解】解：二次函数的一般式为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的一般形式以及完全平方公式的应用，理解并掌握二次函数的一般形式是解题关键． 8． 【难度】0.85 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、比例的性质 【分析】本题考查比例关系和代数式的求值，通过比例关系变形代数式后代入求值，即可解题． 【详解】解：由 ，得 ． 所以 ． 故答案为 ． 9．3 【难度】0.85 【知识点】成比例线段 【分析】根据比例中项的定义，若是，的比例中项，即．即可求解．本题主要考查了线段的比例中项的定义，注意线段不能为负． 【详解】解：若是、的比例中项， 即． ∵， ∴， 解得， 故答案为：3． 10． 【难度】0.65 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质以及三角形中位线定理等知识，利用三角形中位线定理得出，，再利用相似三角形的判定与性质得出，进而利用平行四边形的面积求法得出答案． 【详解】解：，分别为，的中点， ∴是的中位线 ，， ， ， ， ∵的面积分别为3， ， 四边形是平行四边形， ． 故答案为：． 11．6 【难度】0.65 【知识点】其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的应用，根据顶点到的距离是1.08分米，进而求出点的纵坐标为，代入函数解析式进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴， ∵顶点到的距离是1.08分米， ∴点的纵坐标为， 当时，， ∴、两点之间的距离是（分米）； 故答案为：6． 12．或 【难度】0.65 【知识点】二次函数图象的平移、求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，二次函数图象的平移，熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键．沿直线方向平移个单位，相当于向上平移2个单位，再向左平移2个单位，或向下平移2个单位，再向右平移2个单位，然后根据平移规律得出答案． 【详解】解：对于，当时，，当时，， 即：直线经过，， 则， 由此可知抛物线沿直线方向平移个单位， 相当于抛物线向上平移2个单位，再向左平移2个单位， 此时平移后的解析式为； 或抛物线向下平移2个单位，再向右平移2个单位， 此时平移后的解析式为； 综上：或． 13．①②③④ 【难度】0.65 【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数图象确定相应方程根的情况、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查二次函数的一般式，二次函数的交点式，二次函数的最值，对称轴，以及交点坐标，由对称轴为，得则可判断①；利用待定系数法求得函数解析式为，故求得函数的最小值为，可判断②；将变形为：，利用根的判别式可判断③；将，代入可判断④，结合以上结论可判断正确的项． 【详解】解：由图象可知，图象开口向上，， 对称轴为，故，即，则，故①正确； 由图象可知当时，函数取最小值， 将，代入，中得：， 由图象可知函数与x轴交点为，对称轴为直线，故函数图象与x轴的另一交点为， 设函数解析式为：， 故化简得：， 将，代入可得：，故函数的最小值为，故②正确； 变形为：， 要使方程无实数根，则， 将，，代入得：， 因为，则，则， 综上所述，故③正确； 因为，， 所以 ， 因为， 所以，即，故④正确； 故答案为：①②③④． 14．/0.75 【难度】0.65 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值、相似三角形的判定与性质综合、根据三角形中线求长度 【分析】如图：连接DE，由三角形中位线定理可得＝，再根据相似三角形的性质可得＝＝＝，设GE＝k，则AG＝2k，AE＝k+2k＝3k，然后再根据平行线分线段成比例解答即可． 【详解】解：如图：连接DE， ∵AE、BD是△ABC的中线， ∴AD＝DC，BE＝EC， ∴DE∥AB，DE＝AB，   ∴∠DEG＝∠BAG，∠EDG＝∠ABG， ∴△DEG∽△BAG， ∴＝＝＝， 设GE＝k，则AG＝2k，AE＝k+2k＝3k， 又∵DF∥AE，AD＝DC， ∴＝， ∴DF＝k， ∴＝＝． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线的性质、相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例等知识点，掌握相似三角形的判定与性质成为解答本题的关键． 15．或 【难度】0.4 【知识点】利用菱形的性质求线段长、利用平行四边形的性质求解、相似多边形的性质 【分析】本题考查平行四边形的性质，菱形的性质，相似多边形的性质，根据题意，正确的画出图形，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键．分两种情况进行讨论进而根据相似多边形的性质进行求解即可． 【详解】解：如图，设． 根据题意，， ∴， ∵， ∴， ∵剩下的平行四边形与原来平行四边形相似， ∴对应边成比例， 分两种情况讨论： ①， ∴， 设，分子分母同时除以，得：， 解得：； ②， ， 设，则：， 解得：， 两个答案都满足， 综上：平行四边形的相邻两边与的比值是或． 故答案为：或． 16．1 【难度】0.4 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质、图象法确定一元二次方程的近似根、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】分别作出的图象，由图象知的最大值． 【详解】解：作出的图象， ， 如图，实线部分即的函数图象， ， 解得或 当时，， 所以的最大值为． 17． 【难度】0.4 【知识点】根据正方形的性质求面积、相似多边形的性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】先证明，然后得到点在上，同理，点在上，由对称可设 ，根据，求出，，则，再由正方形正方形求解即可． 【详解】解：如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 同理， 由对称可得，， ∴ ∴点在上， 同理，点在上， 由对称可设 ， ∵ ∴， ∵ ∴，， ∴， ∵正方形正方形， ∴， ∴． 18．(1) (2) ∵， ∴顶点， ∵图象的顶点在函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴． 【难度】0.65 【知识点】正比例函数的性质、y=a（x-h）²+k的图象和性质、待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查二次函数的综合应用．理解点在函数图象上的含义是求解本题的关键．（1）将和代入函数表达式，解方程组即可；（2）先得出函数顶点坐标，代入化简，即可得出结论． 【详解】（1）∵函数图象经过点和， ∴， 解得 ， ∴； （2）略 19．证明：∵， ∴，， ∴． 【难度】0.83 【知识点】利用两角对应相等判定相似 【详解】解：略 20．（1）；（2） 【难度】0.85 【知识点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式； （1）设抛物线解析式为，再把点代入其中，求出a的值，即可得到二次函数表达式； （2）设函数解析式为，把三点坐标分别代入，解方程组即可得到函数表达式． 【详解】解：（1）设抛物线解析式为， 把点代入中，得：， 得：， 即， 化为一般式为：； （2）设函数解析式为， 把、和代入中，得：， 解得：， 即． 21．(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； (2)26 【难度】0.65 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、等腰三角形的性质和判定、三角形的外角的定义及性质、线段垂直平分线的性质 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形外角的定义和性质、垂直平分线的性质等知识，熟练运用相似三角形的性质是解题关键． （1）证明，由相似三角形的性质即可获得答案； （2）过点作于点，交于点，结合，可设，，证明，由相似三角的性质可得，再证明，结合相似三角的性质即可获得答案． 【详解】（1）略 （2）解：如下图，过点作于点，交于点， ∵， ∴可设，， ∴， ∴， ∵，， ∴，即垂直平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 22．(1) 证明：， ， 在与中，， ， ， 又， ， 在与中，，是公共角， ， ， 即． (2) 解：延长交于点，如图所示： ， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ∵， ∴， 在与中，， ， ， 即． 【难度】0.65 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、相似三角形的判定与性质综合、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质，余角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法． （1）证明，得出，证明，得出，即可证明结论； （2）延长交于点，证明，得出，根据等腰三角形的性质得出，证明，得出，即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 23．(1)①；②点D的坐标为 (2) 【难度】0.4 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、待定系数法求二次函数解析式、已知两点坐标求两点距离、相似三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）①结合题意求出点，再利用待定系数法求解，即可解题； ②设点D的坐标为，根据建立方程求解，即可解题； （2）结合题意求出，进而得到的面积，延长交于N，利用抛物线的对称性和重心的性质得到，利用与相似，证明，利用相似三角形性质推出，，，进而得到，，得到，进而求出的面积，即可解题． 【详解】（1）解：①，且； ， 抛物线过点，， ， 解得， 抛物线的表达式为：； ②设点D的坐标为， ， ， 解得， 点D的坐标为； （2）解：，点O是线段的中点． 抛物线， ， 的面积为， 延长交于N， 直线交抛物线与E、F（点E在点F的左侧），交y轴与点M． ， 、的重心分别为、， ，， ， 与相似， ， ， ， 由抛物线对称性可知， ， ， ， ，，， 即，解得，， ， ， ． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，勾股定理，重心的性质，相似三角形性质和面积，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 24．(1) (2) ， 理由如下：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (3)4 【难度】0.4 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查的是正方形的性质、三角形全等的判定和性质、三角形相似的判定和性质、勾股定理的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、正方形的性质是解题的关键． （1）利用定理证明，根据全等三角形的性质解答； （2）先证明，得到，再证明，根据相似三角形的性质解答即可； （3）连接、，根据相似三角形的性质求出，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案． 【详解】（1）问题发现：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； （2）变式探究：略 （3）解决问题：如图3，连接、， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵Q是正方形的中心， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则 ， 在中，，即， 解得，（舍去），， ∴正方形的边长为：． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $