精品解析：海南海口市海南中学2026-2027学年第一学期高二年级9月测试数学试卷

高二数学 本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共19小题，共150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 第I卷（共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在平面直角坐标系中，直线的斜率为（ ） A. 0 B. 1 C. 90 D. 不存在 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定直线的特征确定其斜率情况. 【详解】直线过点且垂直于轴，所以直线的斜率不存在. 2. 圆心为，半径为5的圆的标准方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用圆的标准方程即可求的答案. 【详解】解：该圆圆心为，半径为5 所求圆的标准方程为 故选：B 3. 若点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由二元二次方程表示圆可得的范围，再结合点在圆的外部，即可得解. 【详解】将圆化成标准方程，可得， 由，解得. 因为点在圆的外部， 所以，解得. 综上可得. 4. 已知圆与圆，若圆C完全覆盖圆，，则圆C的半径的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】先判断圆与圆外切，依题意只需使所求圆的半径等于两圆半径之和即可. 【详解】依题意，圆的圆心，半径，圆的圆心，半径为， 则，故两圆外切， 因圆C覆盖圆，，所以圆半径的最小值为. 故选：A. 5. 一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面3米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】建立合适的直角坐标系，利用待定系数法求出圆的方程，当水面下降1米后，设水面所在直线与圆的交点为，将点的坐标代入圆的方程，求出的值，即可得到答案． 【详解】如图建立平面直角坐标系，则圆心在y轴上，设圆的半径为r， 则圆的方程为， ∵拱顶离水面3米，水面宽12米，∴圆过点， ∴，∴， ∴圆的方程为， 当水面下降1米后，可设水面的端点坐标为，则，∴， ∴当水面下降1米后，水面宽度为． 故选：C． 6. 已知直线：和圆：，圆上恰有三个点到直线的距离为1，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由直线和圆的位置关系知，与直线距离为1的两条平行线中一条与圆相交，一条与圆相切，从而得到圆心与直线之间的距离，进而得到的值. 【详解】因为圆：上恰有三个点到直线：的距离为1， 所以与直线距离为1的两条平行线中一条与圆相交，一条与圆相切， 又因为圆的半径为3，所以圆心到直线距离为2，即，解得. 故选：B. 7. 若过圆：内不同于圆心的点恰好可以作7条长度为正整数的弦，则所有符合条件的点P构成的区域的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆的性质分析过点的弦长情况，确定点的位置，最后计算符合条件的点构成的区域的面积. 【详解】圆方程可化为，圆心坐标，半径. 易知过点的弦中，直径是最长的弦，长度为. 不妨设过点所作的弦为，则，其中为圆心到弦的距离， 要使弦最短，则最大. 易知，当与弦垂直时取等号，所以当与弦垂直时，最大，弦最短. 根据圆的对称性，可知这7条长度为正整数的弦的长度分别是3,4,5,6,5,4,3， 要使长度为3的弦有两条，则最短弦的长不大于3；要使长度为2的弦不存在，则最短弦的长大于2， 因此过点的最短弦的长为内， 不妨设最短弦的长为，则时，， 则，所以. 所以点落在以为圆心，和分别为半径的圆所夹的圆环内， 所以该区域的面积为. 8. 已知点，若P，Q是直线：（）上的两点，且对任意， 恒成立，则线段 的长度的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过分析得到点M在以为直径的圆上或圆内，从而得到线段的范围. 【详解】由直线：化为，故直线恒过定点. 点到直线：距离. 对任意， 恒成立,等价于点M位于以线段为直径的圆上或圆内. 要使直线上存在这样P，Q点，则点M到直线的距离不大于以线段为直径的圆的半径，即， 所以.根据题意，该不等式对任意恒成立， 所以，而，故. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知表示圆，则下列结论正确的是（ ） A. k的取值范围为 B. 圆心坐标为 C. 当k时，半径 D. 当k时，圆面积为 【答案】AC 【解析】 【分析】写出圆的标准方程确定圆心和半径，再结合各项的描述判断正误. 【详解】将方程配方化为， 所以，故的取值范围为，A正确； 由圆的标准方程知圆心为，半径为，故B错误； 当时，半径为，C正确； 当时，半径为，圆面积为，D错误． 10. 圆与圆相交于，两点，下列说法正确的是（ ） A. 的直线方程为 B. 公共弦的长为 C. 圆与圆的公切线段长为1 D. 线段的中垂线方程为 【答案】ABC 【解析】 【分析】两圆方程相减可求出直线的方程，利用弦心距、弦和半径的关系可求公共弦的长，求出，再由可求得结果，线段的中垂线就是直线，求出直线的方程即可. 【详解】由，得，则，半径， 由，得，则，半径， 对于A，由于,故两圆相交，则公共弦所在的直线方程为， 即，所以A正确， 对于B，到直线的距离， 所以公共弦的长为，所以B正确， 对于C，因为，，， 所以圆与圆的公切线长为，所以C正确， 对于D，根据题意可知线段的中垂线就是直线，因为， 所以直线为，即，所以D错误， 故选：ABC. 11. 已知线段是圆的一条动弦，为弦的中点，，直线与直线相交于点，下列说法正确的是（ ） A. 弦的中点轨迹是圆 B. 直线的交点在定圆上 C. 线段的最小值为 D. 的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】设，由已知结合垂径定理求得的轨迹判断A；联立两直线方程消去判断B；由选项A、B及两圆的位置关系判断C；由数量积运算结合选项C求得数量积的最小值判断C． 【详解】对于选项A：设，因为，为弦的中点， 所以.而，半径为2， 则圆心到弦的距离为. 又圆心，所以， 即弦中点的轨迹是圆，故选项A正确； 对于选项B：由，消去可得， 得，即，故选项B正确； 对于选项C：由选项A知，点的轨迹方程为：， 又由选项B知，点的轨迹方程为：， 所以，，， 线段，故选项C不正确； 对于选项D：， 故，故， 由选项C知，， 所以，故选项D正确. 故选：ABD 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知为圆上一动点，则线段的中点B的轨迹方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设，根据中点公式得到，代入已知圆的方程即可得轨迹方程. 【详解】设，又线段的中点是B，， 所以，则， 所以，故线段的中点B的轨迹方程为. 13. 方程所表示的曲线的长度是________． 【答案】 【解析】 【分析】两边平方去掉根号与绝对值，识别图形为上下两个上半圆，算出单个半圆弧长再求和得到总曲线长度． 【详解】方程移项、平方可得， 当时，方程变为， 表示以为圆心，半径的上半圆，曲线长度： ； 当时，方程变为，表示以为圆心， 半径的下半圆，曲线长度： ； 故方程所表示的曲线的长度是． 14. 已知实数，，，满足，，，，则的最大值为________． 【答案】8 【解析】 【分析】将条件转化为单位圆上互相垂直的两点，通过三角换元设点坐标，去掉绝对值后把目标式化简为正弦型函数，进而求出最大值． 【详解】已知，，则是单位圆上两点， ，则， 设点，则， ， ， 令， 则 ， ，故， 故的最大值为8． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛为圆心，半径为的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西处，轮船航向为北偏西，若轮船沿直线航行，轮船是否会有触礁风险？说明理由． 【答案】没有，理由如下： 以小岛中心为原点，正东方向为轴的正方向，正北方向为轴的正方向建立平面直角坐标系， 由题意可知，轮船航线所在直线过点， 轮船航线所在直线的倾斜角为，斜率为， 所以，轮船航线所在直线方程为，即． 原点到轮船航线所在直线的距离为， 所以，轮船没有触礁风险． 【解析】 【详解】略 16. 已知直线经过点，且与直线垂直. （1）求直线的一般式方程； （2）已知圆与轴相切，直线被圆截得的弦长为4，圆心在直线上，求圆的标准方程. 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）依题意可设直线的方程为，然后将点的坐标代入可求出，从而可求得直线方程； （2）设圆的方程为，则，再根据弦长，圆心距和半径的关系列方程，和圆心在直线上所得到的方程，可求出，从而可求出圆的方程. 【小问1详解】 依题意可设直线的方程为， 将点的坐标代入，得， 所以直线的一般式方程为． 【小问2详解】 设圆的方程为， 因为圆与轴相切，所以， 圆心到的距离， 又圆心在直线上，所以， 所以，解得． 当时，，圆的标准方程为； 当时，，圆的标准方程为． 17. 已知实数满足 （1）求最大值和最小值； （2）求的最大值和最小值. 【答案】（1）最大值为，最小值为； （2）最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】（1）利用的几何意义：圆上一点与坐标原点连线的斜率，即可求出答案； （2）利用的几何意义：圆上一点到坐标原点距离的平方，即可求出答案； 【小问1详解】 原方程化为：，表示以为圆心，为半径的圆， 设，即， 当直线与圆相切时，斜率取得最大值与最小值， 此时有：，解得， 所以的最大值为，最小值为. 【小问2详解】 表示圆上一点到原点距离的平方， 易知在原点与圆心的连线与圆的两个交点出取得最大值与最小值， 又圆心到原点的距离为，半径为， 所以 18. 已知动点与两个定点，的距离的比为，记动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程，并说明其形状； （2）已知，过直线上的动点分别作曲线的两条切线，（，为切点），连接交于点，是否存在点，使的面积最大？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），以为圆心，半径为2的圆 （2）存在， 【解析】 【分析】（1）根据两点间的距离公式及圆的标准方程求解. （2）根据四点共圆及作差法求出公共弦的方程及恒过的点，结合三角形面积公式、点到直线的距离及圆的性质求解即可. 【小问1详解】 设，则，即， 所以， 整理得，即为以为圆心，半径为2的圆． 【小问2详解】 存在，，理由如下： 由题设，易知，，，四点共圆，即，在以为直径的圆上， 而，的中点坐标为，， 以为直径的圆为， 又，在上，即为两圆的公共弦， 两圆方程作差，得直线为， 显然该直线恒过定点． 由题设，易知在以为直径的圆（除去点）上，即以为圆心、半径为的圆（除去点）上，且轴， 则，且到直线的距离为， 故到直线的最大距离为， 所以，当与重合时，面积最大，此时． 19. 在平面直角坐标系中，定义为两点的“棋盘距离”（源自国际象棋中王的走法规则，又名“切比雪夫距离”）.直线. （1）已知圆C：，圆：的圆心分别为C，，且，判断圆C与圆的位置关系； （2）若直线与（1）问结论中的圆自上而下交于，两点，直线与轴、轴分别交于、两点；若（1）问结论中的圆与轴自上而下交于两点. ①设，，求的值； ②求证：直线､交点在定直线上. 【答案】（1）相交 （2）①； ②，，则直线，直线， 联立两直线方程消得：（**）， 由韦达定理有，即， 代入（**）可得，解得. 故直线交点在定直线上. 【解析】 【分析】（1）由棋盘距离的定义及的范围求出，再由圆与圆的位置关系的判断方法可得结果； （2）①联立直线和的方程，并得到韦达定理，再由和分别得到和，结合韦达定理并化简可得；②设出和的点斜式方程并联立消掉，结合韦达定理化简得到，即得证. 【小问1详解】 圆：转化为标准方程为：， ，，，或0， ，，，，，， ，，，与相交. 【小问2详解】 ①直线，，设，，由， 消去得：，由韦达定理，，， 由有， 同理由有，（*）， 将韦达定理代入（*），； ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共19小题，共150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 第I卷（共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在平面直角坐标系中，直线的斜率为（ ） A. 0 B. 1 C. 90 D. 不存在 2. 圆心为，半径为5的圆的标准方程是（ ） A. B. C. D. 3. 若点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆与圆，若圆C完全覆盖圆，，则圆C的半径的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面3米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 6. 已知直线：和圆：，圆上恰有三个点到直线的距离为1，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 7. 若过圆：内不同于圆心的点恰好可以作7条长度为正整数的弦，则所有符合条件的点P构成的区域的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，若P，Q是直线：（）上的两点，且对任意， 恒成立，则线段 的长度的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知表示圆，则下列结论正确的是（ ） A. k的取值范围为 B. 圆心坐标为 C. 当k时，半径 D. 当k时，圆面积为 10. 圆与圆相交于，两点，下列说法正确的是（ ） A. 的直线方程为 B. 公共弦的长为 C. 圆与圆的公切线段长为1 D. 线段的中垂线方程为 11. 已知线段是圆的一条动弦，为弦的中点，，直线与直线相交于点，下列说法正确的是（ ） A. 弦的中点轨迹是圆 B. 直线的交点在定圆上 C. 线段的最小值为 D. 的最大值为 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知为圆上一动点，则线段的中点B的轨迹方程为__________． 13. 方程所表示的曲线的长度是________． 14. 已知实数，，，满足，，，，则的最大值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛为圆心，半径为的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西处，轮船航向为北偏西，若轮船沿直线航行，轮船是否会有触礁风险？说明理由． 16. 已知直线经过点，且与直线垂直. （1）求直线的一般式方程； （2）已知圆与轴相切，直线被圆截得的弦长为4，圆心在直线上，求圆的标准方程. 17. 已知实数满足 （1）求最大值和最小值； （2）求的最大值和最小值. 18. 已知动点与两个定点，的距离的比为，记动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程，并说明其形状； （2）已知，过直线上的动点分别作曲线的两条切线，（，为切点），连接交于点，是否存在点，使的面积最大？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 19. 在平面直角坐标系中，定义为两点的“棋盘距离”（源自国际象棋中王的走法规则，又名“切比雪夫距离”）.直线. （1）已知圆C：，圆：的圆心分别为C，，且，判断圆C与圆的位置关系； （2）若直线与（1）问结论中的圆自上而下交于，两点，直线与轴、轴分别交于、两点；若（1）问结论中的圆与轴自上而下交于两点. ①设，，求的值； ②求证：直线､交点在定直线上. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $