精品解析：海南海口市海南中学2025-2026学年第二学期高二年级开学考试数学试题

高二年级数学开学测试 时间：90分钟 满分：130分 一、单项选择题：本大题共15小题，每小题5分，共75分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列试验是古典概型的是（ ） A. 在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点 B. 某小组有男生人，女生人，从中任选人做演讲 C. 某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环 D. 在适宜的条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽 2. 从500件产品中随机抽取20件进行抽样，利用随机数表法抽取样本时，先将这500件产品按001,002,003，…，500进行编号，如果从随机数表的第1行第6列开始，从左往右依次选取三个数字，则选出来的第4个个体编号为 1622 7794 3949 5443 5482 1737 9323 7887 3520 9643 8626 3491 6484 4217 5331 5724 5506 8877 0474 4767 A. 435 B. 482 C. 173 D. 237 3. 已知直线，，，若且，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 甲、乙两人独立地破译一份密码的概率分别为，密码被成功破译的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 抽查10件产品，设试验的样本空间为Ω，A＝“至多有1件次品”，B＝“至少有两件次品”，则（ ） A. A⊆B B. B⊆A C. A∩B≠∅ D. A∩B＝∅，且A∪B＝Ω 6. 当点在圆上运动时，连接它与定点，线段的中点的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法正确的是（ ） A. 某种福利彩票的中奖概率为，那么买1000张这种彩票一定能中奖. B. 随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率. C. 某医院治疗一种疾病的治愈率为，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈. D. 某市气象台预报“明天本市降水概率为”，指的是该市气象台专家中，有认为明天会降水，30%认为不降水. 8. 已知事件，互斥，，且，则（ ） A. B. C. D. 9. 在等差数列中，若，，则（ ） A. 10 B. 18 C. 26 D. 32 10. 四名同学各投掷质地均匀的骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断一定没有出现点数6的是（ ） A. 众数为3，极差为3 B. 平均数为2，中位数为2 C. 平均数为2，标准差为2 D. 中位数为3，众数为3 11. 已知函数的定义域为，且的图象是一条连续不断的曲线，的导函数为，若函数的图象如图所示，则（ ） A. 的单调递减区间是 B. 的单调递增区间是 C. 当时，有极值 D. 当时， 12. 抛物线光学几何性质：从焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出．如图，已知抛物线，一条光线经过点，与轴平行射到抛物线上，两次反射后从点射出，根据光路可逆原理，光线从点到点经过的总路程是（ ） A. 18 B. 19 C. 20 D. 21 13. 已知数列满足，设，则数列的前2026项和（ ） A. B. C. D. 14. 若方程在上有解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 15. 已知椭圆的左、右焦点分别为，若是上关于原点对称的两点，若成立，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共5小题，每小题6分，共30分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 16. 下列说法中正确的有（ ） A. 频率是反映事件发生的频繁程度，而概率反映事件发生的可能性的大小 B. 做次随机试验，事件发生次，则事件发生的频率就是事件发生的概率 C. 频率是不能脱离具体的试验次数的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值 D. 频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值 17. 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，甲是否击中对乙没有影响，设“甲中靶”，“乙中靶”，则（ ） A. 与与，与，与都相互独立 B. 与是对立事件 C. D. 18. 在一次数学考试中，某班成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 图中所有小长方形的面积之和等于1 B. 中位数的估计值介于100和105之间 C. 该班成绩众数的估计值为97.5 D. 该班成绩的极差一定等于40 19. 下列命题正确的是（ ） A. 若事件两两互斥．则成立 B. 若事件两两独立．则成立 C. 若事件相互独立．则与不一定相互㹨立 D. 若，则事件相互独立与互斥不能同时成立 20. 关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 是的极大值点 B. 函数有且只有1个零点 C. 存在正整数k，使得恒成立 D. 对任意两个正实数，且，若，则 三、填空题：共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置． 21. 设随机事件满足，则__________． 22. 如图，是根据某家长某月的通话明细清单，按每次通话时间长短画出的频率分布直方图，估计这组数据的第50百分位数为__________.（保留小数点后面一位） 23. 一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的个红球，个白球，若干个绿球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到绿球的频率稳定在，则袋中约有绿球_________个． 24. 为深入学习宣传党的二十大精神，某校开展了“奋进新征程，强国伴我行”二十大主题知识竞赛.其中高一年级选派了10名同学参赛，且该10名同学的成绩依次是：70，85，86，88，90，90，92，94，95，100.则下列说法正确的序号为_______.（写出全部正确的序号）①中位数为90，平均数为89；②极差为30，方差为58.③70百分位数为92；④去掉一个最低分和一个最高分，平均数变大，方差变小 25. 已知函数，若仅存在一个正整数，使得，则实数的取值范围为___________. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级数学开学测试 时间：90分钟 满分：130分 一、单项选择题：本大题共15小题，每小题5分，共75分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列试验是古典概型的是（ ） A. 在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点 B. 某小组有男生人，女生人，从中任选人做演讲 C. 某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环 D. 在适宜的条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽 【答案】B 【解析】 【详解】对于A，横坐标和纵坐标都是整数的点有无限多个，不满足有限样本空间特征，A错误； 对于B，人数有限，且任选人与性别无关，是等可能的，B正确； 对于C，命中环，环，环……环的概率不相同，不满足等可能性特征，C错误； 对于D，“发芽”与“不发芽”的概率不一定相等，不满足等可能性特征，D错误． 2. 从500件产品中随机抽取20件进行抽样，利用随机数表法抽取样本时，先将这500件产品按001,002,003，…，500进行编号，如果从随机数表的第1行第6列开始，从左往右依次选取三个数字，则选出来的第4个个体编号为 1622 7794 3949 5443 5482 1737 9323 7887 3520 9643 8626 3491 6484 4217 5331 5724 5506 8877 0474 4767 A. 435 B. 482 C. 173 D. 237 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：根据读取规则，依次得到的样本编号为，，，，则选出来的第个个体编号为，选C． 考点：随机抽样. 3. 已知直线，，，若且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由两直线平行和垂直求解. 【详解】因为直线，，且， 所以2n=，解得，经检验成立， 因为直线，，且， 所以，解得， 所以， 故选：C 4. 甲、乙两人独立地破译一份密码的概率分别为，密码被成功破译的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由相互独立事件概率的乘法公式可得密码没有被破译的概率，进而由对立事件的概率公式可得答案． 【详解】因为甲、乙两人独立地破译一份密码的概率分别为， 所以甲乙都没有成功破译密码的概率， 所以密码被成功破译的概率为. 故选：A 5. 抽查10件产品，设试验的样本空间为Ω，A＝“至多有1件次品”，B＝“至少有两件次品”，则（ ） A. A⊆B B. B⊆A C. A∩B≠∅ D. A∩B＝∅，且A∪B＝Ω 【答案】D 【解析】 【分析】分析事件A、B包含的基本事件，判断二者的关系. 【详解】A＝“至多有1件次品”，包含：0件次品和1件次品； B＝“至少有两件次品”包含：2件次品、3件次品、4件次品、5件次品、6件次品、7件次品、8件次品、9件次品和10件次品、 故A∩B＝∅，且A∪B＝Ω. 故选：D 【点睛】判断两个事件是否互斥（对立）： ①定义法；②直接法：利用生活常识直接判断；③集合法：把事件A、B对应的基本事件用集合表示，根据两个集合的交集为空集，可判断A、B互斥；若两个集合的交集为空集，同时二者的并集为全集，则A、B为对立事件. 6. 当点在圆上运动时，连接它与定点，线段的中点的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设出的坐标，根据中点坐标关系用的坐标表示出的坐标，结合在圆上得到的坐标所满足的关系式，即为的轨迹方程. 【详解】设，因为的中点为， 所以，所以， 又因为在圆上，所以， 所以的轨迹方程即为， 故选：C. 7. 下列说法正确的是（ ） A. 某种福利彩票的中奖概率为，那么买1000张这种彩票一定能中奖. B. 随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率. C. 某医院治疗一种疾病的治愈率为，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈. D. 某市气象台预报“明天本市降水概率为”，指的是该市气象台专家中，有认为明天会降水，30%认为不降水. 【答案】B 【解析】 【分析】由概率、频率的概念逐个判断即可. 【详解】对于A，中奖概率为是指买一次彩票，可能中奖的概率为， 不是指1000张这种彩票一定能中奖，故A错误； 对于B，试验次数越多，频率就会稳定在概率的附近，故B正确； 对于C，某医院治疗一种疾病的治愈率为，是指一位病人被治愈的概率为， 不是说每10名患者就一定有一人被治愈，故C错误. 对于D，“明天本市降水概率为”指下雨的可能性为0.7，故D错. 故选：B 8. 已知事件，互斥，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用互斥事件的加法公式，结合已知及对立事件的概率公式求解. 【详解】由事件，互斥，，得，而， 联立解得，故. 故选：B 9. 在等差数列中，若，，则（ ） A. 10 B. 18 C. 26 D. 32 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列片段和的性质求解. 【详解】因为数列为等差数列，所以等差数列的片段和： ，，，仍为等差数列. 又，， 所以， . 故选：D 10. 四名同学各投掷质地均匀的骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断一定没有出现点数6的是（ ） A. 众数为3，极差为3 B. 平均数为2，中位数为2 C. 平均数为2，标准差为2 D. 中位数为3，众数为3 【答案】B 【解析】 【分析】根据各项的数据特征分析投掷5次对应数据是否可能出现点数6即可. 【详解】A：若众数为数据中的最小值，结合极差为3，则数据中最大值为6，故可能出现点数6； B：由平均数为2，则所有数据之和为，又中位数为2，将数据从小到大排列，则前3个数据之和最小的情况为，故后2个数据之和最大为，所以不可能出现数据6； C：若出现点数6，平均数为2，满足条件的情况有，则方差为，即标准差为2，故可能出现点数6； D：如满足中位数为3，众数为3，故可能出现点数6； 故选：B 11. 已知函数的定义域为，且的图象是一条连续不断的曲线，的导函数为，若函数的图象如图所示，则（ ） A. 的单调递减区间是 B. 的单调递增区间是 C. 当时，有极值 D. 当时， 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数图象解不等式可得的单调性，即可判断A正确，B错误，再根据极值定义可得C错误，根据不等式结果可得D错误. 【详解】根据图象可知当时，，可得； 当时，，可得； 结合的图象是一条连续不断的曲线，可知时，单调递减； 当时，，仅当时取等号，可得， 对于AB，时，单调递减，当时，，此时单调递增， 因此的单调递减区间是的单调递增区间是，即A正确，B错误； 对于C，易知当时，，当时，， 即在处左右函数的单调性不改变，因此C错误； 对于D，因为时，，由，可得， 因此，即D错误. 故选：A. 12. 抛物线光学几何性质：从焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出．如图，已知抛物线，一条光线经过点，与轴平行射到抛物线上，两次反射后从点射出，根据光路可逆原理，光线从点到点经过的总路程是（ ） A. 18 B. 19 C. 20 D. 21 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线方程，结合抛物线的定义求解即可. 【详解】由抛物线的方程可得，焦点， 由抛物线的性质可知经过焦点, 设，两点的横坐标分别为，，如图， 则 . 故选：C. 13. 已知数列满足，设，则数列的前2026项和（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先应用已知等式作差计算得出，再应用裂项相消法计算求解. 【详解】因为①， 当时， ②， 由①-②得到，得到， 又时，，满足， 所以，则， 所以 ， 则数列的前2026项和为. 故选：C. 14. 若方程在上有解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将方程整理成，利用同构思想，设，求导判断其单调性，推得，设，判断其单调性确定其最小值，即得参数的范围. 【详解】由得，即， 即. 设，则， 因为，所以在上单调递增，所以，即， 设，则， 当时，，则在上单调递减，当时，，则在上单调递增， 所以，所以. 故选：C. 15. 已知椭圆的左、右焦点分别为，若是上关于原点对称的两点，若成立，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，根据得出，与联立得出即可求出. 【详解】由题意可知，， 设，则，， 因为，所以 ，则， 联立，得， 则，即，则解得， 故椭圆离心率的取值范围是. 故选：D 二、多项选择题：本大题共5小题，每小题6分，共30分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 16. 下列说法中正确的有（ ） A. 频率是反映事件发生的频繁程度，而概率反映事件发生的可能性的大小 B. 做次随机试验，事件发生次，则事件发生的频率就是事件发生的概率 C. 频率是不能脱离具体的试验次数的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值 D. 频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据频率和概率的关系逐项分析即可. 【详解】由频率和概率的关系知ACD正确, 当试验次数足够大，频率才能够当作概率，故B错误, 故选:ACD. 17. 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，甲是否击中对乙没有影响，设“甲中靶”，“乙中靶”，则（ ） A. 与与，与，与都相互独立 B. 与是对立事件 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据独立事件和对立事件的定义及相关概率公式，可判断选项A和B；根据独立事件概率乘法公式可知C正确；根据对立事件概率公式可求得D正确. 【详解】因为两人射击结果没有相互影响，所以与与，与，与都相互独立，故A正确； 因为表示事件“甲中靶且乙未中靶”，表示事件“乙中靶且甲中靶”，所以这两个事件的并集并非全集， 因此二者不是对立事件，故B错误； 因为与相互独立，所以，故C正确； ，故D正确； 故选：ACD. 18. 在一次数学考试中，某班成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 图中所有小长方形的面积之和等于1 B. 中位数的估计值介于100和105之间 C. 该班成绩众数的估计值为97.5 D. 该班成绩的极差一定等于40 【答案】ABC 【解析】 【分析】由频率分布直方图的性质可知A正确；由中位数定义以及图中频率计算可知B正确；由众数定义可得图中最高的区间即代表众数即可估计为97.5，即C正确；由于成绩高分和最低分不一定分别为，因此极差不一定为40，即D错误. 【详解】对于A，由频率分布直方图的性质可知，图中所有小长方形的面积之和等于1，即A正确； 对于B，易知组距为，前两组成绩所占的频率为， 前三组成绩所占的频率为，由中位数定义可得其估计值介于100和105之间，即B正确； 对于C，由图可知频率最高的成绩区间，取中间值为代表可知班成绩众数的估计值为97.5，即C正确； 对于D，由图可知成绩最高区间为，最低区间为，但最高分和最低分不一定分别为，所以其成绩极差不一定为40，即D错误； 故选：ABC 19. 下列命题正确的是（ ） A. 若事件两两互斥．则成立 B. 若事件两两独立．则成立 C. 若事件相互独立．则与不一定相互㹨立 D. 若，则事件相互独立与互斥不能同时成立 【答案】AD 【解析】 【分析】利用互斥事件的概率公式可判断选项A，举反例判断选项B，利用事件相互独立的判定公式判断选项C，利用事件的独立性质和互斥判断选项D即可. 【详解】对于A选项，若事件两两互斥，则与互斥， 所以，，因此A正确； 对于B，考虑投掷两个骰子，记事件：第一个骰子的点数为奇数， 事件：第二个骰子点数为奇数，事件：两个骰子的点数之和为奇数， 于是有，， ，可以看出事件两两独立，但不互相独立， 所以，因此B错误； 对于C，若事件相互独立，则， 又，， 则 ，因此C错误； 对于D，若，事件相互独立， 则， 若互斥，则，因此D正确. 故选：AD. 20. 关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 是的极大值点 B. 函数有且只有1个零点 C. 存在正整数k，使得恒成立 D. 对任意两个正实数，且，若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】分析导函数可作判断A；考查函数的单调性可作判断B；分离参数，再分析函数最值情况而作出判断C；构造函数讨论其单调性，确定即可判断D. 【详解】对于A，定义域为，， 时,时，是的极小值点，A错误； 对于B，令， 在上递减，，有唯一零点，B正确； 对于C，令， 令，时,时,， 在上递减，在上递增，则， ，在上递减，图象恒在x轴上方， 与x轴无限接近，不存在正实数k使得恒成立，C错误； 对于D，由A选项知，在上递减，在上递增， 由正实数，且，，得， 当时，令， ，即在上递减， 于是有，从而有， 又 ，所以，即成立，D正确. 故选：BD 三、填空题：共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置． 21. 设随机事件满足，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据随机事件概率的加法公式直接计算即可. 【详解】由题意得． 故答案为： 22. 如图，是根据某家长某月的通话明细清单，按每次通话时间长短画出的频率分布直方图，估计这组数据的第50百分位数为__________.（保留小数点后面一位） 【答案】 【解析】 【分析】先根据频率之和等于求出，再根据百分位数的定义求解即可. 【详解】由题意， 解得， 因为， 所以第50百分位数在区间内，设为， 则，解得， 所以第50百分位数为. 故答案为：. 23. 一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的个红球，个白球，若干个绿球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到绿球的频率稳定在，则袋中约有绿球_________个． 【答案】 【解析】 【分析】用频率估计概率，根据绿球个数除以总个数即可. 【详解】因为通过大量重复的摸球实验后，发现摸到绿球的频率稳定在，所以摸到绿球的概率为， 设不透明的袋中有个绿球，因为袋中有个红球，个白球， 所以，解得：， 故答案为：8. 24. 为深入学习宣传党的二十大精神，某校开展了“奋进新征程，强国伴我行”二十大主题知识竞赛.其中高一年级选派了10名同学参赛，且该10名同学的成绩依次是：70，85，86，88，90，90，92，94，95，100.则下列说法正确的序号为_______.（写出全部正确的序号）①中位数为90，平均数为89；②极差为30，方差为58.③70百分位数为92；④去掉一个最低分和一个最高分，平均数变大，方差变小 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据题意，通过中位数、平均数、极差、方差、百分位数的计算，逐项判断即可. 【详解】对于①,10个分数从小到大进行排列后， 第5个和第6个数的平均值为， 即中位数为90， 这10个数的平均值为 ， 故①正确； 对于②，这10个数的极差为， 方差为 故②正确； 对于③，由于， 所以70百分位数是第7个数和第8个数的平均数，即， 故③错误； 对于④，去掉一个最低分和一个最高分的平均数为 ，平均数变大， 方差为 ，方差变小，故④正确， 故答案为：①②④. 25. 已知函数，若仅存在一个正整数，使得，则实数的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】对函数求导，分析函数的单调性，结合仅存在一个正整数，使进行分析求得参数范围即可. 【详解】已知，， 当或时，，单调递减； 当时，，单调递增. 因此在时，在递减，递增，最小值为. 因为仅存在一个正整数，使，则这个正整数只能是， 因此需满足，代入得 解得. 故答案为： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $