3.2函数的基本性质（第三课时　函数的奇偶性） 学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦函数奇偶性，引导学生掌握奇偶性定义、判断方法及图象特征。课前预习通过填空梳理定义要点，课堂探究从具体函数图象与表格入手生成偶函数概念，再类比迁移形成奇函数认知，搭建从具体到抽象的学习支架。 资料特色在于以探究活动为主线，通过画图、填表、符号语言转化培养学生数学眼光（几何直观）、数学思维（抽象与推理）和数学语言（符号表达）。当堂检测与易错提醒强化定义域优先等关键，助力学生构建严谨认知，提升自主学习与问题解决能力。

3.2　函数的基本性质 第三课时　函数的奇偶性　·　学案 班级：＿＿＿＿＿　　姓名：＿＿＿＿＿　　学号：＿＿＿＿＿ 一、课前预习（阅读教材第 82—85 页，完成填空） 1．设函数 f(x) 的定义域为 D，如果 ∀xD，都有＿＿＿D，且 f(－x)＝＿＿＿＿，那么函数 f(x) 就叫做偶函数。 2．设函数 f(x) 的定义域为 D，如果 ∀xD，都有＿＿＿D，且 f(－x)＝＿＿＿＿，那么函数 f(x) 就叫做奇函数。 3．奇函数的图象是以＿＿＿＿为中心的中心对称图形；偶函数的图象是以＿＿＿＿为对称轴的轴对称图形。 4．判断函数奇偶性的第一步是求＿＿＿＿，并检查它是否关于＿＿＿＿对称。如果不对称，结论是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 5．奇偶性是函数在它的＿＿＿＿上的整体性质，所以不能说"f(x) 在某个区间上是偶函数"。 6．若奇函数 f(x) 在 x＝0 处有定义，则 f(0)＝＿＿＿（在 f(－x)＝－f(x) 中令 x＝0 即得）。 二、课堂探究 探究一　偶函数概念的生成 （1）画出 f(x)＝x² 与 g(x)＝2－｜x｜ 的图象，它们的共同特征是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 （2）填表： x －3 －2 －1 0 1 2 3 f(x)＝x² ＿＿ ＿＿ ＿＿ ＿ ＿ ＿ ＿ g(x)＝2－｜x｜ ＿＿ ＿＿ ＿＿ ＿ ＿ ＿ ＿ （3）观察表格：自变量取一对＿＿＿＿＿时，相应的两个函数值＿＿＿＿。 （4）用符号语言写出来：∀xR，都有 f(－x)＝(－x)²＝＿＿＿＝f(x)。 （5）定义：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 探究二　为什么要有"－x∈D"这一条 考察 f(x)＝x²，x[－1，3]。 （1）f(3)＝＿＿＿；f(－3) 有意义吗？（　　）为什么？＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ （2）所以它是偶函数吗？（　　）正确的结论是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ （3）我的一句话总结：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 探究三　奇函数概念的类比生成 （1）f(x)＝x 与 g(x)＝ 的图象的共同特征是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 （2）填表： 　x　　　　　　…　－3　－2　－1　1　2　3　… 　f(x)＝x　　　…　＿＿　＿＿　＿＿　＿　＿　＿　… （3）自变量取一对相反数时，函数值＿＿＿＿＿＿＿＿。 （4）定义：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 探究四　例 6　判断下列函数的奇偶性（按四步写） （1）f(x)＝x⁴ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ （2）f(x)＝x⁵ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ （3）f(x)＝x＋ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ （4）f(x)＝ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 探究五　两个反例与图象特征 （1）f(x)＝ 是＿＿函数，它的图象过原点吗？（　　）原因：＿＿＿＿＿＿＿＿ （2）f(x)＝ 是＿＿函数，它的图象与 y 轴相交吗？（　　） （3）所以正确的说法是：奇函数若在＿＿＿＿处有定义，才有 f(0)＝0。 （4）判断 f(x)＝x³＋x 的奇偶性：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　　能否由 y 轴右边的图象画出左边的？办法是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ★探究六　拔高（优生班课上完成，普通班选做） 已知 f(x) 是奇函数，g(x) 是偶函数，且 f(x)＋g(x)＝，求 f(x) 与 g(x)。 提示：以 －x 代替 x，再联立。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 三、当堂检测（限时 5 分钟） 1．下列函数中为偶函数的是（　　） 　A．y＝　　B．y＝x　　C．y＝x²＋1　　D．y＝ 2．函数 y＝f(x)，x[－1，a] 是奇函数，则 a 等于（　　） 　A．0　　B．1　　C．2　　D．无法确定 3．下列叙述正确的是（　　） 　A．偶函数的图象一定与 y 轴相交 　B．奇函数的图象一定通过原点 　C．若函数 f(x) 是奇函数，则恒有 f(0)＝0 　D．若函数 f(x) 为偶函数，则有 f(x)＝f(－x)＝f(｜x｜) 4．判断 f(x)＝x²（x(－1，2]）的奇偶性，并说明理由。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 四、课堂小结（自我梳理） 1．偶函数：f(－x)＝＿＿＿＿，图象关于＿＿＿＿对称。 2．奇函数：f(－x)＝＿＿＿＿，图象关于＿＿＿＿对称。 3．判断四步：＿＿＿→＿＿＿→＿＿＿→＿＿＿。 4．第一道关是＿＿＿＿是否关于原点对称，不对称就判＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 5．两个必须记住的反例：＿＿＿＿（奇、不过原点）、＿＿＿＿（偶、不交 y 轴）。 五、参考答案与解析 课前预习 1．－x、f(x)；2．－x、－f(x)；3．原点、y 轴；4．定义域、原点、既不是奇函数也不是偶函数；5．定义域；6．0。 探究一 （1）图象都关于 y 轴对称。 （2）f(x)：9、4、1、0、1、4、9；g(x)：－1、0、1、2、1、0、－1。 （3）相反数；相等。（4）x²。 （5）设函数 f(x) 的定义域为 D，如果 ∀xD，都有 －xD，且 f(－x)＝f(x)，那么 f(x) 叫做偶函数。 探究二 （1）f(3)＝9；f(－3) 没有意义，因为 －3 不在定义域 [－1，3] 内。 （2）不是。正确的结论是：它既不是奇函数，也不是偶函数。 （3）判断奇偶性先看定义域，定义域不关于原点对称的，直接判非奇非偶，式子不用算。 探究三 （1）图象都关于原点成中心对称图形。 （2）f(x)＝x：－3、－2、－1、1、2、3。 （3）也是一对相反数，即 f(－x)＝－f(x)。 （4）设函数 f(x) 的定义域为 D，如果 ∀xD，都有 －xD，且 f(－x)＝－f(x)，那么 f(x) 叫做奇函数。 探究四 （1）f(x)＝x⁴ 的定义域为 R。因为 ∀xR，都有 －xR，且 f(－x)＝(－x)⁴＝x⁴＝f(x)，所以 f(x)＝x⁴ 为偶函数。 （2）f(x)＝x⁵ 的定义域为 R。因为 ∀xR，都有 －xR，且 f(－x)＝(－x)⁵＝－x⁵＝－f(x)，所以 f(x)＝x⁵ 为奇函数。 （3）f(x)＝x＋ 的定义域为 {x｜x0}。因为 ∀x{x｜x0}，都有 －x{x｜x0}，且 　　f(－x)＝－x＋＝－(x＋)＝－f(x)，所以 f(x) 为奇函数。 （4）f(x)＝ 的定义域为 {x｜x0}。因为 ∀x{x｜x0}，都有 －x{x｜x0}，且 f(－x)＝＝＝f(x)，所以 f(x) 为偶函数。 （提醒：提负号时括号要打全，－x＋ 不能写成 －x＋。） 探究五 （1）奇；不过原点，因为 x＝0 不在定义域内。 （2）偶；不相交。 （3）x＝0。 （4）定义域为 R，f(－x)＝(－x)³＋(－x)＝－(x³＋x)＝－f(x)，是奇函数。 　　办法：取右边图象上的点 (a，b)，画出它关于原点的对称点 (－a，－b)，多取几个点再连成曲线。 ★探究六 在 f(x)＋g(x)＝ 中以 －x 代替 x，得 f(－x)＋g(－x)＝， 即 －f(x)＋g(x)＝－。 两式相加：2g(x)＝－＝，所以 g(x)＝； 两式相减：2f(x)＝＋＝，所以 f(x)＝。 当堂检测 1．C。A 的定义域为 [0，＋∞)，不关于原点对称，非奇非偶；B 是奇函数；C 的定义域为 R，f(－x)＝x²＋1＝f(x)，是偶函数；D 是奇函数。 2．B。奇函数的定义域必须关于原点对称，所以 －1 与 a 互为相反数，－1＋a＝0，a＝1。 3．D。A 错， 是偶函数但图象与 y 轴不相交；B 错， 是奇函数但不过原点；C 错，少了"0 在定义域内"这个前提；D 对，偶函数的函数值只与 ｜x｜ 有关。 4．定义域 (－1，2] 不关于原点对称（2 在其中，而 －2 不在），所以 f(x) 既不是奇函数，也不是偶函数。 课堂小结 1．f(x)、y 轴；2．－f(x)、原点；3．求定义域→求 f(－x)→与 f(x) 和 －f(x) 比较→写结论；4．定义域、既不是奇函数也不是偶函数；5．、。 易错提醒 1．判断奇偶性一定先写定义域，缺这一句解答题要扣分。 2．定义域不关于原点对称就判非奇非偶，式子不用算。 3．奇函数的图象不一定过原点，偶函数的图象不一定与 y 轴相交。 4．(－x) 的奇次幂变号、偶次幂不变号；提负号时括号要打全。 5．奇偶性是整体性质，结论里不写区间。 学科网（北京）股份有限公司 $