18.4 《整数指数幂》 分层作业 2026--2027学年人教版八年级数学上册

人教版八年级上册 第18章 分式 4.整数指数幂 本节知识点总结 1. 负整数指数幂：当n是正整数时，a−n = （a≠0）。 2. 零指数幂：a0 = 1（a≠0）。 3. 整数指数幂的运算性质（推广到全体整数）： （1）am · an = am+n（m，n是整数）； （2）(am)n = amn（m，n是整数）； （3）(ab)n = anbn（n是整数）。 4. 科学记数法（小于1的正数）：小于1的正数可以用科学记数法表示为a×10−n的形式，其中1≤a<10，n是正整数。 分层作业 📅 一、基础过关题 题型一：负整数指数幂的概念 【考查要点】理解负整数指数幂的概念，会把负整数指数幂转化为分式。 【解题方法】根据a−n = （a≠0）进行转化。 1. 3−2 的值是（ ） A. 9 B. -9 C. D. - 2. 计算：(-2)−3 = ______。 3. 若 (x-2)−2 有意义，则x的取值范围是（ ） A. x>2 B. x≠2 C. x<2 D. 全体实数 题型二：零指数幂 【考查要点】理解零指数幂的概念，a0 = 1（a≠0）。 【解题方法】任何非零数的0次幂都等于1。 4. (-3)0 的值是（ ） A. -3 B. 3 C. 1 D. -1 5. 计算：π0 + (-2)−2 = ______。 6. 若 (x+1)0 = 1，则x的取值范围是（ ） A. x≠0 B. x≠-1 C. x≠1 D. 全体实数 题型三：同底数幂的乘除运算（整数指数） 【考查要点】掌握同底数幂的乘除运算法则，指数推广到全体整数。 【解题方法】am · an = am+n，am ÷ an = am−n（m，n是整数）。 7. 计算 a−2 · a5 的结果是（ ） A. a−10 B. a3 C. a−3 D. a7 8. 计算 a−2 ÷ a5 = ______。 9. 计算 x2 · x−3 · x−1 = ______。 题型四：幂的乘方与积的乘方（整数指数） 【考查要点】掌握幂的乘方和积的乘方法则，指数推广到全体整数。 【解题方法】(am)n = amn，(ab)n = anbn（m，n是整数）。 10. 计算 (a−2)3 的结果是（ ） A. a−5 B. a6 C. a−6 D. a−1 11. 计算 (2ab−3)−2 = ______。 12. 计算 ()−2 = ______。 题型五：整数指数幂的混合运算 【考查要点】综合运用整数指数幂的运算性质进行计算。 【解题方法】先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号里面的。 13. 计算 a−2 · b2 · (a2b−2)−3 的结果是（ ） A. B. C. D. 14. 计算 x2y−3 · (x−1y)3 = ______。 15. 计算 (2ab2 c−3)−2 ÷ (a−2b)3 = _____。 题型六：科学记数法表示小于1的正数 【考查要点】掌握用科学记数法表示小于1的正数。 【解题方法】小于1的正数表示为a×10−n，其中1≤a<10，n是正整数。 16. 用科学记数法表示0.0000314，正确的是（ ） A. 3.14×10−4 B. 3.14×10−5 C. 31.4×10−6 D. 0.314×10−4 17. 用科学记数法表示：0.000000025 = ______。 18. 下列用科学记数法表示的数，原数是什么？3.14×10−4 = ______。 题型七：科学记数法的实际应用 【考查要点】能运用科学记数法解决实际问题，如纳米、微米等单位换算。 【解题方法】先统一单位，再进行计算。 19. 1 nm（纳米）等于（ ） A. 10−6 m B. 10−9 m C. 10−3 m D. 10−12 m 20. 一根头发丝的直径约为70 μm（微米），相当于（ ） A. 7×10−5 m B. 7×10−6 m C. 7×10−7 m D. 7×10−4 m 21. 计算：(2×10−6) × (3.2×103) = ______。 二、进阶思维题 （一）选择题 1. 下列计算正确的是（ ） A. a2 · a−3 = a−6 B. (a−2)−3 = a6 C. (2ab−1)2 = 2a2b−2 D. a6 ÷ a−2 = a3 2. 计算 (-2)0 + (-1)3 - 3−1 的结果是（ ） A. B. - C. D. - 3. 若 (x-2)0 + (x-3)−2 有意义，则x的取值范围是（ ） A. x>2 B. x≠2且x≠3 C. x≠3 D. x≠2 4. 下列各数中，最大的数是（ ） A. 3.14×10−5 B. 3.14×10−6 C. 3.14×10−4 D. 3.14×10−7 5. 计算 (2a2 b−3)−2 的结果是（ ） A. B. C. D. 6. 已知 am = 2，an = 3，则 a3m−2n 的值是（ ） A. B. C. D. （二）填空题 7. 计算：(-1)0 + (-2)−2 = ______。 8. 用科学记数法表示：0.00000000012 = ______。 9. 计算：3−2 × 9 = ______。 10. 若(x-1)x+2 = 1，则x = ______。 11. 计算：(2×10−6)2 ÷ (10−4)3 = ______。 （三）解答题 12. 计算：π0 + (-2)−2 - (-)−3。 13. 计算：3a−2b · 2ab−2。 14. 计算：(-3ab−1)3。 15. 一滴水的质量约为0.05 g，一滴水的质量用科学记数法表示为多少千克？ 三、中考链接题 1. （2025·北京）计算 (-3)0 的结果是（ ） A. -3 B. 3 C. 1 D. -1 2. （2025·上海）下列运算正确的是（ ） A. a2 · a−3 = a−6 B. (a−2)−3 = a6 C. a6 ÷ a−2 = a3 D. (ab)−2 = ab−2 3. （2025·广州）用科学记数法表示0.0000025，正确的是（ ） A. 2.5×10−5 B. 2.5×10−6 C. 2.5×10−7 D. 25×10−6 4. （2025·深圳）计算 2−1 + (-2)0 = ______。 5. （2025·杭州）计算 a−3 · a5 ÷ a2 = ______。 6. （2025·南京）纳米是长度单位，1 nm = 10−9 m。已知某种植物花粉的直径约为3500 nm，用科学记数法表示为（ ） A. 3.5×10−6 m B. 3.5×10−5 m C. 3.5×10−4 m D. 3.5×10−3 m 7. （2025·成都）计算 (a−1 b2)3 · (a−2 b)−2 = ______。 8. （2025·武汉）若 (x-2)0 + (x-3)−1 有意义，则x的取值范围是______。 9. （2025·重庆）计算：(-2)−2 - (-)−2 + (π-3)0。 10. （2025·天津）已知 am = 2，an = 3，求 a2m+n 的值。 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版八年级上册 第18章 分式 4.整数指数幂 本节知识点总结 1. 负整数指数幂：当n是正整数时，a−n = （a≠0）。 2. 零指数幂：a0 = 1（a≠0）。 3. 整数指数幂的运算性质（推广到全体整数）： （1）am · an = am+n（m，n是整数）； （2）(am)n = amn（m，n是整数）； （3）(ab)n = anbn（n是整数）。 4. 科学记数法（小于1的正数）：小于1的正数可以用科学记数法表示为a×10−n的形式，其中1≤a<10，n是正整数。 分层作业 📅 一、基础过关题 题型一：负整数指数幂的概念 【考查要点】理解负整数指数幂的概念，会把负整数指数幂转化为分式。 【解题方法】根据a−n = （a≠0）进行转化。 1. 3−2 的值是（ ） A. 9 B. -9 C. D. - 【答案】C 【解析】根据负整数指数幂的定义，a−n = 。 【解答】3−2 = = 。 故选C。 2. 计算：(-2)−3 = __-____。 【答案】- 【解析】注意负号和负指数。 【解答】(-2)−3 = = = -。 3. 若 (x-2)−2 有意义，则x的取值范围是（ ） A. x>2 B. x≠2 C. x<2 D. 全体实数 【答案】B 【解析】负整数指数幂的底数不能为0。 【解答】由x-2≠0，得x≠2。 故选B。 题型二：零指数幂 【考查要点】理解零指数幂的概念，a0 = 1（a≠0）。 【解题方法】任何非零数的0次幂都等于1。 4. (-3)0 的值是（ ） A. -3 B. 3 C. 1 D. -1 【答案】C 【解析】任何非零数的0次幂都等于1。 【解答】(-3)0 = 1。 故选C。 5. 计算：π0 + (-2)−2 = ______。 【答案】 【解析】分别计算零指数幂和负整数指数幂，再相加。 【解答】原式 = 1 + = 1 + = 。 6. 若 (x+1)0 = 1，则x的取值范围是（ ） A. x≠0 B. x≠-1 C. x≠1 D. 全体实数 【答案】B 【解析】零指数幂的底数不能为0。 【解答】由x+1≠0，得x≠-1。 故选B。 题型三：同底数幂的乘除运算（整数指数） 【考查要点】掌握同底数幂的乘除运算法则，指数推广到全体整数。 【解题方法】am · an = am+n，am ÷ an = am−n（m，n是整数）。 7. 计算 a−2 · a5 的结果是（ ） A. a−10 B. a3 C. a−3 D. a7 【答案】B 【解析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 【解答】原式 = a−2+5 = a3。 故选B。 8. 计算 a−2 ÷ a5 = ______。 【答案】 【解析】同底数幂相除，底数不变，指数相减。 【解答】原式 = a−2−5 = a−7 = 。 9. 计算 x2 · x−3 · x−1 = ______。 【答案】 【解析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 【解答】原式 = x2+(−3)+(−1) = x−2 = 。 题型四：幂的乘方与积的乘方（整数指数） 【考查要点】掌握幂的乘方和积的乘方法则，指数推广到全体整数。 【解题方法】(am)n = amn，(ab)n = anbn（m，n是整数）。 10. 计算 (a−2)3 的结果是（ ） A. a−5 B. a6 C. a−6 D. a−1 【答案】C 【解析】幂的乘方，底数不变，指数相乘。 【解答】原式 = a−2×3 = a−6。 故选C。 11. 计算 (2ab−3)−2 = ___ ___。 【答案】 【解析】积的乘方，等于各因式乘方的积。 【解答】原式 = 2−2 · a−2 · b6 = 。 12. 计算 ()−2 = ______。 【答案】 【解析】商的乘方，等于分子分母分别乘方。 【解答】原式 = = 。 题型五：整数指数幂的混合运算 【考查要点】综合运用整数指数幂的运算性质进行计算。 【解题方法】先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号里面的。 13. 计算 a−2 · b2 · (a2b−2)−3 的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】先算乘方，再算乘法。 【解答】原式 = a−2 · b2 · a−6b6 = a−8b8 = 。 故选A。 14. 计算 x2y−3 · (x−1y)3 = ______。 【答案】 【解析】先算乘方，再算乘法。 【解答】原式 = x2y−3 · x−3y3 = x−1y0 = 。 15. 计算 (2ab2 c−3)−2 ÷ (a−2b)3 = ______。 【答案】 【解析】先算乘方，再算除法。 【解答】原式 = ÷ = · = 。 题型六：科学记数法表示小于1的正数 【考查要点】掌握用科学记数法表示小于1的正数。 【解题方法】小于1的正数表示为a×10−n，其中1≤a<10，n是正整数。 16. 用科学记数法表示0.0000314，正确的是（ ） A. 3.14×10−4 B. 3.14×10−5 C. 31.4×10−6 D. 0.314×10−4 【答案】B 【解析】小数点后第一个非零数字前有几个0，指数就是负几。 【解答】0.0000314 = 3.14×10−5。 故选B。 17. 用科学记数法表示：0.000000025 = __2.5×10−8____。 【答案】2.5×10−8 【解析】小数点后第一个非零数字前有8个0。 【解答】0.000000025 = 2.5×10−8。 18. 下列用科学记数法表示的数，原数是什么？3.14×10−4 = __ 0.000314____。 【答案】0.000314 【解析】指数是负几，小数点就向左移动几位。 【解答】3.14×10−4 = 0.000314。 题型七：科学记数法的实际应用 【考查要点】能运用科学记数法解决实际问题，如纳米、微米等单位换算。 【解题方法】先统一单位，再进行计算。 19. 1 nm（纳米）等于（ ） A. 10−6 m B. 10−9 m C. 10−3 m D. 10−12 m 【答案】B 【解析】纳米是长度单位，1 nm = 10−9 m。 【解答】1 nm = 10−9 m。 故选B。 20. 一根头发丝的直径约为70 μm（微米），相当于（ ） A. 7×10−5 m B. 7×10−6 m C. 7×10−7 m D. 7×10−4 m 【答案】A 【解析】1 μm = 10−6 m，所以70 μm = 70×10−6 m。 【解答】70 μm = 70×10−6 m = 7×10−5 m。 故选A。 21. 计算：(2×10−6) × (3.2×103) = __6.4×10−3____。 【答案】6.4×10−3 【解析】先把系数相乘，再把10的幂相乘。 【解答】原式 = (2×3.2)×10−6+3 = 6.4×10−3。 二、进阶思维题 （一）选择题 1. 下列计算正确的是（ ） A. a2 · a−3 = a−6 B. (a−2)−3 = a6 C. (2ab−1)2 = 2a2b−2 D. a6 ÷ a−2 = a3 【答案】B 【解析】逐个验证。 【解答】A选项：a²·a⁻³ = a⁻¹ ≠ a⁻⁶，错误； B选项：(a⁻²)⁻³ = a⁶，正确； C选项：(2ab⁻¹)² = 4a²b⁻² ≠ 2a²b⁻²，错误； D选项：a⁶ ÷ a⁻² = a⁸ ≠ a³，错误。 故选B。 2. 计算 (-2)0 + (-1)3 - 3−1 的结果是（ ） A. B. - C. D. - 【答案】B 【解析】分别计算各项，再相加减。 【解答】原式 = 1 + (-1) - = -。 故选B。 3. 若 (x-2)0 + (x-3)−2 有意义，则x的取值范围是（ ） A. x>2 B. x≠2且x≠3 C. x≠3 D. x≠2 【答案】B 【解析】零指数幂和负整数指数幂的底数都不能为0。 【解答】由x-2≠0且x-3≠0，得x≠2且x≠3。 故选B。 4. 下列各数中，最大的数是（ ） A. 3.14×10−5 B. 3.14×10−6 C. 3.14×10−4 D. 3.14×10−7 【答案】C 【解析】指数越大，数越大。 【解答】因为-4 > -5 > -6 > -7，所以3.14×10⁻⁴最大。 故选C。 5. 计算 (2a2 b−3)−2 的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】商的乘方，等于分子分母分别乘方。 【解答】原式 = = = 。 故选A。 6. 已知 am = 2，an = 3，则 a3m−2n 的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】逆用幂的运算性质。 【解答】a3m−2n = = = 。 故选A。 （二）填空题 7. 计算：(-1)0 + (-2)−2 = ______。 【答案】 【解析】分别计算零指数幂和负整数指数幂，再相加。 【解答】原式 = 1 + = 。 8. 用科学记数法表示：0.00000000012 = __1.2×10−10____。 【答案】1.2×10−10 【解析】小数点后第一个非零数字前有10个0。 【解答】0.00000000012 = 1.2×10−10。 9. 计算：3−2 × 9 = ___1___。 【答案】1 【解析】先把负整数指数幂转化为分式，再计算。 【解答】原式 = × 9 = 1。 10. 若(x-1)x+2 = 1，则x = __-2或0或2____。 【答案】-2或0或2 【解析】分三种情况讨论。 【解答】分三种情况： （1）底数为1，指数任意：x-1=1，得x=2； （2）底数为-1，指数为偶数：x-1=-1，得x=0，此时指数x+2=2，是偶数，成立； （3）指数为0，底数不为0：x+2=0，得x=-2，此时底数x-1=-3≠0，成立。 所以x = -2或0或2。 11. 计算：(2×10−6)2 ÷ (10−4)3 = __4____。 【答案】4 【解析】先算乘方，再算除法。 【解答】原式 = (4×10−12) ÷ (10−12) = 4×10−12+12 = 4×100 = 4。 （三）解答题 12. 计算：π0 + (-2)−2 - (-)−3。 【答案】28 【解析】分别计算各项，再相加减。 【解答】原式 = 1 + - (-27) = 28。 13. 计算：3a−2b · 2ab−2。 【答案】 【解析】系数相乘，同底数幂相乘。 【解答】原式 = 3×2 · a−2+1 · b1+(−2) = 6a−1b−1 = 。 14. 计算：(-3ab−1)3。 【答案】- 【解析】积的乘方，等于各因式乘方的积。 【解答】原式 = (-3)3 · a3 · b−3 = -27a3b−3 = -。 15. 一滴水的质量约为0.05 g，一滴水的质量用科学记数法表示为多少千克？ 【答案】5×10−5 kg 【解析】先统一单位，再用科学记数法表示。 【解答】0.05 g = 0.05×10−3 kg = 5×10−2×10−3 kg = 5×10−5 kg。 三、中考链接题 1. （2025·北京）计算 (-3)0 的结果是（ ） A. -3 B. 3 C. 1 D. -1 【答案】C 【解析】任何非零数的0次幂都等于1。 【解答】(-3)0 = 1。 故选C。 2. （2025·上海）下列运算正确的是（ ） A. a2 · a−3 = a−6 B. (a−2)−3 = a6 C. a6 ÷ a−2 = a3 D. (ab)−2 = ab−2 【答案】B 【解析】逐个验证。 【解答】A选项：a²·a⁻³ = a⁻¹ ≠ a⁻⁶，错误； B选项：(a⁻²)⁻³ = a⁶，正确； C选项：a⁶ ÷ a⁻² = a⁸ ≠ a³，错误； D选项：(ab)⁻² = a⁻²b⁻² ≠ ab⁻²，错误。 故选B。 3. （2025·广州）用科学记数法表示0.0000025，正确的是（ ） A. 2.5×10−5 B. 2.5×10−6 C. 2.5×10−7 D. 25×10−6 【答案】B 【解析】小数点后第一个非零数字前有6个0。 【解答】0.0000025 = 2.5×10−6。 故选B。 4. （2025·深圳）计算 2−1 + (-2)0 = ______。 【答案】 【解析】分别计算负整数指数幂和零指数幂，再相加。 【解答】原式 = + 1 = 。 5. （2025·杭州）计算 a−3 · a5 ÷ a2 = ___1___。 【答案】1 【解析】同底数幂的乘除混合运算。 【解答】原式 = a−3+5−2 = a0 = 1。 6. （2025·南京）纳米是长度单位，1 nm = 10−9 m。已知某种植物花粉的直径约为3500 nm，用科学记数法表示为（ ） A. 3.5×10−6 m B. 3.5×10−5 m C. 3.5×10−4 m D. 3.5×10−3 m 【答案】A 【解析】先统一单位，再用科学记数法表示。 【解答】3500 nm = 3500×10−9 m = 3.5×103×10−9 m = 3.5×10−6 m。 故选A。 7. （2025·成都）计算 (a−1 b2)3 · (a−2 b)−2 = __ab4____。 【答案】ab4 【解析】先算乘方，再算乘法。 【解答】原式 = a−3 b6 · a4 b−2 = a1 b4 = ab4。 8. （2025·武汉）若 (x-2)0 + (x-3)−1 有意义，则x的取值范围是__x≠2且x≠3____。 【答案】x≠2且x≠3 【解析】零指数幂和负整数指数幂的底数都不能为0。 【解答】由x-2≠0且x-3≠0，得x≠2且x≠3。 9. （2025·重庆）计算：(-2)−2 - (-)−2 + (π-3)0。 【答案】-2 【解析】分别计算各项，再相加减。 【解答】原式 = - 4 + 1 = -2。 10. （2025·天津）已知 am = 2，an = 3，求 a2m+n 的值。 【答案】12 【解析】逆用幂的运算性质。 【解答】a2m+n = (am)2 · an = 22 × 3 = 4×3 = 12。 学科网（北京）股份有限公司 $