6.1 几何图形 预习 2026-2027学年人教版数学七年级上册

人教版七年级上册预习 第六章 几何图形初步 6.1 几何图形 📅 两日分段预习打卡安排 【Day1 预习任务（建议 25min・几何图形与三视图模块）】 ✅ 达成目标：掌握几何图形的概念，能区分立体图形和平面图形，能从不同方向观察立体图形 通读课本 P150-P153 引言、6.1.1立体图形与平面图形、例1（从不同方向观察由9个正方体组成的立体图形）的内容，自主完成下文「核心知识点 1-3」「基本概念 1-3」的挖空填写。 熟记几何图形的定义（从形形色色的物体外形中得出的图形），掌握立体图形（各部分不都在同一平面内）和平面图形（各部分都在同一平面内）的区别，理解从不同方向看立体图形得到不同的平面图形（前面、左面、上面）。 完成基础训练选择题第1-5题，对照答案订正错题。 打卡自检：能区分立体图形和平面图形，能从前面、左面、上面观察立体图形，能识别常见的立体图形。 【Day2 预习任务（建议 30min・展开图与点线面体模块）】 ✅ 达成目标：掌握立体图形的展开图，理解点、线、面、体的概念和关系 通读课本 P153-P156 展开图、探究、6.1.2点线面体和练习内容，完成「核心知识点 4-6」「基本概念 4-5」剩余挖空填写。 掌握展开图的概念（将立体图形的表面适当展开成平面图形），能判断正方体的展开图，理解点、线、面、体的概念（几何体简称体，包围体的是面，面和面相交形成线，线和线相交形成点），掌握点动成线、线动成面、面动成体的关系。 完成基础训练选择题第6-10题、填空题和解答题，整理个人易错点。 打卡自检：能判断立体图形的展开图，能区分平面和曲面，能理解点线面体的关系，能举例说明点动成线、线动成面、面动成体。 一、核心知识点梳理 知识点 1：几何图形的概念 各种各样的物体除了具有颜色、质量、材质等性质，还具有形状（如方的、圆的等）、大小（如长度、面积、体积等）和位置关系（如相交、垂直、平行等），物体的形状、大小和位置关系是几何中研究的内容。 我们在小学学习过的点、线段、三角形、四边形、圆、长方体、圆柱、圆锥、球等，都是从形形色色的物体外形中得出的，它们都是几何图形（geometric figure）。几何图形是数学研究的主要对象之一。 几何图形的分类： （1）立体图形：各部分不都在同一平面内的几何图形，如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等。 （2）平面图形：各部分都在同一平面内的几何图形，如线段、角、三角形、长方形、圆等。 💡重要结论：几何图形是从形形色色的物体外形中抽象出来的，它只研究物体的形状、大小和位置关系，不研究物体的颜色、质量、材质等性质。几何图形分为立体图形和平面图形两大类。 知识点 2：立体图形与平面图形 立体图形：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一平面内，它们是立体图形。棱柱、棱锥也是常见的立体图形。包装盒、储物盒等都给我们以棱柱的形象，金字塔则给我们以棱锥的形象。 常见的立体图形： （1）柱体：包括圆柱和棱柱（三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱等）； （2）锥体：包括圆锥和棱锥（三棱锥、四棱锥等）； （3）球体：球。 平面图形：有些几何图形（如线段、角、三角形、长方形、圆等）的各部分都在同一平面内，它们是平面图形。 常见的平面图形：线段、角、三角形、四边形（长方形、正方形、平行四边形、梯形等）、圆、多边形等。 立体图形与平面图形的联系：虽然立体图形与平面图形是两类不同的几何图形，但它们是互相联系的。很多立体图形中的某些部分是平面图形，例如，长方体的侧面是长方形，圆柱的底面是圆。 ⚠️易错提醒：判断一个图形是立体图形还是平面图形，关键看它的各部分是否都在同一平面内。立体图形的各部分不都在同一平面内，平面图形的各部分都在同一平面内。注意"不都在"和"都不在"的区别：立体图形是"不都在"，即有的部分在一个平面内，有的部分不在这个平面内。 知识点 3：从不同方向看立体图形（三视图） 对于一些立体图形的问题，常把它们转化为平面图形来研究。从不同方向看立体图形，往往会得到不同形状的平面图形。在建筑、工程等设计中，也常常用从不同方向看到的平面图形来表示立体图形。 三视图： （1）主视图（从前面看）：从立体图形的正前方观察得到的平面图形； （2）左视图（从左面看）：从立体图形的左侧观察得到的平面图形； （3）俯视图（从上面看）：从立体图形的正上方观察得到的平面图形。 例1：图6.1-7是一个由9个大小相同的正方体组成的立体图形，分别从前面、左面、上面观察这个图形，各能得到什么平面图形？ 解：分别从前面、左面、上面观察这个立体图形，得到的平面图形如图6.1-8所示。 从前面看：能看到5个正方形，左边一列有2个，右边有4个排成一行； 从左面看：能看到3个正方形，左边一列有2个，右边有1个； 从上面看：能看到6个正方形，上面一行有4个，右下角有2个。 💡重要结论：从不同方向看立体图形，得到的平面图形可能不同。画三视图时，要注意观察的方向和正方体的排列方式。主视图反映立体图形的长和高，左视图反映立体图形的宽和高，俯视图反映立体图形的长和宽。 知识点 4：立体图形的展开图 有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当展开，可以展开成平面图形。这样的平面图形称为相应立体图形的展开图。 常见立体图形的展开图： （1）正方体的展开图：由6个正方形组成，共有11种不同的展开图； （2）长方体的展开图：由6个长方形组成（特殊情况下有2个正方形）； （3）圆柱的展开图：由2个圆和1个长方形组成； （4）圆锥的展开图：由1个圆和1个扇形组成； （5）棱柱的展开图：由2个多边形和若干个长方形组成； （6）棱锥的展开图：由1个多边形和若干个三角形组成。 正方体展开图的判断方法： （1）正方体展开图必须由6个正方形组成； （2）展开图中不能出现"田"字形或"凹"字形； （3）一条直线上的正方形不能超过4个； （4）可以通过想象折叠来判断是否能围成正方体。 ⚠️易错提醒：判断一个图形是否是正方体的展开图，不能只看正方形的个数，还要看它们的排列方式。出现"田"字形或"凹"字形的图形一定不是正方体的展开图。一条直线上有5个或更多正方形的图形也不是正方体的展开图。 知识点 5：点、线、面、体 几何体：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体。几何体也简称体。 面：包围着体的是面。面有平的面和曲的面两种。平静的水面给我们以平面的形象，而一些建筑物的屋顶则给我们以曲面的形象。 线：夜晚流星划过天空时留下一道明亮的光线，节日的焰火画出的曲线组成优美的图案，这些都给我们以线的形象。面和面相交的地方形成线。长方体6个面两两相交所成的12条棱（线）是直的，圆柱的侧面与底面相交得到的圆是曲的。 点：天上的星星、世界地图上的城市等都给我们以点的形象。线和线相交的地方是点。 点、线、面、体的关系： （1）体由面围成，面有平面和曲面； （2）面和面相交形成线，线有直线和曲线； （3）线和线相交形成点； （4）几何图形都是由点、线、面、体组成的，点是构成图形的基本元素。 💡重要结论：点、线、面、体是构成几何图形的基本元素。点是最基本的元素，没有大小；线有长短，没有粗细；面有大小，没有厚薄；体有大小。点动成线，线动成面，面动成体。 知识点 6：点动成线、线动成面、面动成体 点动成线：笔尖可以看作一个点，这个点在纸上运动时，就形成线。节日的焰火也可以看成由点运动形成的，这可以说点动成线。 线动成面：清洁玻璃时，刮窗器在玻璃上形成一个面，这可以说线动成面。 面动成体：长方形硬纸片绕它的一边旋转一周，形成一个圆柱体，这可以说面动成体。 点、线、面、体经过运动变化，就能组合成各种各样的几何图形，形成多姿多彩的图形世界。 生活中的实例： （1）点动成线：雨滴下落形成雨线、汽车雨刷器摆动形成扇形面（线动成面）； （2）线动成面：钟表指针旋转形成圆面、刷墙时刷子移动形成墙面； （3）面动成体：直角三角形绕直角边旋转形成圆锥、半圆绕直径旋转形成球。 💡重要结论：点、线、面、体的运动变化体现了数学中的运动变化思想。点动成线，线动成面，面动成体，这是从一维到二维再到三维的变化过程。理解这些关系有助于培养空间想象能力。 ⚠️ ⚠️ 高频易错点汇总（必看！） 易错点1：混淆立体图形和平面图形的概念。判断一个图形是立体图形还是平面图形，关键看它的各部分是否都在同一平面内。立体图形的各部分不都在同一平面内，平面图形的各部分都在同一平面内。注意"不都在"不是"都不在"，立体图形中有的部分可以在同一平面内。 易错点2：从不同方向看立体图形时方向判断错误。从前面看（主视图）、从左面看（左视图）、从上面看（俯视图）是三个不同的方向，得到的平面图形可能不同。要注意观察的方向，特别是从左面看时，要站在立体图形的左侧向右看。 易错点3：正方体展开图判断错误。正方体展开图必须由6个正方形组成，且不能出现"田"字形或"凹"字形，一条直线上的正方形不能超过4个。不能只看正方形的个数，还要看排列方式。 易错点4：面的分类（平面和曲面）判断错误。面有平的面和曲的面两种。长方体的6个面都是平面，圆柱有2个平面（底面）和1个曲面（侧面），圆锥有1个平面（底面）和1个曲面（侧面），球只有1个曲面。要注意区分平面和曲面。 易错点5：点、线、面、体之间的关系理解错误。体由面围成，面和面相交形成线，线和线相交形成点。点是构成图形的基本元素，没有大小；线有长短，没有粗细；面有大小，没有厚薄。不能搞反它们之间的关系。 易错点6：棱柱和棱锥的概念混淆。棱柱有两个互相平行的底面，侧面是长方形；棱锥只有一个底面，侧面是三角形。棱柱的侧面都是长方形，棱锥的侧面都是三角形。要注意区分棱柱和棱锥。 二、基本概念定义 几何图形：从形形色色的物体外形中得出的图形，如点、线段、三角形、四边形、圆、长方体、圆柱、圆锥、球等。几何图形只研究物体的__形状__、大小和位置关系，不研究颜色、质量、材质等性质。 立体图形：各部分__不都在__同一平面内的几何图形，如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等。棱柱、棱锥也是常见的立体图形。 平面图形：各部分__都在__同一平面内的几何图形，如线段、角、三角形、长方形、圆等。立体图形与平面图形是互相联系的，很多立体图形中的某些部分是平面图形。 展开图：将立体图形的表面适当展开，可以展开成__平面图形__，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图。正方体的展开图由6个正方形组成，圆柱的展开图由2个圆和1个长方形组成。 点、线、面、体：几何体简称__体__；包围着体的是__面__，面有平的面和曲的面；面和面相交的地方形成__线__；线和线相交的地方是__点__。点是构成图形的基本元素。 三、数学思想方法 1. 转化思想 转化思想是指将未知的、复杂的问题转化为已知的、简单的问题来解决的思想方法。在本节中，对于一些立体图形的问题，常把它们转化为平面图形来研究，如从不同方向看立体图形得到平面图形、将立体图形展开成平面图形等，都体现了转化思想。转化思想使立体图形的问题变得简单、直观，便于研究和解决。 2. 分类讨论思想 分类讨论思想是指当问题包含多种情况时，分别对每种情况进行讨论，得出各种情况下的结论的思想方法。在本节中，几何图形分为立体图形和平面图形，面分为平面和曲面，线分为直线和曲线，立体图形分为柱体、锥体和球体等，都体现了分类讨论思想。分类讨论思想使几何图形的研究更加有条理、更加系统。 3. 空间想象思想 空间想象思想是指通过想象在头脑中构建立体图形的形状、位置和运动变化的思想方法。在本节中，从不同方向看立体图形、判断正方体的展开图、想象点动成线线动成面面动成体等，都需要空间想象能力。空间想象思想是学习几何的重要思想方法，它帮助我们在头脑中构建和操作立体图形。 4. 运动变化思想 运动变化思想是指用运动、变化的观点来看待几何图形的思想方法。在本节中，点动成线、线动成面、面动成体，体现了几何图形的运动变化。笔尖运动形成线、刮窗器移动形成面、长方形旋转形成圆柱，都是运动变化的例子。运动变化思想使我们认识到几何图形不是静止的，而是可以通过运动变化得到的。 5. 建模思想 建模思想是指通过建立数学模型来描述和解决实际问题的思想方法。在本节中，从形形色色的物体外形中抽象出几何图形，就是建立数学模型的过程。包装盒抽象为棱柱、金字塔抽象为棱锥、足球抽象为球等，都体现了建模思想。建模思想使数学知识与实际生活紧密联系，培养用数学解决实际问题的能力。 四、真题训练 一、选择题 1.（2024-2025学年·人教版同步）下列图形中，属于立体图形的是（　　　） A. 三角形 B. 圆 C. 圆柱 D. 长方形 【答案】C 【解析】本题考查立体图形和平面图形的区分。立体图形的各部分不都在同一平面内，平面图形的各部分都在同一平面内。三角形、圆、长方形的各部分都在同一平面内，是平面图形；圆柱的各部分不都在同一平面内，是立体图形。 【解答】解：三角形、圆、长方形的各部分都在同一平面内，是平面图形； 圆柱的各部分不都在同一平面内，是立体图形。 故选：C。 2.（2025-2026学年·北京期中）下列几何体中，属于棱柱的是（　　　） A. 圆柱 B. 圆锥 C. 三棱柱 D. 球 【答案】C 【解析】本题考查棱柱的概念。棱柱有两个互相平行的底面，侧面是长方形。圆柱的底面是圆，侧面是曲面，不是棱柱；圆锥只有一个底面，侧面是曲面，不是棱柱；球只有一个曲面，不是棱柱；三棱柱有两个互相平行的三角形底面，侧面是长方形，是棱柱。 【解答】解：圆柱的底面是圆，侧面是曲面，不是棱柱； 圆锥只有一个底面，侧面是曲面，不是棱柱； 三棱柱有两个互相平行的三角形底面，侧面是长方形，是棱柱； 球只有一个曲面，不是棱柱。 故选：C。 3.（2024-2025学年·山东济南期末）下列几何体中，顶点数最多的是（　　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题考查几何体的顶点数。长方体有8个顶点；三棱锥有4个顶点；圆锥有1个顶点；球没有顶点。所以顶点数最多的是长方体。 【解答】解：A. 长方体有8个顶点； B. 三棱锥有4个顶点； C. 圆锥有1个顶点； D. 球没有顶点。 所以顶点数最多的是长方体。 故选：A。 4.（2025-2026学年·广东广州海珠期末）下列图形中，可以作为一个正方体的展开图的是（　　　） 【答案】C 【解析】本题考查正方体的展开图。正方体展开图必须由6个正方形组成，且不能出现"田"字形或"凹"字形，一条直线上的正方形不能超过4个。选项A中出现了"凹"字形结构，不是正方体展开图；选项B中一条直线上有4个正方形，但上方的正方形在最右侧，折叠后会有重叠，不是正方体展开图；选项C是"一四一"型正方体展开图，中间4个正方形，上下各1个正方形，是正方体展开图；选项D中出现了"凹"字形结构，不是正方体展开图。 【解答】解：正方体展开图不能出现"田"字形或"凹"字形，一条直线上的正方形不能超过4个。 A. 出现"凹"字形，不是正方体展开图； B. 折叠后会有面重叠，不是正方体展开图； C. 是"一四一"型正方体展开图； D. 出现"凹"字形，不是正方体展开图。 故选：C。 5.（2024-2025学年·江苏南京期中）圆柱的展开图是由（　　　） A. 两个圆和一个长方形组成 B. 一个圆和一个扇形组成 C. 两个三角形和三个长方形组成 D. 六个正方形组成 【答案】A 【解析】本题考查圆柱的展开图。圆柱有两个底面（都是圆）和一个侧面（曲面）。将圆柱的表面展开，两个底面是两个圆，侧面展开是一个长方形。所以圆柱的展开图是由两个圆和一个长方形组成。 【解答】解：圆柱有两个底面（都是圆）和一个侧面（曲面）。 将圆柱的表面展开，两个底面是两个圆，侧面展开是一个长方形。 所以圆柱的展开图是由两个圆和一个长方形组成。 故选：A。 6.（2025-2026学年·福建福州期末）几何体（体）是由什么围成的（　　　） A. 点 B. 线 C. 面 D. 体 【答案】C 【解析】本题考查点、线、面、体的关系。几何体简称体，包围着体的是面。面有平的面和曲的面两种。面和面相交形成线，线和线相交形成点。所以几何体是由面围成的。 【解答】解：几何体简称体，包围着体的是面。 面有平的面和曲的面两种。 面和面相交形成线，线和线相交形成点。 所以几何体是由面围成的。 故选：C。 7.（2024-2025学年·河南周口期末）下列现象中，能说明"线动成面"的是（　　　） A. 笔尖在纸上运动画出一条线 B. 汽车雨刷器在玻璃上摆动形成扇形面 C. 长方形绕一边旋转形成圆柱 D. 流星划过天空留下光线 【答案】B 【解析】本题考查点、线、面、体的运动变化。笔尖在纸上运动画出一条线，说明点动成线；汽车雨刷器在玻璃上摆动形成扇形面，雨刷器可以看作一条线，摆动形成面，说明线动成面；长方形绕一边旋转形成圆柱，说明面动成体；流星划过天空留下光线，说明点动成线。 【解答】解：A. 笔尖在纸上运动画出一条线，说明点动成线； B. 汽车雨刷器在玻璃上摆动形成扇形面，雨刷器可以看作一条线，摆动形成面，说明线动成面； C. 长方形绕一边旋转形成圆柱，说明面动成体； D. 流星划过天空留下光线，说明点动成线。 故选：B。 8.（2025-2026学年·辽宁大连甘井子期末）用一个平面去截一个正方体，截面的形状不可能是（　　　） A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 七边形 【答案】D 【解析】本题考查正方体的截面。用一个平面去截正方体时，截面与正方体的几个面相交，截面就是几边形。正方体有6个面，所以截面最多与6个面相交，截面最多是六边形。因此截面不可能是七边形。截面可以是三角形（截去一个角）、四边形（平行于面截取或斜截）、五边形（截去一个角且经过5个面）、六边形（经过6个面）。 【解答】解：正方体有6个面，用一个平面去截正方体时，截面与正方体的几个面相交，截面就是几边形。 截面最多与6个面相交，所以截面最多是六边形。 因此截面不可能是七边形。 截面可以是三角形、四边形、五边形、六边形。 故选：D。 9.（2024-2025学年·四川成都期中）下列几何体中，全是由平面围成的是（　　　） A. 圆柱 B. 圆锥 C. 球 D. 正方体 【答案】D 【解析】本题考查面的分类。圆柱有2个平面（底面）和1个曲面（侧面），不全是平面；圆锥有1个平面（底面）和1个曲面（侧面），不全是平面；球只有1个曲面，没有平面；正方体的6个面都是平面，全是由平面围成的。 【解答】解：A. 圆柱有2个平面（底面）和1个曲面（侧面），不全是平面； B. 圆锥有1个平面（底面）和1个曲面（侧面），不全是平面； C. 球只有1个曲面，没有平面； D. 正方体的6个面都是平面，全是由平面围成的。 故选：D。 10.（2025-2026学年·广东信宜期末）将一个直角三角形绕它的一条直角边旋转一周，得到的立体图形是（　　　） A. 圆柱 B. 圆锥 C. 球 D. 棱柱 【答案】B 【解析】本题考查面动成体。直角三角形绕它的一条直角边旋转一周，另一条直角边旋转形成一个圆面（底面），斜边旋转形成一个曲面（侧面），得到的立体图形是圆锥。这体现了面动成体的思想。 【解答】解：直角三角形绕它的一条直角边旋转一周， 另一条直角边旋转形成一个圆面（底面）， 斜边旋转形成一个曲面（侧面）， 得到的立体图形是圆锥。 这体现了面动成体的思想。 故选：B。 二、填空题 11.（2024-2025学年·人教版同步）几何图形分为___立体_____图形和____平面____图形两大类。 【答案】立体，平面 【解析】本题考查几何图形的分类。几何图形分为立体图形和平面图形两大类。立体图形的各部分不都在同一平面内，平面图形的各部分都在同一平面内。 【解答】解：几何图形分为立体图形和平面图形两大类。 立体图形的各部分不都在同一平面内， 平面图形的各部分都在同一平面内。 故答案为：立体，平面。 12.（2025-2026学年·北京期中）从不同方向看立体图形，通常从____前面____、____左面____、_____上面___三个方向观察。 【答案】前面，左面，上面 【解析】本题考查三视图。从不同方向看立体图形，通常从前面（主视图）、左面（左视图）、上面（俯视图）三个方向观察，得到不同的平面图形。 【解答】解：从不同方向看立体图形，通常从前面（主视图）、左面（左视图）、上面（俯视图）三个方向观察，得到不同的平面图形。 故答案为：前面，左面，上面。 13.（2024-2025学年·广东海伦期末）一个n棱柱有____n+2____个面，____3n____条棱，____2n____个顶点。 【答案】n+2，3n，2n 【解析】本题考查n棱柱的特征。n棱柱有2个底面（都是n边形）和n个侧面（都是长方形），所以共有n+2个面。底面有n条棱，两个底面共有2n条棱，侧面有n条棱，所以共有3n条棱。底面有n个顶点，两个底面共有2n个顶点。 【解答】解：n棱柱有2个底面和n个侧面，所以共有n+2个面； 两个底面共有2n条棱，侧面有n条棱，所以共有3n条棱； 两个底面共有2n个顶点。 故答案为：n+2，3n，2n。 14.（2025-2026学年·北师大版同步）点动成___线_____，线动成____面____，面动成____体____。 【答案】线，面，体 【解析】本题考查点、线、面、体的运动变化。点动成线（如笔尖运动画线），线动成面（如雨刷器摆动形成面），面动成体（如长方形旋转形成圆柱）。这是几何图形运动变化的基本规律。 【解答】解：点动成线（如笔尖运动画线）， 线动成面（如雨刷器摆动形成面）， 面动成体（如长方形旋转形成圆柱）。 这是几何图形运动变化的基本规律。 故答案为：线，面，体。 15.（2024-2025学年·江苏泰州期末）用一个平面去截一个正方体，截面的形状最多是___六____边形；截一个n棱柱，截面最多是____n+2_____边形。 【答案】六，n+2 【解析】本题考查几何体的截面。用一个平面去截几何体时，截面与几何体的几个面相交，截面就是几边形。正方体有6个面，所以截面最多与6个面相交，截面最多是六边形。n棱柱有n+2个面，所以截面最多与n+2个面相交，截面最多是n+2边形。 【解答】解：用一个平面去截几何体时，截面与几何体的几个面相交，截面就是几边形。 正方体有6个面，所以截面最多是六边形； n棱柱有n+2个面，所以截面最多是n+2边形。 故答案为：六，n+2。 16.（2025-2026学年·山东济南期末）将一个正方体的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，需要剪开__7______条棱；一个n棱柱展开成平面图形，需要剪开___2n-1_____条棱。 【答案】7， 【解析】本题考查立体图形展开成平面图形需要剪开的棱数。正方体有12条棱，展开成平面图形后，6个正方形连成一个整体，有5条棱没有剪开（树结构中6个节点需要5条边连接），所以需要剪开12-5=7条棱。n棱柱有3n条棱，n+2个面连成一个整体需要n+1条棱连接，所以需要剪开3n-(n+1)=2n-1条棱。 【解答】解：正方体有12条棱，展开成平面图形后，6个面连成一个整体，有5条棱没有剪开，所以需要剪开12-5=7条棱。 n棱柱有3n条棱，n+2个面连成一个整体需要n+1条棱连接，所以需要剪开3n-(n+1)=2n-1条棱。 故答案为：7，2n-1。 三、解答题 17.（2025-2026学年·人教版同步）如图，把相应的实物与对应的立体图形用线连起来。 【答案】地球——球；魔方——正方体；书——长方体；沙堆——圆锥；铅笔——圆柱；金字塔——四棱锥。 【解析】本题考查常见立体图形的识别。地球的形状是球；魔方的形状是正方体（6个面都是正方形）；书的形状是长方体（6个面都是长方形）；沙堆的形状是圆锥（底面是圆，侧面是曲面，只有一个顶点）；铅笔的形状是圆柱（上下底面是圆，侧面是曲面）；金字塔的形状是四棱锥（底面是四边形，侧面是4个三角形）。 【解答】解：地球——球； 魔方——正方体； 书——长方体； 沙堆——圆锥； 铅笔——圆柱； 金字塔——四棱锥。 18.（2024-2025学年·人教版同步）如图是一个由9个大小相同的正方体组成的立体图形，请画出从正面、左面和上面看到的平面图形。 【答案】从正面看：能看到5个正方形，左边一列有2个（上下排列），右边有4个排成一行；从左面看：能看到3个正方形，左边一列有2个（上下排列），右边有1个；从上面看：能看到6个正方形，上面一行有4个，右下角有2个。 【解析】本题考查从不同方向看立体图形并画出三视图。这是一个由9个大小相同的正方体组成的立体图形。画三视图时，从正面看能看到5个正方形（左列2个，右行4个）；从左面看能看到3个正方形（左列2个，右列1个）；从上面看能看到6个正方形（上行4个，右下2个）。注意三视图中看得见的轮廓线画实线，看不见的轮廓线画虚线。 【解答】解：如图： 19.（2025-2026学年·北京期中）正方体的展开图共有11种基本类型。请写出其中至少4种类型的名称，并分别画出一种对应的展开图。 【答案】正方体展开图的11种基本类型可分为：①"一四一"型（6种）：中间4个正方形，上下各1个；②"一三二"型（3种）：中间3个正方形，上面1个，下面2个；③"三三"型（1种）：两行各3个正方形；④"二二二"型（1种）：三行各2个正方形，错开排列。画图略。 【解析】本题考查正方体展开图的分类。正方体展开图共有11种基本类型，按行排列可分为四类："一四一"型（中间4个，上下各1个，共6种）、"一三二"型（中间3个，上1下2，共3种）、"三三"型（两行各3个，共1种）、"二二二"型（三行各2个，错开排列，共1种）。画图时注意不能出现"田"字形或"凹"字形。 【解答】解：正方体展开图共有11种基本类型，可分为以下四类： ①"一四一"型：中间4个正方形排成一行，上下各1个正方形（上下两个正方形可分别在4个位置中的任意一个，共6种）； ②"一三二"型：中间3个正方形排成一行，上面1个，下面2个（共3种）； ③"三三"型：两行各3个正方形，只有1种排列方式； ④"二二二"型：三行各2个正方形，错开排列，只有1种排列方式。 20.（2024-2025学年·广东广州期末）说出下列几何体分别由哪些面围成，哪些面是平的，哪些面是曲的： （1）长方体；（2）三棱锥；（3）圆锥；（4）球；（5）圆柱与半球组合体。 【答案】（1）长方体由6个长方形面围成，全是平面；（2）三棱锥由4个三角形面围成，全是平面；（3）圆锥由1个圆（底面）和1个曲面（侧面）围成，1个平面和1个曲面；（4）球由1个曲面围成，全是曲面；（5）圆柱与半球组合体由1个圆（底面）、1个曲面（圆柱侧面）和1个曲面（半球面）围成，1个平面和2个曲面。 【解析】本题考查面的分类。（1）长方体有6个面，都是长方形，全是平面；（2）三棱锥有4个面，都是三角形，全是平面；（3）圆锥有1个底面（是圆，平面）和1个侧面（是曲面）；（4）球只有1个面，是曲面；（5）圆柱与半球组合体有1个底面（是圆，平面）、1个圆柱侧面（曲面）和1个半球面（曲面）。 【解答】解：（1）长方体由6个长方形面围成，6个面全是平面； （2）三棱锥由4个三角形面围成，4个面全是平面； （3）圆锥由1个圆（底面）和1个曲面（侧面）围成，其中1个是平面，1个是曲面； （4）球由1个曲面围成，全是曲面，没有平面； （5）圆柱与半球组合体由1个圆（底面）、1个曲面（圆柱侧面）和1个曲面（半球面）围成，其中1个是平面，2个是曲面。 21.（2025-2026学年·山东济南期末）观察三棱柱、四棱柱、五棱柱的特征，填空并回答问题： （1）三棱柱有_5___个面，__9__条棱，___6_个顶点； （2）四棱柱有__6__个面，__12__条棱，__8__个顶点； （3）五棱柱有__7__个面，__15__条棱，__10__个顶点； （4）根据以上规律，n棱柱有_n+2___个面，__3n__条棱，__2n__个顶点； （5）验证欧拉公式：面数+顶点数-棱数=__2__。 【答案】（1）5，9，6；（2）6，12，8；（3）7，15，10；（4）n+2，3n，2n；（5）2。 【解析】本题考查n棱柱的特征和欧拉公式。三棱柱有2个三角形底面和3个长方形侧面，共5个面；底面各有3条棱，侧面有3条棱，共9条棱；底面各有3个顶点，共6个顶点。四棱柱（长方体）有6个面，12条棱，8个顶点。五棱柱有7个面，15条棱，10个顶点。由此归纳n棱柱有n+2个面，3n条棱，2n个顶点。欧拉公式：面数+顶点数-棱数=(n+2)+2n-3n=2。 【解答】解：（1）三棱柱有5个面，9条棱，6个顶点； （2）四棱柱有6个面，12条棱，8个顶点； （3）五棱柱有7个面，15条棱，10个顶点； （4）根据以上规律，n棱柱有n+2个面，3n条棱，2n个顶点； （5）欧拉公式验证：面数+顶点数-棱数=(n+2)+2n-3n=2。 答：（1）5，9，6；（2）6，12，8；（3）7，15，10；（4）n+2，3n，2n；（5）2。 22.（2024-2025学年·江苏南京期末）如图所示为由7个棱长为1厘米的正方体组成的几何体， （1）在下面指定的方格内画出该几何体从三个方向看到的形状图． （2）如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体从正面和从左面看到的形状不变，最多可以再添加   2   个小正方体． （3）求这个几何体的表面积． 【答案】 见解析 2 28 【解析】 （1）根据实物图依次画出该几何体从三个方向看到的形状图即可； （2）根据保持这个几何体从正面和从左面看到的形状不变，考虑添加的小正方体的位置即可； （3）从三个方向看，面向眼睛的面没有遮挡，可以利用三个形状图的面积相加乘以2计算表面积，据此列式计算即可. 【解答】 （1）解：画出该几何体从三个方向看到的形状图如下： 从正面看 从左面看 从上面看 （2）要保持这个几何体从正面和从左面看到的形状不变， 则前排的小正方体右边两个位置可添加小正方体，也就是最多可以再添加2个小正方体， 故答案为：2； （3）这个几何体的表面积是： 答：这个几何体的表面积是28. 23.如图是某长方体包装盒的展开图．具体数据如图所示，且长方体盒子的长是高的2倍．     （1）展开图的6个面分别标有如图所示的序号，则原包装盒与①相对的面是__⑤____（填序号）； （2）若设长方体的高为，则 ①长方体的长为______cm，宽为__（54-2x）____cm（用含x的式子表示）； ②请利用一元一次方程知识求长方体包装盒的体积． 【答案】 ⑤； ，（54-2x）； 【解析】 （1）根据相对面必定相隔一个长方形，进行判断即可； （2）①根据长方体盒子的长是高的2倍，以及展开图的宽为54cm，列出代数式即可； ②根据展开图的长为99cm，列出方程，求出 x的值，进一步求出长方体的体积即可. 【解答】 （1）解：由图形可知，原包装盒与 ①相对的面是 ⑤； 故答案为： ⑤； （2）①因为长方体盒子的长是高的2倍， 所以长方体的长为 由图可知：长方体的宽为（ 故答案为： （54-2x）; ②由展开图，得： 解得 即长方体的高为15cm， 当 时，长方体的长 ，宽为 长方体的体积为 答：这个长方体的纸盒的体积为 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版七年级上册预习 第六章 几何图形初步 6.1 几何图形 📅 两日分段预习打卡安排 【Day1 预习任务（建议 25min・几何图形与三视图模块）】 ✅ 达成目标：掌握几何图形的概念，能区分立体图形和平面图形，能从不同方向观察立体图形 通读课本 P150-P153 引言、6.1.1立体图形与平面图形、例1（从不同方向观察由9个正方体组成的立体图形）的内容，自主完成下文「核心知识点 1-3」「基本概念 1-3」的挖空填写。 熟记几何图形的定义（从形形色色的物体外形中得出的图形），掌握立体图形（各部分不都在同一平面内）和平面图形（各部分都在同一平面内）的区别，理解从不同方向看立体图形得到不同的平面图形（前面、左面、上面）。 完成基础训练选择题第1-5题，对照答案订正错题。 打卡自检：能区分立体图形和平面图形，能从前面、左面、上面观察立体图形，能识别常见的立体图形。 【Day2 预习任务（建议 30min・展开图与点线面体模块）】 ✅ 达成目标：掌握立体图形的展开图，理解点、线、面、体的概念和关系 通读课本 P153-P156 展开图、探究、6.1.2点线面体和练习内容，完成「核心知识点 4-6」「基本概念 4-5」剩余挖空填写。 掌握展开图的概念（将立体图形的表面适当展开成平面图形），能判断正方体的展开图，理解点、线、面、体的概念（几何体简称体，包围体的是面，面和面相交形成线，线和线相交形成点），掌握点动成线、线动成面、面动成体的关系。 完成基础训练选择题第6-10题、填空题和解答题，整理个人易错点。 打卡自检：能判断立体图形的展开图，能区分平面和曲面，能理解点线面体的关系，能举例说明点动成线、线动成面、面动成体。 一、核心知识点梳理 知识点 1：几何图形的概念 各种各样的物体除了具有颜色、质量、材质等性质，还具有形状（如方的、圆的等）、大小（如长度、面积、体积等）和位置关系（如相交、垂直、平行等），物体的形状、大小和位置关系是几何中研究的内容。 我们在小学学习过的点、线段、三角形、四边形、圆、长方体、圆柱、圆锥、球等，都是从形形色色的物体外形中得出的，它们都是几何图形（geometric figure）。几何图形是数学研究的主要对象之一。 几何图形的分类： （1）立体图形：各部分不都在同一平面内的几何图形，如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等。 （2）平面图形：各部分都在同一平面内的几何图形，如线段、角、三角形、长方形、圆等。 💡重要结论：几何图形是从形形色色的物体外形中抽象出来的，它只研究物体的形状、大小和位置关系，不研究物体的颜色、质量、材质等性质。几何图形分为立体图形和平面图形两大类。 知识点 2：立体图形与平面图形 立体图形：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一平面内，它们是立体图形。棱柱、棱锥也是常见的立体图形。包装盒、储物盒等都给我们以棱柱的形象，金字塔则给我们以棱锥的形象。 常见的立体图形： （1）柱体：包括圆柱和棱柱（三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱等）； （2）锥体：包括圆锥和棱锥（三棱锥、四棱锥等）； （3）球体：球。 平面图形：有些几何图形（如线段、角、三角形、长方形、圆等）的各部分都在同一平面内，它们是平面图形。 常见的平面图形：线段、角、三角形、四边形（长方形、正方形、平行四边形、梯形等）、圆、多边形等。 立体图形与平面图形的联系：虽然立体图形与平面图形是两类不同的几何图形，但它们是互相联系的。很多立体图形中的某些部分是平面图形，例如，长方体的侧面是长方形，圆柱的底面是圆。 ⚠️易错提醒：判断一个图形是立体图形还是平面图形，关键看它的各部分是否都在同一平面内。立体图形的各部分不都在同一平面内，平面图形的各部分都在同一平面内。注意"不都在"和"都不在"的区别：立体图形是"不都在"，即有的部分在一个平面内，有的部分不在这个平面内。 知识点 3：从不同方向看立体图形（三视图） 对于一些立体图形的问题，常把它们转化为平面图形来研究。从不同方向看立体图形，往往会得到不同形状的平面图形。在建筑、工程等设计中，也常常用从不同方向看到的平面图形来表示立体图形。 三视图： （1）主视图（从前面看）：从立体图形的正前方观察得到的平面图形； （2）左视图（从左面看）：从立体图形的左侧观察得到的平面图形； （3）俯视图（从上面看）：从立体图形的正上方观察得到的平面图形。 例1：图6.1-7是一个由9个大小相同的正方体组成的立体图形，分别从前面、左面、上面观察这个图形，各能得到什么平面图形？ 解：分别从前面、左面、上面观察这个立体图形，得到的平面图形如图6.1-8所示。 从前面看：能看到5个正方形，左边一列有2个，右边有4个排成一行； 从左面看：能看到3个正方形，左边一列有2个，右边有1个； 从上面看：能看到6个正方形，上面一行有4个，右下角有2个。 💡重要结论：从不同方向看立体图形，得到的平面图形可能不同。画三视图时，要注意观察的方向和正方体的排列方式。主视图反映立体图形的长和高，左视图反映立体图形的宽和高，俯视图反映立体图形的长和宽。 知识点 4：立体图形的展开图 有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当展开，可以展开成平面图形。这样的平面图形称为相应立体图形的展开图。 常见立体图形的展开图： （1）正方体的展开图：由6个正方形组成，共有11种不同的展开图； （2）长方体的展开图：由6个长方形组成（特殊情况下有2个正方形）； （3）圆柱的展开图：由2个圆和1个长方形组成； （4）圆锥的展开图：由1个圆和1个扇形组成； （5）棱柱的展开图：由2个多边形和若干个长方形组成； （6）棱锥的展开图：由1个多边形和若干个三角形组成。 正方体展开图的判断方法： （1）正方体展开图必须由6个正方形组成； （2）展开图中不能出现"田"字形或"凹"字形； （3）一条直线上的正方形不能超过4个； （4）可以通过想象折叠来判断是否能围成正方体。 ⚠️易错提醒：判断一个图形是否是正方体的展开图，不能只看正方形的个数，还要看它们的排列方式。出现"田"字形或"凹"字形的图形一定不是正方体的展开图。一条直线上有5个或更多正方形的图形也不是正方体的展开图。 知识点 5：点、线、面、体 几何体：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体。几何体也简称体。 面：包围着体的是面。面有平的面和曲的面两种。平静的水面给我们以平面的形象，而一些建筑物的屋顶则给我们以曲面的形象。 线：夜晚流星划过天空时留下一道明亮的光线，节日的焰火画出的曲线组成优美的图案，这些都给我们以线的形象。面和面相交的地方形成线。长方体6个面两两相交所成的12条棱（线）是直的，圆柱的侧面与底面相交得到的圆是曲的。 点：天上的星星、世界地图上的城市等都给我们以点的形象。线和线相交的地方是点。 点、线、面、体的关系： （1）体由面围成，面有平面和曲面； （2）面和面相交形成线，线有直线和曲线； （3）线和线相交形成点； （4）几何图形都是由点、线、面、体组成的，点是构成图形的基本元素。 💡重要结论：点、线、面、体是构成几何图形的基本元素。点是最基本的元素，没有大小；线有长短，没有粗细；面有大小，没有厚薄；体有大小。点动成线，线动成面，面动成体。 知识点 6：点动成线、线动成面、面动成体 点动成线：笔尖可以看作一个点，这个点在纸上运动时，就形成线。节日的焰火也可以看成由点运动形成的，这可以说点动成线。 线动成面：清洁玻璃时，刮窗器在玻璃上形成一个面，这可以说线动成面。 面动成体：长方形硬纸片绕它的一边旋转一周，形成一个圆柱体，这可以说面动成体。 点、线、面、体经过运动变化，就能组合成各种各样的几何图形，形成多姿多彩的图形世界。 生活中的实例： （1）点动成线：雨滴下落形成雨线、汽车雨刷器摆动形成扇形面（线动成面）； （2）线动成面：钟表指针旋转形成圆面、刷墙时刷子移动形成墙面； （3）面动成体：直角三角形绕直角边旋转形成圆锥、半圆绕直径旋转形成球。 💡重要结论：点、线、面、体的运动变化体现了数学中的运动变化思想。点动成线，线动成面，面动成体，这是从一维到二维再到三维的变化过程。理解这些关系有助于培养空间想象能力。 ⚠️ ⚠️ 高频易错点汇总（必看！） 易错点1：混淆立体图形和平面图形的概念。判断一个图形是立体图形还是平面图形，关键看它的各部分是否都在同一平面内。立体图形的各部分不都在同一平面内，平面图形的各部分都在同一平面内。注意"不都在"不是"都不在"，立体图形中有的部分可以在同一平面内。 易错点2：从不同方向看立体图形时方向判断错误。从前面看（主视图）、从左面看（左视图）、从上面看（俯视图）是三个不同的方向，得到的平面图形可能不同。要注意观察的方向，特别是从左面看时，要站在立体图形的左侧向右看。 易错点3：正方体展开图判断错误。正方体展开图必须由6个正方形组成，且不能出现"田"字形或"凹"字形，一条直线上的正方形不能超过4个。不能只看正方形的个数，还要看排列方式。 易错点4：面的分类（平面和曲面）判断错误。面有平的面和曲的面两种。长方体的6个面都是平面，圆柱有2个平面（底面）和1个曲面（侧面），圆锥有1个平面（底面）和1个曲面（侧面），球只有1个曲面。要注意区分平面和曲面。 易错点5：点、线、面、体之间的关系理解错误。体由面围成，面和面相交形成线，线和线相交形成点。点是构成图形的基本元素，没有大小；线有长短，没有粗细；面有大小，没有厚薄。不能搞反它们之间的关系。 易错点6：棱柱和棱锥的概念混淆。棱柱有两个互相平行的底面，侧面是长方形；棱锥只有一个底面，侧面是三角形。棱柱的侧面都是长方形，棱锥的侧面都是三角形。要注意区分棱柱和棱锥。 二、基本概念定义 几何图形：从形形色色的物体外形中得出的图形，如点、线段、三角形、四边形、圆、长方体、圆柱、圆锥、球等。几何图形只研究物体的____、大小和位置关系，不研究颜色、质量、材质等性质。 立体图形：各部分____同一平面内的几何图形，如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等。棱柱、棱锥也是常见的立体图形。 平面图形：各部分____同一平面内的几何图形，如线段、角、三角形、长方形、圆等。立体图形与平面图形是互相联系的，很多立体图形中的某些部分是平面图形。 展开图：将立体图形的表面适当展开，可以展开成____，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图。正方体的展开图由6个正方形组成，圆柱的展开图由2个圆和1个长方形组成。 点、线、面、体：几何体简称____；包围着体的是____，面有平的面和曲的面；面和面相交的地方形成____；线和线相交的地方是____。点是构成图形的基本元素。 三、数学思想方法 1. 转化思想 转化思想是指将未知的、复杂的问题转化为已知的、简单的问题来解决的思想方法。在本节中，对于一些立体图形的问题，常把它们转化为平面图形来研究，如从不同方向看立体图形得到平面图形、将立体图形展开成平面图形等，都体现了转化思想。转化思想使立体图形的问题变得简单、直观，便于研究和解决。 2. 分类讨论思想 分类讨论思想是指当问题包含多种情况时，分别对每种情况进行讨论，得出各种情况下的结论的思想方法。在本节中，几何图形分为立体图形和平面图形，面分为平面和曲面，线分为直线和曲线，立体图形分为柱体、锥体和球体等，都体现了分类讨论思想。分类讨论思想使几何图形的研究更加有条理、更加系统。 3. 空间想象思想 空间想象思想是指通过想象在头脑中构建立体图形的形状、位置和运动变化的思想方法。在本节中，从不同方向看立体图形、判断正方体的展开图、想象点动成线线动成面面动成体等，都需要空间想象能力。空间想象思想是学习几何的重要思想方法，它帮助我们在头脑中构建和操作立体图形。 4. 运动变化思想 运动变化思想是指用运动、变化的观点来看待几何图形的思想方法。在本节中，点动成线、线动成面、面动成体，体现了几何图形的运动变化。笔尖运动形成线、刮窗器移动形成面、长方形旋转形成圆柱，都是运动变化的例子。运动变化思想使我们认识到几何图形不是静止的，而是可以通过运动变化得到的。 5. 建模思想 建模思想是指通过建立数学模型来描述和解决实际问题的思想方法。在本节中，从形形色色的物体外形中抽象出几何图形，就是建立数学模型的过程。包装盒抽象为棱柱、金字塔抽象为棱锥、足球抽象为球等，都体现了建模思想。建模思想使数学知识与实际生活紧密联系，培养用数学解决实际问题的能力。 四、真题训练 一、选择题 1.（2024-2025学年·人教版同步）下列图形中，属于立体图形的是（　　　） A. 三角形 B. 圆 C. 圆柱 D. 长方形 2.（2025-2026学年·北京期中）下列几何体中，属于棱柱的是（　　　） A. 圆柱 B. 圆锥 C. 三棱柱 D. 球 3.（2024-2025学年·山东济南期末）下列几何体中，顶点数最多的是（　　　） A. B. C. D. 4.（2025-2026学年·广东广州海珠期末）下列图形中，可以作为一个正方体的展开图的是（　　　） 5.（2024-2025学年·江苏南京期中）圆柱的展开图是由（　　　） A. 两个圆和一个长方形组成 B. 一个圆和一个扇形组成 C. 两个三角形和三个长方形组成 D. 六个正方形组成 6.（2025-2026学年·福建福州期末）几何体（体）是由什么围成的（　　　） A. 点 B. 线 C. 面 D. 体 7.（2024-2025学年·河南周口期末）下列现象中，能说明"线动成面"的是（　　　） A. 笔尖在纸上运动画出一条线 B. 汽车雨刷器在玻璃上摆动形成扇形面 C. 长方形绕一边旋转形成圆柱 D. 流星划过天空留下光线 8.（2025-2026学年·辽宁大连甘井子期末）用一个平面去截一个正方体，截面的形状不可能是（　　　） A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 七边形 9.（2024-2025学年·四川成都期中）下列几何体中，全是由平面围成的是（　　　） A. 圆柱 B. 圆锥 C. 球 D. 正方体 10.（2025-2026学年·广东信宜期末）将一个直角三角形绕它的一条直角边旋转一周，得到的立体图形是（　　　） A. 圆柱 B. 圆锥 C. 球 D. 棱柱 二、填空题 11.（2024-2025学年·人教版同步）几何图形分为________图形和________图形两大类。 12.（2025-2026学年·北京期中）从不同方向看立体图形，通常从________、________、________三个方向观察。 13.（2024-2025学年·广东海伦期末）一个n棱柱有________个面，________条棱，________个顶点。 14.（2025-2026学年·北师大版同步）点动成________，线动成________，面动成________。 15.（2024-2025学年·江苏泰州期末）用一个平面去截一个正方体，截面的形状最多是_______边形；截一个n棱柱，截面最多是_________边形。 16.（2025-2026学年·山东济南期末）将一个正方体的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，需要剪开_______条棱；一个n棱柱展开成平面图形，需要剪开________条棱。 三、解答题 17.（2025-2026学年·人教版同步）如图，把相应的实物与对应的立体图形用线连起来。 18.（2024-2025学年·人教版同步）如图是一个由9个大小相同的正方体组成的立体图形，请画出从正面、左面和上面看到的平面图形。 19.（2025-2026学年·北京期中）正方体的展开图共有11种基本类型。请写出其中至少4种类型的名称，并分别画出一种对应的展开图。 20.（2024-2025学年·广东广州期末）说出下列几何体分别由哪些面围成，哪些面是平的，哪些面是曲的： （1）长方体；（2）三棱锥；（3）圆锥；（4）球；（5）圆柱与半球组合体。 21.（2025-2026学年·山东济南期末）观察三棱柱、四棱柱、五棱柱的特征，填空并回答问题： （1）三棱柱有____个面，____条棱，____个顶点； （2）四棱柱有____个面，____条棱，___个顶点； （3）五棱柱有____个面，____条棱，____个顶点； （4）根据以上规律，n棱柱有____个面，____条棱，____个顶点； （5）验证欧拉公式：面数+顶点数-棱数=____。 22.（2024-2025学年·江苏南京期末）如图所示为由7个棱长为1厘米的正方体组成的几何体， （1）在下面指定的方格内画出该几何体从三个方向看到的形状图． （2）如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体从正面和从左面看到的形状不变，最多可以再添加      个小正方体． （3）求这个几何体的表面积． 23.如图是某长方体包装盒的展开图．具体数据如图所示，且长方体盒子的长是高的2倍．     （1）展开图的6个面分别标有如图所示的序号，则原包装盒与①相对的面是______（填序号）； （2）若设长方体的高为，则 ①长方体的长为______cm，宽为______cm（用含x的式子表示）； ②请利用一元一次方程知识求长方体包装盒的体积． 学科网（北京）股份有限公司 $