第2章反比例函数分层作业-2026-2027学年苏科版 数学九年级上册

第2章反比例函数分层作业-2026-2027学年数学九年级上册苏科版（2024） 基础达标 一、单选题 1．已知点在反比例函数的图象上，则的值为（    ） A．3 B． C．12 D． 2．已知反比例函数，下列结论错误的是（    ） A．其图象经过点 B．随的增大而减小 C．其图象位于第一、第三象限 D．当时， 3．如图，根据小孔成像的原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：）与物距（蜡烛到小孔的距离）x（单位：）成反比例关系，当时，，则y关于x的关系式是（   ） A． B． C． D． 4．在功一定的条件下，功率与做功时间成反比例，与之间的函数关系如图所示．当时，P的值是（    ） A． B．20 C．30 D．40 5．下列函数中，是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 6．已知，则函数和图象大致是（     ）． A． B． C． D． 7．若点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 8．如图，直线交x轴于点C，交反比例函数的图象于A、B两点，过点B作轴，垂足为D．若，则k的值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 二、填空题 9．反比例函数的图象分别位于第一、第三象限，则符合条件的整数的值可以是___________．（写出一个符合要求的值即可） 10．已知直线与双曲线相交于点，则的值等于________． 11．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，则的值为___________． 12．如图，在压力不变的情况下，某物体承受的压强（单位：）与它的受力面积（单位：）成反比例函数关系．当时，则压强__________． 13．如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作轴，垂足为，点为轴上的一点，连接，．若的面积为2，则的值是__________． 14．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与反比例函数关于轴对称，点在轴上，过点作轴的平行线交两反比例函数于点，，连接，．若的面积为，则反比例函数的解析式为_______． 三、解答题 15．如图，一次函数与反比例函数图象交于点． (1)反比例函数解析式：___________，一次函数解析式：___________ (2)点在反比例函数第二象限的图象上，横坐标为，过点作轴的垂线，交于点，求的值． 16．饮水机的工作原理是开机后自动开始加热（此过程中水温与开机时间分满足一次函数关系）．当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降（此过程中水温与开机时间成反比例关系），当水温降至时，饮水机又自动开始加热，重复上述程序（如图所示表示某时刻水温，饮水机开始加热至下一次加热前与的变化过程） (1)求图中一次函数与反比例函数的表达式（写出自变量的取值范围）； (2)在（1）的条件下，如果饮水机从水温开始加热到自动停止后，水温第一次降至，此时距离开始加热过去了多长时间？ 17．如图，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点B，D为x轴正半轴上一点，过点D作轴，交反比例函数的图象于点A，交正比例函数的图象于点C，B为的中点，连接． (1)若，求k的值； (2)若点B在反比例函数的图象上运动，试判断的面积是否发生变化，并说明理由． 18．杆秤体现了古代劳动人民的智慧，它的制作原理就是根据：杠杆原理，当杠杆处于水平静止状态时，动力×动力臂=阻力×阻力臂，即．跨学科小组的同学，想制作一个简易杆秤（如图所示），它们利用一根长的均匀木杆，在木杆的中点并穿上细绳将木杆吊起．在距离点的左侧处垂直悬挂一个物体，物体重量（即）．在点的右侧挂上一个弹簧秤，竖直向下拉弹簧秤，使木杆处于水平静止状态．设此时弹簧秤与点的距离是，弹簧秤的示数是．完成下列问题： (1)求关于的函数关系式； (2)在右侧任意移动弹簧秤的位置，但使木杆始终保持水平静止状态，求的最小值． 19．如图，在平面直角坐标系中，直线l：与双曲线交于、B两点，C为双曲线上的点． (1)求双曲线的表达式及点B的坐标； (2)连接，当的面积为5时，求点C的坐标； (3)在(2)的条件下，点C位于点A的右侧，点D为双曲线上一点，平面内是否存在点E，使四边形为菱形，若存在，请求出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 思维达标 20．如图1，的边在轴的正半轴上，，反比例函数（）的图象经过点． (1)求反比例函数的关系式和点B的坐标； (2)如图2，过的中点D作轴交反比例函数图象于点P，连接、． ①求的面积； ②M是边上的一点，N是平面内一点，是否存在点M，N，使得四边形是矩形，若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《第2章反比例函数分层作业-2026-2027学年数学九年级上册苏科版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B C C C A D C 1．B 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的特征，将点A的坐标代入反比例函数解析式，直接计算即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴m的值为， 故选：B． 2．B 【分析】本题考查反比例函数的性质，由于 ，图象位于第一、三象限，且在每一象限内随增大而减小，再逐项验证是否符合性质即可． 【详解】∵ 反比例函数，， ∴ 图象位于第一、三象限，且在每一象限内随增大而减小； A．当时，， ∴ 图象经过点 ，正确； B．未限定“同一象限”或“”，直接说“随 增大而减小”错误； C．∵ ， ∴ 图象位于第一、三象限，正确； D．当时，， ∴当时，，且， ∴ ，正确． 故选：B． 3．C 【分析】此题考查了反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 利用待定系数法求出函数表达式即可； 【详解】解：由题意设：， 把时，，代入， 得； ∴关于的函数表达式为； 故选：C． 4．C 【分析】本题主要考查反比例函数与实际问题的综合，掌握待定系数法求反比例函数解析式，代入求值的计算方法是解题的关键． 先求出关于的函数解析式，再将代入计算即可． 【详解】解：由题意设关于的函数解析式为， 代入点得：，解得：， ∴关于的函数解析式为， 当时，． 故选：C． 5．C 【分析】本题考查反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键，根据反比例函数定义通过检查各选项，即可得到答案． 【详解】解：A：，是正比例函数，此项错误； B：，x的指数为，不是，此项错误； C：，是反比例函数，此项正确； D：，可化为，是一次函数，此项错误； 故选：C． 6．A 【分析】此题主要考查了反比例函数和一次函数的图象与系数的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．根据分析两个函数图象所在象限， 即可选出答案 ． 【详解】解：∵ ， 的图象在一、 三象限， 在一、 二、 四象限， 故选：A． 7．D 【分析】本题考查了比较反比例函数值或自变量的大小，先把代入，算出，即可作答． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴ 解得 ∴ 故选：D． 8．C 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握反比例函数k值的几何意义是关键．根据反比例函数k值的几何意义解答即可． 【详解】解：如图，连接， 轴， 轴， ， ， 故选：C． 9．（答案不唯一） 【分析】本题主要考查反比例函数的图象及性质，根据反比例函数的图象分别位于第二、四象限可知，进而问题可求解，熟练掌握反比例函数的图象是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的图象分别位于第一、第三象限， ∴， ∴， ∴可取， 故答案为：（答案不唯一）． 10．4 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合、分式的化简求值，根据一次函数和反比例函数得到，是解题的关键． 根据一次函数和反比例函数相交于点，得到，，再将整理为，最后整体代入求解，即可解题． 【详解】解：直线与双曲线相交于点， 则，， 整理得，， ， 故答案为：4． 11．4 【分析】本题主要考查反比例函数和一次函数的结合，待定系数法式求表达式的方法，掌握待定系数法是解题的关键． 将代入一次函数中，求出m得到点A的坐标，将点A的坐标代入反比例函数求出k即可； 【详解】解：将点代入，得 4，即点， 将点代入，得 ． 故答案为：4． 12．50 【分析】本题考查了图象与点的关系，代入解析式，计算判断即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数， 当时， 故． 13． 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的图象和性质，理解反比例函数的系数k的几何意义和图象所在的象限是解决问题的关键． 根据的面积为2，可以得到的面积也是2，再根据反比例函数k的几何意义和所在的象限，确定k的值即可 ． 【详解】解：连接， ∵轴， ∴轴， ∴， ∴， 又∵反比例函数的图象位于第二象限， ∴， ∴． 故答案为：． 14． 【分析】本题考查轴对称的性质，反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的的几何意义是解题的关键．利用反比例函数与反比例函数关于轴对称得出，再利用的几何意义得出即可求解． 【详解】解：∵反比例函数与反比例函数关于轴对称， ∴设反比例函数图象上一点关于轴对称，在反比例函数上的对应点为， ∴将代入反比例函数中，得， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 故答案为：． 15．(1)， (2)或 【分析】本题考查用待定系数法求函数解析式，平面直角坐标系中两点距离的计算； （1）设反比例函数解析式为，一次函数解析式为，先将点代入反比例函数解析式求出B点坐标，再将A点、B点坐标代入一次函数解析式即可求出； （2）由题意得，分类讨论：当D点在C点上方时，，当C点在D点上方时，，分别求出a的值，再根据点在反比例函数第二象限的图象上，最后确定a的值. 【详解】（1）解：设反比例函数解析式为，一次函数解析式为， ∵一次函数与反比例函数图象交于点， ∴， 解得： ∴， 代入得：， 解得： ∴反比例函数解析式为，一次函数解析式为. 故答案为：，. （2）解：轴， 由题意得， ， 当D点在C点上方时，， 化简得： 解得：或， 当C点在D点上方时，， 化简得： 解得：或， 点在第二象限， 或. 故答案为：或. 16．(1)， (2)10分钟 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的实际应用，正确求出函数解析式是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解函数解析式； （2）将代入反比例函数解析式即可求解时间． 【详解】（1）解：当时，设水温与开机时间分的函数表达式为， 依据题意，得， 解得， 故此函数表达式为， 在水温下降过程中，设水温与开机时间分的函数表达式为， 依据题意，得， 即， 当时，， 故反比例函数的表达式为； （2）解：由于水温是从下降到， ， 解得． 答：从水温开始加热到停止后水温达到，此时距离开始加热过去了10分钟． 17．(1) (2) 解：的面积不发生变化．理由如下： 设点B的坐标为 为的中点，轴， ∴点C的坐标为，点A的坐标为． ∴，点B到的距离为a， 的面积， 的面积不发生变化． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数，熟练利用题中的关系表示出各点坐标是解题的关键． （1）先求得点坐标，再用待定系数法即可解答； （2）设点，再表示出两点坐标，利用三角形面积公式即可解答． 【详解】（1）解：设点B的坐标为， 为的中点，轴， ∴点C的坐标为，点A的坐标为． ， ，解得． 经检验，是分式方程的解， 点B的坐标为， 代入，解得． （2）略 18．(1) (2)的最小值为 【分析】本题主要考查反比例函数的运用，掌握待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象的性质是解题的关键． （1）根据反比例函数的定义，运用待定系数法即可求解； （2）根据反比例函数图形的性质即可求解． 【详解】（1）解：由题意设，把，代入，得， ∴关于的函数解析式为． （2）解：由（1）可知，关于的函数解析式为，，表示弹簧秤与中点的距离，最大值是， ∵， ∴随的增大而减小， ∴把代入，得， ∴弹簧秤的示数的最小值为． 19．(1)双曲线的表达式为，点B的坐标为 (2)点C的坐标为或． (3)E的坐标为或 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合，一元二次方程，菱形的性质，两点之间的距离，掌握知识点是解题的关键． (1) 先求出，则双曲线的表达式为．继而求出，得到直线的表达式为，联立方程，得到解得，得到点B的坐标为，即可解答． （2）设点C的坐标为，过点C作轴交直线于点E，得到点E的坐标为，则，分类讨论：①当点C在点B的左侧时，②当点C在之间时，③当点C在点的右侧时，逐个分析求解即可； （3）设推导出的中点坐标与的中点坐标相同，中点坐标为得到，即，由，得到，解得或，继而求出点E的坐标为或此时点E的坐标为，即可解答． 【详解】（1）解：∵点在双曲线上， ∴， 解得， ∴双曲线的表达式为． ∵点在直线上， ∴， 解得， ∴直线的表达式为． ∵点B是直线与双曲线的交点， ∴联立方程， 消去y得， 两边同乘x整理，得 ，即， 因式分解，得 ， 解得． ∵对应点A， ∴当时，， ∴点B的坐标为． （2）设点C的坐标为，过点C作轴交直线于点E， ∵点E在直线上且横坐标为t， ∴点E的坐标为， ∴． ①当点C在点B的左侧时，如图 或 ∴ ， ∴， 当时， 整理得 ∵判别式， ∴此方程无实数解． 当时， 整理得， 因式分解得， 解得（舍去），． 当时，， ∴点的坐标为． ②当点C在之间时，如图 有， ∴ ， 整理得 ∵判别式， ∴此方程无实数解． ③当点C在点的右侧时，如图 有， ∴ ， 整理得， 因式分解得， 解得，（舍去）， 当时，， ∴点的坐标为． 综上，点C的坐标为或． （3）如图 ∵ ∴， 设 ∵四边形为菱形， ∴的对角线， ∵菱形对角线互相平分， ∴的中点坐标与的中点坐标相同， 中点坐标为 ∴， 即． 又∵菱形邻边相等，即， ∴， ， ， 整理得， 两边同乘m，得 ， 即， ， 方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得或， 将代入，得 ， 解得， ∴此时点E的坐标为． 将代入，得 ， 解得， ∴此时点E的坐标为． 20．(1)（）；点 (2)①3；存在，点M的坐标为或 【分析】（1）由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数关系式，再根据平行四边形的性质结合点A、O、C的坐标即可求出点B的坐标； （2）①延长DP交OA于点E，由点D为线段BC的中点，可求出点D的坐标，再令反比例函数关系式中y＝2求出x值即可得出点P的坐标，作AE⊥x轴，PF⊥x轴，由此即可得出AE，PF，EF的长度，根据反比例中的模型：三角形的面积公式等于梯形面积，即可得出结论； ②首先，由于四边形是矩形，其邻边必然垂直，即，过作的垂线分别交，于点，，已知点，所以可以求出直线的解析式；接下来，因为点必须落在平行四边形的边上，所以需要分情况讨论：分别令直线与平行四边形的两条边（、）所在的直线方程联立求解，最后，通过验证求出的交点是否在线段范围内，即可筛选出所有符合条件的点的坐标． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数的关系式为. 四边形为平行四边形，且点，，点， 点，点. （2）解：①作轴于点E，作轴于点F，如图3所示， 点为线段的中点，点、， 点， 令中，则， 点， 根据反比例函数的几何意义得， ， ②假如四边形是矩形，则，过作的垂线分别交，于点，，作轴于点，如下图： 点， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 把，代入，得， 解得， 直线的解析式为， 设直线的解析式为， 把代入得， ， 直线的关系式为， 联立， 解得， ； ∴点的坐标为或． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $