28.3-28.4相似多边形与位似多边形同步练 2026-2027学年沪教版五四制数学九年级上册

沪教版五四制2026学年九年级上册 28.3-28.4 相似多边形和位似多边形学习目标 【知识点01】 相似多边形 1.定义：把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者说是相似形. 两个边数相同的多边形,如果它们的对应角相等,对应边长度的比相等,那么这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边长度的比叫做相似 比或相似系数. 2.性质：如果两个多边形是相似的，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例. 【知识点02】 位似多边形 2位似多边形 （1） 基本性质 ①两个位似图形一定相似； ②所有对应顶点连线交于同一顶点O（位似中心）； ③对应边互相平行； （2）位似与相似的关系 相似包含着位似，但相似不一定是位似。 （3）平面直角坐标系中的位似规律（以原点为位似中心） ①两图形在原点同侧，位似比k为正；两图形在原点异侧，位似比k为负； ②当|k|>1时，利用位似放大；当|k|<1时，利用位似缩小； ③坐标规律： 原图形上点的坐标（x，y），相似比为k⇒位似图形上点的坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky）. （4）位似图形的画图步骤 ①普通位似图形 首先，连接位似中心和原图各顶点并延长作射线； 然后，在射线上按位似比截取对应顶点； 最后，顺次连接新的各顶点得到位似图形。 ②以坐标原点为位似中心的位似图形 首先，按位似比计算各新顶点的坐标； 然后，顺次连接新的各顶点得到位似图形。 【知识点03】 易考题型总结 相似多边形 1. 相似多边形概念辨析命题判断，辨析矩形、菱形、正多边形相似性 2. 根据相似多边形性质，已知相似比求周长比、面积比 3. 已知周长比/面积比，反求相似比、边长 4. 给出两组多边形边长、角度条件，判定多边形是否相似 5. 相似多边形对应边、对应角计算（注意对应顺序） 6. 实际应用题：相似多边形模型，利用周长、面积比例求解 位似多边形 1. 位似与相似逻辑辨析：位似和相似的充分必要关系选择题 2. 位似中心位置判断；根据图形找位似中心 3. 已知位似比，求对应线段比、周长比、面积比 4. 平面直角坐标系，原点为位似中心求对应点坐标（双解问题） 5. 坐标系中，位似中心不在原点，求点坐标 6. 位似作图类：按指定位似比作放大、缩小图形 7. 几何综合：位似结合多边形边长、面积计算 8. 易错坑题型：混淆位似比前后顺序，原图与像之比颠倒 综合题型 1. 相似‑位似综合填空选择，概念混合判断 2. 多边形位似背景下，面积、周长混合计算 3. 结合网格，网格图中判断位似、求位似比 高频易错考点方向 面积比忘记平方 位似坐标漏一组解 忽略多边形相似要同时满足：对应角相等+对应边成比例 位似比顺序颠倒，前后主体搞反 【题型01】 辨析相似图形 【例1-1】（2026·上海闵行·一模）下列各组图形中不一定是相似图形的是（   ） A．两个等腰直角三角形 B．两个等边三角形 C．两个正方形 D．两个直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查了相似多边形，相似图形需对应角相等且对应边成比例．A、B、C中的图形因角度固定且边长比例确定，故一定相似；D中的直角三角形角度和边长比例可能不同，故不一定相似，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：A、两个等腰直角三角形，两个锐角都是度，故两个等腰直角三角形是相似图形，故该选项不符合题意； B、两个等边三角形，每个内角都是，故两个等边三角形是相似图形，故该选项不符合题意； C、两个正方形，每个正方形的四条边都相等，每个内角都是度，故两个正方形是相似图形，故该选项不符合题意； D、两个直角三角形的一个内角是，但其他两个内角不一定相等且三边不一定成比例，故两个直角三角形不一定是相似图形，故该选项符合题意； 故选：D． 【例1-2】.在下边的方格图中，分别画出和四边形的一个相似图形． 【难度】★ A D A 【答案】略． 【解析】答案不唯一．如图是其中一种． 【总结】考查对于相似图形定义的把握，可以采用全等是特殊的相似画图，若要画比例选段，将各边长分别在横向和纵向等比例分解即可． 【变式1-1】.下列图形中，一定是相似图形的是（   ）． A．两个矩形 B．两个菱形 C．两个三角形 D．两个正方形 【答案】D 【分析】对应角相等，对应边成比例的两个图形是相似图形，对各选项逐一判断即可． 【详解】解：对于选项A ：两个矩形对应角都为直角相等，但对应边不一定成比例，因此不一定是相似图形，不符合要求； 对于选项B ：两个菱形对应边一定成比例，但对应角不一定相等，因此不一定是相似图形，不符合要求； 对于选项C ：两个三角形对应角不一定相等，对应边不一定成比例，因此不一定是相似图形，不符合要求； 对于选项D ：两个正方形的所有内角都是，对应角相等，且所有对应边的比值相等，即对应边成比例，因此一定是相似图形，符合要求． 【变式1-2】.两个相似多边形的相似比为，且它们的周长之差为20，则较大多边形的周长为（     ） A．60 B．40 C．36 D．16 【答案】A 【分析】利用相似多边形周长比等于相似比得到两个多边形的周长比，再结合周长差列方程求解即可． 【详解】解：∵两个相似多边形的相似比为，相似多边形的周长比等于相似比， ∴它们的周长比为， 设较大多边形的周长为，较小多边形的周长为， ∵它们的周长之差为20， ∴， 解得， ∴较大多边形的周长为， 故选：A． 【变式1-3】.如图所示，有一块长为、宽为的玻璃，为了保护玻璃，需要镶上宽的铝合金边框，那么边框的内外边缘所成的矩形相似吗？为什么？ 【答案】不相似，理由见解析 【分析】本题考查的是相似多边形的判定，灵活运用相似多边形的对应边成比例这一判定定理是解题的关键．先根据边框宽度计算出内边缘矩形的长和宽，再分别计算内外矩形对应边的比值，通过判断比值是否相等来确定两个矩形是否相似． 【详解】解：不相似，理由： ， ，， ， ，， ， 不相似． 【变式1-4】.如图，在矩形中，，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形相似于矩形；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形相似于矩形；…按照此规律作下去．若矩形的面积记作，矩形的面积记，矩形的面积记作，…，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似多边形的性质.解题的关键是根据已知和矩形的性质可分别求得，再利用相似多边形的性质可发现规律，即可求解. 【详解】∵四边形是矩形， ， ， ∵按逆时针方向作矩形的相似矩形， ∴矩形的边长和矩形的边长的比为， ∴矩形的面积和矩形的面积的比, 故答案为：. 【题型02】根据相似多边形性质，解相关应用 【例2-1】.如图，一张矩形报纸的宽，长，直线，且与矩形两边分别交于点E，F，将报纸沿直线折叠，则边落在直线上，将报纸沿直线折叠，则边落在直线上，若矩形矩形，则m的值为____________． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质、相似多边形的性质、折叠的性质，设直线交于点，交于点，由折叠的性质并结合矩形的性质可得，再由矩形矩形，得出，即，求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图：设直线交于点，交于点， ， 由矩形的性质可得：， 由折叠的性质可得：，， ∴， ∵， ∴， ∵矩形矩形， ∴， ∴， ∴（负值不符合题意，舍去）， 故答案为：． 【例2-2】.如图，矩形中，，线段，在上取一点，分别以、 为一边作矩形、矩形，使矩形与矩形相似，且点与点、点与点，点与点，点与点分别是对应顶点，令．求出矩形的面积与的函数关系式． 【难度】★★★ 【答案】． 【解析】根据矩形与矩形相似，可对应得 ，因此，进而可求得：． 【总结】考查简单的函数对应关系，找准线段关系即可进行准确表示相关结果． 【变式2-1】对于题目：“在长为6，宽为2的矩形内，分别剪下两个小矩形，使得剪下的两个矩形均与原矩形相似，请设计剪下的两个矩形周长和为最大值时的方案，并求出这个最大值．”甲、乙两个同学设计了自认为满足条件的方案，并求出了周长和的最大值． 甲方案：如图1所示，最大值为16； 乙方案：如图2所示，最大值为16． 下列选项中说法正确的是（    ） A．甲方案正确，周长和的最大值错误 B．乙方案错误，周长和的最大值正确 C．甲、乙方案均正确，周长和的最大值正确 D．甲、乙方案均错误，周长和的最大值错误 【答案】D 【分析】根据相似多边形对应边的比相等的性质分别求出两个小矩形纸片的长与宽，进而求解即可． 【详解】解：∵6：2=3：1， ∴三个矩形的长宽比为3：1， 甲方案：如图1所示， 3a+3b=6， ∴a+b=2， 周长和为2(3b+b)+2(3a+a)=8(a+b)=16； 乙方案：如图2所示， a+b=2， 周长和为2(3b+b)+2(3a+a)=8(a+b)=16； 如图3所示， 矩形①的长为2，则宽为2÷3=； 则矩形②的长为6-=，宽为÷3=； ∴矩形①和矩形②的周长和为2(2+)+2(+)=； ∵16， ∴周长和的最大值为； 故选：D． 【点睛】本题考查了相似多边形的性质，分别求出所剪得的两个小矩形纸片的长与宽是解题的关键． 【题型03】位似图形的辨识 【例3-1】指出下列各图中的两个图形是不是位似图形，如果是位似图形，请指出其位似中心。 解： 图1中的两个图形是位似图形，位似中心是点 。 图2中的两个图形是位似图形，位似中心是点 。 因为图3中的两个图形对应顶点的连线不相交于一点，所以它们不是位似图形 【变式3-1】下图所示的四种画法中，能使得与是位似图形的有（    ） A．①②③④ B．①③④ C．①② D．③④ 【答案】A 【分析】本题考查位似图形，根据“两个相似图形的对应点的连线相交于一点，而且对应边互相平行或位于同一条直线上，像这样的两个图形叫做位似图形，”进行判断即可． 【详解】解：图①对应点的连线相交于点A，对应边，对应边与在同一条直线上，与在同一条直线上，是位似图形； 图②，对应边，，对应边和在同一条直线上，对应点的连线交于一点（的延长线于的交点），是位似图形； 图③，对应点的连线交于点O，对应边，，，是位似图形； 图④，对应点法连线交于点O，对应边，，，是位似图形， 故选：A． 【变式3-2】如图，，试判断 与 是不是位似图形？ 解：不是位似图形。 ∵ ，且 ， ∴ 。 但对应点 的连线与对应点 的连线不交于点 ， 故 与 不是位似图形。 【变式3-3】下列选项中的两个相似图形，不是位似图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是位似变换，掌握两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形是解题的关键．根据位似图形的定义解答即可． 【详解】解：根据位似图图形的定义可知选项A、B、D中的两个图形都是位似图形，C中的两个图形不是位似图形， 故选：C． 【题型04】利用位似图形性质计算 【例4-1】如图， 是 以点 为位似中心经过位似变换得到的，如果 的周长与 的周长比是 ，那么 。 解析： ∵ 与 位似，且周长比为 ， ∴ 与 的相似比为 ， ∴ 。 答案： 【变式4-1】如图，与位似，位似中心为点O，，的面积为4，则面积为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】此题考查了位似的性质、相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．根据与位似得到，由相似三角形的性质即可得到答案． 【详解】解：与位似， ． ． 的面积为4， 故选：D． 【变式4-2】以原点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，若点A坐标为，则对应点的坐标为（     ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查位似图形与坐标的关系，注意在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标比等于k或． 位似变换中，以原点O为位似中心，放大倍数为2时，对应点坐标可能同向或反向，因此有两种情况，据此求解即可． 【详解】解：∵ 位似中心O为原点，位似比为2， ∴ 点的对应点坐标满足：或 ， ∴ 坐标为或， 故选A． 【变式4-3】如图，在舞台设计中，有两个位似的三角形装饰图案和，位似中心为点，经测量它们的相似比是，那么与的面积之比是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，位似图形的面积之比等于位似比的平方，据此可得答案． 【详解】解：∵有两个位似的三角形装饰图案和，位似中心为点，经测量它们的相似比是， ∴与的面积之比是， 故选：B． 【变式4-4】（2026•永川区自主招生）如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，若△ABC与△DEF的周长比为3：4，则OA：AD的值是（　　） A．3：1 B．2：1 C．3：4 D．9：16 【答案】A 【分析】根据位似图形的概念得到AB∥DE，△ABC∽△DEF，得到△AOB∽△DOE，根据相似三角形的性质计算即可． 【解答】解：∵△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，△ABC与△DEF的周长比为3：4， ∴AB∥DE，△ABC∽△DEF，且相似比为3：4， ∴△AOB∽△DOE， ∴， ∴OA：AD＝3：1． 故选：A． 【点评】本题考查的是位似变换，掌握位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键． 【变式4-5】（2026•雁塔区校级模拟）如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．若，则△ABC与△DEF的面积比是（　　） A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9 【答案】D 【分析】根据位似变换的性质计算即可． 【解答】解：∵， ∴， ∵△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形， ∴△ABC与△DEF的面积比为1：9， 故选：D． 【点评】本题考查的是位似变换，相似三角形的判定和性质，掌握位似图形的概念、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 【变式4-6】（2025秋•洪洞县期末）如图，△ABC与△A′B′C′位似，位似中心为点O，若OC′：CC′＝2：1，△A′B′C′的面积为8，则△ABC的面积为（　　） A．12 B．16 C．18 D．20 【答案】C 【分析】根据位似图形的性质得到△A′B′C′∽△ABC，相似比为2：3，再根据相似三角形的性质作答即可． 【解答】解：∵OC′：CC′＝2：1， ∴OC′：OC＝2：3， ∵△ABC与△A′B′C′位似， ∴△A′B′C′∽△ABC，相似比为2：3， ∴， ∵△A′B′C′的面积为8， ∴． 故选：C． 【题型05】画位似图形 【例5-1】如图所示，是以点O为位似中心，确定四边形ABCD的位似图形四边形A′B′C′D′的几种画法，其中画法正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】利用位似图形的定义可判断第二种画法不正确． 【解答】解：以点O为位似中心，确定四边形ABCD的位似图形四边形A′B′C′D′的几种画法，其中画法正确的为第一种、第三种和第4种． 故选：C． 【点评】本题考查了作图﹣位似变换：熟练掌握画位似图形的一般步骤是解决问题的关键． 【变式5-1】 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点都在小正方形的顶点上． (1)点为位似中心，在网格中画，使与的位似比为2（新图与原图的相似比为2）； (2)求的边上的高长． 【答案】(1) 如图所示：即为所作， (2)边上的高长为2 【分析】本题考查了作图—位似变换，相似三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据位似变换的性质作图即可； （2）根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵与的位似比为2， ∴，且相似比为2， ∵边上的高为1， ∴边上的高长为2． 【变式5-2】（2026春•高新区校级期末）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为顶点的△ABC． （1）以点B为位似中心，将线段AC作位似变换，且放大到原来的2倍，得到线段FE（点F、E分别为A、C的对应点），在网格内画出线段EF． （2）若D点在第一象限，且以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则D点的坐标为　（2，5）　 ． 【答案】（1）线段EF为所求： （2）（2，5）． 【分析】（1）根据位似变换的作图要求找到对应点连线即可； （2）结合点A和点B的位置，根据平行四边形的性质即可根据点C求得点D． 【解答】解：（1）根据位似变换的作图要求找到对应点连线，如图，线段EF为所求； （2）如图， ∵A（﹣5，1），B（﹣2，2）， ∴根据平行四边形的性质将点C向上平移1个单位，向右平移3个单位， ∵C（﹣1，4）， ∴D（2，5）． 故答案为：（2，5）． 【点评】本题考查作图—位似变换，平行四边形的判定，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【变式5-3】 如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上． (1)将以点为位似中心放大2倍得到，请画出； (2)使用无刻度的直尺作外接圆的圆心（无需写做法，但要保留清晰的作图痕迹）． 【答案】(1)如图所示； (2)如图所示点为所求： 【分析】本题考查了位似变换和三角形外接圆圆心的作法，解题的关键是理解位似的性质以及外接圆圆心是三角形三边垂直平分线的交点； （1）以点为位似中心，放大2倍意味着对应点到位似中心的距离是原距离的2倍，分别得到，即可； （2）根据三角形的外接圆圆心是三边垂直平分线的交点，利用网格特性，找到，，的中点，并作其垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为外接圆圆心． 【详解】（1）略 （2）略 【变式5-4】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，． (1)画出关于点的中心对称图形； (2)以点为位似中心，在第四象限画出，使与的相似比为2，并直接写出的顶点坐标． 【答案】(1) 如图，即为所求. (2) 如图，即为所求. ，，. 【分析】本题考查的是画中心对称图形，画位似图形. （1）分别确定点关于点成中心对称的对应点，再顺次连接即可. （2）分别确定点的位似对应点，再顺次连接，再根据其位置写出点的坐标即可. 【题型06】位似中心坐标的确定 【例6-1】 如图，以点为位似中心，将按相似比缩小，得到，则点的对应点D的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平移，位似比的意义，解答即可； 【详解】解：点为位似中心，将按相似比缩小，得到， 将点向下平移１个单位长度，得到位似中心为，点的对应点为，按相似比缩小，得到对应点， 再将点向上平移１个单位长度就得到点的对应点D的坐标为； 【变式6-1】（2016秋•鄱阳县校级期末）如图，在坐标系中，以A（0，2）为位似中心，在y轴右侧作△ABC放大2倍后的位似图形△AB'C'，若C的对应点C'的坐标为（m，n），则点C的坐标为（　　） A．（m，n+3） B．（m，n﹣3） C．（m，n+2） D．（m，n﹣2） 【答案】A 【分析】过点A作x轴的平行线DD′，作CD⊥DD′于D，作C′D′⊥DD′于D′，设C（x，y），则CD＝y﹣2、AD＝﹣x、C′D′＝2﹣n、AD′＝m，根据位似比为1：2得，即，计算即可． 【解答】解：过点A作x轴的平行线DD′，作CD⊥DD′于D，作C′D′⊥DD′于D′， 设C（x，y）， 则CD＝y﹣2、AD＝﹣x，C′D′＝2﹣n，AD′＝m， ∵△AB′C′与△ABC的位似比为2：1， ∴，即， 解得：xm，yn+3， ∴点C的坐标为（m，n+3）， 故选：A． 【点评】本题考查的是位似变换的性质和坐标与图形的性质，掌握两个图形必须是相似形是解题的关键，注意相似三角形的性质的灵活运用． 【变式6-2】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)画出将向左平移3个单位，再向上平移2个单位后得到的（点A，B，C的对应点分别是，，）； (2)以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出．使与位似，且相似比为，请写出点的坐标（点A，B，C的对应点分别是，，）； (3)请在图中画出与的位似中心M，并写出点M的坐标． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析，的坐标为 (3)作图见解析，位似中心M的坐标为 【分析】本题考查了图形的平移变换、位似变换及位似中心的确定，求一次函数的解析式． （1）根据“左减右加，上加下减”计算平移后各点坐标，再描点作图即可； （2）以原点为位似中心，相似比且在y轴右侧，通过原坐标乘以2得到对应点坐标； （3）连接对应点连线，其交点即为位似中心，通过计算确定位似中心的坐标． 【详解】（1）解：根据“左减右加，上加下减”计算平移后各点坐标， 向左平移3个单位，向上平移2个单位得； 向左平移3个单位，向上平移2个单位得； 将向左平移3个单位，向上平移2个单位得； 描点连接得． （2）解：以原点O为位似中心，相似比且在y轴右侧，的对应点坐标为． 描点连接得（见上图）， 故点的坐标为． （3）解：作射线、、，交点即为位似中心M（见上图）． 设直线的解析式为， 将和代入解析式， 得到方程组：， 解方程组得，代入得， 因此，直线的解析式为， ∵，，故直线为， 联立求解得． ∴位似中心M的坐标为． 【变式6-3】（2025•绥化一模）如图，以点O为位似中心，把△AOB缩小后得到△COD，使△COD∽△AOB，且相似比为，已知点A（3，6），则点C的坐标为 　（1，2）或（﹣1，﹣2）　 ． 【答案】（1，2）或（﹣1，﹣2）． 【分析】根据位似变换的性质计算即可． 【解答】解：由题意得，点A与点C是对应点， △AOB与△COD的相似比是3， ∴点C的坐标为（3，6），即（1，2）， 当点C值第三象限时，C（﹣1，﹣2） 故答案为：（1，2）或（﹣1，﹣2）． 【点评】本题考查的是位似变换的性质，掌握在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k是解题的关键． 【变式6-4】.如图，在正方形网格中，点，，都在格点上，利用格点按要求完成下列作图．（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹） (1)图1中，以为位似中心，相似比为，在格点上将放大得到，请画出； (2)图2中，在线段上画一个点，使． 【答案】(1)如图所示即为所作， (2)如图所示点即为所作， 【分析】（1）根据位似的定义解题； （2）通过构造相似三角形解题即可． 【详解】（1）解：图中，， ，， ∴， 又∵， ∴，且相似比为， 图略； （2）解：图中，，且， ∴， ∴， 图略． 强化训练 一.单选题 1.下列说法正确的是（     ） A．矩形都是相似图形 B．正方形都是相似图形 C．各边对应成比例的多边形是相似多边形 D．相似多边形对应角的比叫作相似比 【答案】B 【分析】判断相似需同时满足对应角相等、对应边成比例两个条件； 【详解】解：∵ 矩形的对应边不一定成比例， ∴ A错误； ∵ 正方形的对应角相等，对应边成比例， ∴ B正确； ∵ 各边对应成比例的多边形对应角不一定相等， ∴ C错误； ∵ 相似比是对应边的比， ∴ D错误； 2．下列每个选项的两个图形中，不是位似图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了位似变换，掌握位似的两图形必须是相似形且对应点的连线都经过同一点、对应边平行或共线是解题的关键． 根据位似图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：选项A、B、D中两个图形中是位似图形；选项C中两个图形中不是位似图形． 故选：C． 3．如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍，得到．以下说法中错误的是（     ） A．点A，O，在同一直线上 B． C．点O到与的距离之比是 D． 【答案】C 【分析】根据位似图形的对应边平行，位似图形相似，对应顶点到位似中心的距离之比等于位似比，对应顶点所在的直线经过位似中心，来判断． 【详解】解：点为位似中心，把放大到原来的倍，得到， ∴点A，O，在同一直线上，，，， ∴点O到与的距离之比是， 故选项C错误. 4．如图，在直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为原点O．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了位似的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 根据位似比计算即可． 【详解】解：∵点的对应点为， ∴与的位似比为， ∴点的对应点的坐标为． 故选：B ． 5.（2026•铜梁区模拟）如图，△ABC和△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形，若S△ABC：S△A'B'C′＝4：9，则OA：OA'为（　　） A． B．2：3 C．2：5 D．4：9 【答案】B 【分析】由题意得△ABC与△A'B'C'的相似比为2：3，结合位似的性质可得答案． 【解答】解：∵△ABC和△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形，S△ABC：S△A'B'C′＝4：9， ∴△ABC与△A'B'C'的相似比为2：3， ∴OA：OA'＝2：3． 故选：B． 【点评】本题考查位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键． 6．如图，在锐角三角形、矩形、正六边形外加宽度一样的外框，外框边与原图形对应边平行，则外框与原图一定相似的是（   ） A．三角形和矩形 B．三角形和正六边形 C．矩形和正六边形 D．矩形 【答案】B 【分析】本题主要考查相似图形，熟练掌握相似图形的性质是解题的关键；因此此题可根据相似图形的定义进行排除选项即可． 【详解】解：矩形不相似，因为其对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，不符合相似的条件； 锐角三角形的原图与外框相似，因为其三个角均相等，三条边均对应成比例，符合相似的条件； 正六边形相似，因为它们的边长都对应成比例、对应角都相等，符合相似的条件． 故选：B． 7．纸是我们常用的打印纸，把纸沿长边中点对折，形成两个相同的小长方形，我们发现折叠得到的小长方形与折叠前的大长方形相似，则大长方形与小长方形的相似比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似多边形的性质，通过设大长方形的长和宽，利用相似多边形对应边成比例的性质列方程求解相似比即可． 【详解】解：设大长方形的长为，宽为，则折叠后小长方形的长为，宽为， ∵大长方形与小长方形相似 ∴ ∴ ∵， ∴ ∴大长方形与小长方形的相似比为． 故选C． 8．如图，在矩形中，点，分别在，上，四边形是正方形，矩形矩形，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似多边形的性质，正方形和矩形的性质，设，根据相似多边形的性质，列出比例式求出的值，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：四边形是正方形， 设， 矩形矩形，， ． ， 或（舍弃）， ， 故选：． 二、填空题 9.（2025秋•泰兴市期末）已知A（﹣4，2），B（﹣2，3），以原点O为位似中心，将线段AB缩小后得到线段CD，点A的对应点C的坐标为（2，﹣1），则点B的对应点D的坐标为　（1，）　 ． 【答案】（1，）． 【分析】结合位似的性质可得答案． 【解答】解：∵以原点O为位似中心，将线段AB缩小后得到线段CD，点A（﹣4，2）的对应点C的坐标为（2，﹣1）， ∴线段AB与线段CD的相似比为2：1， ∴点B（﹣2，3）的对应点D的坐标为（），即（1，）． 故答案为：（1，）． 【点评】本题考查位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键． 10.（2025秋•市中区期末）如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小得到△A′B′C′，若，△A′B′C′的面积为4，则△ABC的面积为　36　 ． 【答案】36． 【分析】由题意得，△ABC与△A′B′C′的相似比为3：1，可得△ABC与△A′B′C′的面积比为9：1，进而可得答案． 【解答】解：由题意得，△ABC与△A′B′C′的相似比为3：1， ∴△ABC与△A′B′C′的面积比为9：1， ∵△A′B′C′的面积为4， ∴△ABC的面积为36． 故答案为：36． 【点评】本题考查位似变换，熟练掌握位似的性质、相似三角形的性质是解答本题的关键． 11.（2025秋•小店区月考）如图，已知线段AB两个端点的坐标分别为A（6，7），B（10，4），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则点B的对应点D的坐标为　（5，2）　 ． 【答案】（5，2）． 【分析】结合位似的性质可得答案． 【解答】解：由题意得，点B的对应点D的坐标为（10，），即（5，2）． 故答案为：（5，2）． 【点评】本题考查位似变换、坐标与图形性质，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键． 12．如图，平行于地面的三角形纸片上方有一灯泡（看作一个点O）、灯泡发出的光线照射后，在地面上形成阴影，已知灯泡距离地面，灯泡距离纸片，若的面积为6，则阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查的是位似的定义、相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质是解题的关键．由题意可得，根据相似三角形的性质即可得到答案． 【详解】解：如图， 由题意可知，和是以点O为位似中心的位似图形， ∴， ∵已知灯泡距离地面，灯泡距离纸片， ∴， ∵的面积为6， ∴， 即阴影部分的面积为， 故答案为：． 13．下列各选项的两个图形中，是位似图形的有______个． 【答案】3 【分析】本题考查了位似图形的定义，对应边互相平行（或共线）且每对对应顶点所在的直线都经过同一点的两个相似多边形叫做位似图形．根据位似图形的定义判断即可． 【详解】因为两个位似图形的对应点的连线所在的直线经过同一点， 所以第1，2，4个中的两个图形是位似图形，第3个中的两个图形不是位似图形． 故答案为：3． 14．如图，与是以点为位似中心的位似图形，位似比为1：3，正方形的边长为1，点在边上，点在边上，直线交于点，则的长度为_____． 【答案】 【分析】先根据位似图形的性质得，且，即可求出 ，进而得出，再说明，然后根据相似三角形的对应边成比例得出答案． 【详解】解：∵和是以点A为位似中心的位似图形，且位似比是， ∴， ∴，． ∵，正方形的边长为1， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， 解得． 三、解答题 15．如图，已知四边形与四边形相似，点的对应点分别为． (1)求的度数； (2)求边的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相似四边形的性质，四边形的内角和，掌握相似四边形的性质是解题的关键． （）根据相似四边形的性质得到，再根据四边形的内角和即可求解； （）根据相似四边形的性质求解即可． 【小问1】 解：四边形与四边形相似， ， ． 【小问2】 解：∵四边形与四边形相似， ， ， 解得． 16.（2026春•松江区校级月考）如图，四边形ABCD各个顶点的坐标分别为A（0，1），B（0，﹣2），C（﹣3，﹣1），D（﹣2，3）． （1）求这个四边形的面积； （2）如果把原来四边形ABCD各个顶点的横坐标都乘﹣1，纵坐标都乘﹣1，再顺次连接得到的各点，所得的四边形和原四边形ABCD的面积相比是否发生变化？面积是多少？ 【答案】（1）； （2）面积不发生变化，其面积是． 【分析】（1）作DM⊥y轴于点M，CN⊥y轴于点N，如图所示，数形结合得到S四边形ABCD＝S△CBN+S四边形ADCN＝S△CBN+S梯形MNCD﹣S△ADM，代值求解即可得到答案； （2）由题意可知，所得的四边形和原四边形ABCD关于原点对称，图形形状不变，则面积不发生变化，即可得到答案． 【解答】解：（1）CN⊥y轴于点N，作DM⊥y轴于点M，如图所示： ∴S四边形ABCD＝S△CBN+S四边形ADCN＝S△CBN+S梯形MNCD﹣S△ADM ； （2）由题意可知，如果把原来四边形ABCD各个顶点的横坐标都乘﹣1，纵坐标都乘﹣1，再顺次连接得到的各点， 所得的四边形和原四边形ABCD关于原点对称，图形形状不变，则面积不发生变化，其面积是． 【点评】本题考查图形与坐标，数形结合是解决问题的关键． 17．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，请根据条件解决下列问题：    (1)绕点旋转后得到，请画出 (2)以点为位似中心，在指定网格的范围中画出，使与位似，且位似比为； (3)若点为轴上一点，且知是以为腰的等腰三角形，请写出符合条件的所有点的坐标_____； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由题意可先得出点A、B、C关于原点对称的点； （2）点为位似中心，按位似比为即可求解： （3）分别以点A、C为圆心，长为半径画弧与轴交点即可求解． 本题主要考查点的坐标关于原点对称,位似图形及等腰三角形的定义，熟练掌握点的坐标关于原点对称及等腰三角形的定义是解题关键． 【详解】（1）解：由题可得，如图所示：    （2）解：由题可得，如图所示：    （3）解：由题意得：,,    18.图①、图②、图③是6×6的正方形网格．每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的三个顶点都是格点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹，不写作法． (1)在图①中，在边上取一点D，在边上取一点E，连结，使； (2)在图②中，在边上取一点F，； (3)在图③中，在内部取一点G，连结，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图，应用与设计作图、中位线的性质、相似三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键． （1）根据题意，得到，再由相似比与面积比的关系可知，当时，，再作中点即可； （2）根据面积比，作三等分点，连接就可； （3）根据面积比，作四等分位置即可． 【详解】（1），， ， 当时，则， 故取分别为，中点即可， 如图，点即为所作； （2）， ，即， 如图：连接，点即为所作； （3）如图：点即为所作； 学科网（北京）股份有限公司 $ 沪教版五四制2026学年九年级上册 28.3-28.4 相似多边形和位似多边形学习目标 【知识点01】 相似多边形 1.定义：把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者说是相似形. 两个边数相同的多边形,如果它们的对应角相等,对应边长度的比相等,那么这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边长度的比叫做相似 比或相似系数. 2.性质：如果两个多边形是相似的，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例. 【知识点02】 位似多边形 2位似多边形 （1） 基本性质 ①两个位似图形一定相似； ②所有对应顶点连线交于同一顶点O（位似中心）； ③对应边互相平行； （2）位似与相似的关系 相似包含着位似，但相似不一定是位似。 （3）平面直角坐标系中的位似规律（以原点为位似中心） ①两图形在原点同侧，位似比k为正；两图形在原点异侧，位似比k为负； ②当|k|>1时，利用位似放大；当|k|<1时，利用位似缩小； ③坐标规律： 原图形上点的坐标（x，y），相似比为k⇒位似图形上点的坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky）. （4）位似图形的画图步骤 ①普通位似图形 首先，连接位似中心和原图各顶点并延长作射线； 然后，在射线上按位似比截取对应顶点； 最后，顺次连接新的各顶点得到位似图形。 ②以坐标原点为位似中心的位似图形 首先，按位似比计算各新顶点的坐标； 然后，顺次连接新的各顶点得到位似图形。 【知识点03】 易考题型总结 相似多边形 1. 相似多边形概念辨析命题判断，辨析矩形、菱形、正多边形相似性 2. 根据相似多边形性质，已知相似比求周长比、面积比 3. 已知周长比/面积比，反求相似比、边长 4. 给出两组多边形边长、角度条件，判定多边形是否相似 5. 相似多边形对应边、对应角计算（注意对应顺序） 6. 实际应用题：相似多边形模型，利用周长、面积比例求解 位似多边形 1. 位似与相似逻辑辨析：位似和相似的充分必要关系选择题 2. 位似中心位置判断；根据图形找位似中心 3. 已知位似比，求对应线段比、周长比、面积比 4. 平面直角坐标系，原点为位似中心求对应点坐标（双解问题） 5. 坐标系中，位似中心不在原点，求点坐标 6. 位似作图类：按指定位似比作放大、缩小图形 7. 几何综合：位似结合多边形边长、面积计算 8. 易错坑题型：混淆位似比前后顺序，原图与像之比颠倒 综合题型 1. 相似‑位似综合填空选择，概念混合判断 2. 多边形位似背景下，面积、周长混合计算 3. 结合网格，网格图中判断位似、求位似比 高频易错考点方向 面积比忘记平方 位似坐标漏一组解 忽略多边形相似要同时满足：对应角相等+对应边成比例 位似比顺序颠倒，前后主体搞反 【题型01】 辨析相似图形 【例1-1】（2026·上海闵行·一模）下列各组图形中不一定是相似图形的是（   ） A．两个等腰直角三角形 B．两个等边三角形 C．两个正方形 D．两个直角三角形 【例1-2】.在下边的方格图中，分别画出和四边形的一个相似图形． A D A 【变式1-1】下列图形中，一定是相似图形的是（   ）． A．两个矩形 B．两个菱形 C．两个三角形 D．两个正方形 【变式1-2】.两个相似多边形的相似比为，且它们的周长之差为20，则较大多边形的周长为（     ） A．60 B．40 C．36 D．16 【变式1-3】.如图所示，有一块长为、宽为的玻璃，为了保护玻璃，需要镶上宽的铝合金边框，那么边框的内外边缘所成的矩形相似吗？为什么？ 【变式1-4】.如图，在矩形中，，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形相似于矩形；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形相似于矩形；…按照此规律作下去．若矩形的面积记作，矩形的面积记，矩形的面积记作，…，则的值为______． 【题型02】根据相似多边形性质，解相关应用 【例2-1】.如图，一张矩形报纸的宽，长，直线，且与矩形两边分别交于点E，F，将报纸沿直线折叠，则边落在直线上，将报纸沿直线折叠，则边落在直线上，若矩形矩形，则m的值为____________． 【例2-2】.如图，矩形中，，线段，在上取一点，分别以、 为一边作矩形、矩形，使矩形与矩形相似，且点与点、点与点，点与点，点与点分别是对应顶点，令．求出矩形的面积与的函数关系式． 【变式2-1】对于题目：“在长为6，宽为2的矩形内，分别剪下两个小矩形，使得剪下的两个矩形均与原矩形相似，请设计剪下的两个矩形周长和为最大值时的方案，并求出这个最大值．”甲、乙两个同学设计了自认为满足条件的方案，并求出了周长和的最大值． 甲方案：如图1所示，最大值为16； 乙方案：如图2所示，最大值为16． 下列选项中说法正确的是（    ） A．甲方案正确，周长和的最大值错误 B．乙方案错误，周长和的最大值正确 C．甲、乙方案均正确，周长和的最大值正确 D．甲、乙方案均错误，周长和的最大值错误 【题型03】位似图形的辨识 【例3-1】指出下列各图中的两个图形是不是位似图形，如果是位似图形，请指出其位似中心。 【变式3-1】下图所示的四种画法中，能使得与是位似图形的有（    ） A．①②③④ B．①③④ C．①② D．③④ 【变式3-2】如图，，试判断 与 是不是位似图形？ 【变式3-3】下列选项中的两个相似图形，不是位似图形的是（   ） A． B． C． D． 【题型04】利用位似图形性质计算 【例4-1】如图， 是 以点 为位似中心经过位似变换得到的，如果 的周长与 的周长比是 ，那么 。 【变式4-1】如图，与位似，位似中心为点O，，的面积为4，则面积为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式4-2】以原点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，若点A坐标为，则对应点的坐标为（     ） A．或 B．或 C． D． 【变式4-3】如图，在舞台设计中，有两个位似的三角形装饰图案和，位似中心为点，经测量它们的相似比是，那么与的面积之比是（   ） A． B． C． D． 【变式4-4】（2026•永川区自主招生）如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，若△ABC与△DEF的周长比为3：4，则OA：AD的值是（　　） A．3：1 B．2：1 C．3：4 D．9：16 【变式4-5】（2026•雁塔区校级模拟）如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．若，则△ABC与△DEF的面积比是（　　） A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9 【变式4-6】（2025秋•洪洞县期末）如图，△ABC与△A′B′C′位似，位似中心为点O，若OC′：CC′＝2：1，△A′B′C′的面积为8，则△ABC的面积为（　　） A．12 B．16 C．18 D．20 【题型05】画位似图形 【例5-1】如图所示，是以点O为位似中心，确定四边形ABCD的位似图形四边形A′B′C′D′的几种画法，其中画法正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式5-1】 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点都在小正方形的顶点上． (1)点为位似中心，在网格中画，使与的位似比为2（新图与原图的相似比为2）； (2)求的边上的高长． 【变式5-2】（2026春•高新区校级期末）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为顶点的△ABC． （1）以点B为位似中心，将线段AC作位似变换，且放大到原来的2倍，得到线段FE（点F、E分别为A、C的对应点），在网格内画出线段EF． （2）若D点在第一象限，且以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则D点的坐标为　　 ． 【变式5-3】 如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上． (1)将以点为位似中心放大2倍得到，请画出； (2)使用无刻度的直尺作外接圆的圆心（无需写做法，但要保留清晰的作图痕迹）． 【变式5-4】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，． (1)画出关于点的中心对称图形； (2)以点为位似中心，在第四象限画出，使与的相似比为2，并直接写出的顶点坐标． 【题型06】位似中心坐标的确定 【例6-1】 如图，以点为位似中心，将按相似比缩小，得到，则点的对应点D的坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2016秋•鄱阳县校级期末）如图，在坐标系中，以A（0，2）为位似中心，在y轴右侧作△ABC放大2倍后的位似图形△AB'C'，若C的对应点C'的坐标为（m，n），则点C的坐标为（　　） A．（m，n+3） B．（m，n﹣3） C．（m，n+2） D．（m，n﹣2） 【变式6-2】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)画出将向左平移3个单位，再向上平移2个单位后得到的（点A，B，C的对应点分别是，，）； (2)以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出．使与位似，且相似比为，请写出点的坐标（点A，B，C的对应点分别是，，）； (3)请在图中画出与的位似中心M，并写出点M的坐标． 【变式6-3】（2025•绥化一模）如图，以点O为位似中心，把△AOB缩小后得到△COD，使△COD∽△AOB，且相似比为，已知点A（3，6），则点C的坐标为 　 【变式6-4】.如图，在正方形网格中，点，，都在格点上，利用格点按要求完成下列作图．（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹） (1)图1中，以为位似中心，相似比为，在格点上将放大得到，请画出； (2)图2中，在线段上画一个点，使． 强化训练 一.单选题 1.下列说法正确的是（     ） A．矩形都是相似图形 B．正方形都是相似图形 C．各边对应成比例的多边形是相似多边形 D．相似多边形对应角的比叫作相似比 2．下列每个选项的两个图形中，不是位似图形的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍，得到．以下说法中错误的是（     ） A．点A，O，在同一直线上 B． C．点O到与的距离之比是 D． 4．如图，在直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为原点O．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 5.（2026•铜梁区模拟）如图，△ABC和△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形，若S△ABC：S△A'B'C′＝4：9，则OA：OA'为（　　） A． B．2：3 C．2：5 D．4：9 6．如图，在锐角三角形、矩形、正六边形外加宽度一样的外框，外框边与原图形对应边平行，则外框与原图一定相似的是（   ） A．三角形和矩形 B．三角形和正六边形 C．矩形和正六边形 D．矩形 7．纸是我们常用的打印纸，把纸沿长边中点对折，形成两个相同的小长方形，我们发现折叠得到的小长方形与折叠前的大长方形相似，则大长方形与小长方形的相似比为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在矩形中，点，分别在，上，四边形是正方形，矩形矩形，，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9.（2025秋•泰兴市期末）已知A（﹣4，2），B（﹣2，3），以原点O为位似中心，将线段AB缩小后得到线段CD，点A的对应点C的坐标为（2，﹣1），则点B的对应点D的坐标为　． 10.（2025秋•市中区期末）如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小得到△A′B′C′，若，△A′B′C′的面积为4，则△ABC的面积为　　 ． 11.（2025秋•小店区月考）如图，已知线段AB两个端点的坐标分别为A（6，7），B（10，4），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则点B的对应点D的坐标为　　 ． 12．如图，平行于地面的三角形纸片上方有一灯泡（看作一个点O）、灯泡发出的光线照射后，在地面上形成阴影，已知灯泡距离地面，灯泡距离纸片，若的面积为6，则阴影部分的面积为______． 13．下列各选项的两个图形中，是位似图形的有______个． 14．如图，与是以点为位似中心的位似图形，位似比为1：3，正方形的边长为1，点在边上，点在边上，直线交于点，则的长度为_____． 三、解答题 15．如图，已知四边形与四边形相似，点的对应点分别为． (1)求的度数； (2)求边的长度． 16.（2026春•松江区校级月考）如图，四边形ABCD各个顶点的坐标分别为A（0，1），B（0，﹣2），C（﹣3，﹣1），D（﹣2，3）． （1）求这个四边形的面积； （2）如果把原来四边形ABCD各个顶点的横坐标都乘﹣1，纵坐标都乘﹣1，再顺次连接得到的各点，所得的四边形和原四边形ABCD的面积相比是否发生变化？面积是多少？ 17．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，请根据条件解决下列问题：    (1)绕点旋转后得到，请画出 (2)以点为位似中心，在指定网格的范围中画出，使与位似，且位似比为； (3)若点为轴上一点，且知是以为腰的等腰三角形，请写出符合条件的所有点的坐标_____； 18.图①、图②、图③是6×6的正方形网格．每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的三个顶点都是格点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹，不写作法． (1)在图①中，在边上取一点D，在边上取一点E，连结，使； (2)在图②中，在边上取一点F，； (3)在图③中，在内部取一点G，连结，使． 学科网（北京）股份有限公司 $