专题3.1 相似多边形（十四大题型小模块.微专题.大压轴）2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 以“小模块-微专题-大压轴”为框架，系统构建从比例线段到相似多边形性质应用的完整方法体系，通过分层训练实现知识逻辑与解题能力的递进式培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |成比例线段|1典例+3变式|统一单位、排序比比值|比例线段定义的直接应用| |比例性质应用|1典例+3变式|分类讨论后项和为零情况|比例性质与几何量实际意义结合| |相似多边形识别|1典例+3变式|双条件判定（对应角等+对应边成比例）|相似多边形概念的核心辨析| |相似比与周长面积|1典例+3变式|面积比=相似比平方，周长比=相似比|相似性质的定量计算延伸| |规律探索与新定义|1典例+3变式|代数推导验证存在性|相似知识在动态与创新情境中的综合应用|

挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 納无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《专题3.1 相似多边形》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 成比例线段 模块9求相似多边形的边长 模块2 由比例的性质判断正误 模块10 求相似多边形的角度 模块3 由比例的性质求值 模块11 求相似多边形的周长 模块4 比例性质的应用 模块12求相似多边形的面积 模块5 比例尺 微专题1相似多边形背景下的规律探索 模块6识别相似多边形 压轴1 相似多边形背景下的新定义问题 模块7由相似多边形判断正误 通关检测·实战演练 模块8求相似多边形的相似比 知识梳理 · 基础溯源 知识点1 比例线段 1.定义:如果a:b=c:d(或，那就说a,b,cd成比例。两条线段的长度的比叫做两条线段的比 对于四条线段a,b,cd，如果a:b=c:d(或表示为)，那么a,b,c,d叫做成比例线段，简称比例线段·这时，线段a，d是比例外项，线段b，c是比例内项 2.比例的性质 ①基本性质：若(，)． ②合比性质：若(，)． ③等比性质：若 (b·d·…·)，那么． 知识点2 图形的相似： 1. 相似图形： 形状相同的图形叫做相似图形． 2. 相似多边形： 两个边数相同的多边形满足角分别相等，边对应成比例，那么这两个多边形相似． 相似多边形的对应角相等，对应边成比例，对应边的比叫做相似比．相似多边形的周长比等于相似比，相似多边形的面积比等于相似比的平方． 模块通关·举一反 三 【模块一】成比例线段 首先，计算线段比值前必须统一单位，避免因单位不统一产生错误结果。 其次，要明确成比例线段的顺序性，题目描述“线段a、b、c、d成比例”时，默认遵循给定的顺序，对应比例式为a:b=c:d，不能随意调换线段顺序。 判断四条线段是否成比例时，可先将所有线段的长度按从小到大排序，再分别计算前两条的比值与后两条的比值，通过比对比值是否相等完成判断，这种方法能有效避免顺序混乱带来的错判。 【典例1】下列线段、、、是成比例线段的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】A 【分析】根据成比例线段的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，，，，则：，线段、、、成比例线段，符合题意； B、，，，，，，线段、、、不成比例线段，不符合题意； C、，，，，，，线段、、、不成比例线段，不符合题意； D、，，，，，线段、、、不成比例线段，不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查成比例线段．熟练掌握成比例线段的定义：四条线段中，如果与的比等于与的比，即，那么这四条线段叫做成比例线段，是解题的关键． 【变式1-1】如果线段a、b、c、d是成比例线段，且，则________． 【答案】4 【分析】由题意可得出，代入数据，即可求出的值． 【详解】解：∵，，，是成比例线段， ∴，即， 解得：． 故答案为：4． 【点睛】本题考查比例线段的定义．注意各个字母的顺序是解题关键． 【变式1-2】如果线段，，且是和的比例中项，则___________． 【答案】 【分析】根据比例中项的概念，，则可求得线段b的值． 【详解】解：根据题意得：． 即：线段（负值舍去）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了比例中项的概念，根据两条线段的比例中项的平方是另两条线段的乘积，从而求解． 【变式1-3】已知三条长度分别为、、的线段，若再添一条线段，使这四条线段成比例．求所添线段的长度． 【答案】1或4或36 【分析】根据成比例线段的性质求解即可． 【详解】解：设添加的线段长度为x， 当时，解得：； 当时，解得：； 当时，解得：． ∴所添线段的长度为1或4或36． 【点睛】此题考查了线段成比例，解题的关键是熟练掌握线段成比例性质并分类讨论． 【模块二】由比例的性质判断正误 首先要先判断原比例本身是否有意义，重点检查比例的所有后项均不能为零，不少正误判断题会故意设置比例后项为零的陷阱，不能直接跳过合法性判断、直接套用比例性质变形推导，否则很容易误判错误命题为正确。 其次，使用特殊比例性质时要牢记其成立的前提条件，比如运用等比性质时，必须满足所有比例后项的和不等于零，若题目未给出该条件，需要分“后项和为零”和“后项和不为零”两种情况讨论，直接套用性质会漏掉不符合条件的情况，导致判断出错。 最后，得出判断结论后，要将推导结果代回原比例中验证，检查变形后的比例是否仍满足所有项不为零的要求，避免变形过程中扩大未知数取值范围产生增根，进而出现判断错误。 【典例2】若，则下列式子中不正确的是（　　）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，，代入所给选项进行化简即可得出结果． 【详解】解：根据题意，设，，分别代入， A、左边，故错误，符合题意； B、左边，故正确，不合题意； C、左边，故正确，不合题意； D、左边，故正确，不合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 【变式2-1】已知，那么下列比例式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据比例的性质求解即可． 【详解】解：A、∵，∴，故A不符合题意； B、∵，∴，故B符合题意； C、∵，∴，故C不符合题意； D∵，∴，故D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键． 【变式2-2】已知，则下列式子中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据比例的性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、若，则，故本选项错误，不符合题意； B、若，则，故本选项正确，符合题意； C、若，不成立，故本选项错误，不符合题意； D、若，不成立，故本选项错误，不符合题意； 故选：B 【点睛】本题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 【变式2-3】已知两数，，且，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件得出，再根据比例的性质即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， 故选：C． 【点睛】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 【模块三】由比例的性质求值 首先，求值前要先判断原比例是否合法，先确认所有比例的后项都不为零，提前排除会让比例失去意义的未知数取值，不能跳过合法性判断直接套用比例性质变形计算，否则很容易得到不符合要求的错误结果。 其次，遇到连比形式的比例求值问题时，使用参数法要牢记前提条件，若给出a:b:c = m:n:p，设a = km，b = kn，c = kp时，必须明确k≠0，若k为零会使所有字母取值均为零，导致原比例失去意义，直接得到错误的求值结果。 再者，运用合比、分比等性质对比例变形时，要牢记性质的正确形式，不要混淆变形规则、搞错比例项的对应关系，避免因变形错误导致后续计算偏离正确方向。 最后，求出结果后要将所得数值代回原比例验证，一方面确认计算得到的等式成立，另一方面再次检查所有比例后项都不为零，排除变形过程中产生的增根，保证最终结果符合题意。 【典例3】已知，则=（   ） A． B． C． D．17 【答案】A 【分析】根据比例的性质，由，得，则设，得到，，然后把，，代入中进行分式的运算即可． 【详解】解：∵， ∴， 设，得到，， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了比例的性质：常用的性质有内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质． 【变式3-1】已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质）是解决问题的关键，根据合比性质进行计算． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式3-2】．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据比例的性质，得到，代入分式进行计算即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， 故选C． 【点睛】本题考查了比例的性质，分式的化简求值，熟练掌握比例和分式的性质是解题关键． 【变式3-3】若且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用分式的基本性质得到，然后根据等比性质解决问题． 【详解】解：∵， ∴， 又， ∴ 故选B 【点睛】本题考查了比例的性质，掌握比例的系数是解题的关键． 【模块四】比例性质的应用 首先要区分不同比例性质的适用场景，各类比例性质的成立都带有对应前提条件，不能不核对条件就直接套用。例如应用等比性质必须满足所有比例后项之和不为零，若题目未明确给出该条件，必须分“后项和为零”和“后项和不为零”两种情况讨论，缺漏讨论环节会直接导致结果不完整。 其次，应用比例性质解决几何问题时，要结合几何量的实际意义筛选计算结果。线段长度、图形边长、面积等几何量都为正数，通过比例性质计算得到的负解不符合实际意义，需要直接舍去，避免保留不符合要求的错误结果。 再者，比例变形过程中每一步都要符合既定的性质规则，不能随意调换比例内项、外项的位置，也不能随意拆分、合并比例项，混淆性质规则会导致推导出错，直接偏离正确的解题方向。 最后，解决实际应用类问题时，要先梳理清楚各个量之间的对应比例关系，明确题目中是哪两个量成比例，不要搞混比例的内项和外项，对应关系一旦错误，整个计算结果都会出错。 【典例4】a，b，c为的三边长，且，，求的面积． 【答案】150 【分析】根据等式的性质设，，可用k表示a，b，c，根据解方程，可得答案． 【详解】设， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴ ∴ ∴是直角三角形 ∴ 【点睛】本题考查了比例的性质，利用等式的性质得出是解题关键 【变式4-1】如图，在同一时刻，小明测得他的影长为1m，距他不远处的一棵槟榔树的影长为5m．已知小明的身高为1.5m，则这棵槟榔树的高是（    ） A．3m B．4.5m C．5m D．7.5m 【答案】D 【分析】设这棵槟榔树的高是x米，根据同一时刻物高与影长成正比求出x的值即可． 【详解】解：设这棵槟榔树的高是x米， ∵小明的身高为1.5米，他的影长为1米，槟榔树的影长为5米， ∴ ， 解得x＝7.5（米）． 故选：D． 【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键． 【变式4-2】某商店有A，B两种糖果，原价分别为a元/千克和b元/千克．据调查发现，将两种糖果按A种糖果m千克与B种糖果n千克的比例混合，取得了较好的销售效果．现调整糖果价格，若A种糖果单价上涨20%，B种糖果单价下调，仍按原比例混合后，糖果单价恰好不变．则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件表示出价格变化前后两种糖果的平均价格，进而得出等式求出即可． 【详解】解：根据题意得：， 即， ∴， ∴． 故选：B 【点睛】本题主要考查了求加权平均数，比例的性质，根据已知条件表示出价格变化前后两种糖果的平均价格是解题的关键． 【变式4-3】已知A，B两地相距，甲、乙两人分别从A，B两地同时匀速出发．若相向而行，则经过后两人相遇；若同向而行，则经过后甲追上乙 （1）甲、乙两人的速度___________，___________；（用含a，b的代数式表示） （2）若，则___________． 【答案】               【分析】（1）根据题意可得，相向而行时，甲乙两人的路程和等于A，B两地距离，同向而行时，甲乙两人路程差等于A，B两地距离，列出方程组求解即可； （2）由（1）可得，整理可得，即可得出． 【详解】（1）解：根据题意可得： ， 整理得：， 解得：， 故答案为：，． （2）由（1）可得 ， ∴， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了列代数式，解二元一次方程组，比例的性质，解题的关键是正确理解题意，找出等量关系，掌握解二元一次方程组的方法和步骤． 【模块五】比例尺 首先要区分比例尺的类型，使用时先统一图上距离与实际距离的单位，进行数值比例尺计算时，不能混淆长度单位的进率，避免计算结果出现数量级错误。 其次要牢记比例尺的定义是图上距离比实际距离，不要颠倒前后项的位置，同时要区分放大比例尺和缩小比例尺的使用场景：绘制地图等大尺寸景物的缩微图时使用缩小比例尺，前项一般化简为1；绘制微小零件的示意图时使用放大比例尺，后项一般化简为1，前后项位置颠倒会直接导致计算结果完全错误。 另外要注意，比例尺仅对长度尺寸生效，若需要通过比例尺计算图形面积，需要使用比例尺的平方进行换算，直接使用原比例尺计算面积会得到错误结果。 【典例5】在一幅地图上，用3厘米表示实际距离90千米，这幅地图的比例尺是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据比例尺图上距离实际距离求解即可． 【详解】解：比例尺图上距离实际距离 3厘米千米 3厘米厘米 ． 故选：D． 【点睛】本题考查了比例尺，解题的关键是注意单位统一． 【变式5-1】在比例尺为1：10000的地图上，相距4cm的A、B两地的实际距离是（　　） A．400m B．400dm C．400cm D．400km 【答案】A 【分析】设AB的实际距离为xcm，根据比例尺的定义得到4：x＝1：10000，利用比例的性质求得x的值，注意单位统一． 【详解】解：设AB的实际距离为xcm， ∵比例尺为1：10000， ∴4：x＝1：10000， ∴x＝40000cm＝400m． 故选：A． 【点睛】考查了比例线段，用到的知识点是比例线段的性质，关键是根据比例线段的性质列出算式，注意单位的统一． 【变式5-2】A、B两地相距，在的地图上，A、B两地的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图上距离=实际距离×比例尺，代入数据计算即可求解． 【详解】解：150km=150000m=15000000cm ∴图上A、B两地的距离=15000000×=15(cm)， 故选：A． 【点睛】本题考查了比例线段的知识，注意掌握比例线段的定义及比例尺，并能够灵活运用，同时要注意单位的转换． 【变式5-3】某地图上1cm2面积表示实际面积900m2，则该地图的比例尺是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先设该地图的比例尺是1：x，根据面积比是比例尺的平方比，列出方程，求得x的值即可． 【详解】解：设该地图的比例尺是1：x，根据题意得： 1：x2＝1：9000000， 解得x1＝3000，x2＝−3000（舍去）． 则该地图的比例尺是1：3000； 故选：B． 【点睛】此题考查了线段的比，根据面积比是比例尺的平方比，列出方程是解题的关键． 【模块六】识别相似多边形 首先，要牢记相似多边形的判定必须同时满足“对应角相等”“对应边成比例”两个核心条件，不能只满足其中一个就直接下判定结论。比如所有矩形的对应角都相等，但对应边不一定成比例，因此任意两个矩形未必相似；所有菱形的对应边都成比例，但对应角不一定相等，因此任意两个菱形也未必相似，漏掉任意一个条件都会造成判定错误。 最后，要厘清相似多边形与全等多边形的关系，全等多边形是相似比为1的特殊相似多边形，但相似多边形只有在相似比为1时才是全等多边形，不要混淆两个概念的定义，既不能错误认为相似多边形一定全等，也不能忽略全等属于特殊相似这一包含关系。 【典例6】将等边三角形，菱形，矩形，正方形各边向外平移1个单位并适当延长，得到如图所示的4组图形，变化前后的两个多边形一定相似的有（　　） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】C 【分析】根据相似多边形的判定条件求解即可． 【详解】解：∵等边三角形，正方形，菱形的边长都相等， ∴经过平移后，等边三角形，正方形，菱形的对应边成比例，对应角相等， ∴等边三角形，正方形，菱形变化前后的两个多边形一定相似， 矩形变化前后虽然对应角相等，但是对应边不一定成比例，即矩形变化前后两个多边形不一定相似， ∴变化前后的两个多边形一定相似的有3组， 故选C． 【点睛】本题主要考查了相似图形的判定，熟知对应角相等，对应边成比例的两个多边形相似是解题的关键． 【变式6-1】下列两个图形：①两个等腰三角形；②两个直角三角形；③两个正方形；④两个矩形；⑤两个菱形；⑥两个正五边形．其中一定相似的有（　　） A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 【答案】A 【详解】试题解析：①不相似，因为没有指明相等的角或成比例的边； ②不相似，因为只有一对角相等，不符合相似三角形的判定； ③相似，因为其四个角均相等，四条边都相等，符合相似的条件； ④不相似，虽然其四个角均相等，因为没有指明边的情况，不符合相似的条件； ⑤不相似，因为菱形的角不一定对应相等，不符合相似的条件； ⑥相似，因为两正五边形的角相等，对应边成比例，符合相似的条件； 所以正确的有③⑥． 故选A． 【变式6-2】如图，一块长3m、宽1.5m的矩形黑板，镶在其外围的木质边框宽7.5cm，边框的内外边缘所成的两矩形 ___________（填“是”或“不是”）相似矩形. 【答案】不是. 【分析】先求出大矩形的长和宽，再分别求出小矩形和大矩形的长之比和宽之比，根据相似图形的定义判断即可. 【详解】解：3m=300cm，1.5m=150cm ∴大矩形的长为：300＋7.5×2=315cm，宽为：150＋7.5×2=165cm ∵ ∴两矩形不相似 故答案为：不是. 【点睛】此题考查的是相似图形的判定，掌握相似图形的定义是解决此题的关键. 【变式6-3】下列各组图形不一定相似的是（   ） A．两个等腰直角三角形， B．各有一个角是100°的两个等腰三角形 C．两个矩形 D．各有一个角是50°的两个直角三角形， 【答案】C 【分析】利用对应边成比例且对应角相等逐一判定即可． 【详解】A．两个等腰直角三角形，对应边成比例，对应角相等，符合定义，一定相似，故正确； B．各有一个角是100°的两个等腰三角形，100°的角一定是顶角，其余两角一定相等，故一定相似，故正确； C．两个矩形，四个角都是直角，但四条边不一定对应成比例，不一定相似，故错误； D．各有一个角是50°的两个直角三角形，都有一个直角，根据两角对应相等，两三角形相似，故正确． 故选：C． 【点睛】本题考查的是相似图形．根据相似图形的定义，对应边成比例，对应角相等对各选项分析判断． 【模块七】由相似多边形判断正误 首先要避免仅凭直观视觉下结论，有时将符合相似条件的多边形通过旋转、错位摆放改变视觉观感，或是将看似外形相近、实则不满足判定条件的图形放在一起，不能只凭外形观感直接判断对错，必须严格对照“对应角相等、对应边成比例”两个条件逐一验证。 其次要留意特殊图形的常见命题陷阱，比如判断题中经常出现“任意两个矩形都相似”“任意两个菱形都相似”这类表述，矩形仅满足对应角相等，菱形仅满足对应边成比例，都不符合相似多边形的完整判定条件，因此这类表述都是错误的，不要凭借“图形形状相近”的惯性思维错判。 再者要仔细审题，警惕命题人偷换相似多边形与全等多边形的概念关系，比如“相似多边形一定是全等多边形”“全等多边形不属于相似多边形”这类错误表述，要牢记二者的逻辑关系，不要混淆二者的概念边界。 最后，对于格点图形中的相似判定正误题，要准确计算所有对应边的长度与对应角的度数，不能通过目测估算下结论，边长的微小误差就会导致比例不成立，只有逐项验证后才能得出准确的判断结果。 【典例7】下列判断中，正确的是（    ） A．所有等边三角形都相似 B．有一个角是40°的等腰三角形都相似 C．所有矩形都相似 D．所有菱形都相似 【答案】A 【分析】根据对应角相等，对应边成比例的两个图形，叫做相似图形进行判断即可． 【详解】解：A．任意两个等边三角形对应角相等、对应边成比例，一定相似，A正确； B．各有一个角是40°的两个等腰三角形的对应角不一定相等，不一定是相似形，B错误； C．任意两个矩形的对应边不一定成比例，不一定相似，C错误； D．任意两个菱形的对应角不一定相等，不一定相似，D错误； 故选：A． 【点睛】本题考查的是相似图形的判定，掌握对应角相等，对应边成比例的两个图形，叫做相似图形是解题的关键． 【变式7-1】有下列四种说法：①两个菱形相似；②两个矩形相似；③两个平行四边形相似；④两个正方形相似其中说法正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【分析】根据对应角相等，对应边成比例的多边形相似判断即可． 【详解】①两个菱形对应边成比例，对应角不一定相等，所以两个菱形不一定相似； ②两个矩形对应角相等，对应边不一定成比例，所以两个矩形不一定相似； ③两个平行四边形对应角不一定相等，对应边也不一定成比例，所以两个平行四边形不一定相似； ④两个正方形对应角相等，对应边成比例，所以两个正方形一定相似； 只有④正确， 故选D 【点睛】本题考查了相似多边形的判定，熟记判定定理是解题的关键． 【变式7-2】在下列命题中，真命题是 A．两个等腰梯形一定相似 B．两个等腰三角形一定相似 C．两个直角三角形一定相似 D．有一个角是60°的两个菱形一定相似 【答案】D 【详解】解： A、同一底边上的两个内角相等的等腰梯形一定相似，故本选项错误 B、顶角相等或有一个底角相等的等腰三角形相似，故本选项错误； C、由一个锐角相等的直角三角形相似，故本选项错误； D、有一个角是60°的两个菱形一定相似，正确．故选D 【变式7-3】下列命题正确的是（ ） A．有一个角对应相等的平行四边形都相似 B．对应边成比例的两个平行四边形相似 C．有一个角对应相等的两个等腰梯形相似 D．有一个角对应相等的菱形是相似多边形 【答案】D 【分析】可以找特例. 【详解】矩形是平行四边形，有一个角对应相等的时候，不相似，选项A错误.菱形的对应边成比例，但是并不是所有的菱形都相似（当角不一样的时候不相似），所以B选项错误.有一个角对应相等的等腰梯形不一定相似，如矩形是特殊的梯形，不相似，所以C选项错误，所以选D. 【点睛】正确理解相似的含义是解题的关键. 【模块八】求相似多边形的相似比 首先，必须先找准两个多边形的对应关系，只有先根据对应角位置、题目给定的相似表述确定对应顶点，才能进一步得到对应边，不要在未确认对应关系的情况下直接随意选取边长计算。若题目表述为“多边形甲与多边形乙相似”，相似比是甲对应边长度与乙对应边长度的比值，交换两个多边形的表述顺序后，得到的是乙对甲的相似比，为原比值的倒数，混淆顺序会直接得到错误结果。 其次，计算前要统一对应边的长度单位，若题目中给出的不同多边形边长标注了不同单位，必须先将单位换算统一后再计算比值， 第三，要厘清相似比与周长比、面积比的关系，不可直接混淆：相似多边形的周长比等于相似比，但面积比等于相似比的平方，若题目给出面积比要求计算相似比，必须对面积比开平方，不能直接将面积比当作相似比使用。 【典例8】把一矩形纸片对折，如果对折后的矩形与原矩形相似，则原矩形纸片的长与宽之比为_______． 【答案】 【详解】试题分析：不妨设原矩形长为，宽为，因为对折后与原矩形相似，则必定是沿着长的垂直平分线对折，且对折后矩形的两边长为和.根据相似三角形性质，有，所以，则. 考点：1.相似三角形的性质；2.求两个量之比. 【变式8-1】若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（　　） A．1：4 B．1：2 C．2：1 D．1：16 【答案】B 【分析】根据相似多边形的面积之比等于相似比的平方，周长之比等于相似比，就可求解． 【详解】解：∵两个相似多边形面积比为1：4， ∴周长之比为 ＝1：2． 故选：B． 【点睛】本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方． 【变式8-2】如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（    ） A．a＝b B．a＝2b C．a＝2b D．a＝4b 【答案】B 【分析】根据对折表示出小长方形的长和宽，再根据相似多边形的判定，对应边成比例列式计算即可． 【详解】解：对折两次后的小长方形的长为b，宽为， 要使小长方形与原长方形相似，只要满足即可， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了相似多边形的判定，准确表示出小长方形的长和宽是解题的关键 【变式8-3】如图所示，复印纸的型号有A0，A1，A2，A3，A4等，它们之间存在着这样一种关系：将其中某一型号（如A3）的复印纸沿较长边的中点对折，就能得到两张下一型号（A4）的复印纸，且得到的两个矩形都和原来的矩形相似，那么这些型号的复印纸的长、宽之比为______． 【答案】 【分析】设这些型号的复印纸的长、宽分别为b、a，根据相似多边形的对应边的比相等列出比例式，计算即可． 【详解】解：设这些型号的复印纸的长、宽分别为b、a， ∵得到的矩形都和原来的矩形相似， ∴， 则， ∴， ∴这些型号的复印纸的长宽之比为， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，相似多边形的性质为：①对应角相等；②对应边的比相等． 【模块九】求相似多边形的边长 首先要先找准对应边和正确的相似比，必须先根据题干给出的相似对应关系锁定待求边长的对应边，确认相似比的顺序没有颠倒——若题目表述为“多边形A∽多边形B”，相似比为A对应边与B对应边的比值，其次，若需要借助周长、面积等间接条件推导边长，要牢记相似多边形的性质规律：若已知周长比，可直接将其作为相似比代入计算；若已知面积比，必须先对面积比开平方得到相似比后再计算边长，切不可直接将面积比等同于相似比，避免出现倍数错误。 再者，若题目中涉及多个相似多边形的连锁比例关系，要逐次梳理推导，利用相似多边形的传递性得到待求多边形与已知边长多边形的相似比，不要跳步估算，防止在连锁传递过程中搞错比例倍数。 【典例9】的三边长为、、3，的最长边是，如果与相似，那么的最短边长为（　　） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】先确定最长边，最短边为，再根据的最长边是，得到与的相似比为，即可求出的最短边长． 【详解】解：∵的三边长为、、3， ∴最长边，最短边为， ∵的最长边是，与相似， ∴与的相似比为， ∵最短边长为， ∴的最短边长为． 故选：B 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形的性质“对应边成比例”，确定好最长边与最短边，求出相似比是解题关键． 【变式9-1】四边形的边长分别为2，4，6，5，四边形和四边形相似，且四边形最短边的长为6，则它的最长边长为（　　） A．12 B．15 C．18 D．24 【答案】C 【分析】利用相似多边形的性质得出相似比，进而求出即可． 【详解】解：∵四边形和四边形相似，四边形的最长边和最短边的长分别是6和2， 四边形的最短边的长是6， ∴两多边形的相似比为： ， 那么四边形中最长的边长是：． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了相似多边形的性质，得出相似比是解题关键．． 【变式9-2】如图，在矩形中，，点E在矩形的边上，连接，将矩形沿折叠，折叠后的点B落在边上的点F处，得到矩形．若矩形与原矩形相似，则AB的长为_____． 【答案】 【分析】利用折叠的性质，以及相似图形的性质，对应边对应成比例，列出比例式，进行求解即可． 【详解】解：设， ∵将矩形沿折叠，折叠后的点B落在边上的点F处， 则：， ∵矩形与原矩形相似， ∴，即：， 整理，得：， 解得：（不符合题意，舍掉）； ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查相似图形．熟练掌握相似图形的对应边对应成比例，是解题的关键． 【变式9-3】已知：矩形OABC∽矩形OA'B′C′，B′（10，5），AA'＝1，则CC′的长是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据坐标与图形性质求出OA'=5，进而得出矩形OABC与矩形OA'B'C'的相似比为4：5，计算即可． 【详解】解：∵点B′的坐标为（10，5），AA'=1， ∴OA'=5，OA=4， ∴矩形OABC与矩形OA'B'C'的相似比为4：5， ∴OC：OC'=4：5， ∴OC=8， ∴CC'=10-8=2， 故选：B． 【点睛】本题考查了坐标与图形性质，正确求出矩形OABC与矩形OA'B'C'的相似比是解题的关键． 【模块十】 求相似多边形的角度 首先，核心前提是找准对应角，必须先根据相似多边形的顶点对应关系确定待求角度对应哪一个已知角，不能仅凭图形摆放位置随意错配角度，尤其是经过旋转、平移等位置变换的相似多边形，顶点顺序的变化会改变对应关系，错配对应角会直接得出错误结果。 第二，如果题目要求结合内角和推导未知角，要准确套用n边形内角和公式(n-2) 180^，先计算出该多边形的内角总和，再结合已知角和对应角相等的性质推导未知角，记混内角和公式会直接导致计算结果出错。 第三，如果题目中涉及外角相关计算，要记住相似多边形对应外角也相等——对应内角相等，外角是对应内角的邻补角，自然也保持相等关系，且任意多边形的外角和恒为360^，可结合这一性质推导对应外角的度数，不要混淆内角和外角的性质规律。 【典例10】若如图所示的两个四边形相似，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似多边形的对应角相等求出∠1的度数，根据四边形内角和等于计算即可． 【详解】解：∵两个四边形相似， ∴， ∵四边形的内角和等于， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应角相等是解题的关键． 【变式10-1】．图中的两个四边形相似，则______． 【答案】63 【分析】根据相似图形对应边成比例，对应角相等进行求解即可． 【详解】解：∵两个四边形相似， ∴， ∴， ∴， 故答案为：63． 【点睛】本题主要考查了相似图形的性质，熟知相似图形对应边成比例，对应角相等是解题的关键． 【变式10-2】如图，四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'．则α＝_____°，x＝_____ 【答案】 83 12 【分析】根据相似图形的性质，进而得出对应角相等和对应边成比例，进而得出结果． 【详解】解：∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'， ∴∠C=∠C'，=，∠D=∠D'=140°， ∵∠A=62°，∠B=75°， 又四边形的内角和为360°， ∴∠C'=360°-62°-75°-140°=83°， ∵AD=9，A'D'=6，B'C'=8， ∴=， 解得x=12． 故答案为：83；12． 【点睛】本题考查了相似图形的性质，四边形的内角和，熟练地掌握以上内容是解决本题的关键． 【变式10-3】如图，四边形四边形，且，，，，，，． （1）请直接写出：__________度； （2）求边和的长． 【答案】（1）83；（2）边和的长分别为和12 【分析】（1）根据相似多边形的对应角相等以及四边形内角和360°解决问题即可． （2）利用相似多边形的对应边成比例，解决问题即可． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′， ∴∠D=∠D′=140°， ∴∠C=360°-∠A-∠B-∠D=360°-62°-75°-140°=83°， 故答案为：83； （2）∵四边形四边形， ∴， ∵，，，， ∴， ∴，， ∴边和的长分别为和12； 【点睛】本题考查相似多边形的性质，四边形内角和定理等知识，解题的关键是掌握相似多边形的性质，灵活运用所学知识解决问题． 【模块十一】求相似多边形的周长 首先，求相似多边形周长要以正确的相似比为计算基础，必须先确认对应关系，理顺相似比的前后顺序：若表述为“多边形A相似于多边形B”，周长比等于A对B的相似比，切不可颠倒相似比顺序。 其次，要牢记相似多边形的性质，明确周长比与相似比的关系：相似多边形的周长比等于相似比，从根源上避免性质误用的错误。 如果题目给出两个相似多边形的周长和或者周长差，要求分别计算两个多边形的周长，可以结合相似比设份数计算：比如两个多边形的相似比为k，可将周长分别设为k份和1份，再结合给出的和差关系求出每份对应的长度，最终得到目标周长，计算时注意不要混淆份数对应的多边形，避免结果颠倒。 如果题目是通过部分对应边长推导周长，要选取一组对应边计算相似比，确认相似比准确后再代入计算，不要错把非对应边的比值当作相似比，导致计算出错。 【典例11】如图，四边形和四边形相似，，，，，，． （1）求、的长度； （2）求、的大小； （3）若，求四边形和四边形的周长的比． 【答案】（1），；（2），；（3） 【分析】（1）根据相似多边形对应边成比例列出比例式，代入数据即可求解； （2）根据相似多边形对应角相等和四边形内角和即可求解； （3）根据相似多边形的周长比等于对应边之比即可得出答案. 【详解】（1）∵四边形∽四边形， ∴即，即． ∴，． （2）∵四边形∽四边形， ∴． ∵， ∴． （3）∵ ∴四边形和四边形的周长的比=． 【点睛】本题考查相似多边形的性质，熟记对应边成比例，对应角相等，周长比等于相似比是解决本题的关键. 【变式11-1】某校有两块相似的多边形草坪，其面积比为9：4，其中较大的一块草坪的周长是36米，则另一块草坪的周长是_____． 【答案】24米 【分析】根据相似多边形面积的比等于相似比的平方，可求出两多边形的相似比，再根据相似多边形周长的比等于相似比即可求解． 【详解】∵面积比为9：4， 根据相似多边形面积的比等于相似比的平方， ∴相似比为3：2， ∵较大的草坪的周长是36米， 设另一块草坪的周长为x， 36：x=3：2， 解得：24米， 故答案为：24米． 【点睛】本题主要考查相似多边形周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方的性质． 【变式11-2】两个相似多边形的一组对应边分别是3cm和4.5cm，如果它们的周长之和是80cm，那么较大的多边形的周长是（    ） A．16cm B．32cm C．48cm D．52cm 【答案】C 【分析】根据相似图形的相似比等于周长比，从而计算即可． 【详解】由题可知，这两个相似多边形的相似比为， ∵相似图形的周长比等于相似比， ∴它们的周长之比为， ∴较大的多边形周长为， 故选：C． 【点睛】本题考查相似图形的性质，熟记周长比等于相似比是解题关键． 【变式11-3】如图，已知矩形中， ，在上取一点 E ，沿将向上折叠，使得 B 点落在上的 F 点，若矩形与矩形相似，则矩形与矩形的周长比为_______ 【答案】 【分析】可设，根据矩形与矩形相似，可得比例式，求解即可． 【详解】解：∵沿将向上折叠，使得 B 点落在上的 F 点， ∴四边形是正方形， ∵， 设，则，， ∵矩形与矩形相似， ∴，或者， 当时，有，显然方程无解，此种情况舍去； 当时，有：， 解得，（不符合题意的负值舍去）， 经检验是原方程的解． 即，， 即：矩形的周长为：， 与矩形的周长， 即二者的比为：， 故答案为：． 【点睛】考查了翻折变换（折叠问题），相似多边形的性质，本题的关键是根据矩形与矩形相似得到比例式． 【模块十二】 求相似多边形的面积 首先，计算的前提仍是找准对应关系、确定正确的相似比，必须根据题干给出的顶点对应顺序锁定对应边，切勿错将非对应边的比值当作相似比，也不能颠倒相似比的前后顺序，从计算起点避免出错。 其次，核心要准确区分相似多边形周长比与面积比的性质差异，牢记相似多边形的面积比等于相似比的平方，切不可混淆性质，如果是已知面积比反求相似比，也要记得先对面积比开平方得到相似比。 如果题目是结合周长、边长等条件间接求面积，要遵循“先求相似比，再推导面积比，最后结合已知面积求未知面积”的步骤计算，不要跳步错用条件； 【典例12】已知两个相似多边形的面积之比是，则这两个相似多边形的相似比是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据相似多边形的面积之比等于相似比的平方计算选择即可． 【详解】∵两个相似多边形的面积之比是， ∴这两个相似多边形的相似比是， 故选A． 【点睛】本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的面积之比等于相似比的平方是解题的关键． 【变式12-1】两个相似多边形的周长比是，其中小多边形的面积为，则较大多边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似多边形的周长比得到面积的比，进而得解． 【详解】解：∵两个相似多边形的周长比是， ∴两个相似多边形的相似比是， ∴两个相似多边形的面积比是， ∵小多边形的面积为， ∴较大多边形的面积为， 故选：C． 【点睛】此题考查了相似多边形的性质：相似多边形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，熟记性质是解题的关键． 【变式12-2】如图所示，长为8cm，宽为6cm的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部分），如果剩下矩形与原矩形相似，那么剩下矩形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，剩下矩形与原矩形相似，利用相似形的对应边的比相等可得． 【详解】解：依题意，在矩形ABDC中截取矩形ABFE， 则矩形ABDC∽矩形FDCE， 则， 设DF=xcm，得到： 解得：x=4.5， 则剩下的矩形面积是：4.5×6=27cm2． 故选：A． 【点睛】本题就是考查相似形的对应边的比相等，分清矩形的对应边是解决本题的关键． 【变式12-3】某校九年级数学兴趣小组在探究相似多边形问题时，他们提出了下面两个观点： 观点一：将外面大三角形按图1的方式向内缩小，得到新三角形，它们对应的边间距都为1，则新三角形与原三角形相似． 观点二：将邻边为6和10的矩形按图2的方式向内缩小，得到新的矩形，它们对应的边间距都为1，则新矩形与原矩形相似． 请回答下列问题： （1）你认为上述两个观点是否正确？请说明理由． （2）如图3，已知，AC=6，BC=8，AB=10，将按图3的方式向外扩张，得到，它们对应的边间距都为1，DE=15，求的面积． 【答案】（1）观点一正确；观点二不正确；理由见解析；（2）54 【分析】（1）根据相似三角形以及相似多边形的判定定理来判定两个观点是否正确； （2）首先根据勾股定理的逆定理求出∠C是直角，根据相似三角形的性质可求出△DEF的边长，进而求出△DEF的面积． 【详解】解：（1）观点一正确；观点二不正确． 理由：①如图（1）连接并延长DA，交FC的延长线于点O， ∵△ABC和△DEF对应的边的距离都为1， ∴AB//DE，AC//DF， ∴∠FDO＝∠CAO，∠ODE＝∠OAB， ∴∠FDO+∠ODE＝∠CAO+∠OAB， 即∠FDE＝∠CAB，同理∠DEF＝∠ABC， ∴△ABC∽△DEF， ∴观点一正确； ②如图（2）由题意可知，原矩形的邻边为6和10， 则新矩形邻边为4和8， ∵，， ∴， ∴新矩形于原矩形不相似， ∴观点二不正确； （2）∵AC＝6，BC＝8，AB＝10， ∴△ABC是直角三角形， ∴∠ACB=90°， 由（1）知△ABC∽△DEF， ∴∠DFE=90°，， ∴，， ∴DF＝9，EF＝12， ∴△DEF的面积为：9×12＝54． 【点睛】本题主要考查了相似形的综合题，矩形的性质，平行线的判定，主要涉及到相似三角形以及相似多边形的判定，熟练应用相似三角形的判定与性质是解题关键． 专题攻坚·多题归一 【微专题一】相似多边形背景下的规律探索 首先，必须牢牢把握相似多边形的判定核心，相似多边形需要同时满足“对应角相等”“对应边成比例”两个条件，二者缺一不可，不能仅依据单一条件判定多边形相似。 其次，处理该类问题中的存在性探究时，需要结合题目给定的定义或条件列出对应关系式，通过代数运算推导验证结论，不能仅依靠图形直观直接给出判断。需要依据定义结合对应边的比例关系整理推导，最终根据计算结果得出存在与否的结论，不能仅凭猜想下结论。 最后，若问题结合三角形等其他图形综合考查，要先利用已知图形的性质与相似图形的性质，推导得到目标多边形对应边、对应角的相关信息，再在此基础上完成后续的计算或证明，保证整个推导过程逻辑严谨、步步有据，避免因跳步推导出现错解。 【典例13】如图，在矩形中，，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形，…，按照此规律作下去．若矩形的面积记作，矩形的面积记作，矩形的面积记作，…，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知和矩形的性质可分别求得，再利用相似多边形的性质发现规律，然后根据规律即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵按逆时针方向作矩形的相似矩形， ∴矩形的边长和矩形的边长的比为， ∴矩形的面积和矩形的面积的比为， ∵，，，… ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似多边形的性质，解此题的关键是能根据求出的结果得出规律． 【变式13-1】如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为1，它的6条对角线又围成一个正六边形 A2B2C2D2E2F2，如此继续下去，则六边形A4B4C4D4E4F4的面积是________． 【答案】 【分析】由正六边形的性质得：∠A1B1B2＝90°，∠B1A1B2＝30°，A1A2＝A2B2，由直角三角形的性质得出B1B2＝A1B1＝，A2B2＝A1B2＝B1B2＝，由相似多边形的性质得出正六边形A2B2C2D2E2F2的面积：正六边形A1B1C1D1E1F1的面积＝，求出正六边形A1B1C1D1E1F1的面积＝，得出正六边形A2B2C2D2E2F2的面积，同理得出正六边形A4B4C4D4E4F4的面积． 【详解】解：由正六边形的性质得：∠A1B1B2＝90°，∠B1A1B2＝30°，A1A2＝A2B2， ∴B1B2＝A1B1＝，A2B2＝A1B2＝B1B2＝， ∵正六边形A1B1C1D1E1F1∽正六边形A2B2C2D2E2F2， ∴正六边形A2B2C2D2E2F2的面积：正六边形A1B1C1D1E1F1的面积＝（）2＝， ∵正六边形A1B1C1D1E1F1的面积可以看出6个边长为1的等边三角形的面积和， 等边三角形的面积为×（边长）2， ∴正六边形A1B1C1D1E1F1的面积=6××1＝， ∴正六边形A2B2C2D2E2F2的面积＝×＝， 同理：正六边形A4B4C4D4E4F4的面积＝（）3×＝ 故填：. 【点睛】本题考查了正六边形的性质、相似多边形的性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握正六边形的性质，由相似多边形的性质得出规律是关键． 【变式13-2】有一块边长为的等边三角形纸板，如图1，经过底边的中点剪去第一个正三角形;如图2，过剩余底边的中点再剪去第二个正三角形，然后依次过剩余底边的中点再剪去更小的第三个第四···正三角形，则剪掉的第个正三角形的面积是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等边三角形的性质得出，三角形的边长分别为 ，...即相邻三角形相似比为: 1: 2,进而求出即相邻三角形面积比,从而得出规律. 【详解】解: ∵依次剪去一块更小的正三角形纸板，即其边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的 ∴三角形的边长分别为 即相邻三角形相似比为: 1: 2, 即相邻三角形面积比为: 1: 4, ∴剪去一块的正三角形纸板面积分别为: ∴第n个纸板的面积为: ∴第2020个纸板的面积为: 故选：B 【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质与数据的规律性知识，此题得出相邻三角形面积比，从而表示出各三角形面积是解决问题的关键. 【变式13-3】在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C；延长C1B1交x 轴于点A2，作正方形A2B2C2C1，…按这样的规律进行下去，第2018个正方形的面积为_____． 【答案】5×（）2017 【分析】根据勾股定理求出AB，证明△ABA1∽△DOA，根据相似三角形的性质求出A1B，计算求出A1C，根据正方形的面积公式求出正方形A1B1C1C的面积，总结规律，根据规律计算即可． 【详解】解：∵点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）， ∴OA=1，OD=2， ∵∠AOD=90°， ∴AB=AD==，∠ODA+∠OAD=90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD=∠ABC=90°，S正方形ABCD=5， ∴∠ABA1=90°，∠OAD+∠BAA1=90°， ∴∠ODA=∠BAA1， ∴Rt△ABA1∽Rt△DOA， ∴，即， 解得，A1B=， ∴A1C=， 则正方形A1B1C1C的面积=（）2=5×， 同理，正方形A2B2C2C1的面积=5×（）2， … 则第2018个正方形的面积为5×（）2017， 故答案为：5×（）2017． 【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，正方形的性质，解题的关键是求出正方形ABCD和正方形A1B1C1C的面积，得出求解的规律． 压轴拓展·素养提升 【压轴一】相似多边形背景下的新定义问题 首先要准确把握新定义给出的规则要求，将新定义的文字表述转化为相似多边形的对应判定条件，不能仅凭原有相似多边形的认知曲解规则，比如题目中常见的“k倍矩形”这类新定义，往往要求满足“新矩形周长为原矩形的k倍，且面积也为原矩形的k倍”，两个条件需要同时满足，不能遗漏任意一个。其次，无论新定义给出怎样的限制要求，都不能脱离相似多边形的基本性质进行推导，新定义下的相似多边形依然需要满足“对应角相等、对应边成比例”的核心要求，所有推导都要以这一性质为基础展开。若题目中未明确多边形边的对应关系，还需要对不同的对应情况进行分类讨论，逐一验证是否符合定义要求，避免出现漏解。最后，求解这类问题中常见的存在性设问时，一般需要先假设符合要求的图形存在，再结合新定义规则和相似性质列出关系式，通过代数运算推导验证结论，推导结束后还要对得到的结果进行合理性检验，排除不符合题意的增根，保证最终结论正确。 【典例14】如图，阅读探索：任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？假设存在，那么这个矩形叫作给定矩形的“减半”矩形．如图矩形就是矩形ABCD的“减半”矩形． (1)当已知矩形A的两边长分别为6和1时，小亮同学是这样研究的：设所求矩形B的两边长分别是x和y，由题意，得，消去y可得，∵，∴___________，___________；∴满足要求的矩形B存在；（完成填空） 请你继续解决下列问题： (2)当矩形的长和宽分别为7和 1时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，并说明理由； (3)边长为a的正方形存在“减半”正方形吗？如果存在，求出“减半”正方形的边长；如果不存在，说明理由． 【答案】(1)，； (2)存在，理由见解析； (3)不存在，理由见解析． 【分析】（1）根据题意所列方程，解一元二次方程可得 从而可得答案； （2）设所求矩形的两边长分别是x和y，由题意，得，消去y可得，再判断方程是否有解即可得到结论； （3）利用两个正方形是相似图形，则周长之比与面积之比不相等，从而可得答案． 【详解】（1）解：由题意，得，消去y得： ， 则， ∴ ∴，； 当时， 当时，， 所以方程组的解为：或 ∴满足要求的矩形B存在，边长分别为：． （2）设所求矩形的两边长分别是x和y，由题意，得， 消去y可得， ∵， ∴， ∴ ∴存在“减半”矩形； （3）不存在．理由如下： 因为两个正方形是相似图形， 当它们的周长比为时，面积比必定是， 所以正方形不存在“减半”正方形． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，方程组的解法，相似图形的判定与性质，理解题意，建立合适的数学模型解题是解本题的关键． 【变式14-1】宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（　　） A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH 【答案】D 【分析】先根据正方形的性质以及勾股定理，求得DF的长，再根据DF=GF求得CG的长，最后根据CG与CD的比值为黄金比，判断矩形DCGH为黄金矩形． 【详解】解：设正方形的边长为2，则CD=2，CF=1 在直角三角形DCF中， ∴矩形DCGH为黄金矩形 故选：D． 【点睛】本题主要考查了黄金分割，解决问题的关键是掌握黄金矩形的概念．解题时注意，宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，图中的矩形ABGH也为黄金矩形． 【变式14-2】阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的2倍，则这个矩形是给定矩形的“加倍”矩形．如图，矩形是矩形的“加倍”矩形． 解决问题： （1）当矩形的长和宽分别为3，2时，它是否存在“加倍”矩形？若存在，求出“加倍”矩形的长与宽，若不存在，请说明理由． （2）边长为的正方形存在“加倍”正方形吗？请做出判断，并说明理由． 【答案】（1）存在；见解析；（2）不存在；见解析． 【分析】（1）设“加倍”矩形的一边为，则另一边为，根据面积是已知矩形面积的2倍列出方程，求解即可； （2）根据题意：若两个正方形是相似图形，根据相似图形的性质，面积比是相似比即周长比的平方；故不存在“加倍”正方形； 【详解】（1）解：存在 设“加倍”矩形的一边为，则另一边为， 则：， 解之得：，， ∴； ∴， 答：“加倍”矩形的长为，宽为； （2）不存在， 因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为2时， 则面积比必定是4，所以不存在． 【点睛】本题考查了矩形的性质；正方形的性质；相似多边形的性质，解答本题要充分利用所有正方形相似的特殊性质． 【变式14-3】（1）定义1：若一个矩形的周长和面积分别是另一个矩形周长和面积的2倍，则称这个矩形是原矩形的“加倍矩形” 问题1：一个正方形是否存在一个“加倍正方形”？答______（填“是”或“否”）； 问题2：长为3，宽为1的矩形的“加倍矩形”的长为______，宽为______； （2）定义2：若一个矩形的周长和面积分别是另一个矩形周长和面积的，则称这个矩形是原矩形的“减半矩形”． 问题3：长为4，宽为1的矩形的“减半矩形”是否存在？答______（填“是”或“否”）； 问题4：长为6，宽为1的矩形的“减半矩形”的长为______； 问题5：长为n，宽为1的矩形的“加倍矩形”的长为______；（用n的代数式表示） 问题6：长为n，宽为1的矩形的“减半矩形”的存在条件是______；（用含n的关系式表示） （3）定义3：若一个矩形的周长和面积分别是另一个矩形周长和面积的k倍，则称这个矩形是原矩形的“k倍矩形”（注意，且k可以取小于1的数） 问题7：长为n，宽为1的矩形的“k倍矩形”的存在条件是______；（、，用含n、k的关系式表示） 【答案】（1）否，，；（2）否；2；； 或；（3） 【分析】（1）根据题意：若两个正方形是相似图形，根据相似图形的性质，面积比是相似比即周长比的平方；故不存在“加倍”正方形；设“加倍矩形”的长和宽分别为x，y，列出方程组求解即可； （2）根据“减半矩形”和“加倍矩形”的定义，类似（1）的方法求解即可； （3）根据“k倍矩形”的定义，类似（1）的方法求解即可． 【详解】解：（1）问题1：不存在． 因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为2时，则面积比必定是4，所以不存在． 问题2：设“加倍矩形”的长和宽分别为x，y．则：，解得（舍去）． 故答案为：，； （2）问题3：设“减半矩形”的长和宽分别为m，c．则：，消元并化简得，； ∵， ∴方程没有实数根，故不存在； 故答案为：否； 问题4：设“减半矩形”的长和宽分别为a，b．则：， 解得，或（舍去）； 故答案为：2； 问题5：设“加倍矩形”的长和宽分别为d，e．则：，解得或（舍去）； 故答案为：； 问题6：设“减半矩形”的长和宽分别为f，g．则：，消元并化简得，； ∵， 解得， 或 故答案为： 或； （3）问题7：设“k倍矩形”的长和宽分别为t，s．则：，消元并化简得，； ∵， 解得， 故答案为：； 【点睛】本题考查了新定义和一元二次方程的解法和根的判别式，相似图形的性质，解题关键是准确理解题意，熟练解一元二次方程和运用一元二次方程的根的判别式进行求解． 通关检测·实战演练 一 选择题 1.已知三个数2、3、4，如果再添加一个数，使得这四个数成比例，那么这个数可以是（    ） A．1.5； B．2； C．2.5； D．3. 【答案】A 【分析】根据比例的概念：要求第四个数时，只需让其中的任何的两个数相乘，再除以第三个数即可求得第四个数，据此解答． 【详解】解：∵，∴添加的数可以是，故选项A符合题意； ∵，∴添加的数不可以是2，故选项B不符合题意； ，∴添加的数不可以是2.5，故选项C不符合题意； ∴添加的数不可以是3，故选项D不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 2．若（），则（　　） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据已知条件得到，，代入代数式即可得到结论． 【详解】解：， ，， ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了比例线段，正确的理解题意是解题的关键． 3.若，则下列式子一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，利用比例的性质可得，可判断 由可得再计算可判断 由 利用分式的基本性质可判断 由利用分式的加法的逆运算可判断 从而可得答案． 【详解】解： ， ，故不符合题意； 故不符合题意； ， ，故不符合题意； ， ，故符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查的是分式的基本性质，分式的加法的逆运算，比例的基本性质，掌握以上知识是解题的关键． 4.如图，是的中点，将面积为的菱形沿方向平移长度得到菱形，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得，▱ABCD∽▱OECF，且AO=OC=，故四边形OECF的面积是▱ABCD面积的 【详解】解：如图， 由平移的性质得，▱ABCD∽▱OECF，且AO=OC= 故四边形OECF的面积是▱ABCD面积 即图中阴影部分的面积为4cm2． 故选：C 【点睛】此题主要考查了相似多边形的性质以及菱形的性质和平移性质的综合运用．关键是 应用相似多边形的性质解答问题. 5.如图，在矩形中，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形的相似矩形，再连接，以对角线为边作矩形的相似矩形，…按此规律继续下去，则矩形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知和矩形的性质可分别求得AC，AC1，AC2的长，从而可发现规律，根据规律即可求得第n个矩形的周长． 【详解】∵四边形ABCD是矩形， ∴AD⊥DC， ∴， ∵按逆时针方向作矩形ABCD的相似矩形AB1C1C， ∴矩形AB1C1C的边长和矩形ABCD的边长的比为 ∴矩形AB1C1C的周长和矩形ABCD的周长的比， ∵矩形ABCD的周长=（2+1）×2=6， ∴矩形AB1C1C的周长=， 依此类推，矩形AB2C2C1的周长和矩形AB1C1C的周长的比 ∴矩形AB2C2C1的周长= ∴矩形AB3C3C2的周长= …… 按此规律矩形的周长为： 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似多边形的性质，解此题的关键是能根据求出的结果得出规律． 二 填空题 6.．已知．则它们的周长比为 【答案】 【分析】利用相似三角形的周长比等于相似比，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴△ABC与△DEF的相似比是， ∴它们的周长比为． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方是解题的关键． 7.已知线段，，如果线段c是线段a、b的比例中项，那么 A．±3 B． C．4.5 D．5 【答案】3 【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可得出比例中项，注意线段不能为负． 【详解】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得： 比例中项的平方等于两条线段的乘积． 则， 解得（线段是正数，负值舍去）， 所以． 【点睛】此题考查了比例线段，正确理解比例中项的概念，这里注意线段不能是负数是解题关键． 8.若两个相似多边形的面积比为，则它们对应边的比是 【答案】 【分析】根据相似多边形的面积比等于相似比的平方，解决问题即可． 【详解】解：∵两个相似多边形的面积比为， ∴它们的对应边的比， 【点睛】本题考查相似多边形的性质，解题的关键是理解相似多边形的面积比等于相似比的平方． 9.如图，在正方形中，、、、分别是、、、上靠近、、、的四等分点，、、、分别是、、、上靠近、、、的四等分点，则__________． 【答案】 【分析】设，，求出小正方形的边长，可得结论． 【详解】解：如图， 设，， 则， ，， 故答案为． 【点睛】本题考查了相似多边形的性质，正方形的性质，勾股定理等知识，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 10.我们把长与宽之比为的矩形纸片称为标准纸．不难发现，将一张标准纸如图一次又一次对开后，所得的矩形纸片都是标准纸．现有一张标准纸，，，那么把它第次对开后所得标准纸的周长是________． 【答案】 【分析】首先根据题意求出则第n对开后的长为：（）n-1，宽为：（）n，则周长为：2[（）n-1+（）n]= ，然后代入求解即可求得答案． 【详解】解：∵AB=1，BC=， ∴第一对开后的长为：1，宽为：，则周长为：2（1+）=2+， 第二对开后的长为：，宽为：，则周长为：2（+）=+1， 第三对开后的长为：，宽为：，则周长为：2（+）=1+， 则第n对开后的长为：（）n-1，宽为：（）n， 则周长为：2[（）n-1+（）n]= ， ∴当n=2012时，所得标准纸的周长是：． 故答案为． 【点睛】此题考查了矩形的性质，属于规律性题目，注意掌握数形结合思想的应用，注意得到则第n对开后的长为：（）n-1，宽为：（）n，则周长为：2[（）n-1+（）n]= 是解此题的关键． 三解答题 11.已知线段a，b，c满足，且． (1)求线段a，b，c的长． (2)若线段m是线段a，b的比例中项，求线段m的长． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据题意可设，，，再代入，即可求解； （2）根据m是a、b的比例中项，可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴可设，，， ∵， ∴， 解得， ∴，，； （2）解：∵m是a、b的比例中项， ∴， ∴， ∴或（舍去）， 即线段的长为． 【点睛】本题主要考查了比例与比例中项问题，掌握比例性质以及比例中项定义，如果a、b、c三个量成连比例即，b叫做a和c的比例中项是解题的关键． 12已知：线段a、b、c，满足 ，且，求的值． 【答案】 【分析】设,则，再根据构建方程，求出的值，从而解决问题． 【详解】设，则， ∵， ∴, 即， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是比例运算，解题的关键是根据题意列出方程． 13.已知三条线段的长度分别为1，2，．若再添加一条线段，使这四条线段能构成比例线段，求可添加的线段的长． 【答案】或或2 【分析】设添加的线段的长度为x，然后根据成比例线段分类讨论即可求解． 【详解】解：设添加的线段的长度为x， ①当时，解得； ②当时，解得； ③当时，解得； ④当时，解得． 综上，所添线段的长度可为或或2． 【点睛】本题考查了成比例线段，掌握成比例线段的定义是解题的关键． 14.已知矩形ABCD中，AD=3，AB=1．若EF把矩形分成两个小的矩形，如图所示，其中矩形ABEF与矩形ABCD相似，求AF∶AD的值． 【答案】1：9. 【分析】设AF=x，再根据矩形ABEF与矩形ABCD相似即可求出x的值，进而得出AF：AD的值． 【详解】设AF=x， ∵矩形ABEF与矩形ABCD相似，且AD=3，AB=1， ∴对应边成比例，即=，即=， 解得x=， ∴AF∶AD=∶3=1∶9． 故答案为1：9． 【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，即相似多边形的对应边成比例． 15下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批改． 题目：某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2∶1，在温室内，沿前侧内墙保留3 m的空地，其他三侧内墙各保留1 m的通道，当温室的长与宽各为多少时，矩形蔬菜种植区域的面积是288 m2? 解：设矩形蔬菜种植区域的宽为x_m，则长为2xm， 根据题意，得x·2x＝288. 解这个方程，得x1＝－12(不合题意，舍去)，x2＝12， 所以温室的长为2×12＋3＋1＝28(m)，宽为12＋1＋1＝14(m) 答：当温室的长为28  m，宽为14 m时，矩形蔬菜种植区域的面积是288 m2. 我的结果也正确！ 小明发现他解答的结果是正确的，但是老师却在他的解答中画了一条横线，并打了一个？. 结果为何正确呢？ (1)请指出小明解答中存在的问题，并补充缺少的过程：变化一下会怎样？ (2)如图，矩形A′B′C′D′在矩形ABCD的内部，AB∥A′B′，AD∥A′D′，且AD∶AB＝2∶1，设AB与A′B′、BC与B′C′、CD与C′D′、DA与D′A′之间的距离分别为a、b、c、d，要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，a、b、c、d应满足什么条件？请说明理由． 【答案】（1）小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2∶1的理由；（2）＝2. 【分析】（1）根据题意可得小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1的理由，所以由已知条件求出矩形蔬菜种植区域的长与宽的关系即可; （2）由使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，利用相似多边形的性质，可得＝ ，然后利用比例的性质. 【详解】解　(1)小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2∶1的理由． 在“设矩形蔬菜种植区域的宽为xm，则长为2xm．”前补充以下过程： 设温室的宽为xm，则长为2xm. 则矩形蔬菜种植区域的宽为(x－1－1)m，长为(2x－3－1)m. ∵＝＝2， ∴矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2∶1； (2)要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD， 就要＝，即＝， 即＝， 即2AB－2(b＋d)＝2AB－(a＋c)， ∴a＋c＝2(b＋d)， ＝2. 【点睛】本题考查了相似多边形的性质及比例的性质，如果两个多边形相似，那么它们对应边的比相等，对应角相等，对应周长的比都等于相似比；它们对应面积的比等于相似比的平方. 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 納无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《专题3.1 相似多边形》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 成比例线段 模块9求相似多边形的边长 模块2 由比例的性质判断正误 模块10 求相似多边形的角度 模块3 由比例的性质求值 模块11 求相似多边形的周长 模块4 比例性质的应用 模块12求相似多边形的面积 模块5 比例尺 微专题1相似多边形背景下的规律探索 模块6识别相似多边形 压轴1 相似多边形背景下的新定义问题 模块7由相似多边形判断正误 通关检测·实战演练 模块8求相似多边形的相似比 知识梳理 · 基础溯源 知识点1 比例线段 1.定义:如果a:b=c:d(或，那就说a,b,cd成比例。两条线段的长度的比叫做两条线段的比 对于四条线段a,b,cd，如果a:b=c:d(或表示为)，那么a,b,c,d叫做成比例线段，简称比例线段·这时，线段a，d是比例外项，线段b，c是比例内项 2.比例的性质 ①基本性质：若(，)． ②合比性质：若(，)． ③等比性质：若 (b·d·…·)，那么． 知识点2 图形的相似： 1. 相似图形： 形状相同的图形叫做相似图形． 2. 相似多边形： 两个边数相同的多边形满足角分别相等，边对应成比例，那么这两个多边形相似． 相似多边形的对应角相等，对应边成比例，对应边的比叫做相似比．相似多边形的周长比等于相似比，相似多边形的面积比等于相似比的平方． 模块通关·举一反 三 【模块一】成比例线段 首先，计算线段比值前必须统一单位，避免因单位不统一产生错误结果。 其次，要明确成比例线段的顺序性，题目描述“线段a、b、c、d成比例”时，默认遵循给定的顺序，对应比例式为a:b=c:d，不能随意调换线段顺序。 判断四条线段是否成比例时，可先将所有线段的长度按从小到大排序，再分别计算前两条的比值与后两条的比值，通过比对比值是否相等完成判断，这种方法能有效避免顺序混乱带来的错判。 【典例1】下列线段、、、是成比例线段的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【变式1-1】如果线段a、b、c、d是成比例线段，且，则________． 【变式1-2】如果线段，，且是和的比例中项，则___________． 【变式1-3】已知三条长度分别为、、的线段，若再添一条线段，使这四条线段成比例．求所添线段的长度． 【模块二】由比例的性质判断正误 首先要先判断原比例本身是否有意义，重点检查比例的所有后项均不能为零，不少正误判断题会故意设置比例后项为零的陷阱，不能直接跳过合法性判断、直接套用比例性质变形推导，否则很容易误判错误命题为正确。 其次，使用特殊比例性质时要牢记其成立的前提条件，比如运用等比性质时，必须满足所有比例后项的和不等于零，若题目未给出该条件，需要分“后项和为零”和“后项和不为零”两种情况讨论，直接套用性质会漏掉不符合条件的情况，导致判断出错。 最后，得出判断结论后，要将推导结果代回原比例中验证，检查变形后的比例是否仍满足所有项不为零的要求，避免变形过程中扩大未知数取值范围产生增根，进而出现判断错误。 【典例2】若，则下列式子中不正确的是（　　）． A． B． C． D． 【变式2-1】已知，那么下列比例式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知，则下列式子中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】已知两数，，且，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【模块三】由比例的性质求值 首先，求值前要先判断原比例是否合法，先确认所有比例的后项都不为零，提前排除会让比例失去意义的未知数取值，不能跳过合法性判断直接套用比例性质变形计算，否则很容易得到不符合要求的错误结果。 其次，遇到连比形式的比例求值问题时，使用参数法要牢记前提条件，若给出a:b:c = m:n:p，设a = km，b = kn，c = kp时，必须明确k≠0，若k为零会使所有字母取值均为零，导致原比例失去意义，直接得到错误的求值结果。 再者，运用合比、分比等性质对比例变形时，要牢记性质的正确形式，不要混淆变形规则、搞错比例项的对应关系，避免因变形错误导致后续计算偏离正确方向。 最后，求出结果后要将所得数值代回原比例验证，一方面确认计算得到的等式成立，另一方面再次检查所有比例后项都不为零，排除变形过程中产生的增根，保证最终结果符合题意。 【典例3】已知，则=（   ） A． B． C． D．17 【变式3-1】已知，则的值为 ． 【变式3-2】．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】若且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【模块四】比例性质的应用 首先要区分不同比例性质的适用场景，各类比例性质的成立都带有对应前提条件，不能不核对条件就直接套用。例如应用等比性质必须满足所有比例后项之和不为零，若题目未明确给出该条件，必须分“后项和为零”和“后项和不为零”两种情况讨论，缺漏讨论环节会直接导致结果不完整。 其次，应用比例性质解决几何问题时，要结合几何量的实际意义筛选计算结果。线段长度、图形边长、面积等几何量都为正数，通过比例性质计算得到的负解不符合实际意义，需要直接舍去，避免保留不符合要求的错误结果。 再者，比例变形过程中每一步都要符合既定的性质规则，不能随意调换比例内项、外项的位置，也不能随意拆分、合并比例项，混淆性质规则会导致推导出错，直接偏离正确的解题方向。 最后，解决实际应用类问题时，要先梳理清楚各个量之间的对应比例关系，明确题目中是哪两个量成比例，不要搞混比例的内项和外项，对应关系一旦错误，整个计算结果都会出错。 【典例4】a，b，c为的三边长，且，，求的面积． 【变式4-1】如图，在同一时刻，小明测得他的影长为1m，距他不远处的一棵槟榔树的影长为5m．已知小明的身高为1.5m，则这棵槟榔树的高是（    ） A．3m B．4.5m C．5m D．7.5m 【变式4-2】某商店有A，B两种糖果，原价分别为a元/千克和b元/千克．据调查发现，将两种糖果按A种糖果m千克与B种糖果n千克的比例混合，取得了较好的销售效果．现调整糖果价格，若A种糖果单价上涨20%，B种糖果单价下调，仍按原比例混合后，糖果单价恰好不变．则为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】已知A，B两地相距，甲、乙两人分别从A，B两地同时匀速出发．若相向而行，则经过后两人相遇；若同向而行，则经过后甲追上乙 （1）甲、乙两人的速度___________，___________；（用含a，b的代数式表示） （2）若，则___________． 【答案】               【模块五】比例尺 首先要区分比例尺的类型，使用时先统一图上距离与实际距离的单位，进行数值比例尺计算时，不能混淆长度单位的进率，避免计算结果出现数量级错误。 其次要牢记比例尺的定义是图上距离比实际距离，不要颠倒前后项的位置，同时要区分放大比例尺和缩小比例尺的使用场景：绘制地图等大尺寸景物的缩微图时使用缩小比例尺，前项一般化简为1；绘制微小零件的示意图时使用放大比例尺，后项一般化简为1，前后项位置颠倒会直接导致计算结果完全错误。 另外要注意，比例尺仅对长度尺寸生效，若需要通过比例尺计算图形面积，需要使用比例尺的平方进行换算，直接使用原比例尺计算面积会得到错误结果。 【典例5】在一幅地图上，用3厘米表示实际距离90千米，这幅地图的比例尺是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】在比例尺为1：10000的地图上，相距4cm的A、B两地的实际距离是（　　） A．400m B．400dm C．400cm D．400km 【变式5-2】A、B两地相距，在的地图上，A、B两地的距离是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】某地图上1cm2面积表示实际面积900m2，则该地图的比例尺是（   ） A． B． C． D． 【模块六】识别相似多边形 首先，要牢记相似多边形的判定必须同时满足“对应角相等”“对应边成比例”两个核心条件，不能只满足其中一个就直接下判定结论。比如所有矩形的对应角都相等，但对应边不一定成比例，因此任意两个矩形未必相似；所有菱形的对应边都成比例，但对应角不一定相等，因此任意两个菱形也未必相似，漏掉任意一个条件都会造成判定错误。 最后，要厘清相似多边形与全等多边形的关系，全等多边形是相似比为1的特殊相似多边形，但相似多边形只有在相似比为1时才是全等多边形，不要混淆两个概念的定义，既不能错误认为相似多边形一定全等，也不能忽略全等属于特殊相似这一包含关系。 【典例6】将等边三角形，菱形，矩形，正方形各边向外平移1个单位并适当延长，得到如图所示的4组图形，变化前后的两个多边形一定相似的有（　　） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【变式6-1】下列两个图形：①两个等腰三角形；②两个直角三角形；③两个正方形；④两个矩形；⑤两个菱形；⑥两个正五边形．其中一定相似的有（　　） A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 【变式6-2】如图，一块长3m、宽1.5m的矩形黑板，镶在其外围的木质边框宽7.5cm，边框的内外边缘所成的两矩形 ___________（填“是”或“不是”）相似矩形. 【变式6-3】下列各组图形不一定相似的是（   ） A．两个等腰直角三角形， B．各有一个角是100°的两个等腰三角形 C．两个矩形 D．各有一个角是50°的两个直角三角形， 【模块七】由相似多边形判断正误 首先要避免仅凭直观视觉下结论，有时将符合相似条件的多边形通过旋转、错位摆放改变视觉观感，或是将看似外形相近、实则不满足判定条件的图形放在一起，不能只凭外形观感直接判断对错，必须严格对照“对应角相等、对应边成比例”两个条件逐一验证。 其次要留意特殊图形的常见命题陷阱，比如判断题中经常出现“任意两个矩形都相似”“任意两个菱形都相似”这类表述，矩形仅满足对应角相等，菱形仅满足对应边成比例，都不符合相似多边形的完整判定条件，因此这类表述都是错误的，不要凭借“图形形状相近”的惯性思维错判。 再者要仔细审题，警惕命题人偷换相似多边形与全等多边形的概念关系，比如“相似多边形一定是全等多边形”“全等多边形不属于相似多边形”这类错误表述，要牢记二者的逻辑关系，不要混淆二者的概念边界。 最后，对于格点图形中的相似判定正误题，要准确计算所有对应边的长度与对应角的度数，不能通过目测估算下结论，边长的微小误差就会导致比例不成立，只有逐项验证后才能得出准确的判断结果。 【典例7】下列判断中，正确的是（    ） A．所有等边三角形都相似 B．有一个角是40°的等腰三角形都相似 C．所有矩形都相似 D．所有菱形都相似 【变式7-1】有下列四种说法：①两个菱形相似；②两个矩形相似；③两个平行四边形相似；④两个正方形相似其中说法正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式7-2】在下列命题中，真命题是 A．两个等腰梯形一定相似 B．两个等腰三角形一定相似 C．两个直角三角形一定相似 D．有一个角是60°的两个菱形一定相似 【变式7-3】下列命题正确的是（ ） A．有一个角对应相等的平行四边形都相似 B．对应边成比例的两个平行四边形相似 C．有一个角对应相等的两个等腰梯形相似 D．有一个角对应相等的菱形是相似多边形 【模块八】求相似多边形的相似比 首先，必须先找准两个多边形的对应关系，只有先根据对应角位置、题目给定的相似表述确定对应顶点，才能进一步得到对应边，不要在未确认对应关系的情况下直接随意选取边长计算。若题目表述为“多边形甲与多边形乙相似”，相似比是甲对应边长度与乙对应边长度的比值，交换两个多边形的表述顺序后，得到的是乙对甲的相似比，为原比值的倒数，混淆顺序会直接得到错误结果。 其次，计算前要统一对应边的长度单位，若题目中给出的不同多边形边长标注了不同单位，必须先将单位换算统一后再计算比值， 第三，要厘清相似比与周长比、面积比的关系，不可直接混淆：相似多边形的周长比等于相似比，但面积比等于相似比的平方，若题目给出面积比要求计算相似比，必须对面积比开平方，不能直接将面积比当作相似比使用。 【典例8】把一矩形纸片对折，如果对折后的矩形与原矩形相似，则原矩形纸片的长与宽之比为_______． 【变式8-1】若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（　　） A．1：4 B．1：2 C．2：1 D．1：16 【变式8-2】如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（    ） A．a＝b B．a＝2b C．a＝2b D．a＝4b 【变式8-3】如图所示，复印纸的型号有A0，A1，A2，A3，A4等，它们之间存在着这样一种关系：将其中某一型号（如A3）的复印纸沿较长边的中点对折，就能得到两张下一型号（A4）的复印纸，且得到的两个矩形都和原来的矩形相似，那么这些型号的复印纸的长、宽之比为______． 【模块九】求相似多边形的边长 首先要先找准对应边和正确的相似比，必须先根据题干给出的相似对应关系锁定待求边长的对应边，确认相似比的顺序没有颠倒——若题目表述为“多边形A∽多边形B”，相似比为A对应边与B对应边的比值，其次，若需要借助周长、面积等间接条件推导边长，要牢记相似多边形的性质规律：若已知周长比，可直接将其作为相似比代入计算；若已知面积比，必须先对面积比开平方得到相似比后再计算边长，切不可直接将面积比等同于相似比，避免出现倍数错误。 再者，若题目中涉及多个相似多边形的连锁比例关系，要逐次梳理推导，利用相似多边形的传递性得到待求多边形与已知边长多边形的相似比，不要跳步估算，防止在连锁传递过程中搞错比例倍数。 【典例9】的三边长为、、3，的最长边是，如果与相似，那么的最短边长为（　　） A． B． C． D．3 【变式9-1】四边形的边长分别为2，4，6，5，四边形和四边形相似，且四边形最短边的长为6，则它的最长边长为（　　） A．12 B．15 C．18 D．24 【变式9-2】如图，在矩形中，，点E在矩形的边上，连接，将矩形沿折叠，折叠后的点B落在边上的点F处，得到矩形．若矩形与原矩形相似，则AB的长为_____． 【变式9-3】已知：矩形OABC∽矩形OA'B′C′，B′（10，5），AA'＝1，则CC′的长是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【模块十】 求相似多边形的角度 首先，核心前提是找准对应角，必须先根据相似多边形的顶点对应关系确定待求角度对应哪一个已知角，不能仅凭图形摆放位置随意错配角度，尤其是经过旋转、平移等位置变换的相似多边形，顶点顺序的变化会改变对应关系，错配对应角会直接得出错误结果。 第二，如果题目要求结合内角和推导未知角，要准确套用n边形内角和公式(n-2) 180^，先计算出该多边形的内角总和，再结合已知角和对应角相等的性质推导未知角，记混内角和公式会直接导致计算结果出错。 第三，如果题目中涉及外角相关计算，要记住相似多边形对应外角也相等——对应内角相等，外角是对应内角的邻补角，自然也保持相等关系，且任意多边形的外角和恒为360^，可结合这一性质推导对应外角的度数，不要混淆内角和外角的性质规律。 【典例10】若如图所示的两个四边形相似，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【变式10-1】．图中的两个四边形相似，则______． 【变式10-2】如图，四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'．则α＝_____°，x＝_____ 【变式10-3】如图，四边形四边形，且，，，，，，． （1）请直接写出：__________度； （2）求边和的长． 【模块十一】求相似多边形的周长 首先，求相似多边形周长要以正确的相似比为计算基础，必须先确认对应关系，理顺相似比的前后顺序：若表述为“多边形A相似于多边形B”，周长比等于A对B的相似比，切不可颠倒相似比顺序。 其次，要牢记相似多边形的性质，明确周长比与相似比的关系：相似多边形的周长比等于相似比，从根源上避免性质误用的错误。 如果题目给出两个相似多边形的周长和或者周长差，要求分别计算两个多边形的周长，可以结合相似比设份数计算：比如两个多边形的相似比为k，可将周长分别设为k份和1份，再结合给出的和差关系求出每份对应的长度，最终得到目标周长，计算时注意不要混淆份数对应的多边形，避免结果颠倒。 如果题目是通过部分对应边长推导周长，要选取一组对应边计算相似比，确认相似比准确后再代入计算，不要错把非对应边的比值当作相似比，导致计算出错。 【典例11】如图，四边形和四边形相似，，，，，，． （1）求、的长度； （2）求、的大小； （3）若，求四边形和四边形的周长的比． 【变式11-1】某校有两块相似的多边形草坪，其面积比为9：4，其中较大的一块草坪的周长是36米，则另一块草坪的周长是_____． 【变式11-2】两个相似多边形的一组对应边分别是3cm和4.5cm，如果它们的周长之和是80cm，那么较大的多边形的周长是（    ） A．16cm B．32cm C．48cm D．52cm 【变式11-3】如图，已知矩形中， ，在上取一点 E ，沿将向上折叠，使得 B 点落在上的 F 点，若矩形与矩形相似，则矩形与矩形的周长比为_______ 【模块十二】 求相似多边形的面积 首先，计算的前提仍是找准对应关系、确定正确的相似比，必须根据题干给出的顶点对应顺序锁定对应边，切勿错将非对应边的比值当作相似比，也不能颠倒相似比的前后顺序，从计算起点避免出错。 其次，核心要准确区分相似多边形周长比与面积比的性质差异，牢记相似多边形的面积比等于相似比的平方，切不可混淆性质，如果是已知面积比反求相似比，也要记得先对面积比开平方得到相似比。 如果题目是结合周长、边长等条件间接求面积，要遵循“先求相似比，再推导面积比，最后结合已知面积求未知面积”的步骤计算，不要跳步错用条件； 【典例12】已知两个相似多边形的面积之比是，则这两个相似多边形的相似比是（    ） A． B． C． D． 【变式12-1】两个相似多边形的周长比是，其中小多边形的面积为，则较大多边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式12-2】如图所示，长为8cm，宽为6cm的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部分），如果剩下矩形与原矩形相似，那么剩下矩形的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式12-3】某校九年级数学兴趣小组在探究相似多边形问题时，他们提出了下面两个观点： 观点一：将外面大三角形按图1的方式向内缩小，得到新三角形，它们对应的边间距都为1，则新三角形与原三角形相似． 观点二：将邻边为6和10的矩形按图2的方式向内缩小，得到新的矩形，它们对应的边间距都为1，则新矩形与原矩形相似． 请回答下列问题： （1）你认为上述两个观点是否正确？请说明理由． （2）如图3，已知，AC=6，BC=8，AB=10，将按图3的方式向外扩张，得到，它们对应的边间距都为1，DE=15，求的面积． 专题攻坚·多题归一 【微专题一】相似多边形背景下的规律探索 首先，必须牢牢把握相似多边形的判定核心，相似多边形需要同时满足“对应角相等”“对应边成比例”两个条件，二者缺一不可，不能仅依据单一条件判定多边形相似。 其次，处理该类问题中的存在性探究时，需要结合题目给定的定义或条件列出对应关系式，通过代数运算推导验证结论，不能仅依靠图形直观直接给出判断。需要依据定义结合对应边的比例关系整理推导，最终根据计算结果得出存在与否的结论，不能仅凭猜想下结论。 最后，若问题结合三角形等其他图形综合考查，要先利用已知图形的性质与相似图形的性质，推导得到目标多边形对应边、对应角的相关信息，再在此基础上完成后续的计算或证明，保证整个推导过程逻辑严谨、步步有据，避免因跳步推导出现错解。 【典例13】如图，在矩形中，，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形，…，按照此规律作下去．若矩形的面积记作，矩形的面积记作，矩形的面积记作，…，则的值为（　　） A． B． C． D． 【变式13-1】如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为1，它的6条对角线又围成一个正六边形 A2B2C2D2E2F2，如此继续下去，则六边形A4B4C4D4E4F4的面积是________． 【变式13-2】有一块边长为的等边三角形纸板，如图1，经过底边的中点剪去第一个正三角形;如图2，过剩余底边的中点再剪去第二个正三角形，然后依次过剩余底边的中点再剪去更小的第三个第四···正三角形，则剪掉的第个正三角形的面积是（  ） A． B． C． D． 【变式13-3】在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C；延长C1B1交x 轴于点A2，作正方形A2B2C2C1，…按这样的规律进行下去，第2018个正方形的面积为_____． 压轴拓展·素养提升 【压轴一】相似多边形背景下的新定义问题 首先要准确把握新定义给出的规则要求，将新定义的文字表述转化为相似多边形的对应判定条件，不能仅凭原有相似多边形的认知曲解规则，比如题目中常见的“k倍矩形”这类新定义，往往要求满足“新矩形周长为原矩形的k倍，且面积也为原矩形的k倍”，两个条件需要同时满足，不能遗漏任意一个。其次，无论新定义给出怎样的限制要求，都不能脱离相似多边形的基本性质进行推导，新定义下的相似多边形依然需要满足“对应角相等、对应边成比例”的核心要求，所有推导都要以这一性质为基础展开。若题目中未明确多边形边的对应关系，还需要对不同的对应情况进行分类讨论，逐一验证是否符合定义要求，避免出现漏解。最后，求解这类问题中常见的存在性设问时，一般需要先假设符合要求的图形存在，再结合新定义规则和相似性质列出关系式，通过代数运算推导验证结论，推导结束后还要对得到的结果进行合理性检验，排除不符合题意的增根，保证最终结论正确。 【典例14】如图，阅读探索：任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？假设存在，那么这个矩形叫作给定矩形的“减半”矩形．如图矩形就是矩形ABCD的“减半”矩形． (1)当已知矩形A的两边长分别为6和1时，小亮同学是这样研究的：设所求矩形B的两边长分别是x和y，由题意，得，消去y可得，∵，∴___________，___________；∴满足要求的矩形B存在；（完成填空） 请你继续解决下列问题： (2)当矩形的长和宽分别为7和 1时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，并说明理由； (3)边长为a的正方形存在“减半”正方形吗？如果存在，求出“减半”正方形的边长；如果不存在，说明理由． 【变式14-1】宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（　　） A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH 【变式14-2】阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的2倍，则这个矩形是给定矩形的“加倍”矩形．如图，矩形是矩形的“加倍”矩形． 解决问题： （1）当矩形的长和宽分别为3，2时，它是否存在“加倍”矩形？若存在，求出“加倍”矩形的长与宽，若不存在，请说明理由． （2）边长为的正方形存在“加倍”正方形吗？请做出判断，并说明理由． 【变式14-3】（1）定义1：若一个矩形的周长和面积分别是另一个矩形周长和面积的2倍，则称这个矩形是原矩形的“加倍矩形” 问题1：一个正方形是否存在一个“加倍正方形”？答______（填“是”或“否”）； 问题2：长为3，宽为1的矩形的“加倍矩形”的长为______，宽为______； （2）定义2：若一个矩形的周长和面积分别是另一个矩形周长和面积的，则称这个矩形是原矩形的“减半矩形”． 问题3：长为4，宽为1的矩形的“减半矩形”是否存在？答______（填“是”或“否”）； 问题4：长为6，宽为1的矩形的“减半矩形”的长为______； 问题5：长为n，宽为1的矩形的“加倍矩形”的长为______；（用n的代数式表示） 问题6：长为n，宽为1的矩形的“减半矩形”的存在条件是______；（用含n的关系式表示） （3）定义3：若一个矩形的周长和面积分别是另一个矩形周长和面积的k倍，则称这个矩形是原矩形的“k倍矩形”（注意，且k可以取小于1的数） 问题7：长为n，宽为1的矩形的“k倍矩形”的存在条件是______；（、，用含n、k的关系式表示） 通关检测·实战演练 一 选择题 1.已知三个数2、3、4，如果再添加一个数，使得这四个数成比例，那么这个数可以是（    ） A．1.5； B．2； C．2.5； D．3. 2．若（），则（　　） A． B． C．1 D．2 3.若，则下列式子一定成立的是（    ） A． B． C． D． 4.如图，是的中点，将面积为的菱形沿方向平移长度得到菱形，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 5.如图，在矩形中，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形的相似矩形，再连接，以对角线为边作矩形的相似矩形，…按此规律继续下去，则矩形的周长为（    ） A． B． C． D． 二 填空题 6.．已知．则它们的周长比为 7.已知线段，，如果线段c是线段a、b的比例中项，那么 A．±3 B． C．4.5 D．5 8.若两个相似多边形的面积比为，则它们对应边的比是 9.如图，在正方形中，、、、分别是、、、上靠近、、、的四等分点，、、、分别是、、、上靠近、、、的四等分点，则__________． 10.我们把长与宽之比为的矩形纸片称为标准纸．不难发现，将一张标准纸如图一次又一次对开后，所得的矩形纸片都是标准纸．现有一张标准纸，，，那么把它第次对开后所得标准纸的周长是________． 三解答题 11.已知线段a，b，c满足，且． (1)求线段a，b，c的长． (2)若线段m是线段a，b的比例中项，求线段m的长． 12已知：线段a、b、c，满足 ，且，求的值． 13.已知三条线段的长度分别为1，2，．若再添加一条线段，使这四条线段能构成比例线段，求可添加的线段的长． 14.已知矩形ABCD中，AD=3，AB=1．若EF把矩形分成两个小的矩形，如图所示，其中矩形ABEF与矩形ABCD相似，求AF∶AD的值． 15下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批改． 题目：某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2∶1，在温室内，沿前侧内墙保留3 m的空地，其他三侧内墙各保留1 m的通道，当温室的长与宽各为多少时，矩形蔬菜种植区域的面积是288 m2? 解：设矩形蔬菜种植区域的宽为x_m，则长为2xm， 根据题意，得x·2x＝288. 解这个方程，得x1＝－12(不合题意，舍去)，x2＝12， 所以温室的长为2×12＋3＋1＝28(m)，宽为12＋1＋1＝14(m) 答：当温室的长为28  m，宽为14 m时，矩形蔬菜种植区域的面积是288 m2. 我的结果也正确！ 小明发现他解答的结果是正确的，但是老师却在他的解答中画了一条横线，并打了一个？. 结果为何正确呢？ (1)请指出小明解答中存在的问题，并补充缺少的过程：变化一下会怎样？ (2)如图，矩形A′B′C′D′在矩形ABCD的内部，AB∥A′B′，AD∥A′D′，且AD∶AB＝2∶1，设AB与A′B′、BC与B′C′、CD与C′D′、DA与D′A′之间的距离分别为a、b、c、d，要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，a、b、c、d应满足什么条件？请说明理由． 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $