3.1 相似多边形 小节训练 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

3.1 相似多边形 小节训练2026-2027学年北师大版 九年级数学上册 一、单选题 1．下列各组中的四条线段成比例的是(    ) A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 2．下列图形中不一定是相似图形的是（　　） A．两个正方形 B．两个等边三角形 C．两个等腰直角三角形 D．两个矩形 3．已知，，，成比例线段，其中，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．如果四边形四边形，且相似比为，则他们的面积比为（   ） A．1 B．3 C．9 D．27 5．如图，王老师利用复印机将一张长为，宽为的矩形的数学检测卷等比例缩小，其中缩小后的长为，则缩小后的宽为（    ） A． B． C． D． 6．下列哪个选项中的矩形与图中的矩形不是相似形（   ）    A．   B．   C．   D．   7．如图，把一个长方形按如图方式划分成三个全等的小长方形，每一个小长方形与原长方形相似，若原长方形的长为6，则小长方形的长为（    ） A．2 B． C． D． 8．如图，顺次连接边长为1的正方形ABCD四边的中点，得到四边形A1B1C1D1，然后顺次连接四边形A1B1C1D1四边的中点，得到四边形A2B2C2D2，再顺次连接四边形A2B2C2D2四边的中点，得到四边形A3B3C3D3，…，按此方法得到的四边形A8B8C8D8的周长为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．上海与南京的实际距离约320千米，在比例尺为的地图上，两地的图上距离约_____厘米． 10．如图所示，复印纸的型号有A0，A1，A2，A3，A4等，它们之间存在着这样一种关系：将其中某一型号（如A3）的复印纸沿较长边的中点对折，就能得到两张下一型号（A4）的复印纸，且得到的两个矩形都和原来的矩形相似，那么这些型号的复印纸的长、宽之比为______． 11．数学家定义：若点C把线段分成两部分，满足，则点C为线段的白银分割点．已知点C是线段的白银分割点，且，则________． 12．已知菱形的边长为6，，对角线，相交于点O，以点O为坐标原点，分别以，所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的直角坐标系．以为对角线作菱形菱形，再以为对角线作菱形菱形，再以为对角线作菱形菱形，…，按此规律继续作下去，在x轴的正半轴上得到点，，，…，，则点的坐标为_________． 三、解答题 13．（1）如图①，把左边的图形放大到原来的2倍，在右边的格点图中画出这个图形． （2）如图②，请你在左边的格点图中画出一个图形，然后在右边的格点图中画出一个与它相似的图形． 14．已知线段a，b，满足． (1)求的值； (2)当线段x是a，b的比例中项且时，求x的值． 15．如图，四边形的对角线相交于点，点，，，分别是，，，的中点，判断四边形与四边形是否相似，并说明理由． 16．九年级1班的小阳看到一张矩形纸片，测得它的长厘米，宽厘米，想在边上找点E，作，交于点F，使矩形矩形（不全等） (1)求的长度： (2)小阳想进一步探究，是否任意一个矩形都可以画出平行线，使分成的两个矩形相似（不全等），如果能够，请直接写出能够实现的原矩形的长与宽的比值k的取值范围，如果不能，请说明理由． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D B C D B B C 1．【答案】B 【知识点】成比例线段 【分析】线段成比例强调的是线段之间的数量关系，即两条线段的长度之比是否相等，由此计算即可求解． 【详解】解：选项A、 ， ∴ 四条线段不成比例，A错误； 选项B 、，则， ∴ 四条线段成比例，B正确； 选项C 、， ∴ 四条线段不成比例，C错误； 选项D 、， ∴ 四条线段不成比例，D错误； 故选：B． 2．【答案】D 【知识点】相似多边形 【分析】本题考查的是相似多边形的判定，利用边对应成比例，角对应相等的两个多边形相似逐一判断即可. 【详解】解：A、两个正方形的形状相同，是相似图形，故选项A不符合题意； B、两个等边三角形形状相同，是相似图形，故选项B不符合题意； C、两个等腰直角三角形形状相同，是相似图形，故选项C不符合题意； D、两个矩形的对应边不一定成比例，不一定是相似图形，故选项D符合题意； 故选：D． 3．【答案】B 【知识点】成比例线段 【分析】本题主要考查了比例线段的定义，根据成比例线段的性质列出比例式，再分别代入数值计算即可求出d的长． 【详解】，，，是成比例线段， ，即， ， 代入，，得： ． 故选：B． 4．【答案】C 【知识点】相似多边形的性质 【分析】本题考查了相似多边形的性质，相似图形的面积比等于相似比的平方． 【详解】解：∵四边形四边形，且相似比， ∴面积比为：， 故选：C． 5．【答案】D 【知识点】 图形的放大与缩小、成比例线段 【分析】本题考查了图形的缩放，根据等比例缩小的性质列出方程，求出缩小后的宽即可． 【详解】解：设缩小后的宽为， 由题意得，，解得， ∴缩小后的宽为， 故选：D． 6．【答案】B 【知识点】相似多边形 【分析】根据相似多边形的定义，对应边成比例且对应角相等的两个多边形相似，解答即可． 本题考查了多边形的相似，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：∵原始矩形的长与宽的比值为，且四个角都是直角， A中矩形的长与宽的比值为，且四个角都是直角，与原始矩形相似， 此选项不符合题意； B中矩形的长与宽的比值为，且四个角都是直角，与原始矩形不相似， 此选项符合题意； C中矩形的长与宽的比值为，且四个角都是直角，与原始矩形相似， 此选项不符合题意； D中矩形的长与宽的比值为，且四个角都是直角，与原始矩形相似， 此选项不符合题意； 故选：B． 7．【答案】B 【知识点】相似多边形的性质 【分析】本题考查相似图形的性质，如图，标记点E，F，则长方形长方形，根据对应边成比例列等式即可求解． 【详解】解：如图，标记点E，F，则长方形长方形， ， ， 长方形长方形， ， ， （负值舍去）， ， 故选：B． 8．【答案】C 【知识点】与三角形中位线有关的证明、根据正方形的性质求线段长、相似多边形的性质 【分析】根据题意，利用中位线定理可证明顺次连接正方形ABCD四边中点得正方形的面积为正方形ABCD面积的一半，根据面积关系可得周长关系，以此类推可得正方形的周长． 【详解】解：顺次连接正方形ABCD四边的中点得正方形，则得正方形的面积为正方形ABCD面积的一半，即，则周长是正方形ABCD的； 顺次连接正方形中点得正方形，则正方形的面积为正方形A1B1C1D1面积的一半，即正方形ABCD的，则周长是正方形ABCD的； 顺次连接正方形得正方形，则正方形的面积为正方形面积的一半，即正方形ABCD的，则周长是正方形ABCD的； 顺次连接正方形中点得正方形，则正方形的面积为正方形面积的一半，即正方形ABCD的，则周长是正方形ABCD的； … 故第n个正方形周长是原来的， 以此类推：正方形周长是原来的， ∵正方形ABCD的边长为1，周长为4， ∴按此方法得到的四边形的周长为， 故选：C． 【点睛】本题考查了利用了三角形的中位线的性质，相似图形的面积比等于相似比的平方的性质．进而得到周长关系． 9．【答案】8 【知识点】成比例线段、比例尺应用 【分析】本题主要考查了比例尺的应用，根据比例尺图上距离：实际距离，列出比例式，求解即可得出两地的图上距离． 【详解】解：设图上距离为x厘米，则 ， 所以（厘米）． 上海与南京的图上距离约8厘米． 故答案为：8． 10．【答案】 【知识点】相似多边形 【分析】设这些型号的复印纸的长、宽分别为b、a，根据相似多边形的对应边的比相等列出比例式，计算即可． 【详解】解：设这些型号的复印纸的长、宽分别为b、a， ∵得到的矩形都和原来的矩形相似， ∴， 则， ∴， ∴这些型号的复印纸的长宽之比为， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，相似多边形的性质为：①对应角相等；②对应边的比相等． 11．【答案】 【知识点】成比例线段 【分析】根据白银分割点的定义得到，由即可求出的长． 【详解】解：点C是线段的白银分割点， ， ， ， 故答案为： ． 12．【答案】An(3n，0) 【知识点】图形类规律探索、利用菱形的性质求线段长、相似多边形的性质 【分析】先根据菱形的性质求出A1的坐标，根据勾股定理求出OB1的长，再由锐角三角函数的定义求出OA2的长，故可得出A2的坐标，同理可得出A3的坐标，找出规律即可得出结论． 【详解】解：∵ 菱形的边长为6，， ∴OA1=A1B1·sin 30°=6×=3，OB1=A1B1·cos 30°=6×=， ∴A1(3，0)， ∵ 菱形菱形， ∴OA2= ， ∴A2(9，0)， 同理可得A3(27，0)， ∴An(3n，0)， 故答案为：An(3n，0)． 【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，熟知相似多边形的对应角相等是解答此题的关键． 13．【答案】（1） （2）（答案不唯一） 【知识点】相似图形 【分析】（1）将原图形的每个顶点沿格点方向，使得到对应顶点的距离变为原来的2倍，然后依次连接这些新顶点，即可得到放大2倍后的图形． （2）在左边格点图中画一个直角梯形，然后在右边格点图中画出一个边长比例不同但形状相同的直角梯形，使其与左边图形相似． 【详解】（1）解：如图所示，图①是把左边的图形放大到原来的2倍的图形． （2）解：可画出两个相似梯形（答案不唯一）． 【点睛】本题考查图形的放大与相似图形的绘制，掌握图形放大时各边按比例扩大，相似图形形状相同、大小可不同是解题的关键． 14．【答案】(1) (2) 【知识点】成比例线段 【分析】本题主要考查了比例线段， 对于（1），由，再代入计算即可； 对于（2），先求出b，再根据比例中项求出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵，， ∴． ∵线段x是a，b的比例中项， ∴， ∴（舍负）． 15．【答案】相似， 理由如下： ∵点，分别是，的中点， ∴，， ∴，， 同理可得：，， ∴，即， 同理可得：，，，， ∴四边形与四边形相似． 【知识点】与三角形中位线有关的证明、相似多边形 【分析】本题考查了相似多边形的判定、三角形的中位线定理等知识，熟练掌握相似多边形的判定方法是解题关键．先根据三角形的中位线定理可得，，根据平行线的性质可得，同样的方法可得，，则，再根据同样的方法可得，，，，然后根据相似多边形的判定即可得． 【详解】略 16．【答案】(1)4或9 (2) 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、根据矩形的性质求线段长、相似多边形的性质、分式方程的其它实际问题 【分析】（1）根据矩形矩形得到，然后代数求解即可； （2）设，，，根据矩形矩形得到，得到，，然后根据一元二次方程的判别式求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形 ∴厘米，厘米， ∴， ∵矩形矩形， ∴， ∴， 解得或9， 经检验，或9符合题意， ∴的长度为4或9； （2）解：设，， ∵矩形矩形 ∴ ∴ 整理得， 根据题意得， ∴ ∴（负值舍去） 原矩形的长与宽的比值k的取值范围为． 【点睛】本题考查了相似多边形的性质、矩形的性质，一元二次方程的判别式，解分式方程，根据相似多边形对应边的比相等得出方程是解决本题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $