第一章《三角形》单元测试卷-2026-2027学年苏科版数学八年级上册

**基本信息** 苏科版八年级上册《三角形》单元过关培优卷，以基础巩固为底、创新应用为翼，覆盖全等判定、等腰性质等核心知识，适配单元复习，培养几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|8题24分|第3题ASA判定、第8题尺规作图依据|第7题路径比较渗透转化思想，第8题关联作图原理强化推理意识| |填空|10题30分|第15题等腰三角形顶角分类、第18题角平分线性质|第14题测量瓶内径体现应用意识，第16题结合直角三角形性质培养空间观念| |解答|10题96分|第21题等腰三角形证明、第27题全等与中点综合|第24题“筝形功能器”实践操作发展创新意识，第28题动点问题提升几何直观与探究能力|

第一章《三角形》过关培优卷-2026-2027苏科版数学八年级上册单元测试卷 一、选择题选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分. 1．若等腰三角形有一个内角为，则这个等腰三角形的底角是（　　） A． B． C． D．或 2．作△ABC的边BC上的高，下列作法中，正确的是(　　). A． B． C． D． 3．如图，小施把一块三角形玻璃打碎成三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，则最省事的方法是带第③块去，理由是根据全等的判定定理(　　) A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA 4．如图，，点和点是对应顶点，点和点是对应顶点，则的度数是（　　） A． B． C． D． 5．如图，，和分别平分和，过点P，且与垂直．若，则点P到的距离是（　　） A．2 B．4 C．5 D．10 6．如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 7．如图，甲、乙两人分别沿不同的路线从A地到B地.下列关系正确的是（　　） 甲：A→C→B，路程为s甲； 乙：A→D→E→B，路程为s乙. A．s甲>s乙 B．s甲=s乙 C．s甲<s乙 D．s甲≥s乙 8．下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法. （1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则. 上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（　　） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 二、填空题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.只要求填出最后结果. 9．已知三角形有两边长分别是3和5，该三角形第三条边的长是一个整数，则第三条边的长可能是　 　.(只要写出一个答案即可) 10．如图，已知，点E，A，B依次在同一条直线上，若，，则的长为　 　． 11．如图，中，，平分，，，则的面积为 　 　． 12．如图，点D为中边上的中点，为的中线．若的面积为60，则的面积为　 　． 13． 如图， △ABC中， AC=14 cm， AB 的垂直平分线MN交AC 于 D， 连接BD．若CD：DB=3：4， 则CD的长为　 　 cm． 14．数学实践活动课中，老师布置了“测量小口圆柱形瓶底部内径”的探究任务，某学习小组设计了如下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒的中点O固定，现测得C，D之间的距离为，那么小口圆柱形瓶底部的内径　 　． 15．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则这个等腰三角形的顶角为　 　. 16．如图，在四边形 ABCD 中，AB=AC，∠ABC+∠ADC=90°，BD=2CD，则∠BAC-∠BDC=　 　（补充知识：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于 30°)。 17．如图，是等边三角形．D，E分别是上的点，若．则　 　． 18．如图，平分，于E，于F，．若，则　 　． 三、解答题：本大题10小题，共96分. 19．两个城镇A、B与两条公路ME，MF位置如图所示.现电信部门需修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路ME，MF的距离也必须相等，且在∠FME的内部，请在图中，用尺规作图找出符合条件的发射塔位置.(保留作图痕迹) 20．如图，点F是△ABC的边BC延长线上的一点，DF⊥AB ，∠A=30°，∠F =40°，求∠ACF 的度数. 21．如图，在中，，点D为上一点，且满足．点E是的中点，连接并延长，交的延长线于点F，连接． （1）求和的度数； （2）求证：是等腰三角形． 22．如图，点是内一点，点，分别是边，上的两点，连接，，且，点为延长线上一点，连接，且，． （1）求证：； （2）已知，若，求的度数． 23．如图，在的两边，上分别取点M，N，连接．若平分，平分． （1）求证：平分； （2）若，且与的面积分别是16和24，求线段与的长度之和． 24．综合与实践： 初步认识筝形后，实践小组动手制作了一个“筝形功能器”，如图，在筝形ABCD中，AB=AD，CB=CD. （1）【操作应用】如图1，将“筝形功能器”上的点与的顶点重合，分别放置在角的两边上，并过点画射线，求证：是的平分线； （2）【实践拓展】实践小组尝试使用“筝形功能器”检测教室门框是否水平．如图2，在仪器上的点处栓一条线绳，线绳另一端挂一个铅锤，仪器上的点紧贴门框上方，观察发现线绳恰好经过点，即判断门框是水平的．实践小组的判断对吗？请说明理由． 25．在 中，AD是∠BAC的平分线。 （1）如图1，求证： （2）如图2，若BD=CD，求证：AB=AC； （3）如图3，若AB=5，AC=4，BC=6，求BD的长。 26．【阅读理解】在一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，我们可以通过以下三种方法转化倍角寻找等腰三角形． （1）如图①，若，可作的平分线交于点，则 是等腰三角形； （2）如图②，若，可延长至点D，使，连接，则 是等腰三角形； （3）如图③，若，以C为顶点，为一边，在外作，交的延长线于点D，则是等腰三角形，请说明理由； （4）【解决问题】 如图④，在中，，求证：． 27．综合与探究 【问题情境】在数学综合实践课上，老师让同学们用两张全等的直角三角形纸片进行摆放，使一锐角顶点重合．如图1，已知△ABC≌△DEC，∠ABC＝∠DEC＝90°，连接AD，射线BE与线段AD交于点M，并思考点M是否是线段AD的中点； （1）【特例探究】勤学小组将它们按照图2的方式摆放，A，E，D三点在同一直线上，此时点E与点M重合，同学们发现点M恰好是线段AD的中点，请你说明理由； （2）【一般探究】善思小组受勤学小组的启发，发现摆放在一般位置时，点M仍为线段AD的中点，小明写出了他的思路：如图3，以点D为圆心，DE的长为半径作弧交射线BE于点G，则DG＝DE，……，请你按照小明的思路说明点M是线段AD的中点； （3）【变式探究】智慧小组继续改变△DEC的位置进行探究，且点E始终在直线BC的上方．若∠BAC＝35°，当△ABM是等腰三角形时，请直接写出∠ABM的度数． 28．如图，在边长为的等边三角形中，P，Q分别是射线上的动点，点P从顶点A出发，同时点Q从顶点B出发，且它们的运动速度都是． （1）如图①，当点P，Q分别在边上运动时，连接，且与交于点M． ①求证：； ②在点P，Q运动的过程中的大小变化吗？若变化，请说明理由；若不变，请求出的大小； （2）设点P的运动时间为，当是直角三角形时，t的值为______； （3）如图2，当点P，Q分别在线段的延长线上运动时，直线交于点M，请直接写出的大小______（度）． 答案解析部分 1．【答案】D 2．【答案】D 3．【答案】D 4．【答案】C 5．【答案】C 6．【答案】D 7．【答案】A 8．【答案】A 9．【答案】3 10．【答案】6 11．【答案】15 12．【答案】15 13．【答案】6 14．【答案】75 15．【答案】50°或130° 16．【答案】60° 17．【答案】40 18．【答案】4 19．【答案】解：如图： 20．【答案】解：∵DF⊥AB ∴∠BDF=90° ∴∠B=90°-∠F=90°-40°=50° ∵∠ACF为△ABC的外角 ∴∠ACF=∠A+∠B ∴∠ACF=30°+50°=80° 21．【答案】（1）解：设，∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， 则，． （2）解：∵E是的中点，， ∴，，即， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即为等腰三角形． 22．【答案】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：如图所示，在上截取，连接， ∵， ∴ ∵，DE=BF ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，∠PAE=∠PAH， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 23．【答案】（1）证明：过点P作，垂足为C，过点作，垂足为D，过点作，垂足为. ∵平分，，， ∴. ∵平分，，， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：∵的面积是16，， ， ， ， ∴. ∵的面积是24， ∴四边形的面积的面积的面积， ∴ 的面积的面积， ， ∴， ∴， ∴线段与的长度之和为20. 24．【答案】（1）证明：在和中， ， ， ， 是的平分线； （2）解：实践小组的判断对，理由如下： 是等腰三角形，， 由（1）知：平分， ， 是铅锤线， 是水平的． 门框是水平的． 实践小组的判断对． 25．【答案】（1）证明：如图1，过点 D 分别作DE⊥AB 于点E，DF⊥AC于点 F。 ∵AD是∠BAC的平分线， ∴DE=DF， （2）证明：∵BD=CD， 由(1)知 ∴AB=AC。 （3）解：如图2，过点 A 作AE'⊥BC，垂足为 E'。 由(1)知 ∵BC=6， ∴BD+CD=6， 26．【答案】（1） （2） （3）解：∵，∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （4）证明：如图④，延长至点H，使，取的中点E，连接，则，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴． 27．【答案】（1）解：理由：∵△ABC≌△DEC，∠ABC＝∠DEC＝90°， ∴AC＝CD，∠AMC＝∠DMC＝90°， 在Rt△ACM与Rt△DCM中， ， ∴Rt△ACM≌Rt△DCM（HL）， ∴AM＝CM， ∴点M恰好是线段AD的中点； （2）解：∵△ABC≌△DEC，∠ABC＝∠DEC＝90°， ∴DE＝AB，BC＝CE， ∴∠CBE＝∠CEB， ∵∠ABE+∠CBE＝∠CEB+∠DEG＝90°， ∴∠ABE＝∠DEG， ∵DE＝DG， ∴∠DEG＝∠DGE，AB＝DG， ∴∠DGE＝∠ABE， ∵∠AMB＝∠DMG， ∴△ABM≌△DGM（AAS）， ∴AM＝DM， ∴点M是线段AD的中点； （3）解：∵△ABC≌△DEC，∠ABC＝∠DEC＝90°， ∴∠CDE＝∠BAC＝35°，∠ACB＝∠DCE＝90°﹣35°＝55°， ①当AB＝AM时，△ABM是等腰三角形， ∴∠ABM＝∠AMB， 由（2）知，AM＝DM， ∴DE＝DM， 点E，M重合， ∴AC垂直平分BE， ∴∠BAM＝2∠BAC＝70， ∴∠ABM＝∠AMB＝55°， ②当AM＝BM时，△ABM是等腰三角形，如图， 连接BD， 由（2）知，AM＝DM， ∴BMAD， ∴∠ABD＝90°， ∴点B，C，D三点共线， ∵∠BAC＝35°， ∴∠CDE＝∠BAC＝35°， ∴∠ACB＝∠DCE＝55°， ∵BC＝EC， ∴∠CBE＝∠CEB， ∴62.5°； ③当AB＝BM时，△ABM是等腰三角形，如图， ∴∠BAM＝∠BMA， 设∠ABM＝α， ∴∠CBE＝90°﹣α， ∵AC＝CD，BC＝CE，∠BCE＝∠ACD， ∴∠CAD＝∠CBE＝90°﹣α， ∵∠BAM＝∠BMA（180°﹣α）， ∴（180°﹣α）＝35°+90°﹣α， ∴α＝70°， ∴∠ABM＝70°， 综上所述，∠ABM的度数为55°或62.5°或70°． 28．【答案】（1）解：①∵点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为，∴， 在等边三角形中， ， 在与中， ， ∴， ②不变．理由如下： ， ∴， ∴； （2）或 （3） 1 学科网（北京）股份有限公司 $