吉林吉林市友好学校2026-2027学年高三上学期9月模拟测试数学试题

吉林市友好学校高三年级9月模拟测试 数学试题 一、单选题（每题5分，共40分） 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，且，则的值为（ ） A． B． C．0 D． 3．已知，则（   ） A． B． C． D． 4．锂电池在存放过程中会发生自放电现象，其电容量损失量随时间的变化规律为，其中Q（单位）为电池容量损失量，p是时间t的指数项，反映了时间趋势由反应级数决定，k是方程剩余项未知参数的组合，与温度T和电池初始荷电状态M等自放电影响因素有关．以某种品牌锂电池为研究对象，经实验采集数据进行拟合后获得，相关统计学参数，且预测值与实际值误差很小．在研究M对Q的影响时，其他参量可通过控制视为常数，电池自放电容量损失量随时间的变化规律为，经实验采集数据进行拟合后获得，相关统计学参数，且预测值与实际值误差很小．若该品牌电池初始荷电状态为，存放16天后，电容量损失量约为（    ） （参考数据为：） A．100.32 B．101.32 C．105.04 D．150.56 5．某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入，若该高校2023年全年投入科研经费1300万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长，则该高校全年投入的科研经费开始超过2000万元的年份是（   ）（参考数据：，，） A．2025年 B．2026年 C．2027年 D．2028年 6．已知函数，，的图象的3个交点可以构成一个等腰直角三角形，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．若，则（   ） A． B． C． D． 8．已知，，，那么a，b，c的大小为（ ） A． B． C． D． 二、多选题（每题6分，共18分） 9．奇函数与偶函数的定义域均为，且满足，则下列判断正确的是（    ） A． B． C．在上单调递增 D．的值域为 10．若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（    ） A． B． C． D． 11．下列关于x的不等式的解集正确的是（   ） A．不等式的解集为 B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 三、填空题（每题5分，共15分） 12．函数的定义域是________ 13．已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则的值为________． 14．已知，，，比较a，b，c的大小关系：________． 四、解答题（共5小题，77分） 15．已知函数是奇函数，当时，． (1)求的解析式； (2)若方程有三个不同的根，求的取值范围． 16．已知是定义在 上的偶函数，且时，． （1）求，； （2）求函数的表达式； （3）判断并证明函数在区间上的单调性. 17．某公司拟投资开发一种新能源产品，估计公司能获取不低于100万元且不高于1600万元的投资收益。该公司对科研课题组的奖励方案有如下3条要求: ①奖金 (单位:万元)随投资收益 (单位:万元)的增加而增加； ②奖金不低于10万元且不超过200万元; ③奖金不超过投资收益的20%. (1)设奖励方案函数模型为，我们可以用数学语言表述公司对奖励方案的函数模型，比如方案要求③“奖金不超过投资收益的20%”可以表述为:“f(x)恒成立”请你用数学语言表述另外两条奖励方案； (2)已知函数，其中符合公司奖励方案函数模型要求. 在该奖励方案函数模型前提下，科研课题组最多可以获取多少奖金? 18．已知函数在区间上的值域为. (1)求函数的解析式； (2)若对任意，存在使得，求实数的取值范围. 19．记数列的前项和为，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 试卷第2页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 高三数学参考答案 1．D 【详解】因为集合，则. 2．D 【分析】应用诱导公式及同角三角函数的基本关系计算求解. 【详解】因为， 所以， 又，所以，所以， 由同角三角函数的基本关系知， 则. 故选：D. 3．C 【分析】令，代入原式化简求即可. 【详解】令，则，因此， 将其代入已知等式， 展开得， 整理得，因此. 4．C 【分析】根据题意，得到，将，，结合题中所给数据加以计算，即可得到存放16天后电容量损失量近似值. 【详解】根据题意，可得， 代入，可得， 因为该品牌电池初始荷电状态， 所以存放16天后，电容量损失量. 故选：C. 5．C 【分析】取2024年是第1年，根据题意得第n年该高校全年投入的科研经费，根据条件列出不等式，解得n的范围即可． 【详解】取2024年是第1年，根据题意得第n年该高校全年投入的科研经费为， 令，即，即， 两边取对数可得：，即， 则， 则第4年，即2027年该高校全年投入的科研经费开始超过2000万元． 故选：C． 6．C 【分析】先根据函数值相等求出，可得，由此可知等腰直角三角形的斜边上的高为，所以底边长为，令底边的一个端点为，则另一个端点为，由此可知，可得，据此即可求出结果. 【详解】令和相等可得，即； 此时，即等腰直角三角形的斜边上的高为，所以底边长为， 令底边的一个端点为，则另一个端点为， 所以，即， 当时，的最小值，最小值为 故选：C． 7．D 【分析】利用指数函数单调性即可比较得出三个数的大小. 【详解】由函数在上为单调递增函数，可知，即； 又函数在上为单调递减函数，可知，即; 所以可得. 故选：D 8．C 【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断. 【详解】由指数函数的性质，可得，且，， 又由对数函数的性质，可得，所以. 故选：C. 9．BCD 【分析】根据奇偶性求出即可判断ABC；利用基本不等式可判断D. 【详解】因为为奇函数，为偶函数，所以， 因为①，所以，即②， 所以由①②解得，故B正确； ，故A错误； 在上单调递增，在上单调递减，则在上单调递增，故C正确； 因为，当且仅当时取等号， 所以的值域为，所以D正确. 故选：BCD. 10．ACD 【分析】根据偶函数的对称性结合单调性分析判断. 【详解】若为偶函数，则， ∵在上是增函数， ∴ 即，，， A、C、D正确，B错误. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：根据偶函数的对称性将自变量全部转化到内，这样即可直接运用单调性分析判断. 11．AB 【分析】根据一元二次不等式的解法，分别求出A，B，C选项中不等式的解集，即可判断正误；根据分式不等式的解法求出D选项中不等式的解集，即可判断正确与否. 【详解】对于A，将不等式，化简为，解得：， 所以的解集是，故A选项正确； 对于B，不等式，解得：， 所以的解集是，故B选项正确； 对于C，将不等式，由于， 所以的解集是，故C选项错误； 对于D，不等式，化简为， 等价于，解得：， 所以不等式的解集是，故D选项错误. 故选：AB. 12． 【详解】要使函数有意义， 需使，即， 所以，即或. 故函数的定义域是. 13．/ 【详解】因为是周期为2的偶函数，所以， 因为当时，，所以. 14． 【分析】根据对数函数、指数函数的单调性，利用“1”、“0”比较大小. 【详解】由，，， 所以， 故答案为： 15．(1) (2) 【分析】（1）利用奇函数的性质，当时，通过将其转化到已知的的情况来求解. （2）通过分析函数的单调性，结合函数图象来确定的取值范围，使得方程有三个不同的根. 【详解】（1）当时，已知. 当时，，则. 因为是奇函数，所以，那么. 综上，. （2）当时，，其对称轴为，在上单调递减，在上单调递增，，. 当时，，对称轴为，在上单调递增，在上单调递减，，. 要使方程有三个不同的根，即直线与函数的图象有三个交点. 从函数图象的性质可知，时满足条件. 16．(1);(2);(3) 设 ∵    ∴ ∴     ∴f(x)在为单调减函数. 【分析】（1）直接代入解析式计算； （2）设，利用及函数为偶函数可求得； （3）用单调性的定义，设，判断的正负即可得. 【详解】（1）. （2）设 因为函数f(x)为偶函数，所以有 既 所以. （3）略 【点睛】点睛：判断或证明函数的单调性，一般都是利用单调性定义，即在定义域内设，计算，化简变形为积的形式，然后判断其正负，得和的大小. 17．(1)“奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加”可以表述为：当时，是的增函数； “奖金不低于10万元且不超过200万元”表述为：函数值. (2)195万元 【分析】（1）根据给定条件，利用函数单调性、值域的意义写出方案的前两个要求作答. （2）根据给定的函数模型，求出a的取值范围，再求出最多可以获取的奖金作答. 【详解】（1）略 （2）因为函数符合公司奖励方案函数模型要求，则函数在上是增函数，有， ，，解得， 由，不等式恒成立，得， 显然，，当且仅当，即时取等号， 于是，解得，从而， 因此当，时，，当且仅当且时取等号，且， 所以在该奖励方案函数模型前提下，科研课题组最多可以获取195万元奖金. 18．(1) (2) 【分析】（1）由结合正弦型函数的基本性质可求出函数的值域，进而可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出函数的解析式； （2）由题意可知，，求出在时的最小值，可得出，由此可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】（1）因为，则，则， 因为，则， 由题意可得，解得，因此，. （2）由题意可得， 因为，所以，，则，故， 因为，则， 由题意可得，即， 所以，，解得， 因此，的取值范围是. 19．(1) (2) 【分析】（1）当可求出的值，当时，由可得，两式作差可得出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列的通项公式； （2）求得，利用错位相减法可求得. 【详解】（1）因为，当时，，解得， 当时，由可得， 上述两个等式作差得，即， 所以，数列是首项为，公比也为的等比数列，故. （2）由（1）可得， 所以， 则， 上述两个等式作差得 ， 因此，. 答案第6页（共7页） 答案第1页（共7页） 学科网（北京）股份有限公司 $