精品解析：吉林省吉林市某重点学校2025-2026学年高三上学期12月质量检测数学试题

高三12月份（数学）学科质量检测 （考试时间：120分钟，分值：150分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1. 下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用奇偶性的定义和函数的单调性可逐一判断各选项即得. 【详解】对于A，若，函数定义域为，，即函数不是奇函数，故A错误； 对于B，的定义域为，关于原点对称，但， 故函数不是奇函数，即B错误； 对于C，函数的定义域为，但， 故函数不是奇函数，即C错误； 对于D，的定义域为，且，即函数是奇函数， 且因，函数在上单调递增，故D正确. 故选：D. 2. 已知集合，若，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得到，讨论和，解方程并验证得到答案． 【详解】若，则，故或. 当时，，此时，集合A不满足元素的互异性，舍去； 当时，或， 时，，集合A不满足元素的互异性，舍去； 时，，满足条件． 综上所述：． 故选：C． 3. 为落实“双碳”目标，某环保组织调研10个国家2024年度的人均碳排放强度（单位：吨/人·年），得到数据如下：2，4，5，7，8，9，11，12，13，15．则该组数据的30%分位数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】将已知数据按从小到大的顺序排列，求，结合百分位数定义求结论即可. 【详解】数据从小到大为：2，4，5，7，8，9，11，12，13，15， 又， 所以该组数据的30%分位数是． 故选：A. 4. 以，为焦点，且经过点的椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据焦点在x轴上，c=1，且过点，用排除法可得.也可待定系数法求解，或根据椭圆定义求2a可得. 【详解】因为焦点在x轴上，所以C不正确；又因为c=1，故排除D；将代入得，故A错误，所以选B. 故选：B 5. 若m,n为直线，为两个平面，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面平行的定义可判断A的正误，根据空间中垂直关系的转化可判断BCD的正误. 【详解】对于A，若，则可平行或异面，故A错误； 对于B，若，则，故B错误； 对于C，若，则存在直线，， 所以由可得，故，故C正确； 对于D，，则与可平行或相交或，故D错误； 故选：C. 6. 已知，是双曲线：的两个焦点，过点与轴垂直的直线与双曲线交于、两点，若是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据通径的性质以及等边三角形的性质即可求解. 【详解】由于是等边三角形，故, 由于通径长，所以 ， 故，进而，故，即， 故， 故选：D 7. 正三棱台高为1，上下底边长分别为3和6，所有顶点在同一球面上，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正三棱台的结构特征求出上、下底面所在平面截球所得圆的半径，然后根据正三棱台高为1求出球的半径，最后根据球的表面积公式求出结果. 【详解】由题意得，上底面所在平面截球所得圆的半径为， 下底面所在平面截球所得圆的半径为，如图， 设球的半径为，则轴截面中由几何知识可得, 因为， 所以球心在的延长线上，则， 故， 故，整理得， 化简解得. 所以该球的表面积为. 故选：A. 8. 已知函数的定义域为，且满足，当时，，则当时，函数的最大值为（ ） A. 2 B. 1 C. －1 D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得函数的周期为4，且为奇函数，根据解析式及周期性、奇偶性，可得时，的解析式，根据二次函数的性质，即可得答案. 【详解】由题意得， 所以，所以函数的周期为4． 由，得，所以是奇函数． 又当时，， 所以当时，， 所以． 所以当时，有． 二次函数的图像开口向上，对称轴为， 在区间上端点值均为0，最小值为－1， 所以的最大值为0． 故选：D． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 已知，，若，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为8 C. 的最小值为1 D. 的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意，结合基本不等式和二次函数的图象与性质，逐项分析求解，即可得到答案. 【详解】由，，且， 对于A，由， 当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，所以A错误； 对于B，由， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为，所以B正确； 对于C，由，可得，则， 因为且，可得， 所以当时，的最小值为，所以C错误； 对于D，由， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为，所以D正确. 故选：BD. 10. 若动直线与圆相交于两点，则（　　） A. 直线过定点 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 存在点，使为定值 【答案】ABD 【解析】 【分析】整理方程即可求得直线过定点，判断A选项；由圆方程得到圆心和半径，由圆的性质得到最短交点弦，由垂径定理求得最短弦，判断B选项；取的中点，由向量的加法整理即可求得其最值，判断C选项；取点，过点作圆的直径，由相交弦定理求得的值，判断D选项. 【详解】对于A，由，可得，故直线恒过定点，故A正确； 对于B，圆，圆心为，半径为3， 由圆的性质可得当时，最小， 此时，故B正确； 对于C，取的中点，则， 又，则圆心到直线的距离，所以， 则的最大值为，故C错误； 对于D，取点，过点作圆的直径，如图，因为， 且，所以， 由相交弦定理知，又，则， 所以为定值，故D正确． 故选：ABD． 11. 如图所示，圆锥的轴截面是以为直角顶点的等腰直角三角形，为中点.若点为底面圆所在平面上以为直径的圆上一点，过点作垂直于.当点运动时，（ ） A. 平面 B. 点形成的轨迹长度为 C. 与平面所成角的正弦值的最大值为 D. 的最大值为4 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，由直径所对圆周角可得，由底面可得，则可证明面；B选项，进一步分析线面关系推出，则可得点形成的轨迹为以为直径的圆，从而求轨迹长度；C选项，由线面角的定义作辅助线，找到与平面所成角为，对进行放缩来判断；D选项，连接AH，设，，结合基本不等式来求的最大值. 【详解】A选项，连接OH，CH ，AM，OM. 由点为底面圆所在平面上以为直径的圆上一点，可得， 由题可知，又,面，面， 则面，A正确； B选项，又面，则， 又，,面，面， 则面，又面，面， 则，， 由是以为直角顶点的等腰直角三角形，， 所以，可得，， 又，面，面， 则面，又，过点C与垂直的平面仅有一个， 则点形成的轨迹为以为直径的圆，周长为2，B正确； C选项，过点H作于，过点B作于，连接， 则与平面所成角为， 又，，则 则 则与平面所成角的正弦值的最大值小于，C错误； D选项，连接AH，设，则 则（当且仅当时等号成立）， 则的最大值为4，D正确. 故选：ABD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知.若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量线性运算和数量积的坐标表示进行求解即可. 【详解】因为， 所以. 因为，所以，即. 故答案为：-5. 13. 已知幂函数是奇函数，则不等式的解集为____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数的定义及奇偶性求得，根据函数的性质解不等式即可． 【详解】由题意知，得，解得或， 当时，为偶函数，不符合题意； 当时，为奇函数，符合题意． 作出其图像，如下， 由图像知，当，且递减； 当，且递减． 当，即时， 由，得， 解得，所以； 当，此时； 当，即时，根据， 所以不成立，故； 当时，即时，， 此时恒成立，所以； 综上所述：不等式的解集为. 故答案为：. 14. 若两条直线与互相垂直，则a的值为______. 【答案】4 【解析】 【分析】两直线斜率均存在时，两直线垂直，斜率相乘等于-1，据此即可求解. 【详解】由题可知，. 故答案为：4. 四､解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤 15. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）求角A； （2）若边上的中线的长度为，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用诱导公式和两角和的正弦公式化简得，再利用辅助角公式求角即可； （2）由是中点可得，两边平方结合数量积公式和运算律可得，再利用均值不等式求出的最大值，代入三角形的面积公式即可. 【小问1详解】 在中，， 代入整理得， 又因为，，所以， 所以，解得， 因为，所以，解得. 【小问2详解】 因为是中点，所以， 两边平方得， 所以，即， 又由均值不等式可得， 当且仅当时等号成立，所以， 所以，即面积的最大值为. 16. 已知等比数列满足，. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的通项公式进行求解即可. （2）根据等比数列和等差数列的前项和公式进行求解即可. 【小问1详解】 因为等比数列满足， 则，两式相除可得，解得. 所以的通项公式为. 【小问2详解】 . 所以 17. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，是的中点，点在上，且. （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1） 由题平面，底面为矩形，以为原点，直线，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系如图： 则，，，，，， ，，， ∵∴， ∵，∴， ∵,且平面，∴平面. （法二）证明：由题平面，底面为矩形，以为原点，直线，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图： 则，，，，，， 设是平面的一个法向量. ，. 取，有 ∴，， 则，. ∴平面. （法三）证明：连接 ∵平面，平面,∴. 在中，，. ∵，∴，且， ∴平面， 又∵平面，∴. ∵，又∵， ∴，∴. 且，且平面，∴平面. （2）. 【解析】 【分析】(1)利用坐标法或几何法利用线面垂直的判定定理证明；(2)利用空间向量计算面面角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （接向量法）由（1）可知平面的法向量为（也可为）. 平面的一个法向量为. . ∴平面PAM与平面PDC的夹角的余弦值为. （法二）延长AM，DC，交于点N，连接PN. ∵，∴平面，∵，∴平面. ∴平面平面. 过D做于，连接. ∵平面，∴. 又，， ∴平面，又平面，∴. 又∵，，平面, ∴平面，∴， ∴为二面角的平面角. 在中，， ∴. ∴平面与平面的夹角的余弦值为. 18. 已知抛物线（）过点，其焦点为F，若. （1）求m的值以及抛物线C的方程； （2）过F点的两条互相垂直的直线分别交抛物线于A，C与B，D四点，求四边形ABCD面积的最小值. 【答案】（1）， （2）8 【解析】 【分析】（1）利用抛物线的定义结合条件求得，得其解析式，代入点，计算即得m的值； （2）依题意设直线：，直线：，将其分别与抛物线方程联立，写出韦达定理，利用弦长公式求得和，结合，表示出四边形ABCD面积的表示式，借助于基本不等式即可求出其最小值. 【小问1详解】 因抛物线的焦点为F，则 ∴，即抛物线C的方程： 又因为抛物线过点,代入抛物线方程，可得，解得. 综上：，抛物线C的方程：； 【小问2详解】 由题知，过F点的两条互相垂直的直线斜率均存在，且不等于零，如下图： 因此设直线：，直线： 设点、、、， 联立直线与抛物线C的方程，得， 则有，∴， 又∵， 同理，联立直线与抛物线C的方程，得， 则有，∴， 又∵，∴， 又∵， ∴ ， 当且仅当，即时，四边形ABCD面积的最小值是8. 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若，求的值； （3）当时，证明：有2个零点． 【答案】（1） （2） （3）． 令，得， 令，则与有相同的零点， 且． 令，则， 因为当时，，所以在区间上单调递增， 又，，所以，使得， 所以当时，，即； 当时，，即， 所以在单调递减，在单调递增， 所以的最小值为． 由，得，即， 令，，则，则在单调递增． 因为，所以，则， 所以，从而，， 所以的最小值． 因为，所以当趋近于0时，趋近于； 当趋近于时，趋近于，且， 所以有2个零点，故有2个零点． 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求得切线斜率，由点斜式即可得到切线方程； （2）函数求导后，根据参数的取值分类讨论，得到时，，构造函数，求导推得，结合恒成立即得的值； （3）由得，令，则，令，求导判断在区间上单调递增，结合零点存在定理，推得，使得，求出的最小值为，由可得，，故得的最小值，由即可判断函数，即函数的零点个数. 【小问1详解】 当时，，则， 所以，， 所以曲线在点处的切线方程为， 即． 【小问2详解】 函数的定义域为，且， ① 当时，易得，在上单调递减， 又，所以当时，，不符合题意； ② 当时，由，得时，即在上单调递增； 由，得时，即在上单调递减， 所以， 因为，则其等价于，即． 令，则， 所以当时，，当时，， 则在上单调递增，在上单调递减， 所以，因恒成立，故． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三12月份（数学）学科质量检测 （考试时间：120分钟，分值：150分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1. 下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，若，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3. 为落实“双碳”目标，某环保组织调研10个国家2024年度的人均碳排放强度（单位：吨/人·年），得到数据如下：2，4，5，7，8，9，11，12，13，15．则该组数据的30%分位数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4. 以，为焦点，且经过点的椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 5. 若m,n为直线，为两个平面，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 已知，是双曲线：的两个焦点，过点与轴垂直的直线与双曲线交于、两点，若是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 正三棱台高为1，上下底边长分别为3和6，所有顶点在同一球面上，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，且满足，当时，，则当时，函数的最大值为（ ） A. 2 B. 1 C. －1 D. 0 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 已知，，若，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为8 C. 的最小值为1 D. 的最小值为 10. 若动直线与圆相交于两点，则（　　） A. 直线过定点 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 存在点，使为定值 11. 如图所示，圆锥的轴截面是以为直角顶点的等腰直角三角形，为中点.若点为底面圆所在平面上以为直径的圆上一点，过点作垂直于.当点运动时，（ ） A. 平面 B. 点形成的轨迹长度为 C. 与平面所成角的正弦值的最大值为 D. 的最大值为4 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知.若，则__________. 13. 已知幂函数是奇函数，则不等式的解集为____________. 14. 若两条直线与互相垂直，则a的值为______. 四､解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤 15. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）求角A； （2）若边上的中线的长度为，求面积的最大值. 16. 已知等比数列满足，. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 17. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，是的中点，点在上，且. （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 18. 已知抛物线（）过点，其焦点为F，若. （1）求m的值以及抛物线C的方程； （2）过F点的两条互相垂直的直线分别交抛物线于A，C与B，D四点，求四边形ABCD面积的最小值. 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若，求的值； （3）当时，证明：有2个零点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $