专题26.2 二次函数的图形和性质『重点难点同步培优讲义』（导图知识卡片+知识梳理+23个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共71题）-2026-2027学年人教版数学九年级上册

专题26.2 二次函数的图形和性质『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+23个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共71题） 【人教版数学新教材•九年级上册（原卷版）】 同学你好，本套讲义针对2026年人教版九年级上册最新版教材精心制作，贴合书本内容。讲义包含精编思维导图，知识梳理精讲，重点难点题型讲练，中考真题实战演练，精选真题难度分层练等五大部分！题目新颖，题量充沛，解析思路清晰，精选近两年名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优和拔尖的同学使用，讲义可作为同步复习，章节巩固，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 思维导图 3 知识梳理 3 知识点一 二次函数y=ax² 的图像和性质 3 知识点二 二次函数的图像及性质 4 知识点三 二次函数的图像及性质 5 知识点四 二次函数的图像及性质 5 知识点五 利用待定系数法求二次函数解析式 6 题型讲练 6 题型一 y=ax²的图象和性质 6 题型二 y=ax²+k的图象和性质 7 题型三 y=a (x-h）²的图象和性质 8 题型四 y=a (x-h) ²+k的图象和性质 8 题型五 二次函数图象的平移 8 题型六 把y=ax²+bx+c化成顶点式 9 题型七 画y=ax²+bx+c的图象 10 题型八 y=ax²+bx+c的图象与性质 10 题型九 二次函数图象与各项系数符号 11 题型十 一次函数、二次函数图象综合判断 11 题型十一 两个二次函数图象综合判断 12 题型十二 根据二次函数的图象判断式子符号 13 题型十三 已知抛物线上对称的两点求对称轴 14 题型十四 根据二次函数的对称性求函数值 15 题型十五 y=ax²+bx+c的最值 15 题型十六 利用二次函数对称性求最短路径 16 题型十七 待定系数法求二次函数解析式 17 题型十八 线段周长问题（二次函数综合） 18 题型十九 面积问题（二次函数综合) 20 题型二十 角度问题（次函数综合） 21 题型二十一 特殊三角形问题（二次函数综合） 22 题型二十二 特殊四边形（二次函数综合） 24 题型二十三 其他问题（二次函数综合） 25 中考真题演练 26 难度分层训练 27 【基础夯实】 27 【培优拔高】 29 知识点一 二次函数y=ax² 的图像和性质 二次函数的图像是关于y轴对称的一条抛物线，抛物线与对称轴的交点叫做二次函数的顶点，其图像与性质如下表： 函数 a的符号 a＞0 a＜0 图像 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴 顶点坐标 （0，0） 函数的增减性 x＞0时，y随x的增大而增大； x＜0时，y随x的增大而减小. x＞0时，y随x的增大而减小； x＜0时，y随x的增大而增大. 最值 当x＝0时，函数图像有最低点，有最小值0. 当x＝0时，函数图像有最高点，有最大值0. 【解读】 1)利用数形结合能直观地反映出函数 (a≠0)的性质，结合图像去分析是解决问题的有效途径. 2)在二次函数 (a≠0)的图像中，抛物线以对称轴为“界”，顶点为“限”，在对称轴的左侧和右侧，它的增减性恰好相反. 3）几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 知识点二 二次函数的图像及性质 函数 a的符号 a＞0 a＜0 k的符号 k＞0 k＜0 k＞0 k＜0 图像 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴 顶点坐标 （0，k） 函数的增减性 当x＜0时，y随x的增大而减小； 当x＞0时，y随x的增大而增大. 当x＜0时，y随x的增大而增大； 当x＞0时，y随x的增大而减小. 最值 当x＝0时，y有最小值k 当x＝0时，y有最大值k. 对于二次函数来说，当k＞0时，可看成是将的函数图像沿着y轴向上平移|k|个单位长度得到的；当k＜0时，可看成是将的函数图像沿着y轴向下平移|k|个单位长度得到的. 知识点三 二次函数的图像及性质 函数 a的符号 a＞0 a＜0 h的符号 h＞0 h＜0 h＞0 h＜0 图像 开口方向 向上 向下 对称轴 x=h 顶点坐标 （h，0） 函数的增减性 当x＜h时，y随x的增大而减小； 当x＞h时，y随x的增大而增大. 当x＜h时，y随x的增大而增大； 当x＞h时，y随x的增大而减小. 最值 当x＝h时，y有最小值0 当x＝h时，y有最大值0 对于二次函数来说，可看成是将的函数图像沿着x轴向左或向右平移|h|个单位长度得到的. 知识点四 二次函数的图像及性质 函数 a的符号 a＞0 a＜0 图像 开口方向 向上 向下 对称轴 x= x= 顶点坐标 (，) (，) 函数的增减性 x＞时，y随x的增大而增大； x＜时，y随x的增大而减小. x＞时，y随x的增大而减小； x＜时，y随x的增大而增大. 最值 抛物线有最低点，当x=时，y有最小值， 抛物线有最高点，当x=时，y有最大值， 知识点五 利用待定系数法求二次函数解析式 根据已知条件确定二次函数的解析式，通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点选择适当的形式，这样才能使解题简便.一般来说，有如下几种情况: 1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式，然后列出关于a，b，c的三元一次方程组求解； 2）已知抛物线的顶点或对称轴或最大(小)值，一般选用顶点式，然后将另一点的坐标代入，解关于a的一元一次方程； 3）当已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，常用交点式求其表达式，将第三点的坐标或其它已知条件代入，求出待定系数a，最后将解析式化成一般式； 4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式或交点式. 题型一 y=ax²的图象和性质 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）按要求完成下列各题： (1)在同一平面直角坐标系中，二次函数的图象与二次函数的图象有什么相同之处和不同之处？ (2)在同一平面直角坐标系中，二次函数的图象与二次函数的图象有什么关系？ 【变式训练】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，菱形的顶点在抛物线上，其中点O为坐标原点，对角线在y轴上，且． (1)求两点的坐标； (2)求菱形的面积． 题型二 y=ax²+k的图象和性质 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）把抛物线向下平移3个单位长度后得到抛物线． (1)求平移前的抛物线的解析式； (2)求函数的最大值或最小值，并指出相应的x的值； (3)对于，指出当x为何值时，y随x的增大而减小？ 【变式训练】（26-27九年级上·安徽六安·阶段检测）已知是抛物线上的点，则（     ） A． B． C． D． 题型三 y=a (x-h）²的图象和性质 【典例精讲】（26-27九年级上·安徽六安·阶段检测）已知二次函数（h为常数），当自变量x的值满足时，函数值y的最小值为1，则h的值为__________． 【变式训练】（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）如图，抛物线与轴交于点，顶点在轴的正半轴上，连接，若是等腰直角三角形，则的值为___． 题型四 y=a (x-h) ²+k的图象和性质 【典例精讲】（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）关于二次函数的图象，下列描述错误的是（     ） A．该抛物线开口向上 B．当时，y有最小值2 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，y随x的增大而减小 【变式训练】（26-27九年级上·全国·课后作业）“水幕电影”的工作原理是把影像打在抛物线状的水幕上，通过光学原理折射出图象．水幕是由若干个水嘴喷出的水柱组成的（如图），水柱的最高点为P， ，水嘴高 ，以A为坐标原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，则图中抛物线的解析式为________________（不用写出自变量的取值范围）． 题型五 二次函数图象的平移 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）将抛物线（，是常数，）向下平移个单位长度后，得到的新抛物线恰好和抛物线关于轴对称，则______，______． 【变式训练】（23-24九年级上·河北邢台·期末）如图，抛物线：与轴交于、两点，与轴交于点，且点的坐标为，抛物线的对称轴为直线，其顶点记为． (1)求抛物线的解析式和点坐标； (2)点是轴上任意一点，连接、、，当周长取到最小值时，求点的坐标； (3)将抛物线向右平移个单位长度得到新的抛物线； ①抛物线与轴交于、两点（点在点的左边），当点是线段三等分点时，求的值； ②点、是抛物线上两点，当时，请直接写出的取值范围． 题型六 把y=ax²+bx+c化成顶点式 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）先确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点，说出随着x的增大，y的变化情况，再描点画图： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式训练】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知抛物线的顶点为，求b，c的值． 题型七 画y=ax²+bx+c的图象 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）先确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点，说出随着x的增大，y的变化情况，再描点画图： (1) ； (2)； (2) ； (4)． 【变式训练】（26-27九年级上·全国·课后作业）我们已经知道二次函数的图象和性质，利用这些知识来讨论二次函数的图象和性质． (1)求抛物线的对称轴和顶点坐标． (2)抛物线可以看作是由抛物线怎样平移得到的? (3)在平面直角坐标系中，画出抛物线． 题型八 y=ax²+bx+c的图象与性质 【典例精讲】（26-27九年级上·天津·期中）已知抛物线的顶点为P，与x轴相交于点和点，与y轴相交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)写出抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴； (3)计算的面积． 【变式训练】（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）把二次函数的图像左右平移，使其顶点恰好落在正比例函数的图像上，则平移后的二次函数表达式是______． 题型九 二次函数图象与各项系数符号 【典例精讲】（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知二次函数的图象如图，其中，的值可能是（     ） A．， B．， C．， D．， 【变式训练】（2026·甘肃嘉峪关·二模）已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①②③④，下列选项正确的是（     ） A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．①② 题型十 一次函数、二次函数图象综合判断 【典例精讲】（2026九年级上·全国·专题练习）在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【变式训练】（2026·安徽淮南·一模）若二次函数与一次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 题型十一 两个二次函数图象综合判断 【典例精讲】已知抛物线（、、为常数，且)的自变量与函数值的部分对应值如下表： … 0 1 … … 8 5 4 5 … (1)①根据以上信息，可知抛物线开口向________，当函数值随的增大而增大时，的取值范围为________； ②补全表格，在图中描出表中的点，再用平滑的曲线依次连接各点； (2)定义：若抛物线与抛物线，满足，且，则称抛物线是抛物线的“共轭抛物线”． ①在图中画出抛物线的“共轭抛物线”； ②若直线与抛物线及其“共轭抛物线”都没有交点，求出的取值范围． 【变式训练】在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝ax2+bx+c，y2＝cx2+bx+a（a，b，c是实数，ac＜0）． (1)若函数y1的对称轴为直线x＝1，且函数y1的图象经过点（a，c），求a，b的值． (2)设函数y1的最大值为m，函数y2的最小值为n，若m+n＝0，求证：a+c＝0． (3)若函数y1的图象与函数y2的图象的两个交点分别在一、三象限，求证：b＞0． 题型十二 根据二次函数的图象判断式子符号 【典例精讲】二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③当时，y随x的增大而减小．其中正确的有（     ） A．0个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式训练】（多选）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且经过点．下列说法正确的是（     ） A． B． C．若是抛物线上的两点，则 D．（其中） 题型十三 已知抛物线上对称的两点求对称轴 【典例精讲】（26-27九年级上·湖北武汉·开学考试）已知抛物线与x轴交于两点，在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n，若，则n的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 【变式训练】（25-26八年级下·北京·期末）已知抛物线C：（）． (1)直接写出抛物线C的对称轴； (2)若点和均在抛物线C上，且，直接写出n的取值范围； (3)将抛物线C在y轴右侧的部分关于直线翻折，y轴及左侧部分保持不变，得到新图象G．已知点和均在图象G上，求的最小值． 题型十四 根据二次函数的对称性求函数值 【典例精讲】（25-26八年级下·重庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象上有点，，，则，，的大小关系是____________．（请用“”符号连接） 【变式训练】（26-27九年级上·天津·开学考试）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法：①；②；③若是抛物线上的两点，则；④（其中）；⑤．其中正确的结论是（     ） A．①②③ B．①③④ C．②④⑤ D．①②④ 题型十五 y=ax²+bx+c的最值 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）求下列二次函数的最大值或最小值： (1) ； (2)； (2) ； (4)． 【变式训练】（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）如图，已知抛物线的图像与轴交于，，与轴交于点，、为抛物线上的两点． (1)求该二次函数的表达式； (2)若在抛物线的对称轴上存在一点，连接、，使的值最小，求点的坐标； (3)设的横坐标为，的横坐标为，试探究：的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 题型十六 利用二次函数对称性求最短路径 【典例精讲】（25-26九年级上·天津·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，． (1)求抛物线的解析式； (2)点D在抛物线的对称轴上，若的值最小，求点D的坐标； (3)若点P是抛物线上的一点，当点P在直线上方的抛物线上运动时，请直接写出的面积的最大值．（直接写答案，不需要过程） 【变式训练】如图，已知抛物线 的对称轴为，且抛物线经过， (1)若直线经过两点，求直线所在直线的解析式； (2)抛物线的对称轴上找一点，使点到点的距离与到点的距离之和最小，求出此点的坐标； (3)在抛物线的对称轴上的是否存在点，使为直角三角形，若存在，请求出符合条件的点的坐标？若不存在，请说明理由． (4)在抛物线的对称轴上的是否存在点，使为等腰三角形，若存在，请求出符合条件的点的坐标？若不存在，请说明理由． 题型十七 待定系数法求二次函数解析式 【典例精讲】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）顶点坐标为，开口方向和大小与抛物线相同的解析式为（     ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26九年级上·内蒙古赤峰·阶段检测）如图，已知抛物线经过，两点，与y轴的交点为C，顶点为D． (1)求该抛物线的表达式及D点的坐标； (2)点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为m． ①当点P在直线的下方运动时，求的面积的最大值； ②点P在抛物线上，点Q在y轴上，是否存在以B、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 题型十八 线段周长问题（二次函数综合） 【典例精讲】（2026九年级上·全国·专题练习）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线，已知点． (1)求抛物线的解析式； (2)是线段上的一个动点，过点作轴，延长交抛物线于点，求线段的最大值及此时点的坐标； (3)在轴上是否存在一点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式训练】（26-27九年级上·福建莆田·阶段检测）已知抛物线 的顶点为，与x轴交于A，B两点（A在B左边） ． (1)直接写出抛物线解析式； (2)如图（1），点E是抛物线上的动点，连接，直线交直线于点F．设点E的横坐标为m． ①求直线的解析式（用含m的代数式表示）； ②若的面积等于2时，求m的值． (3)如图（2），P，Q为y轴上的两个关于原点对称的动点，射线，分别与抛物线交于M，N两点，求的值． 题型十九 面积问题（二次函数综合) 【典例精讲】（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，现有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃．设的长为，该矩形花圃的面积为． (1)若要围成面积为的矩形花圃，则的长为多少米？ (2)当的长为多少米时，矩形花圃的面积最大？最大面积为多少？ 【变式训练】（26-27九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，与x轴的另一个交点为B．抛物线关于x轴对称的抛物线为． (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图②，点D是抛物线在第四象限上的一点，连接．若，求点D的坐标； (3)当时抛物线与时抛物线组成新的函数G，函数G的图象上有不重合的两点P和Q，点P和点Q的横坐标分别为和，若函数G的图象上点P和点Q之间部分（包括点P和点Q）的最大值和最小值均与t的取值无关，求t的取值范围． 题型二十 角度问题（次函数综合） 【典例精讲】（26-27九年级上·四川成都·开学考试）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1．点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，连接，，抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式训练】（2026·四川雅安·一模）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求抛物线及直线的解析式； (2)直接写出抛物线的顶点坐标和对称轴； (3)若P为抛物线上一点，当时，求点P的横坐标． 题型二十一 特殊三角形问题（二次函数综合） 【典例精讲】如图，抛物线与x轴交于A，B两点，过A点的直线与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，已知点D的横坐标为4，点P为直线l上方的抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)过P点作轴交直线l于点E，作轴交直线l于点F，连接． ①当为直角三角形时，求点P的坐标； ②求的最大值，并求出当最大时点P的坐标． 【变式训练】（26-27九年级上·新疆·阶段检测）如图，A，B，C是平面直角坐标系轴上的三个点，直线与抛物线交于B，C两点，，抛物线经过A，B，C三点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点N是抛物线上的一动点且位于直线的上方，试求的最大面积． (3)在抛物线上是否存在点M，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由． 题型二十二 特殊四边形（二次函数综合） 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的顶点为，与y轴交于点A，过点A作轴，交该抛物线于点C，连接，以为边作，点D在x轴的负半轴上． (1)求该抛物线的解析式； (2)求点C的坐标及的面积． 【变式训练】（25-26九年级上·四川眉山·阶段检测）已知，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点M是直线上方的抛物线上一动点（不与A，C重合），连接，，求的面积最大值以及此时点M的坐标． (3)如图2，若动点P在抛物线的对称轴上，点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 题型二十三 其他问题（二次函数综合） 【典例精讲】（26-27九年级上·江西南昌·阶段检测）在平面直角坐标系中，对于一次函数，若（为常数，），则称为的“型相关量”．例如：一次函数的“型相关量”为． 【理解】 (1)一次函数的“型相关量”为，则________； 【探究】 (2)已知是的“型相关量”， ①若是定值，请说明与的数量关系，并求出的值； ②若随的增大而增大，试比较与的大小关系； 【迁移】 (3)类似的，对于二次函数，若，亦称为的“型相关量”．当时，二次函数的“型相关量”的最大值为，请求出的值． 【变式训练】（24-25九年级下·安徽芜湖·自主招生）如图，点，，均在二次函数的图象上，为线段的中点，轴，且．设，两点的横坐标分别为，，则的值为（     ） A．3 B． C．4 D． 【真题演练1】（2026·江苏淮安·中考真题）已知二次函数（，，为常数，）的图像过点，则下列说法正确的是__________．（填写所有正确说法的序号） ①；②若，则当时，随的增大而增大；③若，则；④若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则． 【真题演练2】（2026·江苏徐州·中考真题）在平面直角坐标系中，将函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（     ） A． B． C． D． 【真题演练3】（2026·广东广州·中考真题）已知抛物线G：． (1)当，时，求抛物线G的对称轴； (2)若对于任意实数，抛物线G总经过定点． ①求和的值； ②点，在抛物线G上，且线段与轴有交点．记的面积为，求的取值范围． 【真题演练4】（2026·山东东营·中考真题）在二次函数（a，b，c为常数，）中，与的部分对应值如表所示． 4 0 给出下列结论：①；②；③若，且，则；④若点均在二次函数图象上，则．其中正确的是（     ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【真题演练5】（2026·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和．若，则________（填“”“”或“”）． 【基础夯实】 1．（26-27九年级上·新疆吐鲁番·阶段检测）二次函数的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·天津·期中）将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线是（     ） A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 4．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）将二次函数的图像向左平移个单位，再向上平移个单位，得到的函数解析式是______．（用顶点式表示） 5．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）将二次函数的图像向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的二次函数图像的顶点坐标是______． 6．（26-27九年级上·北京西城·阶段检测）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法： ①； ②； ③若，是抛物线上的两点，则； ④； ⑤（其中）． 其中正确的结论是__________． 7．（26-27九年级上·全国·课后作业）在同一平面直角坐标系中，画出下列二次函数的图象，并写出其开口方向、对称轴和顶点，以及随着x的增大，y的变化情况： (1)； (2)． 8．（26-27九年级上·全国·课后作业）在同一平面直角坐标系中，画出下列二次函数的图象： ，，． 指出三条抛物线的位置关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点，以及随着x的增大，y的变化情况． 9．（26-27九年级上·全国·课后作业）正方形的边长是x，面积是A，周长是l． (1)分别写出与x之间的关系式； (2)在同一平面直角坐标系中画出上述关系式在范围内的图象，并比较它们的变化趋势． 10．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，一名足球运动员在点A处踢出任意球，球的飞行路线是一条抛物线．当球飞行到最高点时，恰好击中高的球门横梁上的点B．设位于点B正下方的地面上的点为C，且．求这一飞行过程中，球的竖直高度y（单位：m）关于它距离点A的水平距离x（单位：m）的函数解析式． 【培优拔高】 1．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知，，是二次函数图象上的点，则（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·内蒙古赤峰·阶段检测）若将抛物线图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的解析式为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·天津·阶段检测）已知点，，在抛物线上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 4．（26-27九年级上·浙江杭州·开学考试）已知二次函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系不可能是（     ） A． B． C． D． 5．（26-27九年级上·福建福州·开学考试）若二次函数的图象经过点，，则，的大小关系是__________（用“<”连接）． 6．（26-27九年级上·重庆·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，对称轴为直线．图象上有点，，，则，，的大小关系是______．（请用“”符号连接） 7．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）若抛物线（为常数）与抛物线（为常数）关于直线对称，则的值为___________． 8．（26-27九年级上·全国·课后作业）先确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点，说出随着x的增大，y的变化情况，再描点画图： (1)； (2)； (3)； (4)． 9．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）如图，已知抛物线与轴的一个交点为，与轴的交点，其顶点为，对称轴为直线． (1)求顶点的坐标及抛物线的函数表达式； (2)求的面积． 10．（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图1，抛物线交轴于点和点，交轴于点，且． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上一动点，连接和，交于点，交轴于点，若是以为底的等腰三角形，求点的坐标； (3)如图2所示，若点是抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，请问在轴上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 专题26.2二次函数的图形和性质『重点难点同步培优讲义』 (知识梳理+23个题型讲练+中考真题演练+难度分层练共71题) 【人教版数学新教材九年级上册（原卷版）】 山进义简介」 同学你好，本套讲义针对2026年人教版九年级上册最新版教材精心制作，贴合书本内容。讲 义包含精编思维导图，知识梳理精讲，重点难点题型讲练，中考真题实战演练，精选真题难度 分层练等五大部分！题日新颖，题量充沛，解析思路清晰，精选近两年名校真题，模拟题等最 新题日，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优和拔尖的同学使用，讲义可作为同步复习， 章节巩固，期中期木强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 售山且录导航 回1 思维导图.… 知识梳理.... …3 知识点一二次函数y=ax2的图像和性质....... 3 知识点二二次函数y=ax+k(a≠0)的图像及性质. 知识点三二次函数y=a(x-h)(a≠0)的图像及性质.. 知识点四 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像及性质.. 5 知识点五利用待定系数法求二次函数解析式. 题型讲练. 6 题型一y=ax2的图象和性质.....· 题型二y=ax2+k的图象和性质.. …7 题型三y=a(x-h)2的图象和性质 .8 题型四y=a(x-h)24k的图象和性质..... 题型五二次函数图象的平移 8 题型六把y=ax2+bx+c化成顶点式......。 题型七画yax2+bx+c的图象…………… 10 题型八y=ax2+bx+c的图象与性质.……………………… 10 题型九二次函数图象与各项系数符号…11 第1页共32页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 题型十一次函数、二次函数图象综合判断..· 17 题型十一两个二次函数图象综合判断... 12 题型十二根据二次函数的图象判断式子符号.… 题型十三已知抛物线上对称的两点求对称轴…………… 14 题型十四根据二次函数的对称性求函数值.…………… 15 题型十五y=ax24bx+c的最值.…………… 15 题型十六利用二次函数对称性求最短路径… 16 题型十七待定系数法求二次函数解析式.... 17 题型十八线段周长问题（二次函数综合)........ 18 题型十九面积问题（二次函数综合)… ………20 题型二十角度问题（次函数综合） 21 题型二十一特殊三角形问题（二次函数综合) 22 题型二十二特殊四边形（二次函数综合） 24 题型二十三其他问题（二次函数综合） 25 中考真题演练… 难度分层训练… .27 【基础夯实】 …….27 【培优拔高】 …29 第2页共32页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 思维导图 1二次函数y=ax的图像和性质 2三次函数y=ax2+k 1.抛物线 1.由y=ax2上下平移得到。 y↑y=ax2+k(k>0) 。a>0:开口向上，顶点(0,0)， a>0 a<0 对称轴x=0,最低值0。 0 2.k>0:向上平移k个单位 0 。a<0:开口向下，顶点(0,0)， k<0:向下平移k个单位 对称轴x=0,最高值0。 =CO 。al越大，开口越小。 3.顶点(0，k),对称轴x=0。 2.增减规律 4.a>0:最小值为k。 顶点(0,0) 顶点(0,0) a<0:最大值为k, y=ax2+k(k<0) 。a>0:左减右增 。a<0:左增右减 la越大，开口越小 4二次函数y=a(x-h)2+k(重点) 3二次函数y=ax-h2 人教版九年级上册 1.由y=ax2左右平移得到. 出 第26章二次函数 1.顶点（仇k),对称轴x=h yt 2.a>0:开口向上，顶点为最低点 a>0 2.左加右减： 26.2二次函数的图像和性质 (最小值k) 最小值k。 y=a(x+h→向左平移h个单位 (h,k) a<0:开口向下，顶点为最高点， y=a(x-h→向右平移h个单位 最大值k, 3.顶点(h,0),对称轴x=h. a<0 -h o h 平移规律：左加右减，上加下减。 (最大值k) 5-般式y=ax2+bx+c 6易错点拨 7方法与拓展 @ 1.通过配方转化为顶点式： ①a≠0（香则不是二次函数）. 1.研究函数图像步骤： y=ae+)广+a。 a>0→开口向上 4a (顶点为最低点) ②顶点式符号判断： 列表→描点→连线 a>0→最小值：a<0→最大值. a<0→开口向下 (项点为最高点) 目x-h右移，x+h左移。 2.数形结合： 通过图像直观理解函数性质。 3顶生标（六“。 ④最大值最小值判断看a正负。 3.抽物线关于对称轴对称 4.a决定开口方向，顶点决定最值。 ⑤对称轴写x=h。 不出 例如y=ar2+bx+c的图像关于直线x= 2对称。 知迟梳理 知识点一二次函数y=ax2的图像和性质 二次函数y=ax2(a≠O)的图像是关于y轴对称的一条抛物线，抛物线与对称轴的交点叫做二次函数的顶 点，其图像与性质如下表： 函数 y=ax2 a的符号 a>0 a<0 y 图像 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴 顶点坐标 (0,0) 第3页共32页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 函数的增减 x>0时，y随x的增大而增大： x>0时，y随x的增大而减小 性 x<0时，y随x的增大而减小 x<0时，y随x的增大而增大 最值 当x=0时，函数图像有最低点，有最小值0. 当x=0时，函数图像有最高点，有最大值0. 【解读】 1)利用数形结合能直观地反映出函数y=ax2(a≠0)的性质，结合图像去分析是解决问题的有效途径. 2)在二次函数y=x2(a≠0)的图像中，抛物线以对称轴为“界”，顶点为“限”，在对称轴的左侧和右 侧，它的增减性恰好相反， 3)几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的 位置不同 知识点二二次函数y=ax2+k(a≠0)的图像及性质 函数 y=ax2+k a的符号 a>0 a<0 k的符号 k>0 k<0 k>0 k<0 图像 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴 顶点坐标 (0,k) 当x<0时，y随x的增大而减小： 当x<0时，y随x的增大而增大； 函数的增减性 当x>0时，y随x的增大而增大. 当x>0时，y随x的增大而减小 最值 当x=0时，y有最小值k 当x=0时，y有最大值k. 对于二次函数y=ax2+k(a≠0)来说，当k>0时，可看成是将y=x2的函数图像沿着y轴向上平 移k个单位长度得到的；当k<0时，可看成是将y=x的函数图像沿着y轴向下平移k个单位长度得 到的 第4页共32页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 知识点三 二次函数y=a(x-h)'(a≠0)的图像及性质 函数 y=a(x-h)2 a的符号 a>0 a<0 h的符号 h>0 h<0 h>0 h<0 图像 开口方向 向上 向下 对称轴 x=h 顶点坐标 (h,0) 当x<h时，y随x的增大而减小： 当x<h时，y随x的增大而增大； 函数的增减性 当x>h时，y随x的增大而增大。 当x>h时，y随x的增大而减小， 最值 当x=h时，y有最小值0 当x=h时，y有最大值O 对于二次函数y=a(x-h)'(a≠0)来说，可看成是将y=ar的函数图像沿着x轴向左或向右平移h 个单位长度得到的. 知识点四二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像及性质 函数 b2,4ac-b2 y=ax2+bx+c→y=ax+ '+2a Aa a的符号 a>0 a<0 b: 图像 N 开口方 向上 向下 向 对称轴 b 2a X=- 2a 第5页共32页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 顶点坐 标 (←会 函数的 x>一时，y随x的增大而增大； 2a x>-品时，y随x的增大而减小： 增减性 x<- 时，y随x的增大而减小 2a1 X<-品时，y随x的增大而增大 抛物线有最低点，当x=一 云时，y有最小值， 抛物线有最高点，当x=一 时，y有最大值， 最值 4ac-b2 4ac-b2 y最小值一 Aa y最大值 Aa 知识点五利用待定系数法求二次函数解析式 根据己知条件确定二次函数的解析式，通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题 目的特点选择适当的形式，这样才能使解题简便.一般来说，有如下几种情况： 1)已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式，然后列出关于a,b,c的三元一次方程组求解： 2)已知抛物线的顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式，然后将另一点的坐标代入，解关于a的一 元一次方程： 3)当已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，常用交点式求其表达式，将第三点的坐标或其它已知条件代入， 求出待定系数a,最后将解析式化成一般式： 4)已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式或交点式， 山题型进练 题型一y=ax2的图象和性质 【典例精讲】(26-27九年级上·全国·课后作业)按要求完成下列各题： (1)在同一平面直角坐标系中，二次函数y=x2的图象与二次函数y=3x2的图象有什么相同之处和不同之 处？ (2)在同一平面直角坐标系中，二次函数y=-3x2的图象与二次函数y=3x2的图象有什么关系？ 第6页共32页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 【变式训练】(26-27九年级上·全国·课后作业)如图，菱形0ABC的顶点0，A,C在抛物线y=x2上，其 中点O为坐标原点，对角线OB在y轴上，且OB=2. B (1)求A,C两点的坐标： (2)求菱形OABC的面积. 题型二y=ax2+k的图象和性质 【典例精讲】(26-27九年级上·全国·课后作业)把抛物线y=αx2+c向下平移3个单位长度后得到抛物 线y=-2x2-1. (1)求平移前的抛物线的解析式； (2)求函数y=ax2+c的最大值或最小值，并指出相应的x的值： (3)对于y=ax2+c,指出当x为何值时，y随x的增大而减小？ 【变式训练】(26-27九年级上·安徽六安·阶段检测)己知(-3，y1),(1,y2),(5,y3)是抛物线y=-2x2+m 上的点，则( A.y1>y2>y3B.y2>y1>y3 C.y1>y2=y3 D.y1=y2>y3 第7页共32页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 题型三y=a(Xh)的图象和性质 【典例精讲】(26-27九年级上·安徽六安·阶段检测)已知二次函数y=(x-五)2(h为常数)，当自变 量x的值满足1≤x≤3时，函数值y的最小值为1，则h的值为 【变式训练】(25-26九年级下·黑龙江大庆·期中)如图，抛物线y=a(x-2)2与y轴交于点A,顶点B 在x轴的正半轴上，连接AB,若△A0B是等腰直角三角形，则a的值为一· B 题型四y=a(X-h)2+k的图象和性质 【典例精讲】(26-27九年级上·福建福州·阶段检测)关于二次函数y=(x-1)2+2的图象，下列描述 错误的是( A.该抛物线开口向上 B.当x=1时，y有最小值2 C.当x<1时，y随x的增大而减小 D.当x>1时，y随x的增大而减小 【变式训练】(26-27九年级上·全国·课后作业)“水幕电影”的工作原理是把影像打在抛物线状的水幕 上，通过光学原理折射出图象.水幕是由若干个水嘴喷出的水柱组成的（如图），水柱的最高点为P,PB1 AB,BP=10m,AB=2m,水嘴高AD=6m,以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线 为y轴建立平面直角坐标系，则图中抛物线的解析式为 (不用写出自变量的取值范围)· 水嘴 D A 水槽 题型五二次函数图象的平移 【典例精讲】(26-27九年级上·全国·课后作业)将抛物线y=ax2+bx-2(a,b是常数，a≠0)向下 平移2个单位长度后，得到的新抛物线恰好和抛物线y=x2+x-4关于y轴对称，则a=一，b=一一一· 第8页共32页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 【变式训练】（23-24九年级上·河北邢台·期末)如图，抛物线L:y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点， 与y轴交于点C,且点A的坐标为(-3,0)，抛物线L的对称轴为直线x=-1,其顶点记为D. D月 (1)求抛物线L的解析式和点D坐标： (2)点M是x轴上任意一点，连接DM、CM、CD,当△CDM周长取到最小值时，求点M的坐标； (3)将抛物线L向右平移m个单位长度得到新的抛物线G; ①抛物线G与x轴交于E、F两点（点E在点F的左边），当点B是线段EF三等分点时，求的值： ②点(0，y1)、(1,y2)是抛物线G上两点，当y1>y2时，请直接写出m的取值范围. 题型六把y=ax2+bx+c化成顶点式 【典例精讲】(26-27九年级上·全国·课后作业)先确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点，说出随 着x的增大，y的变化情况，再描点画图： (1)y=x2+2x-3; (2)y=1+6x-x2; (3y=2+2x+1: (④y=-42+x-4. 【变式训练】(26-27九年级上·全国·课后作业)已知抛物线y=-x2+bx+c的顶点为(5，)，求：，c 的值. 第9页共32页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 题型七画y=ax2+bx+c的图象 【典例精讲】(26-27九年级上·全国·课后作业)先确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点，说出随 着x的增大，y的变化情况，再描点画图： ①y=: (2)y=-2x2-3: (2)y=4x+2)2; ④y=-(x+)-1. 【变式训练】(26-27九年级上·全国·课后作业)我们已经知道二次函数y=a(x-)2+k的图象和性 质，利用这些知识来讨论二次函数y=x2一4x+3的图象和性质. (1)求抛物线y=x2一4x+3的对称轴和顶点坐标. (2)抛物线y=x2-4x+3可以看作是由抛物线y=x2怎样平移得到的？ (3)在平面直角坐标系中，画出抛物线y=x2-4x+3. 题型八y=ax+bx+c的图象与性质 【典例精讲K26-27九年级上天津期中)己知抛物线y=ax2+bx+c的顶点为P,与x轴相交于点A(-1,0) 和点B(5,0),与y轴相交于点C(0,-5). (1)求抛物线的解析式： (2)写出抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴； (3)计算△PAB的面积. 第10页共32页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 【变式训练】（26-27九年级上·上海金山·阶段检测)把二次函数y1=x2+4x+5的图像左右平移，使 其顶点恰好落在正比例函数y2=x的图像上，则平移后的二次函数表达式是 题型九二次函数图象与各项系数符号 【典例精讲】(26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测)已知二次函数y=-x2+bx+c的图象如图，其中b, c的值可能是( A.b<0,c>0 B.b>0,c<0 C.b>0,c>0 D.b<0,c<0 【变式训练】（2026·甘肃嘉峪关·二模)己知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，有下列 结论：①b2-4ac>0②abc>0③b=-2a④a+b+c>0,下列选项正确的是( A.①②③④ B.①②④ C.①②③ D.①② 题型十一次函数、二次函数图象综合判断 【典例精讲】(2026九年级上·全国·专题练习)在同一平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx与一 次函数y=bx-a的图象可能是( 第11页共32页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 C. 【变式训练】(2026·安微准南·一模)若二次函数y=ax2与一次函数y=bx-c(ab≠0)的图象如图所示， 则下列结论正确的是() ,=ax2 B -bx-c 1012 A.abc>0 B.a+b+c<0 C.a+c<0 D.a<b<2a 题型十一两个二次函数图象综合判断 【典例精讲】已知抛物线y=a(x+乃)+k(a、五、k为常数， 且a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应 值如下表： -3 -2 -1 … 8 5 4 5 yA 6 5 3 -8-765-43-210123.4.5.678x (1)①根据以上信息，可知抛物线开口向 一，当函数值y随x的增大而增大时，x的取值范围为 ②补全表格，在图中描出表中的点，再用平滑的曲线依次连接各点； 第12页共32页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 (2)定义：若抛物线y1=a1(x+乃)+k1与抛物线2=2(x+方)+k2,满足a=-4a1,且k2=-k1, 则称抛物线y2是抛物线y1的“共轭抛物线”， ①在图中画出抛物线y=a(x+五)+k的“共轭抛物线”： ②若直线y=2x+b与抛物线y=α(x+石)子+k及其“共轭抛物线”都没有交点，求出b的取值范围. 【变式训练】在平面直角坐标系中，设二次函数=ar+b种c,乃=cx+bxta(a,b,c是实数，ac<0)· (1)若函数乃的对称轴为直线x=1,且函数乃的图象经过点(a,c),求a,b的值 (2)设函数万的最大值为m,函数的最小值为n,若mtn=0,求证：a+c=0. (3)若函数的图象与函数乃的图象的两个交点分别在一、三象限，求证：b>0. 题型十二根据二次函数的图象判断式子符号 【典例精讲】二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①ac<0:②3a+c=0:③当x>-1 时，y随x的增大而减小.其中正确的有( VA A.0个 B.3个 C.2个 D.1个 第13页共32页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 【变式训练】（多选）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，对称轴为x=,且经过点 (2,0).下列说法正确的是( ix= 2元 A.-2b+c=0 B.4a+2b+c<0 C.若(-y),(作y2)是抛物线上的两点，则y1<y2 D.4b+c>m(am+b)+c(其中m≠) 题型十三已知抛物线上对称的两点求对称轴 【典例精讲】(26-27九年级上·湖北武汉·开学考试)己知抛物线y=ax2+2x+c(a≠0)与x轴交于A(1- m,0),B(m+1,0)两点，在-2≤x≤3的抛物线上有一点P,其纵坐标为n,若3≤c≤4，则n的取值范围 是( A.-4≤n≤4 B.n≤-4或n≥4 C.-5≤n≤5 D.n≤-5或n≥5 【变式训练】（25-26八年级下·北京·期末)已知抛物线C:y=ax2+2ax+a2+a(a<0)· (1)直接写出抛物线C的对称轴： (2)若点M(-2,yM)和N(n,ywN)均在抛物线C上，且yM>yw,直接写出n的取值范围； (3)将抛物线C在y轴右侧的部分关于直线y=Q2+α翻折，y轴及左侧部分保持不变，得到新图象G.已知 点A(a-2,y1)和B(-a,y2)均在图象G上，求y1+y2的最小值. 第14页共32页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 题型十四根据二次函数的对称性求函数值 【典例精讲】(25-26八年级下·重庆·期末)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象上有点A(-2,y1),B(0,y2),C(5,y3),则y1,y2,y的大小关系是 （请用“<”符号 连接) X=2 【变式训练】(26-27九年级上·天津·开学考试)二次函数y=Qx2+bx+c的部分图象如图所示，对称 轴为x=子且图象经过点(2,0).下列说法：①bc<0:②c-2b=0:⑧若(-y),(（⑤，y2)是抛物线上的 两点，则y1<y2:④}+c>m(am+)+c(其中m≠；回a-b+c<0.其中正确的结论是( A.①②③ B.①③④ C.②④⑤ D.①②④ 题型十五y=ax2+bx+c的最值 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业)求下列二次函数的最大值或最小值： (1)y=5x2+3x+2: (2)y=-x2+6x-3: 2)y=-x2-3x- (4)y=x2-2x+5. 第15页共32页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 【变式训练】（26-27九年级上·上海金山·阶段检测)如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图像 与x轴交于A(-1,0),B(3,0),与y轴交于点C(0,-3),P、Q为抛物线上的两点. (1)求该二次函数的表达式： (2)若在抛物线的对称轴上存在一点M,连接MA、MC,使MA+MC的值最小，求点M的坐标： (3)设P的横坐标为m,Q的横坐标为m+1,试探究：△OPQ的面积S是否存在最小值？若存在，请求出最小 值；若不存在，请说明理由. 题型十六利用二次函数对称性求最短路径 【典例精讲】(25-26九年级上·天津·阶段检测)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c 与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,OA=OC=3. B (1)求抛物线的解析式： (2)点D在抛物线的对称轴上，若BD+CD的值最小，求点D的坐标： (3)若点P是抛物线上的一点，当点P在直线AC上方的抛物线上运动时，请直接写出△APC的面积的最大 值.（直接写答案，不需要过程） 第16页共32页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 【变式训练】如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为x=-1,且抛物线经过A(1,0),C(0,-3), 备用图 (1)若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC所在直线的解析式： (2)抛物线的对称轴x=一1上找一点M,使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出此点M的坐标； (3)在抛物线的对称轴x=一1上的是否存在点N,使△BNC为直角三角形，若存在，请求出符合条件的点N 的坐标？若不存在，请说明理由 (4)在抛物线的对称轴x=一1上的是否存在点P,使△BPC为等腰三角形，若存在，请求出符合条件的点P 的坐标？若不存在，请说明理由。 题型十七待定系数法求二次函数解析式 【典例精讲】(26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测)顶点坐标为（一2,3），开口方向和大小与抛物 线y=-2x2相同的解析式为( A.y=-2(x-2)2+3 B.y=-2(x+2)2-3 C.y=-2(x+2)2+3 D.y=-2x-2)2-3 第17页共32页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 【变式训练】(（25-26九年级上·内蒙古赤峰·阶段检测)如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过A(2,-3), B(3,0)两点，与y轴的交点为C,顶点为D. (1)求该抛物线的表达式及D点的坐标： (2)点P为该抛物线上一动点（与点BC不重合），设点P的横坐标为m. ①当点P在直线BC的下方运动时，求△PBC的面积的最大值： ②点P在抛物线上，点Q在y轴上，是否存在以BDRQ为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接 写出所有点P的坐标：若不存在，请说明理由. 题型十八线段周长问题（二次函数综合） 【典例精讲】（2026九年级上·全国·专题练习)如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A,B两点，与y 轴交于点C,抛物线的对称轴是直线x=一 ,已知点B(1,0),C(0,-2). A (1)求抛物线的解析式： 第18页共32页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 (2)E是线段AC上的一个动点，过点E作ED⊥x轴，延长DE交抛物线于点F,求线段EF的最大值及此时点E 的坐标： (3)在y轴上是否存在一点P,使得∠OAP+∠OAC=60°？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由， 【变式训练(26-27九年级上福建莆田阶段检测)已知抛物线y=-x2+bx+c(bc≠0)的顶点为D(1,4④， 与x轴交于A,B两点(A在B左边) A O B (1) (2 (1)直接写出抛物线解析式： (2)如图(1)，点E是抛物线上的动点，连接AE,直线AE交直线x=2于点F.设点E的横坐标为m. ①求直线AE的解析式（用含m的代数式表示)： ②若△DEF的面积等于2时，求m的值. (3)如图(2)，P,Q为y轴上的两个关于原点对称的动点，射线BP,BQ分别与抛物线交于M,N两点，求 的值. 第19页共32页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 题型十九面积问题（二次函数综合） 【典例精讲】(26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测)如图，现有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的 最大可用长度为9m),围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃ABCD.设AB的长为xm,该矩形花圃的面积为ym2, 9m (1)若要围成面积为36m2的矩形花圃，则AB的长为多少米？ (2)当AB的长为多少米时，矩形花圃ABCD的面积最大？最大面积为多少？ 【变式训练水2627九年级上辽宁铁岭价段检测)如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y1=一号x2+bx+ c经过点A(-1,0)和点C(0,2),与x轴的另一个交点为B.抛物线y1关于x轴对称的抛物线为y2: B 图① 图② (1)求抛物线y1的函数解析式： (2)如图②，点D是抛物线y2在第四象限上的一点，连接BC,BD,CD,OD.若S△BcD=2S△coD,求点D的坐标； (3)当-1<x<3时抛物线y1=-子x2+bx+c与x≤-1时抛物线y2组成新的函数G,函数G的图象上有不 重合的两点P和Q,点P和点Q的横坐标分别为t和-t+0.5,若函数G的图象上点P和点Q之间部分（包括 点P和点Q)的最大值和最小值均与t的取值无关，求t的取值范围. 第20页共32页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 题型二十角度问题（次函数综合） 【典例精讲】(26-27九年级上四川成都开学考试)如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3 与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点，与y轴交于点C. 图1 图2 (1)求抛物线的解析式： (2)如图1.点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线PE交直线BC于点E,过点P作x轴的 平行线PF交直线BC于点F,求△PEF面积的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，连接AC,BC,抛物线上是否存在点Q,使∠CBQ+∠AC0=45?若存在，请直接写出点Q的坐 标；若不存在，请说明理由. 第21页共32页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 【变式训练】（2026·四川雅安·一模)如图，抛物线y=ax2+bx+6与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点， 与y轴交于点C B (1)求抛物线及直线BC的解析式： (2)直接写出抛物线的顶点坐标和对称轴： (3)若P为抛物线上一点，当∠CAB=∠ACP时，求点P的横坐标. 题型二十一特殊三角形问题（二次函数综合） 【典例精讲】如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A,B两点，过A点的直线l:y=-x-1与y轴交于 点C,与抛物线的另一个交点为D,已知点D的横坐标为4，点P为直线1上方的抛物线上一动点. F B 第22页共32页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 (1)求抛物线的解析式： (2)过P点作PEI‖y轴交直线1于点E,作PFI x轴交直线1于点F,连接AP. ①当△APE为直角三角形时，求点P的坐标： ②求PE+PF的最大值，并求出当PE+PF最大时点P的坐标. 【变式训练】(26-27九年级上·新疆·阶段检测)如图，A,B,C是平面直角坐标系轴上的三个点，直线 BC:y=-x+3与抛物线y=ax2+bx+c交于B,C两点，OB=30A,抛物线经过A,B,C三点. B (1)求抛物线的解析式： (2)若点N是抛物线上的一动点且位于直线BC的上方，试求△BCN的最大面积. (3)在抛物线上是否存在点M,使得△BCM是以BC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点 M的坐标；若不存在，说明理由， 第23页共32页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 题型二十二特殊四边形（二次函数综合） 【典例精讲】(26-27九年级上·全国·课后作业)如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=(x )的项点为B(2,0),与y轴交于点A,过点A作AC1y轴，交该抛物线于点C,连接BC,以AC、BC为边 作口ACBD,点D在x轴的负半轴上. (1)求该抛物线的解析式： (2)求点C的坐标及□ACBD的面积. 【变式训练】(25-26九年级上四川眉山阶段检测)已知，抛物线y=ax2+bx+3交x轴于A(3,0),B(-1,0) 两点，交y轴于点C,· B 图1 图2 (1)求抛物线的解析式： (2)如图1，若点M是直线AC上方的抛物线上一动点（不与A,C重合），连接MA,MC,求△MAC的面积 最大值以及此时点M的坐标. (3)如图2，若动点P在抛物线的对称轴上，点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q,使得以A, 第24页共32页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 C,P,Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由 题型二十三其他问题（二次函数综合） 【典例精讲】(26-27九年级上江西南昌阶段检测)在平面直角坐标系中，对于一次函数y=kx+b(k≠0)， 若g=y-tx(t为常数，t≠0)，则称g为y的“t型相关量”.例如：一次函数y=2x+1的“2.5型相关 量”为g=(2x+1)-2.5x=-0.5x+1. 【理解】 (1)一次函数y=3x的“t型相关量”为g=5x,则t=一一一一： 【探究】 (2)己知g是y=kx+2(k≠0)的“t型相关量”， ①若g是定值，请说明t与k的数量关系，并求出g的值： ②若g随x的增大而增大，试比较t与k的大小关系： 【迁移】 (3)类似的，对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，若g=y-tx,亦称g为y的“t型相关量”.当-2≤x≤1 时，二次函数y=-x2+3tx+t2-3的“t型相关量”g的最大值为5，请求出t的值， 第25页共32页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 【变式训练】（24-25九年级下·安徽芜湖·自主招生)如图，点A,B,C均在二次函数y=x的图象上， M为线段AC的中点，BMIy轴，且MB=3.设A,C两点的横坐标分别为t1,t2(t1<t2),则t2-t1的值为 A.3 B.23 C.4 D.2W2 冒山中考真题演练 【真题演练1】(2026·江苏准安·中考真题)已知二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a<0) 的图像过点A(-1,-1),则下列说法正确的是 (填写所有正确说法的序号) ①a-b+c=-1:②若b>0,则当-1<x<1时，y随x的增大而增大：③若0<b<-2a,则9a+3b+c< 0:④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=x有两个相等的实数根，则2a+b<1. 【真题演练2】(2026·江苏徐州·中考真题)在平面直角坐标系中，将函数y=(x-1)2+4的图象先向 左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为( A.y=(x+1)2+5B.y=(x+1)2+3 C.y=(x-3)2+3 D.y=(x-3)2+5 【真题演练3】(2026·广东广州·中考真题)己知抛物线G:y=ax2+(3a+m)x-(m+2). (1)当a=1,m=1时，求抛物线G的对称轴： (2)若对于任意实数m,抛物线G总经过定点P(t,-6) ①求t和a的值； ②点A(m-3,y1),B(m,y2)在抛物线G上，且线段AB与x轴有交点.记△PAB的面积为S,求S的取值范围. 第26页共32页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 【真题演练4】(2026·山东东营·中考真题)在二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)中， x与y的部分对应值如表所示. -2 2 9 9 给出下列结论：①abc<0:②(a+c)2<b2;③若am片+bm1=am2+bm2,且m1≠m2,则m1+m2=2: ④若点(3y),(2)均在二次函数图象上，则y1>2·其中正确的是( ) A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④ 【真题演练5】(2026北京中考真题)在平面直角坐标系x0y中，函数y=x2+4x+4的图象经过点(m,y1) 和(m+1,y2).若m>0,则y1- y2(填“>”“=”或“<”). 难度分层训练 【基础夯实】 1.(26-27九年级上·新疆吐鲁番·阶段检测)二次函数y=x2-4的顶点坐标是( A.(0,-4) B.(0,4) C.(-4,0) D.(4,0) 2.(26-27九年级上·天津·期中)将抛物线y=x2+1向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得 抛物线是( A.y=(x+2)2-3 B.y=(x+2)2-2 C.y=(x-2)2-3 D.y=(x-2)2-2 3.（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测)点P1(-1,y1),P2(1,y2),P3(4y3)均在二次函数y=x2-2x+m 的图象上，则y1,y2,y3的大小关系是( A.y1>y3>y2 B.y3>y2>y1 C.y2>y3>y1 D.y3>y1>y2 4.（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测)将二次函数y=2x的图像向左平移1个单位，再向上平 移5个单位，得到的函数解析式是」 ·（用顶点式表示) 5.(26-27九年级上·上海金山·阶段检测)将二次函数y=x2-2x+1的图像向左平移2个单位长度， 再向下平移3个单位长度得到的二次函数图像的顶点坐标是_一一· 6.(2627九年级上·北京西城阶段检测)二次函数y=2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为x= 且图象经过点(2,0).下列说法： 第27页共32页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 ①abc<0: ②c-2b=0: ③若(-y),(（民y2)是抛物线上的两点，则y1<y2: ④a-b+c>0: ⑤b+c>m(am+b)+c(其中m≠之)， 其中正确的结论是 7.(26-27九年级上·全国·课后作业)在同一平面直角坐标系中，画出下列二次函数的图象，并写出其 开口方向、对称轴和顶点，以及随着x的增大，y的变化情况： (1)y=5x2: 2y=-x2. 8.(26-27九年级上·全国·课后作业)在同一平面直角坐标系中，画出下列二次函数的图象： y=3x2,y=2(x+22,y=2x-2)2. 指出三条抛物线的位置关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点，以及随着x的增大，y的变化情 况. 第28页共32页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 9.(26-27九年级上·全国·课后作业)正方形的边长是x,面积是A,周长是1. (1)分别写出A,l与x之间的关系式： (2)在同一平面直角坐标系中画出上述关系式在x≥0范围内的图象，并比较它们的变化趋势. 10.(26-27九年级上·全国·课后作业)如图，一名足球运动员在点A处踢出任意球，球的飞行路线是一 条抛物线.当球飞行到最高点时，恰好击中2.44m高的球门横梁上的点B.设位于点B正下方的地面上的 点为C,且AC=244m.求这一飞行过程中，球的竖直高度y(单位：m)关于它距离点A的水平距离x(单 位：m)的函数解析式. 24.4m 【培优拔高】 1.(26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测)已知(-3，y1),(-2,y2),(1,y3)是二次函数y=2mx2+8mx+ n(m<0)图象上的点，则( A.y1>y2>y3B.y2>y3>y1 C.y2>y1>y3 D.y3>y1>y2 2.(25-26九年级上·内蒙古赤峰·阶段检测)若将抛物线y=(x-4)2-3图象先向右平移2个单位，再 向下平移3个单位，所得图象的解析式为( ) A.y=(x-2)2-6B.y=x-2)2 C.y=(x-6)2-6 D.y=(x-6)2 3.(25-26九年级上·天津·阶段检测)己知点A(-1,y1),B(-2,y2),C(-4,y3)在抛物线y=2x2+8x-1 上，则y1,y2,y3的大小关系是( A.y1<y2<y3 B.y3<y2<y1 第29页共32页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 C.y2<y3<y1 D.y2<y1<y3 4.(26-27九年级上·浙江杭州·开学考试)已知二次函数y=a(x-a)2+x-a的图象上有三点(a+1,y1), (a+2,y2),(a-3,y3),则y1,y2,y3的大小关系不可能是( A.y3>y2>y1B.y3>y1>y2 C.y2>y1>y3 D.y1>y2>y3 5.(26-27九年级上·福建福州·开学考试)若二次函数y=-x2+6x+c的图象经过点A(-1,y1),B(5,y2), 则y1,y2的大小关系是 (用“<”连接). 6.(26-27九年级上·重庆·开学考试)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象过点(-2,0)，对称轴为直线x=1.图象上有点A(-3,y1),B(1,y2),C(6,y3),则y1,y2,y3的大小 关系是 (请用“>”符号连接) 7.(25-26九年级上·陕西安康阶段检测)若抛物线L:y=x2+(b-1)x-3(b为常数)与抛物线L:y=x2- 10x+3c(c为常数)关于直线x=2对称，则b-c的值为 8.(26-27九年级上·全国·课后作业)先确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点，说出随着x的增 大，y的变化情况，再描点画图： (1)y=x2+2x-5: (2)y=-2x2+6x+3: (3)y=2x2+4x-5; (4)y=-4x2+2x-3. 第30页共32页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 9.(26-27九年级上·上海金山阶段检测)如图，己知抛物线与x轴的一个交点为A(3,0),与y轴的交点B(0,3), 其顶点为C,对称轴为直线x=1. (1)求顶点C的坐标及抛物线的函数表达式： (2)求△ABC的面积. 第31页共32页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 10.(26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测)如图1，抛物线y=-x2+bx+c交x轴于点A和点B,交y轴 于点C(0,3),且0A=0C. D M 0 B A 图1 图2 (1)求抛物线的表达式： (2)点D是直线AC上方抛物线上一动点，连接BC和BD,BD交AC于点M,BD交y轴于点N,若△CMN是以CN 为底的等腰三角形，求点D的坐标： (3)如图2所示，若点P是抛物线上一动点，过点P作PQ1x轴交直线AC于Q点，请问在y轴上是否存在点E, 使以P,Q,E,C为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点E的坐标：若不存在，请说明理由. 第32页共32页nullnull 专题26.2 二次函数的图形和性质『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+23个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共71题） 【人教版数学新教材•九年级上册（解析版）】 同学你好，本套讲义针对2026年人教版九年级上册最新版教材精心制作，贴合书本内容。讲义包含精编思维导图，知识梳理精讲，重点难点题型讲练，中考真题实战演练，精选真题难度分层练等五大部分！题目新颖，题量充沛，解析思路清晰，精选近两年名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优和拔尖的同学使用，讲义可作为同步复习，章节巩固，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 思维导图 3 知识梳理 3 知识点一 二次函数y=ax² 的图像和性质 3 知识点二 二次函数的图像及性质 4 知识点三 二次函数的图像及性质 5 知识点四 二次函数的图像及性质 5 知识点五 利用待定系数法求二次函数解析式 6 题型讲练 6 题型一 y=ax²的图象和性质 6 题型二 y=ax²+k的图象和性质 8 题型三 y=a (x-h）²的图象和性质 9 题型四 y=a (x-h) ²+k的图象和性质 10 题型五 二次函数图象的平移 11 题型六 把y=ax²+bx+c化成顶点式 14 题型七 画y=ax²+bx+c的图象 17 题型八 y=ax²+bx+c的图象与性质 20 题型九 二次函数图象与各项系数符号 21 题型十 一次函数、二次函数图象综合判断 22 题型十一 两个二次函数图象综合判断 25 题型十二 根据二次函数的图象判断式子符号 29 题型十三 已知抛物线上对称的两点求对称轴 30 题型十四 根据二次函数的对称性求函数值 32 题型十五 y=ax²+bx+c的最值 34 题型十六 利用二次函数对称性求最短路径 38 题型十七 待定系数法求二次函数解析式 45 题型十八 线段周长问题（二次函数综合） 48 题型十九 面积问题（二次函数综合) 54 题型二十 角度问题（次函数综合） 58 题型二十一 特殊三角形问题（二次函数综合） 63 题型二十二 特殊四边形（二次函数综合） 69 题型二十三 其他问题（二次函数综合） 73 中考真题演练 75 难度分层训练 80 【基础夯实】 80 【培优拔高】 87 知识点一 二次函数y=ax² 的图像和性质 二次函数的图像是关于y轴对称的一条抛物线，抛物线与对称轴的交点叫做二次函数的顶点，其图像与性质如下表： 函数 a的符号 a＞0 a＜0 图像 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴 顶点坐标 （0，0） 函数的增减性 x＞0时，y随x的增大而增大； x＜0时，y随x的增大而减小. x＞0时，y随x的增大而减小； x＜0时，y随x的增大而增大. 最值 当x＝0时，函数图像有最低点，有最小值0. 当x＝0时，函数图像有最高点，有最大值0. 【解读】 1)利用数形结合能直观地反映出函数 (a≠0)的性质，结合图像去分析是解决问题的有效途径. 2)在二次函数 (a≠0)的图像中，抛物线以对称轴为“界”，顶点为“限”，在对称轴的左侧和右侧，它的增减性恰好相反. 3）几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 知识点二 二次函数的图像及性质 函数 a的符号 a＞0 a＜0 k的符号 k＞0 k＜0 k＞0 k＜0 图像 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴 顶点坐标 （0，k） 函数的增减性 当x＜0时，y随x的增大而减小； 当x＞0时，y随x的增大而增大. 当x＜0时，y随x的增大而增大； 当x＞0时，y随x的增大而减小. 最值 当x＝0时，y有最小值k 当x＝0时，y有最大值k. 对于二次函数来说，当k＞0时，可看成是将的函数图像沿着y轴向上平移|k|个单位长度得到的；当k＜0时，可看成是将的函数图像沿着y轴向下平移|k|个单位长度得到的. 知识点三 二次函数的图像及性质 函数 a的符号 a＞0 a＜0 h的符号 h＞0 h＜0 h＞0 h＜0 图像 开口方向 向上 向下 对称轴 x=h 顶点坐标 （h，0） 函数的增减性 当x＜h时，y随x的增大而减小； 当x＞h时，y随x的增大而增大. 当x＜h时，y随x的增大而增大； 当x＞h时，y随x的增大而减小. 最值 当x＝h时，y有最小值0 当x＝h时，y有最大值0 对于二次函数来说，可看成是将的函数图像沿着x轴向左或向右平移|h|个单位长度得到的. 知识点四 二次函数的图像及性质 函数 a的符号 a＞0 a＜0 图像 开口方向 向上 向下 对称轴 x= x= 顶点坐标 (，) (，) 函数的增减性 x＞时，y随x的增大而增大； x＜时，y随x的增大而减小. x＞时，y随x的增大而减小； x＜时，y随x的增大而增大. 最值 抛物线有最低点，当x=时，y有最小值， 抛物线有最高点，当x=时，y有最大值， 知识点五 利用待定系数法求二次函数解析式 根据已知条件确定二次函数的解析式，通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点选择适当的形式，这样才能使解题简便.一般来说，有如下几种情况: 1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式，然后列出关于a，b，c的三元一次方程组求解； 2）已知抛物线的顶点或对称轴或最大(小)值，一般选用顶点式，然后将另一点的坐标代入，解关于a的一元一次方程； 3）当已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，常用交点式求其表达式，将第三点的坐标或其它已知条件代入，求出待定系数a，最后将解析式化成一般式； 4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式或交点式. 题型一 y=ax²的图象和性质 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）按要求完成下列各题： (1)在同一平面直角坐标系中，二次函数的图象与二次函数的图象有什么相同之处和不同之处？ (2)在同一平面直角坐标系中，二次函数的图象与二次函数的图象有什么关系？ 【答案】(1) 解：相同之处： ① 都是开口向上的抛物线． ② 对称轴为轴，顶点为（最低点）． ③ 当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． 不同之处： 开口大小不同，的图象开口更窄，的图象开口更宽． (2) 解：两个函数的图象关于轴对称，形状与大小完全相同，开口方向相反． 【变式训练】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，菱形的顶点在抛物线上，其中点O为坐标原点，对角线在y轴上，且． (1)求两点的坐标； (2)求菱形的面积． 【答案】(1) (2)菱形的面积为 【思路引导】（1）如图：连接交y轴于点D，由菱形的性质可得轴，，易得A，C点纵坐标为1，即，解得：，从而完成解答； （2）先说明，再利用菱形的性质求面积即可． 【规范解答】（1）解：如图：连接交y轴于点D， ∵菱形的顶点在抛物线上，其中点O为坐标原点，对角线在y轴上，且 ∴轴，， ∴轴，， ∴A，C点纵坐标为1，即，解得：， ∴． （2）解：∵轴，， ∴，即， ∴菱形的面积是：． 题型二 y=ax²+k的图象和性质 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）把抛物线向下平移3个单位长度后得到抛物线． (1)求平移前的抛物线的解析式； (2)求函数的最大值或最小值，并指出相应的x的值； (3)对于，指出当x为何值时，y随x的增大而减小？ 【答案】(1)平移前的抛物线的解析式为． (2)当时，函数取得最大值，最大值为2． (3)当时，y随x的增大而减小． 【思路引导】（1）根据平移的性质“上加下减”可求出a、c的值，由此即可得出平移前的抛物线的解析式； （2）根据二次函数的性质即可解决最值问题； （3）根据原抛物线的解析式，利用二次函数的性质即可找出函数值y随x的增大而减小时的取值范围． 【规范解答】（1）解：抛物线向下平移3个单位长度后得到抛物线， ，． ． 平移前的抛物线的解析式为． （2）解：由（1）可知抛物线的解析式为， 当时，函数取最大值，最大值为2． （3）解：由（1）可知抛物线的解析式为，对称轴为直线，且， 当时，函数的值y随x的增大而减小． 【变式训练】（26-27九年级上·安徽六安·阶段检测）已知是抛物线上的点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】通过直接计算抛物线上的点的纵坐标，并比较大小即可． 【规范解答】解：将三点横坐标分别代入，得 ， ， ． ， ． 题型三 y=a (x-h）²的图象和性质 【典例精讲】（26-27九年级上·安徽六安·阶段检测）已知二次函数（h为常数），当自变量x的值满足时，函数值y的最小值为1，则h的值为__________． 【答案】 或 【思路引导】二次函数开口向上，顶点为，根据对称轴与给定自变量的范围的位置关系分类讨论，列方程求解即可． 【规范解答】解：二次函数开口向上，顶点坐标为， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，分三种情况讨论： ① 若，此时在的范围内，随增大而增大，最小值在处取得，可得，解得或， ， ； ②若，此时在的范围内，随增大而减小，最小值在处取得，可得，解得或， ， ； ③若，此时顶点的横坐标在的范围内，函数最小值为， 不满足最小值为的条件，舍去； 综上，的值为或． 【变式训练】（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）如图，抛物线与轴交于点，顶点在轴的正半轴上，连接，若是等腰直角三角形，则的值为___． 【答案】/0.5 【思路引导】求出抛物线的顶点坐标及与y轴的交点坐标，再根据列式求解． 【规范解答】解：的顶点坐标为， 将代入，得：， 结合图象可得，， 是等腰直角三角形，， ， ， 解得． 题型四 y=a (x-h) ²+k的图象和性质 【典例精讲】（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）关于二次函数的图象，下列描述错误的是（     ） A．该抛物线开口向上 B．当时，y有最小值2 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】D 【思路引导】该二次函数为顶点式，可直接获取开口方向、顶点坐标与对称轴，据此判断选项． 【规范解答】解：二次函数解析式为，． ∴ 抛物线开口向上， 抛物线顶点坐标为，对称轴为直线， A正确． ∴ 当时，有最小值，B正确． ∵ 抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴ 当时，随的增大而减小，C正确． ∴ 当时，随的增大而增大，D错误． 【变式训练】（26-27九年级上·全国·课后作业）“水幕电影”的工作原理是把影像打在抛物线状的水幕上，通过光学原理折射出图象．水幕是由若干个水嘴喷出的水柱组成的（如图），水柱的最高点为P， ，水嘴高 ，以A为坐标原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，则图中抛物线的解析式为________________（不用写出自变量的取值范围）． 【答案】 【思路引导】根据，顶点，设抛物线的解析式为，用待定系数法求解析式即可． 【规范解答】解：设抛物线的解析式为， 顶点， ， 把代入得， , ， ． 题型五 二次函数图象的平移 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）将抛物线（，是常数，）向下平移个单位长度后，得到的新抛物线恰好和抛物线关于轴对称，则______，______． 【答案】 / 【思路引导】先根据平移规律得到原抛物线平移后的表达式，再求出已知抛物线关于轴对称的抛物线表达式，对比系数即可得到和的值． 【规范解答】解：∵原抛物线向下平移2个单位长度， ∴平移后得到的抛物线为， ∵关于轴对称的抛物线，横坐标变为原来的相反数，纵坐标不变， ∴只需将原抛物线中的替换为， ∴抛物线关于轴对称的抛物线为， ∵平移后的抛物线与轴对称后的抛物线是同一个抛物线， ∴对比对应项的系数可得，． 【变式训练】（23-24九年级上·河北邢台·期末）如图，抛物线：与轴交于、两点，与轴交于点，且点的坐标为，抛物线的对称轴为直线，其顶点记为． (1)求抛物线的解析式和点坐标； (2)点是轴上任意一点，连接、、，当周长取到最小值时，求点的坐标； (3)将抛物线向右平移个单位长度得到新的抛物线； ①抛物线与轴交于、两点（点在点的左边），当点是线段三等分点时，求的值； ②点、是抛物线上两点，当时，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)①或；② 【思路引导】（1）利用待定系数法即可求解； （2）点关于轴的对称点为，当、、共线时，取等号，有最小值，利用待定系数法求得直线的解析式，即可求解； （3）①先得到新的抛物线的解析式，求得，，根据点是线段的三等分点，再分类求解即可．②将分别代入，根据建立不等式求解即可． 【规范解答】（1）解：∵抛物线：过点，且对称轴为直线， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为， ∴顶点的坐标为； （2）解：令，则， ∴点的坐标为， 为定值， ∴当最小时，周长取得最小值， ∵点关于轴的对称点为， ， 当、、共线时，取等号，有最小值， 设直线的解析式为， 把点的坐标为代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴点的坐标为； （3）解：①根据题意，新的抛物线的解析式为：， 解方程， 得， ∵点在点的左边， ，， 对于抛物线，令，则， 解得：或1， ∴点的坐标为， ∵点是线段的三等分点，则点在线段上， ，， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：， 综上所述，的值为或； ②当时，， 当时，， 当时，， 解得：． 题型六 把y=ax²+bx+c化成顶点式 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）先确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点，说出随着x的增大，y的变化情况，再描点画图： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为；当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大；画图如下： (2)开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为；当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小；画图如下： (3)开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为；当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大；画图如下： (4)开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为；当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小；画图如下： 【思路引导】分别先把抛物线表达式化为顶点式，再根据二次函数图象性质得出结论及完成画图； 【规范解答】（1）解： ， ∵， ∴开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为；当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大； 列表如下： x 0 1 y 0 0 图略； （2）解： ， ∵， ∴开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为；当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小； 列表如下： x 1 2 3 4 5 y 6 9 9 6 图略； （3）解： ， ∵， ∴开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为；当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大； 列表如下： x 0 y 1 1 图略； （4）解： ， ∵， ∴开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为；当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小； 列表如下： x 0 1 2 3 4 y 图略； 【变式训练】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知抛物线的顶点为，求b，c的值． 【答案】， 【思路引导】把抛物线解析式化为顶点式，再结合顶点为，即可求解． 【规范解答】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线的顶点为， ∴， ∴． 题型七 画y=ax²+bx+c的图象 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）先确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点，说出随着x的增大，y的变化情况，再描点画图： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) 开口向上，对称轴为直线（y轴），顶点坐标为；当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， 画图： (2) 开口向下，对称轴为直线（y轴），顶点坐标为；当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， 画图： (3) 开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为；当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， 画图： (4) 开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为；当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， 画图： 【思路引导】利用二次函数顶点式的性质求解，先将所有抛物线整理为顶点式，根据的符号判断开口方向，从顶点式中直接得到对称轴和顶点坐标，再结合开口方向和对称轴判断随的变化规律，最后取对称点即可描点画图；对于二次函数的顶点式，有性质：当时抛物线开口向上，当时抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为；开口向上时，对称轴左侧随增大而减小，右侧随增大而增大；开口向下时，对称轴左侧随增大而增大，右侧随增大而减小； 【变式训练】（26-27九年级上·全国·课后作业）我们已经知道二次函数的图象和性质，利用这些知识来讨论二次函数的图象和性质． (1)求抛物线的对称轴和顶点坐标． (2)抛物线可以看作是由抛物线怎样平移得到的? (3)在平面直角坐标系中，画出抛物线． 【答案】(1)抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为 (2)抛物线可以看作是由抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的 (3)如图： 【思路引导】（1）利用配方法将一般式转化为顶点式，再写出对称轴和顶点坐标即可； （2）对比（1）中所得的顶点式与抛物线，结合平移规律即可得到平移过程； （3）利用描点法画函数图象即可． 【规范解答】（1）解：， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：由（1）得， ∴抛物线可以看作是由抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的； （3）略 题型八 y=ax²+bx+c的图象与性质 【典例精讲】（26-27九年级上·天津·期中）已知抛物线的顶点为P，与x轴相交于点和点，与y轴相交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)写出抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴； (3)计算的面积． 【答案】(1) (2)开口向上，顶点坐标， 对称轴为直线 (3)27 【思路引导】（1）利用待定系数法求解即可； （2）将抛物线解析式化为顶点式即可得解； （3）利用三角形面积公式计算即可得解． 【规范解答】（1）解：∵抛物线的顶点为P，与x轴相交于点和点，与y轴相交于点， ∴ ， 解得： ， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵，， ∴抛物线开口向上，顶点坐标，对称轴为直线， （3）解：∵抛物线的顶点为P，与x轴相交于点和点， ∴，， ∴的面积． 【变式训练】（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）把二次函数的图像左右平移，使其顶点恰好落在正比例函数的图像上，则平移后的二次函数表达式是______． 【答案】 【思路引导】先对原二次函数配方得到顶点坐标，左右平移不改变顶点纵坐标，结合顶点在正比例函数上得到平移后顶点坐标，即可写出平移后的二次函数表达式． 【规范解答】解： ， 原二次函数的顶点坐标为， 只进行左右平移， 平移后顶点的纵坐标不变，仍为， 平移后顶点落在上，将代入得， 平移后的顶点坐标为， 平移不改变二次项系数， 平移后的二次函数表达式为． 题型九 二次函数图象与各项系数符号 【典例精讲】（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知二次函数的图象如图，其中，的值可能是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【思路引导】观察抛物线开口方向、对称轴位置及与轴交点位置. 【规范解答】解：抛物线开口向下， ， 对称轴在轴右侧， ，即， ， 抛物线与轴交点在轴上方， ， 综上，，. 【变式训练】（2026·甘肃嘉峪关·二模）已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①②③④，下列选项正确的是（     ） A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．①② 【答案】C 【思路引导】由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【规范解答】解：①由图可知，抛物线与轴有两个不同的交点， 则，故①正确． ②③由图可知，抛物线的开口向上，则， 抛物线的对称轴为，，故③正确； ，， 抛物线交轴于负半轴，可得：， ，故②正确． ④由图可知，当时，，故④不正确． 综上所述：以上结论正确的有①②③． 题型十 一次函数、二次函数图象综合判断 【典例精讲】（2026九年级上·全国·专题练习）在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】先确定一次函数与二次函数图象无交点，且二次函数过原点，即可判断B，D选项，进而根据图形中给出的一次函数图象确定、的符号，进而运用二次函数的性质判断图形中给出的二次函数的图象是否符合题意，根据选项逐一讨论即可解决问题． 【规范解答】解：联立， 消去得， ∴，即一次函数与二次函数图象无交点，故B不正确； 令， 解得：，， ∴二次函数与x轴的交点坐标为和，故D不正确，不符合题意； A．抛物线开口向上，对称轴在轴的右侧，则，一次函数图象经过一、三、四象限，则，即，矛盾，故该选项不正确，不符合题意； C．抛物线开口向上，对称轴在轴的右侧，则，一次函数图象经过二、三、四象限，则，即，故该选项正确，符合题意． 【变式训练】（2026·安徽淮南·一模）若二次函数与一次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数的图象与系数的关系，根据二次函数的图象判断式子的符号，抛物线与轴的交点问题等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键．根据抛物线开口方向、对称轴和与轴的交点，确定的符号进行判断即可． 【规范解答】解：抛物线开口向上，故， 由一次函数图像可知，，， ， ；故A错误； 当时，二次函数，一次函数， 从图象上看，，即；故B错误； 当时，二次函数，一次函数， 从图象上看， 故， ， 的值不能确定正负，故C错误； 当时，由函数图象可知， ， ， 即，解得， ，， ，即， ，故D正确． 题型十一 两个二次函数图象综合判断 【典例精讲】已知抛物线（、、为常数，且)的自变量与函数值的部分对应值如下表： … 0 1 … … 8 5 4 5 … (1)①根据以上信息，可知抛物线开口向________，当函数值随的增大而增大时，的取值范围为________； ②补全表格，在图中描出表中的点，再用平滑的曲线依次连接各点； (2)定义：若抛物线与抛物线，满足，且，则称抛物线是抛物线的“共轭抛物线”． ①在图中画出抛物线的“共轭抛物线”； ②若直线与抛物线及其“共轭抛物线”都没有交点，求出的取值范围． 【答案】(1)①上，； ②补全表格如下： … 0 1 … … 8 5 4 5 8 … 画出函数图像如下： (2)①画图像如解图所示； ②． 【思路引导】（1）①根据表格中数据求解即可； ②根据表格中数据的变化求解，再利用描点法作图即可； （2）①利用待定系数法求得抛物线解析式为，再根据题意得，抛物线的“共轭抛物线”的解析式为，利用描点法作图即可； ②根据题意联立方程组，再利用根的判别式列不等式求解即可． 【规范解答】（1）解：①由表格得，可知抛物线开口向上，当函数值y随x的增大而增大时，x的取值范围为； ②∵抛物线对称轴为， ∴抛物线上和的两个点关于对称轴对称， ∴当时，， 补全表格与画图见答案； （2）解：①由表格可得抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线为， 将代入中，解得， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线的“共轭抛物线”的解析式为， 画图见答案； ②当直线与抛物线没有交点时， 联立直线与抛物线的解析式，，得， ∴，解得， 当直线与“共轭抛物线”没有交点时， 联立直线与抛物线的解析式得， ∴，解得， ∴当直线与抛物线及其“共轭抛物线”没有交点时，b的取值范围为． 【变式训练】在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝ax2+bx+c，y2＝cx2+bx+a（a，b，c是实数，ac＜0）． (1)若函数y1的对称轴为直线x＝1，且函数y1的图象经过点（a，c），求a，b的值． (2)设函数y1的最大值为m，函数y2的最小值为n，若m+n＝0，求证：a+c＝0． (3)若函数y1的图象与函数y2的图象的两个交点分别在一、三象限，求证：b＞0． 【答案】(1)a的值为2，b的值为-4 (2)证明过程见详解 (3)证明过程见详解 【思路引导】（1）根据对称轴和点（a，c）坐标得出方程组求出a和b的值即可； （2）当a＜0时，函数y1有最大值m；当a>0时，函数y2有最小值n．根据顶点坐标公式得出m和n，再利用m+n=0得出a和c的关系即可； （3）因为ac＜0，所以分两种情况：①a＜0，c＞0，②a＞0，c＜0，根据对称轴的位置推出结论即可． 【规范解答】（1）解：∵函数y1的对称轴为直线x＝1， ∴﹣＝1，① ∵函数y1的图象经过点（a，c）， ∴a×a2+ab+c＝c，② 联立①②，解得， 即a的值为2，b的值为-4； （2）证明：∵函数y1的最大值为m， ∴a＜0，m＝， ∵函数y2的最小值为n， ∴c＞0，n＝， ∵m+n＝0， ∴＝0， 整理，得 ， ∵ac＜0， ∴4ac-b2<0， ∴a+c＝0； （3）证明：∵函数y1的图象与函数y2的图象的两个交点分别在一、三象限，且ac＜0， ①若a＜0，c＞0， 则， 即＞0， ∵a＜0，c＞0， ∴ac＜0，a﹣c＜0， ∴b＞0， ②若a＞0，c＜0， 则＜﹣， 即＜0， ∵a＜0，c＞0， ∴ac＜0，a﹣c＞0， ∴b＞0， 综合①②，得b＞0． 【考点剖析】此题考查了二次函数综合，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质、待定系数法的运用及一元二次方程的求解方法．必要时，画草图，数形结合，更直观． 题型十二 根据二次函数的图象判断式子符号 【典例精讲】二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③当时，y随x的增大而减小．其中正确的有（     ） A．0个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【规范解答】解：①∵抛物线开口向上，且与y轴交于负半轴， ，结论①正确； ②∵抛物线对称轴为直线， ， ． ∵抛物线经过点， ， ，即，结论②正确； ③∵抛物线开口向上，且抛物线对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小，结论③错误． 综上，正确的有①②，共2个， 故选C． 【变式训练】（多选）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且经过点．下列说法正确的是（     ） A． B． C．若是抛物线上的两点，则 D．（其中） 【答案】AD 【规范解答】二次函数经过点， ，故B错误； ， ， 将代入中，得，故A正确； 抛物线开口向下，对称轴为，且， ，故C错误； 当时，有最大值，此时， 当时，， （其中，故D正确． 题型十三 已知抛物线上对称的两点求对称轴 【典例精讲】（26-27九年级上·湖北武汉·开学考试）已知抛物线与x轴交于两点，在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n，若，则n的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【思路引导】利用抛物线的对称性求得对称轴，进一步求得，即可求得结合在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n，且利用二次函数的性质即可求解． 【规范解答】解：∵抛物线与x轴交于两点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴，解得， ∴， ∴顶点为， ∵在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n， ∴时，， 当时，， ∵， ∴， ∴n的取值范围是． 【变式训练】（25-26八年级下·北京·期末）已知抛物线C：（）． (1)直接写出抛物线C的对称轴； (2)若点和均在抛物线C上，且，直接写出n的取值范围； (3)将抛物线C在y轴右侧的部分关于直线翻折，y轴及左侧部分保持不变，得到新图象G．已知点和均在图象G上，求的最小值． 【答案】(1)直线 (2)或 (3)解：， 则抛物线的顶点坐标为， 根据翻折规则可得，当时，设原抛物线上一点， 则翻折后点的纵坐标为， 则， 则图象G的解析式为， ∵， ∴，， 又∵点和均在图象G上， ∴， ， ∴， ∵，开口向上，对称轴为， ∴当时，最小，最小值为． 【思路引导】（1）根据二次函数的对称轴公式求解即可； （2）先求得点关于对称轴的对称点，根据可得，开口方向向下，离对称轴越近函数值越大，再根据确定出的取值范围即可； （3）先求抛物线C的顶点坐标，根据翻折规则，求得翻折后的图象解析式，然后根据的横坐标确定出的位置，从而求出，表示出，利用二次函数的性质，求得最小值即可． 【规范解答】（1）解：根据二次函数的对称轴公式可得， 抛物线的对称轴为； （2）解：由（1）得，对称轴为， 则点关于对称轴的对称点为， 由可得，抛物线开口向下， 根据二次函数的性质可得，离对称轴越远，函数值越小， 由可得，到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， 可得或； （3）略 题型十四 根据二次函数的对称性求函数值 【典例精讲】（25-26八年级下·重庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象上有点，，，则，，的大小关系是____________．（请用“”符号连接） 【答案】 【思路引导】根据题意判断出的符号，当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小，关于直线的对称点为，比较大小即可． 【规范解答】解：二次函数的图象开口向下， ， ∵二次函数的图象对称轴为直线，在函数图象上， ∴当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小，关于直线的对称点为，二次函数的图象上有点，，， ∵， ∴． 【变式训练】（26-27九年级上·天津·开学考试）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法：①；②；③若是抛物线上的两点，则；④（其中）；⑤．其中正确的结论是（     ） A．①②③ B．①③④ C．②④⑤ D．①②④ 【答案】D 【思路引导】由抛物线开口方向、对称轴位置、与轴交点位置判断符号及关系；利用对称性求出抛物线与轴另一交点坐标，进而判断代数式符号；利用二次函数性质比较函数值大小及最值问题． 【规范解答】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为直线，，即， ∴， ∵抛物线与轴的交点在轴的上方， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线经过，对称轴为直线， ∴抛物线经过， 即，故⑤不正确； 把代入得，即，故②正确； ∵，且开口向下， ∴到对称轴的距离小于到对称轴的距离， ∴，故③不正确； ∵抛物线开口向下，对称轴是直线， 当时，抛物线取得最大值， 当时，，且， ∴，故④正确； 综上所述，正确的结论是①②④． 题型十五 y=ax²+bx+c的最值 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）求下列二次函数的最大值或最小值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)该二次函数有最小值，最小值为 (2)该二次函数有最大值，最大值为 (3)该二次函数有最大值，最大值为 (4)该二次函数有最小值，最小值为 【思路引导】先根据二次函数中a的符号判断函数值有最大值还是最小值，再根据最大值或最小值为求解即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴抛物线开口向上，二次函数有最小值，最小值为． （2）解：∵， ∴抛物线开口向下，二次函数有最大值，最大值为． （3）解：∵， ∴抛物线开口向下，二次函数有最大值，最大值为． （4）解：∵， ∴抛物线开口向上，二次函数有最小值，最小值为． 【变式训练】（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）如图，已知抛物线的图像与轴交于，，与轴交于点，、为抛物线上的两点． (1)求该二次函数的表达式； (2)若在抛物线的对称轴上存在一点，连接、，使的值最小，求点的坐标； (3)设的横坐标为，的横坐标为，试探究：的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)S存在最小值为 【思路引导】（1）由待定系数法即可求解； （2）求出抛物线的对称轴为直线，得，，当三点共线时，值最小，求出直线的解析式，代入即可求解； （3）由，分三种情况讨论即可求解． 【规范解答】（1）解：∵抛物线的图像与轴交于，， ∴设， ∵在抛物线上， ∴ ∴， 则抛物线的表达式为：； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵，， ∴关于对称轴对称， ∴， ∴， ∴当三点共线时，值最小， 设直线的解析式为， 把，代入解析式得， 解得， ∴直线的解析式为， 把代入得， ∴； （3）解：存在， ∵的横坐标为， ∴； ∵的横坐标为， ∴ ， ∴ 设直线交x轴于点H，直线的表达式为， 把点P、Q的坐标代入得： ∴ ∴直线的表达式为：， ①当时，， 此时，, ∴点关于对称轴对称，且轴， 此时； ②当时，令y＝0， 则， 则， ∵， 、当，即时，， 则 ； Ⅱ、当，即时，， 则 ． 综上，S存在最小值为． 题型十六 利用二次函数对称性求最短路径 【典例精讲】（25-26九年级上·天津·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，． (1)求抛物线的解析式； (2)点D在抛物线的对称轴上，若的值最小，求点D的坐标； (3)若点P是抛物线上的一点，当点P在直线上方的抛物线上运动时，请直接写出的面积的最大值．（直接写答案，不需要过程） 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2) (3)的面积的最大值为 【思路引导】（1）由待定系数法即可求解； （2）点关于对称轴的对称点为点，当对称轴与直线交于点时，的值最小，将抛物线的对称轴代入直线的解析式即可； （3）作轴交直线于点，设，则，再得，根据铅直法得，再根据二次函数的性质即可求解． 【规范解答】（1）解：， ，， 把，代入得， ，解得， 抛物线的解析式为； （2）解：由（1）知，抛物线的解析式为， 抛物线的对称轴为， 点关于对称轴的对称点为点，当对称轴与直线交于点时，的值最小，如图，， 设直线的解析式为， 把，代入，得， 解得， 直线的解析式为， 把代入，得， ； （3）解：如图，作轴交直线于点， 由（2）知，直线的解析式为， 设，则， ， ， ， 当时，． 【考点剖析】本题考查用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，面积问题．对于求最小值问题，则考虑用对称性，转化为“两点之间线段最短”来解决，在坐标系中求三角形的面积最值问题，通常用铅直法计算三角形的面积，再根据二次函数的最值来解决． 【变式训练】如图，已知抛物线 的对称轴为，且抛物线经过， (1)若直线经过两点，求直线所在直线的解析式； (2)抛物线的对称轴上找一点，使点到点的距离与到点的距离之和最小，求出此点的坐标； (3)在抛物线的对称轴上的是否存在点，使为直角三角形，若存在，请求出符合条件的点的坐标？若不存在，请说明理由． (4)在抛物线的对称轴上的是否存在点，使为等腰三角形，若存在，请求出符合条件的点的坐标？若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 存在，点的坐标为或或或 (4) 存在，点的坐标为或或或或 【思路引导】（1）根据抛物线的对称轴，经过，运用待定系数法得到抛物线的解析式，由此得到，再运用待定系数法得到一次函数解析式； （2）根据题意，点A关于的对称点为点B，当点三点共线时点到点的距离与到点的距离之和最小，结合一次函数解析式即可求解； （3）设，运用两点之间距离公式得到，结合勾股定理列式求解即可； （4）设，运用两点之间距离公式得到，根据等腰三角形的定义，分类讨论，由数量关系列式求解即可． 【规范解答】（1）解：抛物线 的对称轴为，且抛物线经过， ∴， 解得，， ∴抛物线解析式为， 当时，， 解得，， ∴， ∵直线经过两点， ∴， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：点A关于的对称点为点B，如图所示， ∴， ∴， 当点三点共线时，取等号， ∴当时，在直线上得，， ∴； （3）解：如图所示，设，已知， 当是以为直角的直角三角形时，， ∵，，， ∴， 整理得，， 解得：， ∴，； 当是以为直角的直角三角形时，， ∴， 整理得，， 解得：， ∴； 当是以为直角的直角三角形时，， ∴， 整理得，， 解得：， ∴； 综上，点的坐标为或或或； （4）解：设，已知， ∴，，， 当是以为顶角的等腰三角形时，，则， ∴， 解得：， ∴； 当是以为顶角的等腰三角形时，，则， ∴， 整理得，， 解得：， ∴或； 当是以为顶角的等腰三角形时，，则， ∴， 解得：， ∴或； 综上，点的坐标为或或或或． 题型十七 待定系数法求二次函数解析式 【典例精讲】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）顶点坐标为，开口方向和大小与抛物线相同的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【规范解答】解：∵ 抛物线开口方向和大小与相同， ∴ 二次项系数， ∵ 顶点坐标为， ∴ 抛物线解析式为． 【变式训练】（25-26九年级上·内蒙古赤峰·阶段检测）如图，已知抛物线经过，两点，与y轴的交点为C，顶点为D． (1)求该抛物线的表达式及D点的坐标； (2)点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为m． ①当点P在直线的下方运动时，求的面积的最大值； ②点P在抛物线上，点Q在y轴上，是否存在以B、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为：，点的坐标为 (2)①②点P的坐标为或或 【思路引导】（1）将A点和B点坐标代入表达式，解二元一次方程组即可得到抛物线的表达式，将表达式化为顶点式，就可以得到D点的坐标； （2）①先求出点C和点P的坐标，再求出所在直线的表达式，过点P向x轴作垂线交于点E，数形结合，写出面积的表达式即可得到结果； ②利用平行四边形的性质求解，进行分类讨论，为对角线时，点B和点D的中点坐标也是点P和点Q的中点坐标；为边时，且，设和所在直线的表达式为、，则，再分别求出和，联立求解即可 ． 【规范解答】（1）解：，两点在抛物线的图象上， 将，两点代入得：， 解得：， 抛物线的表达式为：； ∵， 点的坐标为； （2）解：①过点P向x轴作垂线，交于点E，如下图所示： 在中，当时，， 抛物线与y轴交于点C， 点的坐标为， 设所在直线的表达式为：， 将和代入得：， 解得：， 所在直线的表达式为， P点在抛物线的图象上，P点的横坐标为m， 点的坐标， ∵在中，当时，， ∴， ， ， 的最大面积是； ②设，， 点B、D、P、Q构成的四边形是平行四边形， 分为以下两种情况进行讨论： 第一种：以为对角线，根据平行四边形对角线互相平分的性质进行求解：中点的坐标为，则的中点坐标也为， ，， 解得：，， 的坐标为； 第二种：以为边，根据平行四边形对边平行且相等的性质进行求解，即，， 设所在直线的表达式为， 将，代入得：， 解得：， ∴所在直线的表达式为． 设所在直线的表达式为， 将，代入得：， 解得：， ∴所在直线的表达式为． ， ， 即， 得：， ∵，， 又， ， 解得：， 当时，点P的坐标为； 当时，点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或． 题型十八 线段周长问题（二次函数综合） 【典例精讲】（2026九年级上·全国·专题练习）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线，已知点． (1)求抛物线的解析式； (2)是线段上的一个动点，过点作轴，延长交抛物线于点，求线段的最大值及此时点的坐标； (3)在轴上是否存在一点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)最大值为2，的坐标为 (3)存在． 设点， 如图，过点作于点，连接，则， ， ， ∴， ∴ ． ∵，，， ∴， ． 由的面积，得， 即 化简，得， 解得（不符合题意，舍去）， ． 设点与点关于原点对称，则， ． 综上所述，点的坐标为或． 【思路引导】（1）根据对称轴，利用待定系数法即可求解； （2）根据对称轴得出点坐标，由点、的坐标得直线的解析式为，设点，则点，进而求解； （3）根据三角形的面积，可得关于的方程，然后解方程，可得答案 【规范解答】（1）解：点的坐标为 ． 抛物线过点，对称轴是直线， ， 解得， 抛物线的解析式为． （2）抛物线对称轴为直线，点的坐标为， 点的坐标为． ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为． 设点， 则点， ． ， 当时，线段的值最大，最大值为2，此时点的坐标为； （3）略． 【变式训练】（26-27九年级上·福建莆田·阶段检测）已知抛物线 的顶点为，与x轴交于A，B两点（A在B左边） ． (1)直接写出抛物线解析式； (2)如图（1），点E是抛物线上的动点，连接，直线交直线于点F．设点E的横坐标为m． ①求直线的解析式（用含m的代数式表示）； ②若的面积等于2时，求m的值． (3)如图（2），P，Q为y轴上的两个关于原点对称的动点，射线，分别与抛物线交于M，N两点，求的值． 【答案】(1) (2)①；②m值为0和3 (3) 【思路引导】（1）利用抛物线的顶点坐标设出顶点式方程，化为一般式比较求出系数、，最后验证条件即可； （2）①先令 求出点 的坐标，再设出点 的坐标，利用待定系数法列出关于 、 的方程组，消元求解即可得到直线 的解析式； ②引入直线 并求出其与直线 的交点，将 的面积转化为 与 的面积之和或之差，结合三角形面积公式列出关于 的绝对值方程，最后分类讨论解方程即可． （3）通过设出点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，进而联立抛物线方程，借助韦达定理求出交点的坐标．再表示出和的长度，作比即可求出定值． 【规范解答】（1）解：抛物线 的顶点为， 抛物线的顶点式为， 化简得， 则,，符合题意， 抛物线解析式为 （2）解：令，可得， 解得或， 抛物线与x轴交于A，B两点，且A在B左边， ， ①点E的横坐标为m，点E是抛物线上的动点， 点坐标为， 设直线解析式为， 将，代入， 可得， 两式相减得， 由于E不与A重合，， ． 直线的解析式为． ②如图，直线与直线交点，与直线交于点， 将代入直线：， 可得， 点坐标为， 设直线解析式为， 将，代入， 可得， 两式相减得， 由于E不与D重合，， ． 直线的解析式为． 点坐标为， 如图，当在右侧时， , 如图，当在左侧时， ， ， 化简可得，即， 当时，，解得或， 当时，，此时方程无实数解， 综上，若的面积等于2时，m值为0和3． （3）设点，由P、Q关于原点对称得，， 设直线解析式为， 将，代入， 可得， ． 直线的解析式为． 联立抛物线解析式，， 可得， 由韦达定理得， M点的横坐标为， 将代入，． M点的坐标为， 同理可得，直线的解析式为， 点的坐标为． ， ， ． 题型十九 面积问题（二次函数综合) 【典例精讲】（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，现有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃．设的长为，该矩形花圃的面积为． (1)若要围成面积为的矩形花圃，则的长为多少米？ (2)当的长为多少米时，矩形花圃的面积最大？最大面积为多少？ 【答案】(1)的长为6米 (2)当的长为5米时，矩形花圃的面积最大，最大面积为 【思路引导】（1）根据题意得，为，利用长方形的面积公式列方程，求出的值，再结合题意求出符合的值； （2）根据题意得，再配方变为顶点式，根据的取值范围和二次函数的性质求得围成的花圃的最大面积． 【规范解答】（1）解：根据题意得，为， ∴ 解得，， 又∵墙的最大可用长度为， ∴，解得， 舍去， ； （2）解：根据题意得， ， ， 有最大值，且当时，y随x的增大而减小， 由（1）得，， 当时，有最大值， ∴． 【变式训练】（26-27九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，与x轴的另一个交点为B．抛物线关于x轴对称的抛物线为． (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图②，点D是抛物线在第四象限上的一点，连接．若，求点D的坐标； (3)当时抛物线与时抛物线组成新的函数G，函数G的图象上有不重合的两点P和Q，点P和点Q的横坐标分别为和，若函数G的图象上点P和点Q之间部分（包括点P和点Q）的最大值和最小值均与t的取值无关，求t的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【思路引导】（1）利用待定系数法即可解答； （2）求得的解析式和直线的解析式，再设点的横坐标为，根据题意列方程即可解答； （3）设的顶点为，过点作轴的平行线，交对称轴左侧图象于点，求得的横坐标为，根据题意确定的位置，列不等式组即可解答． 【规范解答】（1）解：抛物线经过点和点， ， 解得， ∴抛物线的函数解析式为； （2）解：， 抛物线的顶点为， 抛物线关于x轴对称的抛物线为， 抛物线的顶点为，与轴交点为， ， 把代入可得， 解得， ， 令， 解得， ， 设直线的解析式为， 把，代入， 可得， 解得， ∴直线的解析式为， 如图，过点作轴交于点， 设，， ， ，， ， ， 解得（负数舍去）， ， ； （3）解：如图，设的顶点为，过点作轴的平行线，交对称轴左侧图象于点， 令， 解得，， 在对称轴左侧， 点的横坐标为， 当时，， 要使函数G的图象上点P和点Q之间部分（包括点P和点Q）的最大值和最小值均与t的取值无关， 则点要在函数G的段，点要在函数G的段，如图， 即， 解得； 当时，， 同理，点要在函数G的段，点要在函数G的段，如图， 即， 解得； 综上，或． 题型二十 角度问题（次函数综合） 【典例精讲】（26-27九年级上·四川成都·开学考试）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1．点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，连接，，抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)面积的最大值为，此时点的坐标为 (3)存在，点Q的坐标为或 【思路引导】（1）利用待定系数法解答； （2）先求出直线的解析式，证明为等腰直角三角形，则，设，则，可得，即可求解； （3）分两种情况：当点Q在上方时， 当点Q在下方时，即可求解． 【规范解答】（1）解：∵抛物线与轴交于两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：对于， 当时，， ∴点， 设直线的解析式为， 把点，代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵，， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴， 当时，取得最大值，此时点，的面积最大，最大值为； （3）解：存在． 当点Q在上方时，作点关于y轴的对称点，过点B作交抛物线于点Q，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，此时点Q符合题意， 设直线的解析式为， 把点代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 可设直线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立得：， 解得：或， ∴点Q的坐标为； 当点Q在下方时，作点，直线与抛物线交于点， 同理直线的解析式为， ∵， ∴， ∴， ∴， 联立得：， 解得：或， ∴点的坐标为； 综上所述，点Q的坐标为或． 【变式训练】（2026·四川雅安·一模）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求抛物线及直线的解析式； (2)直接写出抛物线的顶点坐标和对称轴； (3)若P为抛物线上一点，当时，求点P的横坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为，直线的解析式为； (2)顶点坐标为，对称轴为直线； (3)点的横坐标为． 【思路引导】（1）已知抛物线与轴交于、，可设交点式，再利用与轴交点求出；利用待定系数法求直线解析式即可． （2）把抛物线解析式化为顶点式，或直接利用顶点横坐标公式，代入求纵坐标． （3）延长交x轴于点，由可得，设点的坐标为，利用两点距离公式求出m，再用待定系数法求出直线的解析式，最后与抛物线联立求解． 【规范解答】（1）解：抛物线与轴交于、， 设其解析式为， 抛物线与轴交于点，令得， 又此时， ， 解得：， ， 点的坐标为， 设直线解析式为， 把、，代入，得 解得， 直线的解析式为． （2）解：， 抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． （3）解：、、， ，，， 在中，， 延长交x轴于点， ， ∴， 设点的坐标为， ， 解得， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 直线过点， ， 又直线过点， ， 解得：， 直线的解析式为， 点在抛物线上， ， 解得：（为点，舍去）或， 点的横坐标为． 题型二十一 特殊三角形问题（二次函数综合） 【典例精讲】如图，抛物线与x轴交于A，B两点，过A点的直线与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，已知点D的横坐标为4，点P为直线l上方的抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)过P点作轴交直线l于点E，作轴交直线l于点F，连接． ①当为直角三角形时，求点P的坐标； ②求的最大值，并求出当最大时点P的坐标． 【答案】(1) (2)①或；②最大值，此时 【思路引导】（1）A，D两点既在直线上又在抛物线上，先通过直线方程求出A，D两点坐标，再代入抛物线方程即可． （2）①根据为直角三角形进行分类讨论，依据不同情况时具有的几何特征找出等量关系列方程求解． ②利用隐含的角度关系，得出，将所求的目标进行转化，将双变量化为单变量再通过函数求出最值． 【规范解答】（1）解：∵A点在直线l上， ∴令，代入得， ∴， ∵D点在直线l上， ∴令，代入得， ∴， 又∵点A，点D在抛物线上， 则有，解得， 故抛物线的解析式为． （2）由题设 ， ①∵点A，点C为直线与坐标轴的两交点， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴当为直角三角形时有两种情况，或， 1）当时，， ∵轴，即， ∴为等腰直角三角形， 则有， ∴，解得或（舍）， ∴， 2）当时，点P与点B重合，即此时点P在x轴上 ， ∴令，解得或（舍）， ∴， 综上为直角三角形时，点P坐标为或． ②∵轴，轴， ∴，， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 即，此时符合有． 62．（26-27九年级上·新疆·阶段检测）如图，A，B，C是平面直角坐标系轴上的三个点，直线与抛物线交于B，C两点，，抛物线经过A，B，C三点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点N是抛物线上的一动点且位于直线的上方，试求的最大面积． (3)在抛物线上是否存在点M，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，M的坐标是或 【思路引导】（1）先求出点坐标，再设交点式求解即可； （2）过点N作轴交直线于点P，设，则，表示出，再由建立起面积的二次函数关系式，再由二次函数的性质求解； （3）设，①当以C为直角顶点时，如图，过点C作，交抛物线于点．过点作y轴的垂线，垂足是E，则，得到是等腰直角三角形，则，即可建立方程求解；②当以B为直角顶点时，如图，过点B作，交抛物线于点，交y轴于点G．过点作y轴的垂线，垂足是F，则，轴，得到是等腰直角三角形，则，即可建立方程求解． 【规范解答】（1）解：令，则， 令，则，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设抛物线， 代入，得，， ∴； （2）解：如图3，过点N作轴交直线于点P， 设，则， ∴， ∵轴， ∴点C到的距离为，点B到的距离为， ∴， ∵ ∴当时，的面积最大，为． （3）解：存在． 设， ①当以C为直角顶点时，如图，过点C作，交抛物线于点．过点作y轴的垂线，垂足是E，则， 由，，得， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， 解得（舍去），． ∴， ∴． ②当以B为直角顶点时，如图，过点B作，交抛物线于点，交y轴于点G．过点作y轴的垂线，垂足是F，则，轴， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵轴，即轴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， 解得，（舍去）， ∴， ∴， 综上所述，M的坐标是或． 题型二十二 特殊四边形（二次函数综合） 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的顶点为，与y轴交于点A，过点A作轴，交该抛物线于点C，连接，以为边作，点D在x轴的负半轴上． (1)求该抛物线的解析式； (2)求点C的坐标及的面积． 【答案】(1)； (2)， 【思路引导】（1）根据顶点坐标即可得到抛物线的解析式； （2）根据（1）所求求出点的坐标，再由对称性得到点的坐标，结合平行四边形的性质求解面积即可． 【规范解答】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴， 抛物线的解析式为； （2）解：当时，， ， 顶点为， ∴对称轴为直线， 轴，交该抛物线于点和点， 关于直线对称， ， ， ∴． 64．（25-26九年级上·四川眉山·阶段检测）已知，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点M是直线上方的抛物线上一动点（不与A，C重合），连接，，求的面积最大值以及此时点M的坐标． (3)如图2，若动点P在抛物线的对称轴上，点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的面积最大值为，此时点M的坐标为 (3)存在，符合条件的点P的坐标为：，，，， 【思路引导】（1）利用待定系数法求解； （2）作轴于点H，交线段于点D，先求直线的解析式，设点M的坐标为，用含q的式子表示出，进而用含q的式子表示出，利用二次函数的最值求解； （3）以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形时，分三种情况：当以为对角线时，则；当以为对角线时，则；当以为对角线时，则，分别列方程求解即可． 【规范解答】（1）解：将，代入， 得：， 解得， 该抛物线的解析式为； （2）解：如图，作轴于点H，交线段于点D， 将代入，得， ， 设直线的解析式为，将，代入， 得：， 解得， 直线的解析式为； 设点M的坐标为，则点D的坐标为， ， ， 二次项系数，抛物线开口向下，对称轴为， 当时，取最大值，最大值为， 此时， 综上可知，的面积最大值为，此时点M的坐标为； （3）解：抛物线的对称轴为：直线， 设，， ，， ，，， 以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形时，分三种情况： 当以为对角线时，则，如图： ， 解得， ，； 当以为对角线时，则，如图： ， 解得， ； 当以为对角线时，则，如图： ， 解得， ， ， 综上可得，符合条件的点P的坐标为：，，，， ． 题型二十三 其他问题（二次函数综合） 【典例精讲】（26-27九年级上·江西南昌·阶段检测）在平面直角坐标系中，对于一次函数，若（为常数，），则称为的“型相关量”．例如：一次函数的“型相关量”为． 【理解】 (1)一次函数的“型相关量”为，则________； 【探究】 (2)已知是的“型相关量”， ①若是定值，请说明与的数量关系，并求出的值； ②若随的增大而增大，试比较与的大小关系； 【迁移】 (3)类似的，对于二次函数，若，亦称为的“型相关量”．当时，二次函数的“型相关量”的最大值为，请求出的值． 【答案】(1) (2)①当时，g为定值2；② (3)t的值为或 【思路引导】（1）根据，即可求解； （2）①由题意得：，即可求解；②，根据函数的增减性即可求解； （3）分3种情况讨论，①当时，时g取最大值，②当时，时g取最大值，③当时，时g取最大值，分别计算即可． 【规范解答】（1）解：，解得； （2）解：①由题意得：， 为定值，与x无关， ，即， 所以当时，g为定值2； ②， 随x的增大而增大， ， ； （3）解：由题意得：， ， ， 二次函数开口向下，对称轴为直线， 当，分情况讨论， ①当时，时g取最大值， 即， 解得，（舍去）； ②当时，时g取最大值， 即， 解得（舍去），（舍去）； ③当时，时g取最大值， 即， 解得，（舍去）； 综上，t的值为或． 66．（24-25九年级下·安徽芜湖·自主招生）如图，点，，均在二次函数的图象上，为线段的中点，轴，且．设，两点的横坐标分别为，，则的值为（     ） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【思路引导】设点坐标为，则，由为线段的中点，得到，，从而求出． 【规范解答】解：设点坐标为， 轴，， ， 、、三点均在二次函数的图象上， ， 为线段的中点， ，， ， ， ， ， ， ． 【真题演练1】（2026·江苏淮安·中考真题）已知二次函数（，，为常数，）的图像过点，则下列说法正确的是__________．（填写所有正确说法的序号） ①；②若，则当时，随的增大而增大；③若，则；④若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则． 【答案】①③④ 【思路引导】已知二次函数，，过点，先代入得到，再逐个验证每个说法，利用二次函数性质和代数变形推导结论． 【规范解答】解：①将代入，得， ∵函数图像过点， ∴，故①正确． ②，∵， ∴二次函数开口向下，对称轴为，若，则对称轴，若，则在区间，随增大而减小，如：取，，得对称轴，在时递减，故②错误． ③∵， ∴， ∴， ∵， ∴，因此，即，故③正确． ④整理方程得，方程有两个相等的实数根，因此判别式， ∴， 整理得， ∴， 因此， ∵， ∴，即，故④正确． 综上所述：①③④正确． 【真题演练2】（2026·江苏徐州·中考真题）在平面直角坐标系中，将函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】根据二次函数图象平移的“左加右减，上加下减”法则即可解答． 【规范解答】解：∵ 函数图象向左平移2个单位长度， ∴ 平移后表达式为． ∵ 再向下平移1个单位长度， ∴ 最终表达式为，即． 【真题演练3】（2026·广东广州·中考真题）已知抛物线G：． (1)当，时，求抛物线G的对称轴； (2)若对于任意实数，抛物线G总经过定点． ①求和的值； ②点，在抛物线G上，且线段与轴有交点．记的面积为，求的取值范围． 【答案】(1)直线 (2)①，；② 【思路引导】（1）把， 代入解析式，再把解析式化为顶点式，即可； （2）①先把原解析式化为，再根据对于任意实数，抛物线G总经过定点，即可求解； ②点，在抛物线G上，且线段与轴有交点，求出m的取值范围，再求出直线的解析式，过点P作轴交得延长线于点Q，则点，根据，可得S关于m的函数关系式，即可求解． 【规范解答】（1）解：当，时， ， 所以抛物线G的对称轴为直线； （2）解：①， 当时，， ∵对于任意实数，抛物线G总经过定点， ∴， ∴； ②由①得：，，， ∴抛物线的解析式为， ∵点，在抛物线G上，且线段与轴有交点， ∴， 把点，代入得： ， ， ∴，点，， 解得：， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 如图，过点P作轴交的延长线于点Q，则点， ∴， ∴ ∴当时，随m的增大而减小， ∵， ∴当时，取得最大值，此时S取得最大值，最大值为27， 当时，取得最小值，此时S取得最小值，最小值为， ∴S的取值范围为． 【真题演练4】（2026·山东东营·中考真题）在二次函数（a，b，c为常数，）中，与的部分对应值如表所示． 4 0 给出下列结论：①；②；③若，且，则；④若点均在二次函数图象上，则．其中正确的是（     ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【思路引导】先利用待定系数法求出二次函数的解析式，据此可判断①和②；再根据二次函数的对称性和增减性判断③和④即可． 【规范解答】解：将点代入得：， 解得， ∴二次函数的解析式为， ，结论①正确； ，， ∴，结论②正确； 二次函数的对称轴为直线， ∵， ∴， 又∵， ∴在这个二次函数的图象上，横坐标为、的两个点关于对称轴对称， ∴， ∴，结论③正确； 由二次函数的性质可知，当时，随的增大而减小， ∵点在二次函数的图象上， ∴由二次函数的对称性可知，时的函数值与时的函数值相等，即点也在这个二次函数的图象上， 又∵点在二次函数的图象上，且， ∴，结论④错误； 综上，结论正确的是①②③． 【真题演练5】（2026·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和．若，则________（填“”“”或“”）． 【答案】 【思路引导】先将二次函数解析式配方，得到抛物线的开口方向与对称轴，再根据二次函数的增减性，结合判断两点横坐标的位置，即可比较与的大小． 【规范解答】解：对函数解析式配方得， ， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， ， ， ． 【基础夯实】 1．（26-27九年级上·新疆吐鲁番·阶段检测）二次函数的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】抛物线是抛物线解析式中的顶点式，直接写出顶点坐标即可． 【规范解答】解：二次函数顶点坐标为． 2．（26-27九年级上·天津·期中）将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】根据抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，即可得解． 【规范解答】解：由题意得， 平移后的抛物线为． 3．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】先确定二次函数的对称轴与开口方向，通过比较各点到对称轴的距离判断函数值大小． 【规范解答】解：二次函数的对称轴为直线． ∵ ， ∴ 抛物线开口向上，点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大． 点到对称轴的距离为． 点到对称轴的距离为． 点到对称轴的距离为． ∵ ， ∴ ． 4．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）将二次函数的图像向左平移个单位，再向上平移个单位，得到的函数解析式是______．（用顶点式表示） 【答案】 【思路引导】根据二次函数图像平移的“左加右减，上加下减”规律，对原解析式进行变换即可得到结果． 【规范解答】解：二次函数图像平移遵循“左加右减，上加下减”的规律， 原二次函数解析式为，向左平移个单位，需对自变量左加，将替换为， 第一次平移后得到． 再向上平移个单位，需对函数整体上加，在式子后加， 最终得到的函数解析式为． 5．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）将二次函数的图像向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的二次函数图像的顶点坐标是______． 【答案】 【规范解答】解： ， 原二次函数的顶点坐标为， 将图像向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度， 新二次函数的解析式为， 平移后二次函数的顶点坐标为． 6．（26-27九年级上·北京西城·阶段检测）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法： ①； ②； ③若，是抛物线上的两点，则； ④； ⑤（其中）． 其中正确的结论是__________． 【答案】①②⑤ 【思路引导】根据抛物线开口方向、对称轴位置、与y轴交点位置判断a，b，c的符号以及关系，利用对称性求出抛物线与x轴另一交点坐标，进而判断代数式符号；利用二次函数性质比较函数值大小及最值问题． 【规范解答】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为直线，， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线经过，抛物线对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另外一个交点为， ∴，故④错误； 把代入得：， ∴，故②正确， ∵，抛物线开口向下， ∴到对称轴的距离小于到对称轴的距离， ∴，故③错误； ∵抛物线开口向下，对称轴是直线， ∴当时，抛物线y取得最大值， 当时，，且， ∴，故⑤正确； 综上：①②⑤正确． 7．（26-27九年级上·全国·课后作业）在同一平面直角坐标系中，画出下列二次函数的图象，并写出其开口方向、对称轴和顶点，以及随着x的增大，y的变化情况： (1)； (2)． 【答案】(1)开口向上，对称轴为直线（y轴），顶点坐标为；当时，随增大而减小，当时，随增大而增大，时取最小值0，图象如下， (2)开口向下，对称轴为直线（y轴），顶点坐标为；当时，随增大而增大，当时，随增大而减小，时取最大值0，图象如下， 【规范解答】（1）解：开口向上，对称轴为直线（y轴），顶点坐标为；当时，随增大而减小，当时，随增大而增大，时取最小值0， 列表， x … 0 1 2 3 … y … 45 20 5 0 5 20 45 … 图象如下， ； （2）解：开口向下，对称轴为直线（y轴），顶点坐标为；当时，随增大而增大，当时，随增大而减小，时取最大值0， 列表， x … 0 1 2 3 … y … 0 … 图象如下， ． 8．（26-27九年级上·全国·课后作业）在同一平面直角坐标系中，画出下列二次函数的图象： ，，． 指出三条抛物线的位置关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点，以及随着x的增大，y的变化情况． 【答案】图象如下： 位置关系：三条抛物线形状相同，由向左平移2个单位得到，由向右平移2个单位得到； 抛物线：开口方向向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大，当时，y取最小值； 抛物线：开口方向向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大，当时，y取最小值； 抛物线：开口方向向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大，当时，y取最小值． 【规范解答】略 9．（26-27九年级上·全国·课后作业）正方形的边长是x，面积是A，周长是l． (1)分别写出与x之间的关系式； (2)在同一平面直角坐标系中画出上述关系式在范围内的图象，并比较它们的变化趋势． 【答案】(1)，； (2) 变化趋势：随的增大匀速增大；随x的增大而增大，且增长速度越来越快． 【思路引导】（1）根据正方形的面积和周长公式作答即可； （2）采用描点法绘制，的图象是过原点和点的射线；的图象是顶点在原点、开口向上的抛物线的右半支． 【规范解答】（1）解：正方形的边长是x，面积是A，周长是l， ，． （2）略 10．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，一名足球运动员在点A处踢出任意球，球的飞行路线是一条抛物线．当球飞行到最高点时，恰好击中高的球门横梁上的点B．设位于点B正下方的地面上的点为C，且．求这一飞行过程中，球的竖直高度y（单位：m）关于它距离点A的水平距离x（单位：m）的函数解析式． 【答案】 【思路引导】先建立直角坐标系，再设函数解析式为，然后将点代入解析式可得答案． 【规范解答】解：如图所示，以点A为原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴，建立直角坐标系，由题意可知点，其过点， 设球的竖直高度y关于水平距离x的函数关系式为， ∴， 解得， ∴函数解析式为． 【培优拔高】 1．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知，，是二次函数图象上的点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】先求出二次函数的对称轴，结合开口方向，通过比较各点到对称轴的距离判断函数值大小． 【规范解答】解：二次函数的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴点到对称轴的水平距离越小，对应的函数值越大， 点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， ∵， ∴． 2．（25-26九年级上·内蒙古赤峰·阶段检测）若将抛物线图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】向右平移2个单位，将原解析式中的x替换为，得到第一次平移后的解析式．向下平移3个单位，在第一次平移后的解析式基础上减去3，整理后和选项对比即可． 【规范解答】解：将抛物线向右平移2个单位，得． 再向下平移3个单位，得． 3．（25-26九年级上·天津·阶段检测）已知点，，在抛物线上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】先求出抛物线对称轴，结合开口方向，通过比较三点到对称轴的距离判断函数值大小． 【规范解答】解：抛物线的对称轴为直线． ∵，抛物线开口向上， ∴点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大． 点到对称轴的距离为； 点到对称轴的距离为； 点到对称轴的距离为； ∵， ∴． 4．（26-27九年级上·浙江杭州·开学考试）已知二次函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】观察三点横坐标的特点，代入解析式可直接得到，，关于的表达式，通过找两两相等的临界点分区间讨论大小关系，判断不可能的选项． 【规范解答】解：将三点横坐标分别代入函数解析式得： ， ， ， 令，解得； 令，解得； 令，解得， 结合二次函数，分区间讨论： 当时，，选项D成立； 当时，，选项C成立； 当时，，无对应选项； 当时，，选项A成立； 故不可能，答案为B． 5．（26-27九年级上·福建福州·开学考试）若二次函数的图象经过点，，则，的大小关系是__________（用“<”连接）． 【答案】 【思路引导】先确定二次函数的开口方向与对称轴，利用开口向下的二次函数点离对称轴越远函数值越小的性质，通过比较两点到对称轴的距离比较大小． 【规范解答】解：二次函数中，，，根据对称轴公式得对称轴为， ∵ ， ∴ 抛物线开口向下，抛物线上的点到对称轴的距离越远，对应的函数值越小， ∵点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为，， ∴ ． 6．（26-27九年级上·重庆·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，对称轴为直线．图象上有点，，，则，，的大小关系是______．（请用“”符号连接） 【答案】 【思路引导】根据图象判断抛物线开口向上，结合对称轴，利用二次函数图象上点到对称轴的距离越远函数值越大这一性质进行比较即可． 【规范解答】解：如图，抛物线的开口向上， ， ． 7．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）若抛物线（为常数）与抛物线（为常数）关于直线对称，则的值为___________． 【答案】 【思路引导】两条抛物线关于直线对称，则上任意点关于直线的对称点都在上，利用对称点的坐标关系得到等式，对应系数相等求出和，即可得到的值． 【规范解答】解：设任意点在抛物线上， ∵点关于直线的对称点为，且与关于直线对称， ∴点在抛物线上， ∴， 展开整理右侧得：， 又∵，多项式相等对应系数相等， 可得，， 解得，， ∴． 8．（26-27九年级上·全国·课后作业）先确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点，说出随着x的增大，y的变化情况，再描点画图： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为；当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大． (2)抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为；当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小． (3)抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为；当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大． (4)抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为；当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小． 【思路引导】根据二次函数的图象及性质求解，并运用描点法画出函数图象． 【规范解答】（1）解：对于抛物线，，，， ∴，，， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为；当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大． 列表为 x 0 1 2 y 描点并连线略． （2）解：对于抛物线，，，， ∴，，， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为；当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小． 列表为 x 0 1 2 3 y 7 7 描点并连线略． （3）解：对于抛物线，，，， ∴，，， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为；当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大． 列表为 x 0 1 2 y 11 1 1 11 描点并连线略． （4）解：对于抛物线，，，， ∴，，， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为；当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小． 列表为 x 1 2 3 4 5 6 7 y 0 1 0 描点并连线略． 9．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）如图，已知抛物线与轴的一个交点为，与轴的交点，其顶点为，对称轴为直线． (1)求顶点的坐标及抛物线的函数表达式； (2)求的面积． 【答案】(1), (2)3 【思路引导】（1）利用抛物线对称性求出另一个x轴交点，设交点式代入B点求解析式，再代得顶点C． （2）求出直线，用对称轴截出线段作底，以水平距离为高算出面积． 【规范解答】（1）解：根据抛物线的对称性，抛物线与x轴的两个交点的对称轴即为， 设另一个交点为，则有，解得， ∴抛物线与x轴的交点为、， ∴设抛物线交点式为， 又∵抛物线过点， 代入、有，解得， ∴抛物线解析式为， ∵点C为顶点，即代入有， 故． （2）解：记对称轴与交于点M， 设直线的解析式为， ∵直线过点，， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴， ∴， ∴ ． 10．（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图1，抛物线交轴于点和点，交轴于点，且． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上一动点，连接和，交于点，交轴于点，若是以为底的等腰三角形，求点的坐标； (3)如图2所示，若点是抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，请问在轴上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2) (3)符合条件的点有三个，坐标为：，， 【思路引导】（1）先推导出，再根据待定系数法进行求解即可； （2）先求出，即，根据三角形的内角和求出，推导出，得到，可推导出是等腰直角三角形，求出，继而求出直线解析式是，联立直线与抛物线，求出点D的横坐标，再求出，即可解答； （3）分类讨论：当为对角线和菱形边时，利用直线与x轴成角关系建立关于P的横坐标的方程，进而求出点的坐标． 【规范解答】（1）解：∵，且， ∴， ∴， 将，分别代入，得 ， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：当时， ， 解得， ∴，即， ∵，， ∴， ∵是以为底的等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， 设直线解析式是，把，分别代入，得 ， ∴， ∴直线解析式是， 联立直线与抛物线：，得 ， 解得（点B，舍去），， 将代入，得 ， ∴； （3）解：设直线解析式是， 把，代入，得 ， ∴， ∴直线解析式是． ①当为菱形的对角线时，如图2， 设，则， ∴， ，四边形是菱形， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴，即轴， ∴， ， 解得（不合题意舍去）或， 此时， ． ②当为菱形的边时，如图， 作于点H，   设，则， ∴，， ， ∴． ∴ 解得：，，（不合题意舍去）． 或． ∴，， 如图所示， 综上所述，符合条件的点有三个，坐标为：，，． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $